整除和带余除法

第四编 整除和带余除法
§1 自 然 数
1．1 自然数
① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中 一个小于另一个，或者大于另一个。而且，它们必有其中一个关系。这条性 质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：
1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在 这个集合中，一定有一个自然数最小；
2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且 个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符 合数学严格的关于自然数的公理化定义。做题时需要注意题目中的自然数是何种规定， 例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不 包括 0。（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。 解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。 解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使
2k m 2k1 。
（1.1）
解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，
n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,
可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记
作 k ，则（1.1）成立。否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律
① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然
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数 a,b,c ， （1） 加法有零元“0”， 即 a 0 a; 乘法有单位元“1”，即1 a a ； （2） 加法和乘法有交换律，即 a b b a ， ab ba ；
（3） 加法和乘法有结合律，即 a b c a b c, abc abc ；
（4） 加法和乘法有分配律： a (b c) a b a c 。
② 两个自然数的加法和乘法运算都可以理解为将两个自然数对应于一个自然数的 运算（或操作）。例如，可以将乘法记作*运算，将加法记作&运算，a 和 b 是两个自然数， a b a b ， a & b a b 。加法和乘法的混合运算也可以用符号*和&表示，例如我们
规定*运算优于&运算，则 a 2b a & 2* b。
将乘法和加法理解为某种有规律的运算或操作，这种认识启发我们可以在自然数中 以加法和乘法为基础定义新的运算。
【说明和建议】介绍新的运算的目的是使学生加深对自然数加法和乘法的理解，提 高数学抽象的能力。
例1.4 对自然数 n 规定一种“G”运算：
① 当 n 是奇数时，G(n)＝3n＋1； ② 当 n 是偶数时，G(n)＝ n 持续被 2 整除直到是奇数的商； 将 k 次“G”运算记作 Gk ，请计算 G250 （13）＝？ 解： G(13 ) 40 , G2(13 ) 5 , G3(13 ) 16, G4(13 ) 1, G5 1;，所以， G250 （13）＝1. 【说明】例 1.4 是数论近年来研究活跃的一个猜测的特例，这个猜测是： “对任何非零自然数 n ，均存在一个自然数 k ，使 Gk （ n ）＝1。”
例 1.5 定义一个用符号#表示的运算：
a# b 3 a b b 5
如果有一个自然数 m ，对任何自然数 a ，有 a# m a 或者 m# a a 成立，就称 m 是运算#
的单位元。请回答： 1) 3#7=？ 2) 运算#是否有单位元? 3) 运算#是否有交换率和结合率？
解：
3#7 3 3 7 7 5 446 .
如果运算#有单位元 m ，则应当有等式：
a# m 3am2 5 a ，或 m# a 3ma2 5 a ，
而且要求两个等式中 a 是任意自然数。可以取 a ＝0，这时候得到 5 0 ，这是不可能的。 所以运算#没有单位元。
计算：
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2#1 3 2 11 5 11, 1#2 3 1 2 2 5 17 ，
所以运算#没有交换律。 计算：
1#2& 3 (3 1 22 5)#3 3 17 32 5 464, 1& 2#3 3 1 2#32 5 3 1 (3 2 32 5)2 5 10448.
所以，这个运算没有结合律。
1.3 进位制
① 通常用十个数字 0、1、2、3、…9 记载自然数，这种表示自然数的方法隐含了 十进制，即采取逢十进一的法则记数。
此外，还可以用其它进制表示自然数。设 M （ 0 ）和 L 0 是自然数，若
M an Ln an1Ln1 a1L a0 , an 0 ，
（1.1）
其中，ak k 0,1,2,n 是小于 L 的自然数，Lk 表示 k 个 L 连乘，则称 M an an1a1a0
是 L 进制数。有时候，为了清楚表示 M 是 L 进制数， M 可以记为 M L 。 ② 当 L 10 时，是通常使用的十进制， M L an an1a1a0 时，an 0 ，称为首位，
a0 称为个位， a1 称为十位，依次类推。通常，一个数如无特别说明，是指十进制数。 ③ 利用（1.1）式可以对自然数做不同进位制之间的转换。
【说明和建议】计算机使用二进位制，如果学生有充裕的时间和精力，课外可以学 习一点进位制，扩展与自已生活和学习密切相关的数学知识。本节介绍初步的进位制的 知识，例题则侧重于介绍如何用进位制解答问题，目的是提高学生用数学解决问题的能 力。
例1.6 将 10 进制数 9324 写成 9 进制数。 解：
9324 9 1036 0 9 9 115 1 0 9 9 9 12 7 1 0 9 9 9 9 3 7 1 0
94 3 93 7 92 9,
所以，9324 的 9 进制数是 13710。
【说明】能被 9 整除的自然数，它的 9 进制数的个位一定是零。从（1.1）可以推 断，能被 L 整除的自然数，它的 L 进制数的个位一定是零。
例1.7 在计算机软件中，有一种码是校验码，是用来验证输入的数据是否正确。例 如：一个数据是 9324，输入时为 9324-10，后面的 10 是 9324 的九进制的十位和个位数， 如果录入数据 9324 时，出了差错，就可能不符合后面的校验码 10。10 就称为八进制的 2 位码。小民录入一个 12 进制的数据 4885-A1，A 代表 11。问：小民录入的数据是否正
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