2020年湖南省长沙市一中高三第1次月考 理科数学(含答案)

!一"必考题#共6$分! !4!!本小题满分!#分"
已知+"%/ 的内角"%%%/ 的对边分别为&%(%)%满足885522%".(& &#()且
(&)! !!"求角 %, !#"求+"%/ 周长的最大值!
数学!理科"试题!一中版"!第!'页!共"页"
!"!!本小题满分!#分" 已知四棱锥 1/"%/. 的底面"%/. 是等腰梯形% "%//.%"/$%.&0%1%0"/%1"&1%&"%& #/.&#槡#%"/&'! !!"证明#平面 1%.0平面 "%/., !#"点3 是棱1/ 上一点%且03/平面1".%求二面 角3/0%/" 的正弦值!
学!号!
姓!名!
" "
炎德英才大联考长沙市一中#$#$届高三月考试卷!一"
"
"
" "
数!学!理科"
"
" "
长沙市一中高三理数备课组组稿
" "
时量#!#$分钟!!!满分#!%$分
" "
得分!!!!!!
"
"
" "
一$选择题#本大题共小题%每小题分%共分!在每小题给出的四
"
个选项中%只有一项是符合题目要求的!
% *
#'4,6$
槡"!234($
0 *
#4,6($(4,6234$
!( (0 *!故
选 1! *!7!解析-($(%0 #(#'$.3/%"8'.3/%9$(#)$.3/0(0'.3/0":'(#'(最小#
-'$.3/%"8$"+.3/%:#)$.3/0(0$"+.3/0:#-.3/0:#.3/%:#''')!故选 7!
!%# $%#
为有理数% 为无理数%则关于函数*!#"有以下五个命题#
)#%%*!*!#""&!,
*#%$%%*!#.$"&*!#".*!$",
函数*!#"是偶函数,
函数*!#"是周期函数,
函数*!#"的图象是两条平行直线!
其中真命题的个数是
(!%
*!)
+!'
,!#
!#!已知三棱锥 ./"%/ 的四个顶点在球0 的球面上%若 "%&"/&%/&
,!##)%
"
" "
'
%!设&&051'!"%(&051)#)%)&#) %则&%(%)的大小关系是
"
(!&&(&)
*!&&)&(
+!(&)&&
,!)&(&&
" "
6!函数*!#"& !'#.'/# "03###的图象大致为
"
"
"
"
"
"
"
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"
"
"
"
"
班!级!
学!校!
数学!理科"试题!一中版"!第! 页!共"页"
物%甲同学喜欢牛和马%乙同学喜欢牛$兔$狗和羊%
丙同学哪个吉祥物都喜欢%如果让三位同学选取的
礼物都满意%那么不同的选法有
(!%$种
*!6$种
+!4$种
,!7$种
! " 7!将函数*!#"&#2-3 ##/6 /!的图象向左平移6个单位长度得到函数
-!#"的图象%则下列说法正确的是
(!函数-!#"的最小正周期是#
:!7!解析函数*#是偶函数#当#(&#"时#*##&#故选 7!
;!1!解析程序的功能是计算+$"4,6
(
+%4,6%(+*4,6*(+;4,6;(+($"!%+*!;+(#
而"&"$"+*&5($"!%+*!;+9+(!"99+(&"#
,$(&"+($(&%#故条件为,'(&()#故选 1!
数学!理科"试题!一中版"!第!4页!共"页"
!二"选考题#共!$分!请考生在##$#'两题中任选一题作答%如果多做%则按 所做的第一题记分!
##!!本小题满分!$分"选修)/)#坐标系与参数方程 在极坐标系中%曲线/ 的极坐标方程为&6852!以极点为原点%极轴为 # 轴 的 正 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系%直 线 : 的 参 数 方 程 为
!6!若)2%!$%9"%*#!%##%!$%9"且#!.##%使 得 !2/槡#"#.#&&#!/ 03#!&&##/03##%则实数&的取值范围是!!!!!!9为自然对数的底 数"
三$解答题#本大题共4$分!解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤!第 !4#!题为必考题%每个试题考生都必须作答!第##$#'题为选考题%考 生根据要求作答!
取%1 的中点2#连接$2#02#则$2)%1#02)%1#
数学理科试题参考答案一中版!" !
分别取*$%1 与*0%1 的外心3#4#分别过3#4 作平面$%1 与平面0%1 的垂线# 相交于5#则5 为四面体$!%10 的球心#
8!1!解析如果同学甲选牛#那么同学乙只能选兔*狗和羊中的一种#丙同学可以从剩下的"&种中任意选#
'选法有 1"%$1""&$%&种+
如果同学甲选马#那么同学乙能选牛*兔*狗和羊中的一种#丙同学可以从剩下的"&种中任意选#
'选法有 1"0$1""&$0&种#
'不同的选法共有%&+0&$;&种!故选 1!
小斜幂乘大斜幂 减 上%余 四 约 之%为 实!一 为 从 隅%开 平 方 得 积!*如 果 把
槡 - ! "0 以上这段文字写成公式就是+&
! )
&#)#/
&#.)#/(# #
#
%其中&%(%
)是+"%/ 的内角"%%%/ 的对边!若2-3/&#2-3"852%%且(#%#%)# 成
等差数列%则+"%/ 面积+ 的最大值为!!!!!
#'函数-!#"在
# :(
上单调递减#'选项 1正确+
-函数-!#"在 &#:
上单调递增#'-!#"#-
:
$"#即函数-!#"在 &#:
上没有最大值#'选项 7 错
误!故选 1!
"&!#!解析在函数*!#"$.6#
上的切点设为!##""#根据导数的几何意义得到
" "
(!#/-
*!/!.#-
+!/!/#-
,!/#.'-
" '!设#%%则)##&!*是)01#&$*的 "
"
(!充分不必要条件
*!必要不充分条件
" "
+!充要条件
,!既不充分也不必要条件
" "
)!已知向量&!!%$"%&!/'%)"的夹角为%则2-3#等于
" "
(!/#4%
*!#4%
+!/##)%
数学!理科"试题!一中版"!第!)页!共"页"
!7!!本小题满分!#分"
如图%在平面直角坐标系#0$ 中%椭圆 /#
## &#
.$(##
&!!&'('$"的
左$右
焦
点
分
别
为
4!%4#%1 为椭圆/ 上一点%且 14# 垂直于
# 轴%连结14! 并延长交椭圆于另一点 5% 设1-,5&4-!,5!
&#&#.6852%!6为参数"!
$&/!.62-3 !!"若&#%求曲线/ 的直角坐标方程以及直线:的极坐标方程, !#"设点1!#%/!"%曲线/ 与直线:交于"%% 两点%求#1"##.#1%## 的
最小值! #'!!本小题满分!$分"选修)/%#不等式选讲
已知*!#"&###.##.##/!#的最小值为6! !!"求6的值, !#"若实数&%(满足#&#.#(#&6%求&!#.()# 的最小值!
#
!$$
!%$
#$$
'$$
)%$
6
7$
6%
)%
'$
#$
!!"若从以上五家)农家乐*中随机抽取两家深入调查%记为)入住率*超
过$!6的农家乐的个数%求的概率分布列, !#"令'&03#%由散点图判断7$&7(#.7& 与$7&7('.7& 哪个更合适于此模
型!给出判断即可%不必说明理由"+ 并根据你的判断结果求回归方
- " ! " $%'#
时%*!#"&/##%则*
!! #
&
!!!!!
!)!已知+"%/ 是等腰直角三角形%#"/#&#%/#&!%/-,1&#!/-,"./-,%"%则
"-,1(%-,1&!!!!!
!%!秦九韶是我国南宋著名数学家%在他的著作.数书九章/中有己知三边求
三角形面积的方法#)以小斜幂并大斜幂减中斜幂%余半之%自乘于上!以
程,!7&%7(的结果精确到$:!"
!'"根据第!#"问所求的回归方程%试估计收费标准为多少时%!$$天销售
额8 最大+ !!$$天销售额8&!$$;入住率;收费标准#"
9
参考数据#7(&,2&!#9,$,/9#($%7&&$/7((#%#&#)$%2%#,#&'6%$$$%
2#,#/9##
,&!
,&!
.%&./&!%当三棱锥 ./"%/ 的体积取到最大值时%球0 的表面积为
(!%'
*!#
+!%
,!#$'
数学!理科"试题!一中版"!第!#页!共"页"
二$填空题#本大题共)小题%每小题%分%共#$分!把各题答案的最简形式 写在题中的横线上!
!'!已知定 义 在 上 的 奇 函 数 *!#"满 足 *!#.'"&*!#"%且 当 #%
*!函数-!#"的图象关于直线#&/!#对称
! " +!函数-!#"在
% 6#
上单调递减
! " ,!函数-!#"在 $%6 上的最大值是!
!$!若*!#"&03# 与-!#"&##.'#.& 两个函数的图象有一条与直线$&# 平行的公共切线%则&&
(!/!
*!$
+!!
,!'
Байду номын сангаас
& !!!设函数*!#"&
4!运行如图所示的程序框图%若输出的+ 的值为!$!% 则判断框中可以填
(!,'#$$+
*!,(#$!+
+!,'#$#+
,!,'#$'+
"!中 国 有 十 二 生 肖%又 叫 十 二 属 相%每 一 个 人 的 出 生
年份对应了 十 二 种 动 物 !鼠$牛$虎$兔$龙$蛇$马$
羊$猴$鸡$狗$猪 "中 的 一 种!现 有 十 二 生 肖 的 吉 祥 物各一个%甲$乙$丙 三 位 同 学 依 次 选 一 个 作 为 礼
9!1!解析-!#"$(4,6
(#+
:
!"#最小正周期.$(($#'选项 ) 错误+
当#$!"(时#- !"( $!"#即函数-!#"的图象关于点 !"(#!" 对称#'选项 #错误+
当#(
# :(
时#(#+ : (
#; (:
! " !!"若点1 的坐标为 !%'# %求椭圆/ 的方程,
!#"若'11)%求椭圆/ 的离心率的取值范围!
数学!理科"试题!一中版"!第!%页!共"页"
#$!!本小题满分!#分" 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色)农家乐*%为 了确定未来发展方向%此创业者对该景区附近五家 )农家乐*跟踪调查了 !$$天%这五家 )农家乐*的收费标准互不相同%得到的统计数据如下表% # 为收费标准!单位#元1日"%6为入住天数!单位#天"%以频率作为各自 的 )入住率*%收费标准# 与)入住率*$ 的散点图如图!
密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
" " !!已知集合"&&!#%$"#$&#''%%&&!#%$"#$&#'%则"$% 的元素个数是
" "
(!)
*!'
+!#
,!!
" #!已知-为虚数单位%&%%若复数'&&.!!/&"-的共轭复数'在复平面内
"
"
对应的点位于第一象限%且'('&%%则'&
-&在复平面内对应的点位于第一象限#'&$(!,!故选 )!
%!#!解析-#(#"$!"###"#./##&$&###"#&###"%!"###"#!"###"%%&###"#
'&#(#"'是&./##&'的必要不充分条件!故选 #!
0!1!解析-234$&&$ $&&$ !"%5*$ !
数学!理科"试题!一中版"!第!"页!共"页"
炎德英才大联考长沙市一中届高三月考试卷!一"
数学理科参考答案
选择题
"!#!解析由幂函数"$#%#"$# 的图象可以知道#它们有%个交点!!"#!""#!&#&"#!"#""#
'集合$"% 有%个元素!故选 #!
(!)!解析由&$&$*可得'(+!"!'"($*#解得'$!"或'$(#'&$!"+(,或&$(!,#
%
%
%
2#,$,&)%4!%%'3%!'%%'#3#"!%4%2',#3!))!#)%2',$,3!#!4#%9%
,&!
,&!
,&!
3!%$%9%!)3##$!
数学!理科"试题!一中版"!第!6页!共"页"
#!!!本小题满分!#分" 已知函数*!#"&#03!#.&".!!&&$"! !!"若函数*!#"在定义域上为增函数%求&的取值范围, !#"证明#*!#"&9#.852#!
" #
$"%#$"#
故切点为!"#&"#可求出切线/的方程为"$#!"#
因为直线/和-!#"$#(+%#+'也相切#从而#(+%#+'$#!"#
化简得到#(+(#+'+"$&#只需要满足$0!0!'+""$&#所以'$&!故选 #!
""!#!解析为真命题#故选 #!
"(!)!解析如图#当三棱锥 0!$%1 的体积取到最大值时#则平面$%1 与平面0%1 垂直#