第七章 空间解析几何思考题
[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案
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第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z +=(2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程.5、求直线⎩⎨⎧=--=++03z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3.7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知a 和b 为两非零向量，问t 取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量n ，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过z 轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程.6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线2l ：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面π:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为m ）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线L ：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程.4、求两直线1L ：1101-=-=-z y x 与直线2L ：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j ib a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角.3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(⨯⋅-⨯⋅及；及(3)a 、b 的夹角的余弦.2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________，曲面名称为___________________.2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________.3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。
在空间解析几何中2x y =表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(4222y x z += (2))(422y x z += 四、1、指出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319y 4x 22y 在平面解析几何中表示____________图形，在空间解 析几何中表示______________图形.2、求球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程. 3、求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面及xOz 面上的投影. 五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a =(2,1,1)和b =(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12=+z x ,23=-z y 平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.4、求过点(3,1,-2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 5、求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角.6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线11321-=--=-zy x ; 2)直线431232--=+=-z y x 和平面x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.B1、已知0=++c b a （c b a ,,为非零矢量），试证:a c c b b a ⨯=⨯=⨯.2、),(},1,1,1{,3b a b a b a ∠=⨯=⋅求.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模||tb a +最小？并证明此时)(tb a b +⊥.4、求单位向量，使a n ⊥且x n ⊥轴，其中)8,6,3(=a .5、求过轴，且与平面052=-+z y x 的夹角为3π的平面方程. 6、求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面.7、求过直线⎩⎨⎧=--+=-+-022012z y x z y x ，且与直线：211zy x =-=平行的平面.8、求在平面:1=++z y x 上，且与直线⎩⎨⎧-==11z y L ：垂直相交的直线方程.9、设质量为kg 100的物体从空间点)8,1,3(1M ，移动到点)2,4,1(2M ，计算重力所做的功（长度单位为）.10、求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线？11、已知k j OB k i OA 3,3+=+=，求OAB ∆的面积 12、.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程.C1、设向量c b a ,,有相同起点,且0=++c b a γβα，其中0=++γβα，γβα,,不全为零,证明:c b a ,,终点共线.2、求过点)1,2,1(0-M ，且与直线：121122=--=+y x 相交成3π角的直线方程. 3、过)4,0,1(-且平行于平面01043=-+-z y x 又与直线21311zy x =-=+相交的直线方程. 4、求两直线：1101-=-=-z y x 与直线：0236+=-=z y x 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量}1,1,1{=g ，求此柱面方程.6、设向量a,b 非零，3),(,2π==b a b ，求xaxb a x -+→0lim.7、求直线⎪⎩⎪⎨⎧--==)1(212:y z y x L 绕y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数习 题 答 案A一、1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分量为7j 二、1、1）3)1()2(2)1(13=-⋅-+⋅-+⋅=⋅b ak j i k j i b a 75121213++=---=⨯（2）18)(63)2(-=⋅-=⋅-b a b a ，k j i b a b a 14210)(22++=⨯=⨯ （3）2123),cos(^=⋅⋅=b a b a b a 2、}2,2,0{},1,4,2{3221-=-=M M M Mk j i kj iM M M M a 4462201423221--=--=⨯= }1724,1724,1726{--±=±a a 即为所求单位向量。
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。
空间解析几何应用题解析
空间解析几何应用题解析解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中的点、直线、平面和曲面等几何元素之间的关系和性质。
空间解析几何的应用题是解析几何的一种实际问题，通常需要运用坐标系、向量和方程等方法进行求解。
本文将通过几个空间解析几何应用题来探讨其解题方法和思路。
题目一：过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。
解析：要求解过点A(1,2,3)且平行于直线l1：x-1/2=y/3=z-5/4的平面方程。
首先，我们需要确定平面的法向量。
由于平面平行于直线l1，故直线l1的方向向量也是平面的法向量。
直线l1的方向向量为(1/2, 1/3, 5/4)。
知道平面的法向量后，我们可以利用点法式求解平面方程。
设平面的法向量为n=(A,B,C)，平面上一点为P(x,y,z)，则平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中D为常数。
由于平面过点A(1,2,3)，代入平面方程得到：A*1 + B*2 + C*3 + D= 0，即A + 2B + 3C + D = 0。
然后，将平面的法向量(1/2, 1/3, 5/4)代入，得到方程：1/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0。
我们可以得到一个平面方程的方程组：A + 2B + 3C +D = 01/2 * A + 1/3 * B + 5/4 * C = 0进一步化简方程组，可以求解出平面方程的解。
题目二：已知点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)，求直线AB的方程。
解析：要求直线AB的方程，我们可以用两点确定一条直线的方法。
点A(1,2,3)和点B(-1,3,4)确定了直线AB。
直线上两点的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)。
我们可以使用参数方程表示直线的方程：x = x1 + t(x2-x1)y = y1 + t(y2-y1)z = z1 + t(z2-z1)这里，t是一个参数，可以取任意实数。
(整理)第七章 空间解析几何
第七章空间解析几何与向量代数内容概要习题7-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a AC ==B D , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。
知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+B , ，又ABCD 为菱形，∴=（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=a b b aa b ∴2b a +==，2DA +=-a b★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD A D BC BD AD BD AB 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。
第七章 空间解析几何与向量代数(答案)
第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（A ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1,-2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3πD ）π5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ B ）A ）5焦耳B ）1焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ⨯ 是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B ）364 C ）32 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ）01=-+y x ．11、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；（A ）-+a b =a b ； （B ）=a b ； （C ）0⋅a b =； （D ）⨯a b =0．12、已知{}{}2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；（A ）53； （B ）5； （C ）3； （D13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 B ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 A ；（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、方程222231x y z -+=表示 曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面,x 轴; (B)双叶双曲面,x 轴;(C)单叶双曲面,y 轴; (D)双叶双曲面,z16设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b17、设向量,a b 相平行，但方向相反，则当0>>a b 时，必有（A ） A +=-a b a b B +>-a b a b C a b a b +<- D a b a b +=+18向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ⋅a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 19非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．20设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．21设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k22空间曲线的方程是（ B ）.A 惟一的；B 不惟一的；C 可能不惟一；D 不能确定.23方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩ 表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面；D 空间曲线在1=x 平面上的投影.24方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.25设空间直线的对称式方程为 012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.26设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩, 则必有（ D ）.A 1L ∥2L ；B 1L ∥3L ；C 32L L ⊥；D 21L L ⊥.二、填空题1 平面的点法式方程是2、yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0a = 。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
高等数学（本科）第七章课后习题解答
【解】{}1,1,111-=+-==?. ()311122 2=+-+=.
所以同时垂直向量和向量的单位向量为 {}1,1,1 3 1-± =?±
0..=++； ③
0..=+； ④ 将②、③、④相加得 () 03...2=+++a c c b b a 所以，.2 3 ...-=++ 3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求： （1）同时与及垂直的单位向量； （2）ABC ?的面积. 【解】 （1）?{}16,12,15161215340054=++=--=.
y .所以，所求之点为.0,23,0?? ? ??C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()() ()1033210172 22=-+-+-==AB c ； AC 边长()()()()33123112 22=-+-+--=b ； BC 边长()()()()11731103712 22=-+-+--=a . 由余弦定理知 c o s ∠BAC () 01032117 10322 22222 -+=bc a c b ， 所以，∠BAC 为钝角. 8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等. 【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即 ()()()()= -+--+-2 225011y x ()()()222443-+-+-z y x ()()()222164-+-+-= zyx 解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D 习题7.2 1.设平行四边形ABCD 的对角线向量==,，试用，表示 ,,,. 【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O . () -=-=-=-==2 1 21212121； 同理可求出，() +=+=+=21 2121； ()a b AB CD -=-=21 ； ()
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
§_7_空间解析几何与向量代数习题与答案
x−4 共面的充要条件得 6 −7
y −1 z − 2 −2 3 = 0 ，整理得所求平面方程 4 −3
7、思路：用平面束。设过直线 l1 的平面束方程为 x − 2 y + z − 1 + λ (2 x + y − z − 2) = 0 答案：平面方程为 11x + 3 y − 4 z − 11 = 0 8、思路：求交点 (1,1,−1) ，过交点 (1,1,−1) 且垂直于已知直线的平面为 x − 1 = 0 。
2x − 4 y + z = 0 在平面 4 x − y + z = 1 上的投影直线方程. 3 x − y − 2 z − 9 = 0
C 1、设向 量 a, b, c 有相同起点,且 αa + βb + γc = 0 ，其中 α + β + γ = 0 ，α , β , γ 不全为零, 证明: a, b, c 终点共线. 2、求过点 M 0 (1,2,−1) ，且与直线 L ：
析几何中表示______________图形. 2、求球面 x 2 + y 2 + z 2 = 9 与平面 x + z = 1 的交线在 xOy 面上的投影方程.
3、求上半球 0 ≤ z ≤
a 2 − x 2 − y 2 与圆柱体 x 2 + y 2 ≤ ax (a > 0) 的公共部分在
xOy 面及 xOz 面上的投影. 五、 1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程. 2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)的平面方程. 3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程. 4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、 1、求过点(1,2,3)且平行于直线
(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。
在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量， 问 t 取何值时， 向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线 ：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成 角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。
高数答案第七章
第七章空间解析几何与向量代数§向量及其线性运算必作题：P300 —301 ：1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 19. 必交题：1. 求点(aM分别关于⑴各坐标而：⑵"坐标轴：⑶坐标原点的对称点的坐标.解:(1) xoy 而(a,b, ? c)理oz 面(? a,b , c) , xoz 面(a 广bQ ;(2) ox 轴(a A brc) z oy 轴(? ab? c) , oz 轴(? a,-b,c);(2)关于原点(? a,-b? c)a3、坐标而上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点的位置A(3,4,0), 3(0,4,3), C(3,0,0), £ >(0-1,0).解: xoy 而：z=0, yoz 而：x=0> xoz 而：y=0 ?ox 轴：y=O,z=O. oy 轴：x=0,z=0, oz 轴：x=0z y=0tA在xoy而上，B在yoz而上，C在x轴上，D在y轴匕4、在z 轴上求与点AM, 1,7) 和点B(3,5,-2) 等距离的点的坐标.14 14 解:设 C (0, 0, z),有|AC| = |BC|,解得：z=—,所求点为(0Q —).9 95、设“ =a-b + 2c.v = -a + 3b-c, 试用a.b.c 表示2u-3v? 解：2M一3” = 5a —1 仍+ 7c5、已知两点和M,3,0.2), 求向的模，方向余弦和方向角.解：={-1-72,1} , = 2 ,方向余弦为cos a =~~方向角汀上疗= cos y =—"辛: :P = ---- t Y ——4 3解：设0 "戯的模厨 i 方向余弦= = = 求2={5},贝2 2* = x/J * “ = {o 丄苗}7、设有向疑片A , kR| = 2,它与x 轴、y 轴的夹角分别为彳和？如果已知人（1,0,3）,求g 的坐标.解：设巴的坐标为（x,y,z ） ?叶马={x-l,y,乙一 3},-八一! ■= cos —=—,所以x = 2 :I = cos-=八，所以 y = V2 ,又障可=2,,所以 J1 + 2 + (Z _3)2 =2,解得 z = 2 或 z =4,所以人的坐标为(2,72,2)或者(2,72,4).& 求平行于向疑方={6,7, — 6}的单位向量. ）{6,7,-6}，即必作题： P309-310 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 必交题：1、已知向量“ ={1, 一 2,2}与/? = {2,3,几}垂直，向 M c = {1,1,-2}与2={22平行，求兄和“的值解：？ =736 + 49 + 36 = 11,与N 平行的单位向疑为土丄 数量积向量积混合积2、已知向Sa = 2i-3j + k9b = i-j + 3k 9c = i-2j A 别计算以下各式⑴(a A B)c-(a A c)b； (2) (a + b)x(b + c) ; (3) (axb A c.解:(1) - (a ? c)b = 8c - 8b = -8 了 - 24 斤(2) (A+b)x(b+c) = (A -4j+4k)x(2i-3j+3k) = -j-k2 一 31⑶(“ xb)0= 1-1 3=2 1 -2 0OAxOB ： 解：-37-3j3、已知 OA=l+3k,OB = J + 3k f 求 AABO 的而积. AABO 的而积 S = A \OA X OB\ =.§曲面及其方程必作题；必交P318-319 : 1、2、5、6、7、8、9、10.1、一动点与两従点 A(2,3,l)和B(4,5,6)等距离，求该动点的轨迹方程解：设动点因为网=阿所以(x-2)2+(y-3) 2+(z-l) 2=(x-4) 2+(y-5)2 + (z-6)2，解得动点的轨 迹方程为 2x + 2y + 5z.2、指出下列方程在平而解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形2 2解：(DxOy 坐标而上椭圆一+ — = 1绕6轴旋转形成，或者妝力坐标而上椭圆一+ A - 4 =1绕6轴旋转形成。
6(6)曲面及其方程
y
x
27
曲面及其方程
3. 抛物面 (paraboloid)
用截痕法讨论： p 0, q 0 设
x2 y2 z（ p 与 q 同号）椭圆抛物面 01 2 p 2q elliptic(al) paraboloid
(1) 用平面 xOy ( z 0) 去截这曲面, 截痕为原点. 用平面 z z1 ( z1 0) 去截这曲面,截痕为椭圆.
2 2
2
2
24
曲面及其方程
2 y1 z 2 2 2 1 2 a b c
x12
同理, 与平面 x x1 , y y1 的截痕也是 椭圆. 椭圆截面的大小 随平面位置的变化而变化.
z
y
z
O
O
x x
y
25
曲面及其方程
椭球面的几种特殊情况:
(1) a b
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a b c
旋转椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
(ellipsoidal surface of revolution)
x2 z2 由椭圆 2 2 1 绕z轴旋转而成. a c x2 y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c ) 的交线为圆.
8
曲面及其方程
柱 面 举 例
z z
y2 2 x
O O
平面
y
y
x
x
抛物柱面
y x
y 2 2 x表示母线平行于z
y x 表示母线平行于z轴
轴的柱面, 其准线是xOy面 的柱面, 其准线是xOy面上 上的抛物线 y 2 2 x . 的直线 y x .
Ch7向量代数与空间解析几何 释疑解难
Ch7向量代数与空间解析几何释疑解难1、何谓空间直角坐标系？解析：过空间定点O ，作三条相互垂直的数轴，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位．三条轴分别为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称坐标轴．三坐标轴的正方向符合右手规则，即右手的拇指、食指、中指相互垂直，它们依次表示x 轴、y 轴、z 轴．如此的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．其中O 叫做坐标原点．2、空间直角坐标系中的两个基本问题是什么？解析：空间直角坐标系中的两个基本问题是两点间距离问题和定比分点问题．即设1111(,,)M x y z 和2222(,,)M x y z是空间两点，则两点间距离为12d M M ==若(,,)M x y z 分有向线段12M M 为两个线段1M M 和2MM ，使它们的值之比等于定值λ，即12M MMM λ=（0λ>时为内分，0λ<时为外分，1λ≠-），则分点M 的坐标为121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+；上述三式称为定比分点公式．特别1λ=时，M 为12M M 的中点，中点坐标为122x x x +=，122y y y +=，122z z z +=．3、简述向量的概念．解析：既有大小又有方向的量称为向量．向量在几何上常用有向线段表示．例如，用有向线段AB表示大小为AB ，方向为从A 指向B 的向量．向量的大小叫向量的模；模为1的向量叫单位向量；模为零的向量叫零向量，以0表示，零向量的方向可看作是任意的；与向量a 大小相等方向相反的向量称为a的负向量；起点在原点O ，终点在M 的向量OM称为点M 的向径．确定向量的要素是大小和方向，在数学上所研究的向量是与始点无关的向量，并称它为自由向量，当两向量a 与b 的模相等，又相互平行，且指向相同时，则两向量是相等的，记作a b = ．4、当非零向量a 、b具有什么几何特征时，下列式子成立？（1）a b a b +>- ；（2）a b a b +=- ；（3）a b a b +<- ．解析：利用公式2||a a a ⋅=，将数与向量联系起来，从而可以讨论向量具有的几何特征．()()2222,a b a b a b a a b b +=+⋅+=+⋅+ ()()2222;a ba b a b aa b b -=-⋅-=-⋅+ （1）为使a b a b +>- 只需22a b a b ⋅>-⋅ ，即0a b ⋅> ，cos ,0a b a b ∧⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭ ，因而只需cos ,0a b ∧⎛⎫> ⎪⎝⎭ ，即,2a b π∧⎛⎫< ⎪⎝⎭ 时，有a b a b +>- ．（2）由上例知a 与b垂直正交时，有a b a b +=- ．（3）为使a b a b +<- ，只需22,a b a b ⋅<-⋅ 即cos ,0a b a b a b ∧⎛⎫⋅=⋅< ⎪⎝⎭ ，于是，当(,)2a b π∧> 时，有a b a b +<- ．5、设23a i j k =-+ ，2b i j =+ ，c i j k =-++，回答下列问题，并说明理由：①b 是否与oz 轴垂直？②a b + 是否与c平行？③a 与b c - 是否垂直？④a 、b 、c是否共面？解析：①b 在xoy 面内（或0b k ⋅= ），故b oz ⊥；②33a b i j k c λ+=-+≠ ，或()0a b c +⨯≠ ，故a b + 不平行于c ；③()0a b c ⋅-=，故()a b c ⊥- ；④()0a b c ⋅⨯≠ ，故a 、b 、c不共面．6、下列命题是否成立？为什么？①若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；②a b a c ⨯=⨯ ，则b c = ；③()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯解析：①不一定成立，因为当0a = 时，对任意b c ≠ ，都有a b a c ⋅=⋅ ；当0a ≠时，由Pr Pr Pr Pr a a a a a b a c a j b a j c j b j c ⋅=⋅⇒=⇒=，但不一定有b c = ．因为()0()a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇒⋅-=⇔⊥- ，由此可知，当b 、c移到同一起点，只需它们的终点落在与a 垂直的同一平面上时，就有()a b c ⊥- ．此时，无论b 、c的模长为多少，都有()0a b c ⋅-= ．显然，b c =不成立．②不成立．因为当0a = 时，对任意b c ≠ ，都有a b a c ⨯=⨯ ．类似于①，当0a ≠时，()0a b a c a b c ⨯=⨯⇒⨯-=⇔ //()a b c - .可见，由a b a c ⨯=⨯ 不能推出b c = ．③不成立．例如，取a i =，b j = ，c i j =+ ，()a b c i j ⨯⨯=-+ ，而()()a b c i k j ⨯⨯=⨯-= ．7、已知平面11111Π:0A x B y C z D +++=与平面22222Π:0A x B y C z D +++=，问两平面1Π与2Π相交、垂直、平行、重合的充要条件分别是什么？解析：记1Π、2Π的法向量为1n →和2n →，即{}1111,,n A B C →=，{}2222,,n A B C →=．两平面相交的充要条件是方程中x ，y ，z 的对应系数不成比例；垂直的充要条件是120n n →→⋅=，即1212120A A B B C C ++=；平行的充要条件为方程中x ，y ，z 的对应系数成比例，但常数项不与这些系数成比例．即存在一个数0λ≠使12n n λ→→=，但12D D λ≠；重合的充要条件是方程中所有的对应系数及常数项都成比例，即存在一个数0λ≠使12n n λ→→=，且12D D λ=．8、已知两直线1111111:x x y y z z L m n p ---==和2222222:x x y y z z L m n p ---==，问两直线异面、共面的充要条件是什么？两直线共面时平行、重合、不平行（相交）的充要条件是什么？解析：记1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z ，{}1111,,s m n p = ，{}2222,,s m n p =，则1L 与2L 异面的充要条件是12M M 、1s 、2s不共面，即12120M M s s ⎡⎤≠⎣⎦，亦即2121211112220x x y y z z m n p m n p ---≠．在1L 与2L 共面时，两直线在同一平面上，此时两直线平行的充要条件是12//s s且不平行于12M M ；重合的充要条件是12M M 、1s 和2s三向量平行；不平行的充要条件是1s 不平行于2s ．9、两直线的夹角是什么？如何确定此夹角？两直线垂直的条件是什么？解析：两直线的方向向量之间的夹角称为两直线的夹角．若两直线的方向向量各为{}1111,,s m n p =和{}2222,,s m n p =，则夹角ϕ可由cos ϕ=来确定．特殊地，1L 与2L 垂直的充要条件是1212120m m n n p p ++=．10、如何求空间曲线在某坐标面的投影？解析：求空间曲线(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩在xoy 面上的投影的方法为：消去变量z 后得(,)0H x y =（此为曲线关于xoy 的投影柱面），则曲线在xoy 面上的投影曲线为(,)0H x y z =⎧⎨=⎩；若空间曲线的形式为(,,)0(,)0F x y z G x y =⎧⎨=⎩，则此曲线关于xoy 面的投影柱面就是曲面(,)0G x y =，于是曲线在xoy 面上的投影曲线为(,)00G x y z =⎧⎨=⎩．曲面在其他坐标面上的投影可依此类推．。
习习题题课课第七章第七章空间解析...
向量的概念及其线性运算
一 向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
第七章 空间解析几何与向量代数
向量表示：a 或 M 1 M 2
M
1
以 M 1 为起点， M 2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小. | a | 或 | M|1 M 2
0 0 单位向量：模长为1的向量. a 或 M 1 M 2 或 e . 零向量： 模长为0的向量. 0
B ( x , o, z )
பைடு நூலகம்
x
吴新民
- 16 -
P ( x ,0,0)A( x , y ,0)
o Q ( 0 , y ,0 )
y
第二节
向量的坐标表示
2 空间两点间的距离 设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
第七章 空间解析几何与向量代数
第一节
向量的概念及其线性运算
第七章 空间解析几何与向量代数
吴新民
- 10 -
第一节
向量的概念及其线性运算
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边 形必是平行四边形. 证 AM MC
MB DM
A
第七章 空间解析几何与向量代数
D
b
M
a
B
C
AB AM MB
MC DM DC
第七章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 习题课
向量代数与空间解析几何
向量的概念及其线性运算 向量的坐标表示 向量的乘法 平面与直线方程 空间曲面与空间曲线
第一节
向量的概念及其线性运算
第一节 向量的概念及其线性运算
(整理)第七章空间解析几何(最新整理)
关于 yoz 面的对称点的坐标为 (a, b, c) 。
（2）( a, b, c) 关于 x 轴的对称点的坐标为 (a,b,c) ；关于 y 轴的对称点的坐标为 (a, b,c) ；
关于 z 轴的对称点的坐标为 (a,b, c)
（3）( a, b, c) 关于原点的对称点的坐标为 (a,b,c)
★★4．过点 P0( x0, y0, z0 ) 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的坐
主
要
性
质
：
（
1）
aa
a
2
；
（
2）
a b ab 0，
（
3）
cos(a, b)
a
b
ab
定义
运算
a b 的模为 a b a b sin(a, b) ，
i jk
方向为 a 指向 b 大拇指方向
a b ax ay az bx by bz
性质：（1） a b 表示以 a 、 b 为邻边的平行四边形面积； （2） a b a , a b b
向量 a 的模、方向余弦： a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
， cos
ax a
, cos
bx a
, cos
az a
向量 a
在
μ
轴上的投影： Pr
jμa
a
cos(a, μ)
aμ μ
数 数量积 量 积 向 量 积 混 合 向量积 积
混合积
定义及运算： a b a b cos(a, b) axbx a yby azbz
∴点 A 在 xoy 坐标面上； B 在 yoz 坐标面上； C 在 x 轴上； D 在 y 轴上。 ★3．求点( a, b, c) 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。
第七章 空间解析几何
第七章空间解析几何与向量代数内容概要习题7-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a AC ==BD , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。
知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+ , ，又ABCD 为菱形，∴BC AD =（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=a b b aa b ∴2ba +==，2DA +=-a b ★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
知识点：向量的线性运算 解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD D BD AD BD 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D习题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。
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第七章 空间解析几何思考题
特别说明：为打印简便，这段的向量都没有箭头
１．,0=++c b a b a c μλ+=的几何意义是什么？
２．若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向径分别为321,,r r r ，则顶点
D 的向径为什么？
３．若b a ⊥，则下列各式哪个必成立？||||||b a b a +=+，
||||||b a b a -=-，||||b a b a -=+，b a b a -=+
４．若,0=++c b a 则?=⨯b a
５．向量)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，
则b a ,的夹角＝？ ６．下列各式是否正确？为什么？
0≠a 时，有1=a a ； b a b a a 2)(=⋅； 222)(b a ab =；
b b b a a a b a b a ⨯+⨯+⨯=+⨯+2)()(；
0)()(=⨯-⨯=-⨯+b b a a b a b a ；
若0≠a
，c b ac ab =⇒= 若0≠a ，c b c a b a =⇒⨯=⨯．
７．如果已知三点（四点）坐标，如何验证这三点（四点）是否共线（共面）？ ８．已知空间四点的坐标，能用向量方法计算出以它们为顶点的四面体体积吗？ ９．若c b a ,,均为非零向量，问它们有怎样的位置时，下列式子成立？ ||||||b a b a +=+，||||||b a b a +=-，c b a b c a )()(⋅=⋅． １０．下列两组角是否都可作为某向量的方向角？
60,150,90===γβα； 60,135,45===γβα． １１．如果a 与三个坐标面的夹角分别为A,B,C ，那么
?cos cos cos 222=++C B A
１２．想象图形：是否存在满足下列条件的平面．若存在，唯一吗？
（１）过一已知点与已知直线平行；（2）过一已知点与已知直线垂直； （３）过一已知点与已知平面平行；（４）过一已知点与已知平面垂直；
（５）过两已知点与已知直线平行；（６）过两已知点与已知直线垂直；
（７）过两已知点与已知平面平行；（８）过两已知点与已知平面垂直；
１３．设有两直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-==t z t y t x L 4332:1，⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+=t z t y t x L 2221:2．如果相交，那么
交点坐标应满足两个方程，即⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+-+=t t t t t t 22423312应有解，但这样的解是
不存在的，故二直线不相交．以上的结论对吗？为什么？
１４．直线⎩⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足哪些条件，才能使直线：
过原点？与ｚ轴平行？与ｘ轴重合？与ｙ轴相交？
１５．如何求过一已知点且与二已知的异面直线都相交的直线？
※ 如何求二已知的异面直线的公垂线？（有能力的同学可尝试！）
１６．试推导点到平面的距离公式、点到直线的距离公式、直线间距离公式． １７．（１）1=x ，在数轴上、在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表
示什么图形？
（２）⎩⎨⎧==11y x 在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表示什么图形？ （３）022=+y x 表示什么图形？
１８．写出满足下列条件的动点轨迹的方程，它们分别表示什么曲面？ （１）动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z
的距离； （２）动点到坐标原点的距离等于它到点)4,3,2(的距离的一半；
（３）动点到点)5,0,0(的距离等于它到x 轴的距离．
１９．如何写出一条空间曲线在坐标面上投影曲线方程？试求曲线
⎩⎨⎧-+-=--=222
2)
1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程．
参考答案：
１．如果不共线，,0=++c b a 说明三向量构成一个三角形；
b a
c μλ+=说明三个向量共面．
２．3214r r r r +-= ．
３．只有||||b a b a -=+成立．
４．若,0=++c
b a 则
c b b a ⨯=⨯． ５． 60．
６．都不正确． 因为不能把数的运算法则使用于向量运算．
７．若三点为A,B,C ，当且仅当向量→→BC AB ,的向量积为零向量；
如果已知四点A,B,C ，D ，→→BC AB ,，→AD 的混合积为零．
８．平行六面体体积的六分之一，即为混合积的绝对值的六分之一． ９．b a ,同向时，有 ||||||b a b a +=+；
b a ,反向时，有||||||b a b a +=-；
当b a ⊥且c a ⊥或c b ,平行时，c b a b c a )()(⋅=⋅成立．
１０． 用1cos cos cos 222=++γβα判定．
60,150,90===γβα可以；
60,135,45===γβα不可以．
１１．2cos cos cos 222=++C B A
１２．（１）存在但不唯一．
（２）存在且唯一．
（３）存在且唯一．
（４）存在但不唯一．
（５）若两点连线与已知直线不平行，则存在且唯一；若平行，存在但有无
穷多个．
（６）仅当两点连线垂直于已知直线时，存在且唯一．
（７）仅当两点连线平行于已知平面时，存在且唯一．
（８）存在，仅当两点连线不垂直于已知平面才唯一存在．
１３．不对．)0,3,0(-点是他们的交点．推导过程中两直线方程的参数并无特
殊联系，问题在于把两个方程中的参数看成了相等的参数．
１４．直线⎩⎨⎧=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A 021==D D 时，过原点；021==C C 且2
121B B A A ≠时，与ｚ轴平行． 02121====D D A A 时，与ｘ轴重合．2
121D D B B =时，与ｙ轴相交． １５．分别求过已知点与已知直线的两个平面，则交线即为所求．
◎ 设已知二异面直线的方向向量分别为21,s s ，且分别过点21,M M ，而s 是所求公垂线的方向．
则由于21,s s s s ⊥⊥，利用垂直的条件可确定21s s s ⨯=；然后由11,,M s s 可确定一个平面1π，由22,,M s s 可确定平面2π，则21,ππ的交线即为所求．
１６．已知点),,(0000z y x M ，平面方程0=+++D Cz By Ax ，直线方程
n
z z m y y l x x ***-=-=-，方向),,(n m l s =，M 是直线上任意点 则点到平面的距离为222000||C
B A D Cz By Ax d +++++= （与中学平面解析几何中点到直线的距离公式比较）； 点到直线的距离公式是|
|0s d =； 如果21,M M 分别是二直线的各一点，21,s s 分别是方向，则当二直线异面时，二直线的距离为|
||)(|212121s s s s M M d ⨯⨯⋅=． １７．（１）1=x ，在数轴上、在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下分别
表示一点、一直线、一平面；
（２）⎩⎨⎧==1
1y x 在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下分别表示平面上一
点、一直线；
（３）022=+y x
表示直线，即z 轴． １８．写出满足下列条件的动点轨迹的方程，它们分别表示什么曲面？ （１）)2(822z y x -=+，开口朝下，顶点在)2,0,0(的旋转椭圆抛物面；
（２）911634)1(322
22=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x ，这是球面； （３）25102-=z x ，母线平行于y 轴的抛物柱面．
１９．要求一条空间曲线在xoy 面上投影曲线方程，只须由表示该曲线的两个曲面方程中消去变量z 即可得到投影曲线方程中的两个中的一个，再与0=z
联立即为曲线在xoy 面的投影曲线方程．
例如曲线⎩⎨⎧-+-=--=222
2)
1()1(2y x z y x z 在xoy 面上的投影曲线的方程为 ⎩
⎨⎧=-+-=--0)1()1(22
222z y x y x ．可以化简一下． 想一想如果空间曲线方程为参数方程时，如何写出其在坐标面上的投影曲线方程．。