整除和带余除法
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.
如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
为什么?
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x)
g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零.
q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可
由定义不难看出 零多项式被任意一个多项式整除; 零多项式不能整除任意非零多项式; 任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
多项式的整除性和带余除法
带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得
Definition5.(整除的定义)
称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
整除与有余数除法
第二十一讲整除与有余数除法【】同学们，我们在二年级就已经学过“有余数的除法”，下面，向大家介绍整除与有余数除法的基础知识与基本方法。
1、整除：两个数相除时（除数不为0），它们的商是整数。
例如：12÷4＝3我们就说“12被4整除”或“4整除12”。
2、有余数除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
例如：1313÷7＝7我们就说“13不能被7整除”，可写成：13÷7=1……6,我们称6为13除以7的余数，这种带有余数的除法叫有余数除法，可表示为：被除数÷除数＝商……余数.有时为了讨论方便和统一，也将两整数整除时称作余数为零。
3、被除数＝除数×商＋余数4、可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
5、可被3整除的数的特征是：如果一个数的个位数字的各位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
6、可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
7、数的整除有两个简单的性质：（1）如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。
（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
【典型例题】例一、一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是多少仿练一、哪些数除以5，能使商与余数相同例二、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
仿练二、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少例三、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大仿练三、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数与除数；例四、从4,0,5,7四个数中任选三个，组成能同时被2,3,5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况除法是数学中一种常见的运算方法，它可以将一个数平均地分成若干个相等的部分。
在进行除法运算时，我们需要掌握除法的整除和有余数的情况，以便准确地得出计算结果。
一、整除的情况整除是指被除数可以被除数整除，没有余数。
在这种情况下，除法的结果是一个整数。
下面是一个例子：例：36 ÷ 6 = 6在这个例子中，被除数36可以被除数6整除，没有余数，所以结果为6。
当进行整除的除法运算时，除数可以直接整除被除数，得到一个整数结果。
这种情况下，我们不需要进行进一步的计算，直接将商作为最终结果。
二、有余数的情况有余数的情况下，被除数无法完全被除数整除，会有一个余数留下。
在这种情况下，除法的结果是一个带余数的分数或小数。
下面是一个例子：例：17 ÷ 5 = 3 余 2在这个例子中，被除数17除以除数5所得的商是3，余数是2。
这意味着17除以5等于3又2/5。
当进行有余数的除法运算时，我们需要先计算商，并将余数写在分数线上方，除数写在分数线下方，得到一个带余数的分数。
如果需要，我们还可以将这个分数化为小数，得到一个更准确的结果。
无论是整除还是有余数的除法运算，我们都应该遵守一些基本的运算法则。
1. 除法的运算法则（1）左除原则：先除大的数，再除小的数。
例如，16 ÷ 8 与 8 ÷ 16的结果是不一样的。
（2）逐位相除：从高位向低位依次进行相除操作。
例如，124 ÷ 4可以先将百位数除以4，然后再将十位数除以4，最后将个位数除以4。
（3）末尾补零：当除数无法整除被除数时，可以向被除数的末尾补零，使得被除数能够被除数整除。
例如，15 ÷ 4 可以先将15末尾补零变为150，再进行运算。
2. 检验除法运算的结果为了确保除法运算的结果准确无误，我们可以通过乘法来检验结果。
方法是将除数乘以商，再加上余数，得到的结果应该等于被除数。
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
第2讲 整除、带余除法
第2讲 整除、带余除法1、定义：对于整数a 和不为零的整数b ，总存在整数,m n 使得(0)a bm n n b =+≤<,其中m 称为商，n 称为余数，特别地，当0n =时，即a bm =，便称a 被b 整除（也称a 是b 的倍数或b 是a 的约数），记为|.b a2、性质（1）若|,|a b b c ，则|a c ；（2）若|b a ，则|b ka ，其中k 是任意整数；（3）若|,|a b a c ，则|();a b c ±（4）若|a bc 且(),1a c =，则|a b .特别地，若质数|,p bc 则必有|p b 或|p c ；（5）若|,|b a c a 且(),1b c =，则|;bc a（6）若|,|,b a c a 则[],|b c a .其中(),b c 表示,b c 两数的最大公约数，[],b c 表示,b c 两数的最小公倍数，若(),b c =1，则称,b c 两个数互质.3.具有整除性的数的特征.（1）被2整除的数：个位数字是偶数；（2）被3整除的数：数字和被3整除；（3）被4（25）整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除；（4）被5整除的数：个位数字是0或5；（5）被7（或11或13）整除的数：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差（偶数位的数字和与奇数位的数字和的差）能被7（或11或13）整除；（6）被8（或125）整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除；（7）被9整除的数：数字和被9整除.典例分析例题 1 如果五位数1234a 是3的倍数，那么a 是_______________.能力冲浪数．n n+除所得的商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最例题 2 n为正整数，302被()1小值的和是（）A. 148B.247C.93D.1222-1. 整数A除以3余2，除以4余1，那么A除以12的余数是_________________.n+被4除余数是___________________.2-2. 如果2n被4除余数为1，则()252-3.（第14届“五羊杯”）五羊足球学校有3位教练带着学员一起跑步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合起来每5人一行，那么刚好可以跑成一个方阵，已知学员人数约为250左右，那么跑步的人数为（ ）A.230B. 250C. 260D.280例题 3 （第十九届江苏省初中数学竞赛）在0,1,2,3,4，…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )A. 85个B. 68C. 34个D. 17个3-1．（第14届“希望杯”）在1,2,3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）A. 7B. 1C. 3D.例题 4 （第十五届江苏省初中数学竞赛）今天是星期天，从今天起第20001111天是星期_____.4-1. (第14届“五羊杯”) 2002年10月1日是星期二，2008年10月1日是星期__________ 4-2. （第十六届江苏省初中数学竞赛）给出一列数1237,7,7， ，20017，其中末位数是3的有_________个.4-3. （第十八届江苏省初中数学竞赛）设2222=1+2+3++2003,m 今天是星期一，若算为第一天，则第m 天是星期几？。
第十八讲 整除和带余除法
第十八讲整除和带余除法知识网络在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。
如：星期、月份、生肖都是按顺序不断重复出现的。
在数学问题中也会常碰到一些和重复出现有关的问题。
就需要用到有关整除的知识。
1．整除的一些性质（1）可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）可被3整除的数的特征是：如果一个数的各个位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）可被4（或25）整除的数的特征是：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（4）可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）可被8（或125）整除的数的特征是：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）可被9整除的数的特征是：如果一个数各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
（7）可被11整除的数的特征是：如果一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。
（8）数的整除的性质1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
3）如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
2．有余数除法两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
可表示为：（1）被除数÷除数=商……余数（2）被除数=除数×商+余数3．余数的特征（l）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
这个余数也叫做这个数的“弃九数”或“九余数”。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
11整除与带余数除法
第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念，整除理论是初等数论的基础•本章从整除这个基本概念出发，引进带余数除法和辗转相除法，然后建立最大公因数和最小公倍数理论，并进一步证明算术基本定理，所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数［X］及；、X,并利用［x］来说明如何把n!表示成质数幕的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用N +表示全体正整数的集合，用N 表示全体自然数的集合，用Z表示全体整数的集合;并且约定，如果没有特别声明，以后我们用小写的拉丁字母a,b,c,|||或希腊字母川|等表示整数.我们还知道，任意两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整数.那么，什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢？这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设a,b均为整数且b = 0.如果存在整数q使得a二bq ,则称b整除a，或a 能被b整除,记作b a .此时我们也把b叫做a的因数（或约数）,a叫做b的倍数.如果不存在整数q使得a =bq ,则称b不整除a或a不能被b整除,记作b ?a .例如，2 4,（—巧15, 13 182; 5 寣9, 6 44, （ _4）?（—7 ）.应当注意的是,符号ba本身包含了条件a,b^ z,b^0.根据整除的定义及整数的性质，我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立(i) b a= b (-a 启(-b )a= |b a(ii) 若b a, cb,则c a;n,故b L k i a i .id因由b a i 推出存在q (1剟in(iii) b q (1剟i n 戶b 迟k i a i ,其中k 1,k 2^|, k n 是任意整数;i £(iv) ba 二 kb ka ,其中 k^O ;(v) 若 b a,则当 a^O 时 b , a ,当 acb 时 a=0;(vi) 若 a b, b a ,则 a = ±b .证 只证(iii)及(v),其它性质请读者自证.(iii)必要性n n n ,使得 a i=bq i ,于是ka i 二 b^ kq i iA i 4 充分性对每一个i ,取K =1,匕=0 j=i ,得到充分性证明.(v)若b a,则由(i)知 a = b||q .当a 式0时有q T,得b , a .而当a c b 时，有a — b| =|b (|q -1 0 ,此时因b > 0从而必有q = 0,得a = 0.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明：(1) 若 3 a, 5a,则 15a.(2) 设a,b 为非零整数，且存在整数x, y 使得ax + by = 1.则当an, bn 时有ab n.证 不难发现,(1)是⑵ 的特例.(1)由3a 知存在整数q 使a=3q ,所以5 3q .又因5 5q ,依定理1 (iii )得5 2 3q-5q ,即5q .因而依定理1 iv 有15a.(2) 由条件有 n = n ax by [= nax nby ,而 ab na, ab nb ,依定理 1 (iii)得 ab n .根据整除的定义，若整数b = 0,则b的所有倍数的集合是「kb k Z 〉这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素，因而零是所有非零整数的倍数，或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数a的因数.显然_1,_a都是a的因数，a的这些因数称为a 的平凡因数，a的其它因数(如果存在的话)称为a的非平凡因数(或真因数).由定理 1 (v )可知,如果b是a的非平凡因数,则1cbv|a.于是非零整数a的所有因数的集合是一个非空有限集，其元素个数是确定的.例如对于a =12,它的全体因数是：_1,二2, _3, _4, _6, _12,12共有12个因数,其中_2, _3,_4, _6是它的真因数.而对于a =11,它的全体因数是：_1,-11,11共有4个因数,它没有真因数.例2设A二⑹^,川,dj是非零整数n的所有因数的集合，B=卫，卫，川，丄. g d2 dk j 则 A 二B .证对每一个d i E A ,因为d i n ,所以存在整数q使得n = d i q i ,于是—=q是整数,d i且q n,故每一个-都是n的因数.d i又当d i =d j时，---,因此卫二，川，丄是n的k个不同的因数.由于非零整数j d i d j d1 d2 d kn的因数个数是确定的，所以B也是n的所有因数的集合，因此有A二B .例3设n为正整数，求证：23(52^ +2n* +尹).证用数学归纳法证.当n =1时，因为52n 1 ' 2n 4 - 2n J =161 =23 7 ,所以结论成立.假设n二k时，结论成立，即则当n =k 1时,2耳23 52k 1- 2 52k 1- 2k 42k -1=23汇52宀+ 2"52k41 +2kj4+2宀).因为23 23汉5心，23 (5心+2心+2宀),所以这就是说，n二k 1时结论也成立.根据归纳原理,当n为正整数时,23(52n*+2n" +2n* ).例 4 设m,n, p,q 均为整数,证明：若m - p ' mn • pq ,贝U m - p ' mq • np .证注意至卩mq np = m - p q _ n r i mn pq , 由条件(m - p j( mn十pq )及定理1 (iii )即知m 一p " mq np .二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论•对于一般情形，我们有下面的重要定理.定理2设a, b (b = 0)是任意两个整数,则存在唯一的一对整数q,r,使得a =bq +r, 0, r 引耳•(1)证存在性当b 0时，作整数列则a必介于上述数列某相邻两项之间，即存在整数q使得qb, a ■： (q 1)b.令r = a - qb ,则0, r :: b.于是存在整数q,r ,使得a 二bq r, 0, r ：b 二b当b :: 0时，-b 0,由前一情形可知，存在整数q , r,使得a 二_bq r, 0, r 「b 二a=bq+r,O, rc|b|.存在性得证.唯一性若q i,r i也是使得(1)式成立的两个整数,即a =bq g 0, * ：：|b|,贝U bq r = bq r i,因而A—rNq—qjb, |r|—r|c|b|,这就是说b|(r i -r )且|* -r| c|b|.由定理1 (v)知A = r,从而q^ q .唯一性得证.定理2中的q, r分别称为被除数a除以除数b的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知，如果a =bq +r, 0, r c|b|,那么b|a的充要条件是r = 0.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数称为奇数.根据带余数除法定理，我们常将偶数表示成2k(k • Z)的形式，将奇数表示成2k 1或2k -1(k・Z)的形式.例5 证明：当n为整数且n^9q r(0, r :: 9)时,r只可能是0,1,8.证设n = 3q1 r1(0, r1 ::: 3),则n3=(3q rj3=9(3q； 3q：r1 qf) f.根据条件及定理2得q =3q；3q2n qrj, r *.若* =0,则r =0;若「1=1,则r =1;若r^ 2,则r =8.故r只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数，任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数a=2k 1,^2^ 1,则a与b的积仍是奇数.同理可证另一结论例7已知a, b是整数,且a?「4b =1.讨论a, b的奇偶性.解由条件可得a^4b 1,故a必是奇数.设a = 2k T,则a2 -1 b k(k 1).4所以b是偶数.例8以.(n)表示正整数n的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数n,如果d是它的一个正因数，则-也是n的正因数；当且仅当d d 即n二d2时，d与-是同一个数.因此,当n不是完全平方数时n的正因数是成 d d 对出现的，此时，•(n)是偶数；当n是完全平方数时，.(n)是奇数.因为442：：： 2014 ：：： 452,所以在(1 ) , (2D「，( 2中恰有44个奇数，故•⑴• .(2) • |]| (2014)是偶数.例9设f (x^ax2bx c的系数都是整数，且有某一奇数：•，使f G )是奇数.求证：f (x) =0无奇数根.证对任意奇数2k • ：•有f(2k ：)=(a：2 b：c) 2(2k2a 2ka：kb).由于fC 2c为奇数,而上式第二项是偶数,所以f(2k「)是奇数,即f (2k *) = 0.故f (x) =0无奇数根.三能被某些数整除的数的特征a能被b整除的特征就是a能被b整除的充要条件.________________ n为叙述方便,我们引进记号a n a n4H!a1a^ ' a i 10',其中厲(0剟i n)为0,1,1|1,9i =0中的某个数字，且a n = 0.定理3设N =a n a n二川3^0,则（i）N能被2（或5）整除的特征是a。
除法整除和余数的概念
除法整除和余数的概念除法是数学中常见的运算之一，用于计算一个数能被另一个数整除的次数以及剩余的部分。
在学习除法的过程中，我们常常会遇到两个概念，即整除和余数。
本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。
一、整除的概念在进行除法运算时，如果被除数恰好被除数整除，即没有余数，我们就称之为整除。
简而言之，整除就是没有余数的除法运算。
例如，如果我们用8除以2，那么8被2整除，结果为4，没有余数。
在数学符号中，如果a能被b整除，我们可以用a被b整除的形式表示为：a÷b。
在这个表示法中，a是被除数，b是除数，÷表示除法运算，称为除号。
举例来说，8被2整除可以表示为8÷2=4。
除法运算中的整除概念在实际生活中应用广泛。
比如，在分糖果的时候，如果有8个糖果要平均分给2个小朋友，每个小朋友就可以得到4个糖果，没有多余的糖果。
二、余数的概念余数是指在除法运算中，被除数不能整除时所剩下的部分。
简单来说，余数就是除法运算中的剩余部分。
例如，如果我们用9除以4，商为2余1，其中1就是余数。
在数学符号中，我们用r表示余数。
对于除法运算a÷b来说，r表示a÷b的余数。
举例来说，9÷4=2余1，其中2是商，1是余数。
余数在实际生活中也有很多应用。
比如，我们要将13本书平均分给4个人时，每个人能分到3本书，但还剩下1本书无法平分。
三、除法整除和余数的关系在除法运算中，整除和余数是密切相关的。
我们可以通过整除和余数的关系，来描述除法运算的结果。
对于除法运算a÷b来说，可以表示为：a =b ×商 + 余数其中，a表示被除数，b表示除数，商表示整除的结果，余数表示除法运算的剩余部分。
以之前的例子来解释，8÷2=4，其中8是被除数，2是除数，4是商。
根据上述关系式，我们可以得到：8 = 2 × 4 + 0再以9÷4=2余1为例，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。
第一讲：整除,带余除法,辗转
②用1997和57的线性组合表示(1997,57)． ③求1997和57的所有公因数．
公因数概念 公因数性质 辗转相除法
第二节 最大公因数与辗转相除法
任意两组整数，若前一组中任一整数与后一组
中任一整数互质，则 a1, a2 , an 与 b1,b2 , bm
互质
证明：由定理2，知
（a1a2
an
,
b
）
j
(a2
an ,bj )
(an ,bj )
1
（a1a2 an，b1b2 bm ) （a1a2 an ,b2 bm ) （a1a2 an ,bm ) 1
(1) a | b,或b | a
(2)a不整除b，或b不整除a
公因数概念 公因数性质 辗转相除法
a bq1 r1(0 r1 b)
b r1q2 r2 (0 r2 r1 ) rn2 r n1qn rn (0 rn rn1 )
rn1 r n qn1 rn1 , rn1 0
定理5 设a,b是任意两个不全为零的整数， (1) 若m是任意正整数，则（am,bm）=(a,b)m
(2) 若 是a,b任一公因数，则 ( a , b ) (a,b)
| | 特别的 ( a , b ) 1
(a,b) (a,b)
(a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3 , , (dn1, an ) dn
如果存在一个整数q，使得
a bq例例 26的和(因1-6)数，成，2立和-，67的的因关数系。
除法的整除与余数
除法的整除与余数除法是数学中常见的运算方式，它可以通过整除和余数两种方式进行计算。
在进行除法运算时，我们经常会遇到需要求整除和余数的情况。
下面将详细介绍除法的整除与余数的概念、计算方法以及应用。
1. 除法的整除概念除法的整除是指在计算中，被除数能够被除数整除的情况。
当两个整数a和b满足条件a = b ×c（其中c为整数）时，称a能够被b整除，b为a的因数，a为b的倍数。
例如，当计算12 ÷3时，12能够被3整除，因为12 = 3 ×4。
因此，12是3的倍数，3是12的因数。
2. 除法的余数概念除法的余数是指在进行除法运算时，被除数不能被除数整除所剩下的不足一除的数。
余数始终小于除数。
例如，计算13 ÷ 5时，由于5不能整除13，我们需要找到一个最大的整数n，使得13 - 5 × n仍然大于等于5，但小于除数5的值。
而在这个例子中，最大的n为2，即13 - 5 × 2 = 3，因此3是13除以5的余数。
3. 除法的整除与余数的计算方法（1）整除的计算方法：当进行除法运算时，可以直接计算出被除数除以除数的商。
这里以10 ÷ 2为例，可以得出10 ÷ 2 = 5。
（2）余数的计算方法：在进行除法运算时，可以使用带余除法的方法计算余数。
具体步骤如下：- 首先，将被除数除以除数得到商数，记作q。
- 接下来，将商数q乘以除数得到一个中间结果，记作m。
- 然后，用被除数减去中间结果m，得到的结果就是余数r。
例如，计算17 ÷ 3的余数，首先将17 ÷ 3得到商数q = 5，然后计算m = 5 × 3 = 15，最后用17减去15，得到r = 2，因此17除以3的余数为2。
4. 除法的整除与余数的应用（1）在编程中，除法的整除与余数经常被用于判断某个数的特性。
例如，判断一个数是否为偶数，可以使用除以2的余数是0的方式进行判断。
带余除法与整除性判断
带余除法与整除性判断带余除法是一种数学运算方法，用于计算两个数相除的商和余数。
它可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
本文将介绍带余除法的概念和使用方法，并详细解释如何利用带余除法进行整除性判断。
一、带余除法的概念带余除法又称为长除法，是一种将除数逐步从被除数中减去并计数的方法，直到无法再减去时得到的商为止。
在进行带余除法时，除数通常为整数，而被除数可以是任意实数。
二、带余除法的使用方法1. 将被除数写在除号上方，除数写在除号下方。
2. 从被除数中取出与除数位数相同的数字作为第一个除数位数。
3. 判断第一个除数位数能否整除除数，如果可以，则将商写在上方对应位置，否则向后取一位进行下一步计算。
4. 将上一步中得到的商乘以除数，并在下面写出结果。
5. 将上一步中得到的结果减去被除数，并将差写在下方。
6. 重复以上步骤，直到无法再减去被除数为止。
三、整除性判断利用带余除法，我们可以判断一个数能否整除另一个数。
如果在整个带余除法的过程中，被除数始终能够被整除，则被除数是除数的倍数，即可以整除。
如果在带余除法的过程中出现了余数，则被除数不能整除除数。
例如，我们要判断36能否被9整除：1. 将36写在除号上方，9写在除号下方。
2. 取出与除数位数相同的数字3，作为第一个除数位数。
3. 9可以整除3，商为3，将3写在上方对应位置。
4. 3乘以9得27，将27写在下方。
5. 36减去27得到9，将9写在下方。
6. 9可以整除9，商为1。
7. 1乘以9得到9，将9写在下方。
8. 9减去9得到0，此时已无法再减去被除数，整个过程结束。
因此，36能够被9整除。
通过带余除法，我们不仅可以判断整除性，还可以得到具体的商和余数。
这在数学计算和实际生活中都具有重要的应用价值。
综上所述，带余除法是一种实用的数学运算方法，可以帮助我们判断一个数能否整除另一个数。
通过正确运用带余除法，我们能够快速准确地进行整除性判断，提高解题效率。
除法的运算公式(一)
除法的运算公式(一)除法的运算公式1. 基本概念除法是数学中的基本运算之一，在数学表示上用符号”/“表示。
在除法运算中，被除数除以除数得到商。
除法运算可分为整除和带余除法两种情况。
2. 整除运算公式整除是指在除法运算中，除数可以被被除数整除，即余数为0。
整除运算的运算公式如下：被除数 ÷ 除数 = 商例子12 ÷ 3 = 4在上述例子中，12是被除数，3是除数，4是商。
因为12可以被3整除，所以商为4。
3. 带余除法运算公式带余除法是指在除法运算中，除数不能整除被除数，余数不为0。
带余除法运算的运算公式如下：被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数例子17 ÷ 4 = 4 (1)在上述例子中，17是被除数，4是除数，4是商，1是余数。
因为17除以4得到商4余1。
4. 除法运算的特性除法运算具有以下几个特性：交换律除法运算满足交换律，即交换被除数和除数的位置结果不变。
被除数 ÷ 除数 = 除数 ÷ 被除数结合律除法运算满足结合律，即三个数相除结果不变。
(被除数1 ÷ 除数) ÷ 被除数2 = 被除数1 ÷ (除数 × 被除数2)分配律除法运算满足分配律，即两个数相除再加上一个数的结果等于这个数与两个数分别相除后的结果相加。
被除数 ÷ (除数1 + 除数2) = 被除数 ÷ 除数1 + 被除数 ÷ 除数2以上就是除法的运算公式及其特性的介绍。
通过掌握这些公式和特性，可以更好地理解和应用除法运算。
除法的基本概念与运算法则
除法的基本概念与运算法则除法是数学中常见的一种基本运算，用于求取两个数的商。
它与加法、减法和乘法一样，是我们日常生活和学习中必不可少的数学概念和运算法则之一。
本文将深入探讨除法的基本概念和运算法则。
一、除法的基本概念除法是指将一个数（被除数）分成若干个相等的部分的运算。
它包含三个基本要素：被除数、除数和商。
其中，被除数表示要进行分割操作的数，除数表示分割的份数，商表示每一份的数量。
1. 整除和余数在除法运算中，如果被除数能够被除数整除，即除尽，那么我们称这个除法为“整除”。
否则，我们需要在商的基础上补充一个“余数”，表示除不尽的部分。
2. 真除和带余除法对于整除的除法，我们称之为“真除”。
而对于带余数的除法，我们称之为“带余除法”，也可以简称为“除法”。
在带余除法中，商表示除数能够整除被除数的次数，余数表示除不尽的部分。
二、除法的运算法则除法运算中有一些重要的法则和规则，它们有助于我们正确理解和运用除法。
1. 除数不为零在进行除法运算时，除数不能为零。
这是因为任何数除以零均无意义，无法得到确定的结果。
因此，除数必须是一个非零的数。
2. 除法的交换律除法的交换律指的是，被除数与除数的位置交换，所得的商仍然相等。
例如，对于整数a和b来说，a除以b的商等于b除以a的倒数。
3. 除法的结合律除法的结合律表示，当进行连续除法运算时，括号中的表达式可以按任意次序进行计算，所得的结果相同。
这与加法和乘法的结合律类似。
4. 除法与乘法的关系除法与乘法是互为逆运算的运算法则。
我们可以通过乘法运算来检验除法的结果是否正确。
具体而言，被除数乘以除数的商应等于除数。
5. 小数和分数的除法当进行小数和分数的除法运算时，我们可以转化成乘法运算来进行。
具体来说，我们可以通过将除数倒置（取倒数）然后与被除数相乘，得到相应的结果。
除法作为数学中的一项基本运算，被广泛应用于日常生活和各个学科的学习中。
它不仅能够帮助我们解决实际问题，还有助于培养逻辑思维和解决问题的能力。
除法的基本概念和运算方法
除法的基本概念和运算方法除法是数学中一种基本的运算方法，它用于将一个数分为若干等分。
在日常生活中，我们经常会用到除法，比如将一块巧克力平均分给几个人，或者计算一辆汽车跑了多少公里等等。
下面，我们将详细讨论除法的基本概念和运算方法。
一、基本概念除法是一种运算符号，用于表示将被除数被除以除数得到的商。
在除法中，有一些特殊的术语需要了解：1. 被除数：被除数是指被除以其他数的数，也可以理解为要分割的总数。
例如，如果我们将30分给5个人，那么30就是被除数。
2. 除数：除数是用来除以被除数的数，表示分成的份数。
继续上面的例子，5就是除数。
3. 商：商是指除法运算的结果，表示每一份的数量。
在我们的例子中，每个人所得的分数就是商。
4. 余数：余数是指在除法运算中，除完后剩下的数。
如果我们将30分给5个人，每个人分到6分，那么还剩下0分，余数就是0。
二、整除和有余除法在进行除法运算时，有两种情况：整除和有余除法。
1. 整除：当被除数能够被除数整除时，称为整除。
也就是说，除法运算的结果没有余数。
例如，10除以2等于5，没有余数。
2. 有余除法：当被除数除以除数后，有余数时，称为有余除法。
也就是说，除法运算的结果会有余数。
例如，10除以3等于3余1。
三、除法运算方法除法运算中，我们可以使用长除法的运算方法来进行计算。
下面我们以一个例子来说明具体的运算步骤。
例：计算48除以6的商和余数。
解：首先，我们将48写在长除式的上方，将6写在除式下方：______6 | 48接下来，我们需要找到一个数，让这个数乘以除数6后，尽可能接近被除数48。
找到这个数后，我们将其写在商的上方的空格中。
8______6 | 48然后，我们将这个数乘以除数6，并将结果写在第二行下方。
接着，我们用被除数减去这个结果。
8______6 | 48- 48-----由于被除数减去结果等于0，没有余数，因此商为8，余数为0。
四、除法的性质除法运算还具有一些重要的性质：1. 除以0没有意义：我们不能将一个数除以0，因为任何数除以0都没有定义。
除法的规律与概念
除法的规律与概念除法是数学中的一种运算方法，用于求出一个数除以另一个数的商。
除法包括整除和带余除法两种形式。
在解题过程中，我们常常会涉及到四则运算的问题，而除法就是其中一个重要的运算方式。
首先，我们来了解除法的概念。
在数学中，除法是指将一个数分成若干等分的运算，被除数除以除数所得的商就是除法的结果。
其中，被除数是需要被分成若干等分的数，除数是用来分割被除数的数，商则是除法的结果，表示被除数被除数除以除数所得的数量。
在除法运算中，还有一个重要的概念是余数。
余数是指在除法运算中，除不尽的部分，即除法剩下的部分。
当被除数不能整除除数时，会产生余数。
除法有两种常见的形式：整除和带余除法。
整除是指当两个整数相除时，能够整除，即商是整数的情况。
例如，6除以2等于3，商为3，没有余数，这就是一种整除的情况。
另外，当除法运算中存在余数时，就是带余除法。
例如，7除以3等于2余1，商为2，余数为1，这就是一种带余除法的情况。
除法有一些重要的规律，如下所述：1. 任何一个数除以1都等于它本身。
这是因为一个数除以1，相当于将这个数分成1份，每份都是它本身。
2. 0除以任何数都等于0。
这是因为0可以看作没有东西需要分成若干份，所以无论分成多少份，都是0。
3. 如果除数和被除数是同一个数，那么商就是1。
这是因为一个数除以它本身，相当于将这个数分成1份，每份都是它本身。
4. 如果一个正数除以一个比它大的正数，商一定小于1。
这是因为一个正数被一个比它大的正数除，相当于将这个正数分成比它大的数份，每份都小于1。
此外，除法还有一些运算法则值得注意：1. 除法的交换律：a除以b等于b除以a。
例如，4除以2等于2，那么2除以4也等于2。
2. 除法的结合律：a除以b再除以c等于a除以（b乘以c）。
例如，10除以2再除以5等于10除以（2乘以5），结果都等于1。
3. 除法的分配律：a加上b除以c等于a除以c加上b除以c。
例如，4加上6除以2等于4除以2加上6除以2，结果都等于5。
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第四编 整除和带余除法§1 自 然 数1．1 自然数① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中 一个小于另一个，或者大于另一个。
而且，它们必有其中一个关系。
这条性 质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在 这个集合中，一定有一个自然数最小；2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且 个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符 合数学严格的关于自然数的公理化定义。
做题时需要注意题目中的自然数是何种规定， 例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不 包括 0。
（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。
解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。
解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使2k m 2k1 。
（1.1）解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。
而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记作 k ，则（1.1）成立。
否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然第4页 共5页数 a,b,c ， （1） 加法有零元“0”， 即 a 0 a; 乘法有单位元“1”，即1 a a ； （2） 加法和乘法有交换律，即 a b b a ， ab ba ；（3） 加法和乘法有结合律，即 a b c a b c, abc abc ；（4） 加法和乘法有分配律： a (b c) a b a c 。
② 两个自然数的加法和乘法运算都可以理解为将两个自然数对应于一个自然数的 运算（或操作）。
例如，可以将乘法记作*运算，将加法记作&运算，a 和 b 是两个自然数， a b a b ， a & b a b 。
加法和乘法的混合运算也可以用符号*和&表示，例如我们规定*运算优于&运算，则 a 2b a & 2* b。
将乘法和加法理解为某种有规律的运算或操作，这种认识启发我们可以在自然数中 以加法和乘法为基础定义新的运算。
【说明和建议】介绍新的运算的目的是使学生加深对自然数加法和乘法的理解，提 高数学抽象的能力。
例1.4 对自然数 n 规定一种“G”运算：① 当 n 是奇数时，G(n)＝3n＋1； ② 当 n 是偶数时，G(n)＝ n 持续被 2 整除直到是奇数的商； 将 k 次“G”运算记作 Gk ，请计算 G250 （13）＝？ 解： G(13 ) 40 , G2(13 ) 5 , G3(13 ) 16, G4(13 ) 1, G5 1;，所以， G250 （13）＝1. 【说明】例 1.4 是数论近年来研究活跃的一个猜测的特例，这个猜测是： “对任何非零自然数 n ，均存在一个自然数 k ，使 Gk （ n ）＝1。
”例 1.5 定义一个用符号#表示的运算：a# b 3 a b b 5如果有一个自然数 m ，对任何自然数 a ，有 a# m a 或者 m# a a 成立，就称 m 是运算#的单位元。
请回答： 1) 3#7=？ 2) 运算#是否有单位元? 3) 运算#是否有交换率和结合率？解：3#7 3 3 7 7 5 446 .如果运算#有单位元 m ，则应当有等式：a# m 3am2 5 a ，或 m# a 3ma2 5 a ，而且要求两个等式中 a 是任意自然数。
可以取 a ＝0，这时候得到 5 0 ，这是不可能的。
所以运算#没有单位元。
计算：第4页 共5页2#1 3 2 11 5 11, 1#2 3 1 2 2 5 17 ，所以运算#没有交换律。
计算：1#2& 3 (3 1 22 5)#3 3 17 32 5 464, 1& 2#3 3 1 2#32 5 3 1 (3 2 32 5)2 5 10448.所以，这个运算没有结合律。
1.3 进位制① 通常用十个数字 0、1、2、3、…9 记载自然数，这种表示自然数的方法隐含了 十进制，即采取逢十进一的法则记数。
此外，还可以用其它进制表示自然数。
设 M （ 0 ）和 L 0 是自然数，若M an Ln an1Ln1 a1L a0 , an 0 ，（1.1）其中，ak k 0,1,2,n 是小于 L 的自然数，Lk 表示 k 个 L 连乘，则称 M an an1a1a0是 L 进制数。
有时候，为了清楚表示 M 是 L 进制数， M 可以记为 M L 。
② 当 L 10 时，是通常使用的十进制， M L an an1a1a0 时，an 0 ，称为首位，a0 称为个位， a1 称为十位，依次类推。
通常，一个数如无特别说明，是指十进制数。
③ 利用（1.1）式可以对自然数做不同进位制之间的转换。
【说明和建议】计算机使用二进位制，如果学生有充裕的时间和精力，课外可以学 习一点进位制，扩展与自已生活和学习密切相关的数学知识。
本节介绍初步的进位制的 知识，例题则侧重于介绍如何用进位制解答问题，目的是提高学生用数学解决问题的能 力。
例1.6 将 10 进制数 9324 写成 9 进制数。
解：9324 9 1036 0 9 9 115 1 0 9 9 9 12 7 1 0 9 9 9 9 3 7 1 0 94 3 93 7 92 9,所以，9324 的 9 进制数是 13710。
【说明】能被 9 整除的自然数，它的 9 进制数的个位一定是零。
从（1.1）可以推 断，能被 L 整除的自然数，它的 L 进制数的个位一定是零。
例1.7 在计算机软件中，有一种码是校验码，是用来验证输入的数据是否正确。
例 如：一个数据是 9324，输入时为 9324-10，后面的 10 是 9324 的九进制的十位和个位数， 如果录入数据 9324 时，出了差错，就可能不符合后面的校验码 10。
10 就称为八进制的 2 位码。
小民录入一个 12 进制的数据 4885-A1，A 代表 11。
问：小民录入的数据是否正第4页 共5页确？ 解：4885 12 12 2 12 9 11 1 2 123 9 12 2 11 12 1，将 4885 写成十二进制数是 29A1，小民录入的数据“正确”。
【说明】① 严格讲，还不能非常肯定小民录入的数据“正确”。
校验码能判错，不 能百分之百地判“正确”，因为会有两个不同的数据对应于同一个码。
但是，在录入数 据时，录入这种错误数据的可能性太小了，所以，可以认为小民录入的数据“正确”。
② 用 L 进制表示一个自然数，当 L >10 时，10 个数码 0、1、2、…、9 就不够用了，我 们可以用一些符号来代表大于 9 的“数码”。
例如：在例 3.7 中，就是用 A 代表 11。
例 1.8 一个细长圆柱，等分为 5 节，用红、黄和蓝色涂每节。
问：可以得到多少种 颜色不同的圆柱？（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试第 3 题）解：等分的 5 节，涂有 3 种颜色，红色用 0 代表，黄色用 1 代表，蓝色用 2 代表， 则每个涂色的圆柱对应一个“5”位的数。
例如：如果圆柱的 5 节涂色是黄、红、黄、 蓝和蓝，则对应的“5”位数是 10122，如果圆柱的 5 节涂色是红、红、蓝、黄、蓝和蓝， 则对应的“5”位数是 00212。
所以，每种涂法可以看做一个三进制的数，最多是 5 位。
最大的三进制的 5 位数是 22222，化成十进制的数是234 233 232 23 2 242， 加上 5 节均涂为红色的圆柱，用 00000 代表，可以看做是数 0。
所以，如果用三进制的 数代表涂色的圆柱，则共有 243 个三进制的数。
现在，我们将不超过 5 位的三进制数一律认为是 5 位的三进制数，例如：102 可以 被认为是 00102，只是第 4 位和第 5 位是 0。
这时候，102 的 5 位反序数就是 00102 的 反序数，即 20100。
102 和 20100 是 5 位的互为反序数。
由于棒的规格相同、均匀，是在等分的 5 节上涂色。
因此，将一个涂过色的棒倒转 180 度，它可能与另一个棒的涂色完全相同。
这种对称的性质反映在三进制数上，则是 表示一个三进制的数等于它的 5 位的反序数。
也就是，在 243 个三进制数中，如果两个 三进制数是 5 位的互为反序数，则它们代表相同的涂法。
但是，在这 243 个三进制数中， 会有一些数和它的 5 位的反序数相同。
例如：12021 的反序数也是 12021，1010 的五位 的反序数也是 1010。
从右向左计算，一个位数不超过 5 位的三进制数如果和它的 5 位反 序数相同，第 1 位一定和第 5 位相同，第 2 位一定和第 4 位相同。
所以，一个数如果和 它的反序数相同时，只有 3 位可以取 0,1 和 2，即在 243 个三进制数，共有 333 27 个数和它的 5 位反序数相同。
在 243 各三进制数中，有 243－27 个和它们的 5 位反序数 不同，而且，一对 5 位的互为反序数代表相同的涂法。
所以，可以得到不同的涂法共有 243 27 2 27 135 种涂法。
例 1.9 一块圆形的纸片分成 4 个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形， 如果两种涂法经过旋转后，圆形纸片的染色相同，则认为是相同的涂法。
问共有几种不 同的涂法? （第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第 6 题）第4页 共5页解：若涂红色用 1 代表，涂黄色用 0 代表，固定圆形纸片中某个扇形为起始位置， 则如同例 1.8，涂上颜色的圆形纸片可以用二进制数表示，位数不超过 4 位，共有 16 个。
两种涂法经过旋转后，如果圆形纸片的染色相同，则代表这两种涂法的两个二进制 的 4 位数是同在一组 4 位的旋转数内。