第七节 无穷小量的比较
七节无穷小的比较-精品
lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim
lim
1
0，
因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
第七节无穷小比较
lim
x0
2
x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则 例如,
lim ( x) lim ( x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例2. 求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解: 原式
x 1 x2
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1 )
～
定理1. ～ 证: ～
o( )
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o( ), 即 o( )
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x , 故
tan x x o( x)
lim x0
2 x3
原式
lim
x0
x
x3
x
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
1
例3. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsinx ~ x
tan x ~ x
x0
x
解
m 1 ax n 1 bx lim
x0
x
lim (m 1 ax 1) (n 1 bx 1)
x0
x
lim m 1 ax 1 lim n 1 bx 1
x0
x
x0xBiblioteka lim1 ax m lim
第七节无穷小量与无穷大量05638
(x)与 (x) 是等价无穷小量. 记作: (x) (x) (3) 如果 lim (x) , 则称 (x)是比 (x)
(x)
低阶的无穷小量.
(4) 如果
lim (x) c 0 [ (x)]k
(k 0), 则称
(x)是 (x) 的 k 阶无穷小量.
1
.(05年考研真题4分)
解
lim x sin
x
2x x2 1
lim x
x
2x x2 1
lim
x
2x2 x2 1
2.
若
lim
x0
sin x ex a
(cos x
b)
5,
则
a
,b
.
解 因limsin x(cos x b) 0 故 lim(e x a) 0 a 1
(x)
lim
(x) (x)
lim f (x)g(x) lim (x)g(x) lim f (x) (x) lim (x) (x)
证 lim f (x) lim f (x) (x) lim (x) .
g(x)
(x) g(x)
g(x)
本性质只适合乘除,对加减失效.
{yn}: 1, 2, 3, 4, , (1)n1n,
显然, n 时, xn , yn . 此时
{xn yn}: 0, 0,, 0, 不是无穷大量
{xn yn}: 2, 4, 6, 8, 是无穷大量
例11 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？
(2)谈无穷大量时指明自变量变化过程. (3)区分无穷大量与一个非常大的数.
高数无穷小量的比较
sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
无穷小的比较
教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定理4：设函数 在点 连续，且 ，函数 在 点连续，那么，复合函数 在点 处连续。
注3：定理3、4说明 与 的次序可交换。
注4：在定理3中代入 ，即得定理4。
【例1】 由于 （ 为正整数）在 上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在 上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数 （ 为正整数）在定义上是连续的。
综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1：定义区间为包含在定义域内的区间；
2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】 。
【例4】 。
【例5】
。
三、课堂练习：
四、布置作业：
定理2（反函数的连续性）：如果 在区间 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数 也在对应的区间 上单值，单增（减），且连续。
注1： 亦为 的反函数，如上知： 在 上有上述性质。
定理3：设 当 时的极限存在且等于 ，即 ，又设 在 处连续，那么，当 时，复合函数 的极限存在，且等于 ，即 。
注2：可类似讨论 时的情形。
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
无穷小量的比较
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
x3
目录
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退 出
tan2 2 x 例３ 求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
o()，即 o()．
o( ) o( ) lim （１＋ ） 1， lim lim ~ ． 目录 上一页 下一页 退 出
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 1 2 例如, 当x 0时, sin x ~ x , 1 cos x ~ x . 2 sin x x o( x ), 1 y x2
第七节无穷小的比较
x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
(3) 如果 lim 1 , 则称 与 是等价的无穷小;
记作 ~ ;
结论：设与是两个无穷小，则
~ o( ).
例如 sinx x o( x)
( x 0).
证： ~ lim 1 x
证： ~ lim 1 x
lim x
1
0
证： ~ lim 1 x
x0
sin 3x
解 原式 lim tan 5x (1 cos x)
x0
sin 3x
lim tan5x 1 cos x x0 sin 3x sin 3x
lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3 x x0 sin 3 x
lim
5
x
lim
1 2
x
2
5.
x0 3x x0 3x 3
例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
7无穷小量的比较
例1
x → 0 时的几个无穷小量的比较：
2
x (1) lim x→0 x 1 − cos x (3) lim x →0 sin 2 x
1 x sin x (5) lim x →0 x
( 2)
sin x + 2 x lim x →0 x
(4)
sin x lim x →0 x
1 − cos x (6) lim 2 x→0 x
备用
1 − cos(1 − cos 2 x) 求 lim . 4 x →0 x
x2 由 1 − cos x ~ ( x → 0), 得 2
等价无穷小替代
解
1 − cos(1 − cos 2 x) (1 − cos 2 x) 2 lim = lim 4 x →0 x →0 x 2 x4
(2 x) 2 = lim x →0 2x4
定理2. 定理 证:
～ ~
β = α + o(α) β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
~
tan x~ x , 故
x →0 时 ,
tan x = x + o(x)
= 1−1 = 0 .
例12
当 x → 0 时,
3 2
3
5 x 2 − 5 x 3 是 x 的几阶无穷小量?
2 3
解
5x − 5x = x
3
3
5 − 5x ,
f (x) lim k = C x
由于
lim
x →0
x
2 3
1-7无穷小比较
第七节 无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小， 三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明： 四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限： 二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a
第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点
第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。
理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间 上连续的概念。
了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
㈡本课的重点、难点重点是利用等价无穷小求极限，难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。
㈢教学内容第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如：02cos 11sin sin limlimlim2=-=∞=→→→xxxxx xx x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。
差不多与快，而比x x x x sin sin 02→。
另根据常识，当x 很小时（1<<x ），计算1002)(x x x f +=的函数值，可以忽略100x而用2x 的值来近似它，这是因为当x 很小时，100x 值比2x 的值小的多，可以“忽略不计”。
换句话说，当x 趋于零时，100x趋于零要比2x 趋于零的“速度”快得多。
这个简单的例子说明，研究无穷小趋于零的“快慢”程度是必要的，无穷小趋于零的“快慢”可用无穷小之比的极限来衡量。
定义 设α和β为)(0∞→→x x x 或时的两个无穷小量，如果)(0limαβαβαβ==高阶的无穷小，记作是比，则称 如果低阶的无穷小是比，则称αβαβ∞=lim如果)(0(0lim αβαβαβ=≠=是同阶的无穷小，记作与为常数），则称c c ，特别地c=1，则称β与α是等价无穷小，记作β～α。
如果0,0lim>≠=k c kαβ，就说β是关于α的k 阶无穷小。
例 是同阶无穷小与x x xxx x 5sin 55sin 0lim=→→，2)1()1tan(2331lim=--→x x x ，3)1tan(2-x 是当1→x 时1-x 的三阶无穷小。
xx xx e x x x x x x x x ~sin 2,11,1,2),1ln(,cos 1,tan ,sin ,02都是无穷小量，且时，-+-+-→)0(~11,2~11,~1,~)1ln(,2~cos 1,~tan 2→-+-+-+-x mxx x x x e x x x x x x m x *等价无穷小在理论和应用上都很重要，等价无穷小有下列性质：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ +=。
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
无穷小比较.ppt
解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x x3
sin
x
.
解: 原式
lim
x0
x
1 2
x
2
x3
原式
lim
x0
x x3
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
常用等价无穷小 当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
则
~
,
且
lim
lim
,
但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
并有 从而
无穷小的比较
~ o( )
例 求 lim tan5x cos x 1
同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较 PPT
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
第1章极限第7节--无穷小量阶的比较
所以
x x0
lim
f ( x) g ( x) g ( x) lim[1 ] 1 1 0 ． x x0 f ( x) f ( x)
即 f ( x) g ( x) o( f ( x)) ( x x0 ) ． 定理 17 设函数 f ( x) 与 g ( x ) 在 x x0 时是等价无穷小量， 函数 h( x) 在 x0 的某去心邻域
且 lim
x x0
h( x ) f ( x) 1 ，所以 A ， lim x x 0 g ( x) f ( x)
x x0
lim
h( x) h( x) f ( x) lim A 1 A ． x x 0 f ( x) g ( x) g ( x)
定理 17 中的结果通常称为极限运算中的等价无穷小代换法． 简单地说就是： 在极限运算中， 乘法因子和除法因子可以用它们在同一个极限过程下的 等价无穷小代替． 前面我们已经得到了当 x 0 时，有 sin x ~ x ，1 cos x ~
a
lim
ea ln(1 x ) 1 a ln(1 x) = lim =a ． x 0 x 0 x x
x 0 时的 2 阶无穷小量．
例 1
证明：如果在自变量 x 的某个趋向下， f ( x) 与 g ( x ) 是等价无穷小量，那么
f ( x) g ( x) 是 f ( x) 的高阶无穷小量．
证
不妨假设自变量的趋向是 x x0 ．
根据题设可知
x x0
lim
g ( x) 1， f ( x)
仿．lim
x0
1 cos x 0 说明当 x 0 时， 1 cos x 的值要远远小于 ln(1 x) 的值，前者趋向于 0 ln(1 x)
高数教案_无穷小比较7
课 题: 无穷小量的比较 目的要求：了解高阶，同阶，等价，k 阶无穷小量的定义熟练掌握等价无穷小量的应用掌握x 0时，常用的等价无穷小量 教学重点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学难点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学课时： 2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：无穷小的比较：同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度不一相同，我们用两个无穷小量的比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度。
同时，研究这个问题能得到一种求极限的方法 一般, 无穷小量的商有下列几种情形设α(x )与β(x )是同一极限过程中的两个无穷小量：lim α(x )=0, lim β(x )=0. 定义 设lim α(x )=0, lim β(x )=0. ()(1) lim0,()x x αβ=若则称α(x )是比β(x )高阶的无穷小量, 记作, α(x )=o (β(x )) 或称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量, ()lim()x x βα=∞若,则称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量.()(2) lim,(0)()x A A x αβ=≠若，则称α(x )是β(x )的同阶无穷小量，记作, α(x )=O (β(x ))，特别的，当A=1时，则称α(x )与β(x )是等价无穷小量，记作：α(x )~ β(x ) 例如，0sin lim1x xx→=即sin ~(0)x x x →；201cos lim 12x x x →-=即21cos ~(0)2x x x -→． 定理 设(1)~,~a a ββ''；(2)lim(),A a β'=∞'或 则limlim()A aa ββ'==∞'或．证：limlim lim lim lim lim ().a a A a a a a a a ββββββββ'''''⎛⎫==⋅⋅==∞ ⎪'''''⎝⎭或 推论：设~,~a a ββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大，则：''()lim f x αβ=()lim f x αβ推论：设~a a ',若lim ()f x α存在或为无穷大，则：'lim ()f x α= lim ()f x α 总结：无穷小量的运算过程中，运算式先化为乘积形式，再用等价无穷小量去代换。
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第七节 无穷小的比较
教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==⋅=-→→n
m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）
可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i) 若0lim
=α
β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α
βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α
β，，就说β是比α同阶的无穷小；
(iv) 若1lim =α
β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。
【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。
注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，
因为)(⋅o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；
2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~⇒；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x
x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2
01sin
lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及∃'
'αβlim ，那么αβαβ
''
=∃lim lim 。
【例2】 求x x
x 20sin cos 1lim -→。
解：因为当0→x 时，x x ~sin
所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-
=-→→x x
x x x x 。
【例3】 求x x x
x 22arcsin lim 20+→
解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，
所以 原式122
22
lim 22lim 020==+=+=→→x x x x
x x 。
7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：
221
~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -；
8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！
二、课堂练习：
三、布置作业：。