第七章 空间解析几何思考题

第七章 空间解析几何思考题

特别说明：为打印简便，这段的向量都没有箭头

１．,0=++c b a b a c μλ+=的几何意义是什么？

２．若平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向径分别为321,,r r r ，则顶点

D 的向径为什么？

３．若b a ⊥，则下列各式哪个必成立？||||||b a b a +=+，

||||||b a b a -=-，||||b a b a -=+，b a b a -=+

４．若,0=++c b a 则?=⨯b a

５．向量)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，

则b a ,的夹角＝？ ６．下列各式是否正确？为什么？

0≠a 时，有1=a a ； b a b a a 2)(=⋅； 222)(b a ab =；

b b b a a a b a b a ⨯+⨯+⨯=+⨯+2)()(；

0)()(=⨯-⨯=-⨯+b b a a b a b a ；

若0≠a

，c b ac ab =⇒= 若0≠a ，c b c a b a =⇒⨯=⨯．

７．如果已知三点（四点）坐标，如何验证这三点（四点）是否共线（共面）？ ８．已知空间四点的坐标，能用向量方法计算出以它们为顶点的四面体体积吗？ ９．若c b a ,,均为非零向量，问它们有怎样的位置时，下列式子成立？ ||||||b a b a +=+，||||||b a b a +=-，c b a b c a )()(⋅=⋅． １０．下列两组角是否都可作为某向量的方向角？

60,150,90===γβα； 60,135,45===γβα． １１．如果a 与三个坐标面的夹角分别为A,B,C ，那么

?cos cos cos 222=++C B A

１２．想象图形：是否存在满足下列条件的平面．若存在，唯一吗？

（１）过一已知点与已知直线平行；（2）过一已知点与已知直线垂直； （３）过一已知点与已知平面平行；（４）过一已知点与已知平面垂直；

（５）过两已知点与已知直线平行；（６）过两已知点与已知直线垂直；

（７）过两已知点与已知平面平行；（８）过两已知点与已知平面垂直；

１３．设有两直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-==t z t y t x L 4332:1，⎪⎩

⎪⎨⎧+=+-=+=t z t y t x L 2221:2．如果相交，那么

交点坐标应满足两个方程，即⎪⎩

⎪⎨⎧+=+-=+-+=t t t t t t 22423312应有解，但这样的解是

不存在的，故二直线不相交．以上的结论对吗？为什么？

１４．直线⎩⎨⎧=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足哪些条件，才能使直线：

过原点？与ｚ轴平行？与ｘ轴重合？与ｙ轴相交？

１５．如何求过一已知点且与二已知的异面直线都相交的直线？

※ 如何求二已知的异面直线的公垂线？（有能力的同学可尝试！）

１６．试推导点到平面的距离公式、点到直线的距离公式、直线间距离公式． １７．（１）1=x ，在数轴上、在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表

示什么图形？

（２）⎩⎨⎧==11y x 在平面直角坐标系下、空间直角坐标系下各表示什么图形？ （３）022=+y x 表示什么图形？

１８．写出满足下列条件的动点轨迹的方程，它们分别表示什么曲面？ （１）动点到坐标原点的距离等于它到平面4=z

的距离； （２）动点到坐标原点的距离等于它到点)4,3,2(的距离的一半；

（３）动点到点)5,0,0(的距离等于它到x 轴的距离．

１９．如何写出一条空间曲线在坐标面上投影曲线方程？试求曲线

⎩⎨⎧-+-=--=222

2)

1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程．

参考答案：

１．如果不共线，,0=++c b a 说明三向量构成一个三角形；

b a

c μλ+=说明三个向量共面．

２．3214r r r r +-= ．

３．只有||||b a b a -=+成立．

４．若,0=++c

b a 则

c b b a ⨯=⨯． ５． 60．

６．都不正确． 因为不能把数的运算法则使用于向量运算．

７．若三点为A,B,C ，当且仅当向量→→BC AB ,的向量积为零向量；

如果已知四点A,B,C ，D ，→→BC AB ,，→AD 的混合积为零．

８．平行六面体体积的六分之一，即为混合积的绝对值的六分之一． ９．b a ,同向时，有 ||||||b a b a +=+；

b a ,反向时，有||||||b a b a +=-；

当b a ⊥且c a ⊥或c b ,平行时，c b a b c a )()(⋅=⋅成立．

１０． 用1cos cos cos 222=++γβα判定．

60,150,90===γβα可以；

60,135,45===γβα不可以．

１１．2cos cos cos 222=++C B A

１２．（１）存在但不唯一．

（２）存在且唯一．

（３）存在且唯一．

（４）存在但不唯一．

（５）若两点连线与已知直线不平行，则存在且唯一；若平行，存在但有无

穷多个．

（６）仅当两点连线垂直于已知直线时，存在且唯一．

（７）仅当两点连线平行于已知平面时，存在且唯一．

（８）存在，仅当两点连线不垂直于已知平面才唯一存在．

１３．不对．)0,3,0(-点是他们的交点．推导过程中两直线方程的参数并无特