力对点的矩与力对轴的矩
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
力偶矩与力矩的区别和联系
力偶矩与力矩的区别和联系答案：一、作用不同：力矩是力对物体产生转动作用的物理量。
可以分为力对轴的矩和力对点的矩。
即：M=LxF。
其中L是从转动轴到着力点的距离矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
力偶是作用于同一刚体上的一对大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力。
二、含义不同：力偶矩为“力偶的力矩”的简称，亦称“力偶的转矩”。
力矩与力偶矩的联系是物体旋转的作用。
扩展：力矩：力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的大小为该点到力的作用线所引垂线看长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
力矩的计算公式为M=F*L，公式当中M表示的是力F对于转动轴O的力矩，只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力矩，反之则称为负力矩。
力偶距：由两个大小相等方向相反的平行力所组成的二力称为力偶，记为（F,F,），力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂，记做d。
力偶不能合成为一个力，也不能通过一个力进行平衡，或是用一个力进行等效替换。
力偶可以使物体转动以及改变物体转动的状态。
力偶对物体的转动效果与力矩对物体的转动效果相同，力偶对物体的作用效应可以通过力偶距来进行衡量。
力偶距的计算可以通过力与力偶臂的乘积得到，计算公式为M=F*d。
只要是使物体产生逆时针方向转动效果的，称为正力偶矩，反之则称为负力偶矩。
力矩和力偶距的异同共同点：单位统一,符号规定统一。
差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。
2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力偶。
理论力学常用公式
1-5
物体的受力分析方法
1) 取研究对象。将所研究部分的周围约束去掉，并从整体中分离出来； 2) 受力分析。根据外加载荷和约束性质判断并确定作用在物体上有几个力，哪些是主动力，
哪些是约束力，并判断各力的作用线、方向、大小； 3) 画受力图。在分离体上逐一画出作用于其上的全部力（包括主动力和约束力）。
1= 2= 2
2
1
1
4
2-2
点的合成运动
1. 三种运动 1) 绝对运动：动点相对于定参考系的运动； 2) 相对运动：动点相对于动参考系的运动； 3) 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。 物体的绝对运动可以看成是相对运动和牵连运动合成的结果。绝对运动和相对运动都是 指点的运动，牵连运动是指动系的运动，所以牵连运动是刚体的运动。
2
=；
全加速度： = 2 + 2。
2. 刚体平移 定义：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在每一瞬时，各点的速度和加速度相同。 一点的运动可以代表整个刚体的运动。
3. 刚体定轴转动 1) 定义：刚体运动时，如果其上的一条直线保持不动，则称刚体作定轴转动。不动的 直线段称为转动轴或转轴。 2) 运动特征：刚体定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内绕转轴做圆周运动。 3) 定轴转动的运动描述 a) 运动方程： =
b) 角速度： =
2
c) 角加速度： = = 2
4) 定轴转动刚体内各点的速度和加速度 a) 转动半径：任意一点到转轴的距离。
速度大小为： = = =
b) 速度的方向：垂直于转动半径，指向与角速度 的转向一致。
切向加速度的大小： = = =
c) 切向加速度的方向：方向垂直于转动半径，指向与角加速度 的转向一致。
力矩 力偶系
M （ F） rAO F x O
i
j y
k z
Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx ) k
结论：力矩矢在坐标轴上的投影 M 0 (F ) x M x (F ) M 0 (F ) y M y (F ) M 0 (F ) z M z (F )
§ 3-2 力偶及其性质 力偶系的合成与平衡 一、力偶( F , F)
由大小相等,方向相反而不共线 的两个平行力组成的力系。
F d
B A
F= - F
F´
力偶只能使物体发生转动， 不引起移动。
二、力偶矩
F
1、平面力系：
d
A
B
m = ±Fd
正负号的规定： 力偶使物体逆时针转为 + 力偶使物体顺时针转为– 2、空间力系：力偶矩是一个矢量
m
F´
M
A F
M rBA F
rBA
F´
B
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，因此力偶没有合力，也不能
用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效,也只能与力 偶平衡。
2、力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和（代数和） 等于该力偶矩 ,而与矩心的选择无关。
m mo(F) +mo(F´) = rB0×F + rA0× F´ = rBA×F
d
a
Fxy b
z
结论:
F
B
(a) 当力的作用线与轴平行或相交，
A
即力与轴位于同一平面时力对轴
之矩等于零；
o
(b) 当力沿其作用线移动时力 矩不变。
力矩力偶
力偶系的合成和平衡
空间力偶系的合成：
M Mi
M x M xi M y M yi M z M zi
合力偶矩的大小：
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
合力偶矩矢的方向：
cos(M , i )
M x
cos(M ,
MO (F) = MO (F cos)+MO(F sin )
例题 1
如 图 所 示 圆 柱 直 齿 轮 ， 受 到 啮 合 力 Fn 的 作 用 。 设 Fn=1400N。压力角α=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60
mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。
解： 计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
其力偶矩矢为：
解得
FA
M1 r sin 30
再取摇杆BC为研究对象：
∑M = 0：
M 2 FA
r
sin
0
其中 FA FA
解得 M2 4M1 8 kN m
FO
FB
FA
M1 r sin 30
8
kN
例题 4
图示三角柱刚体是正方体的一半，其上作用着三个力偶。已知力 偶（F1，F1）的矩 M1= 20 N·m；力偶（F2， F2）的矩 M2= 20 N·m；力偶（F3，F3）的矩 M3= 20 N·m，试求合力偶矩矢 M。 又问若要使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶？
0
0l
3
力偶及其性质
力偶及其性质
1. 力偶与力偶矩 2. 力偶等效定理 3. 力偶系的合成和平衡
力偶的实例
物理力矩的概念
物理力矩的概念力矩(torque)：力(F)和力臂(L)的叉乘(M)。
物理学上指使物体转动的力乘以到转轴的距离[1]。
即：M=L×F。
其中L是从转动轴到着力点的矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。
力矩的量纲是距离×力；与能量的量纲相同。
但是力矩通常用牛顿-米，而不是用焦耳作为单位。
力矩的单位由力和力臂的单位决定。
力对物体产生转动作用的物理量。
可分为力对轴的矩和力对点的矩。
力对轴的矩是力对物体产生绕某一轴转动作用的物理量。
它是代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的分力同此分力作用线到该轴垂直距离的乘积；其正负号用以区别力矩的不同转向，按右手螺旋定则确定：以右手四指沿分力方向（X轴/Y 轴），且掌心面向转轴（X轴/Y轴）而握拳，大拇指方向（Z轴）与该轴正向一致时取正号，反之则取负号。
力对点的矩是力对物体产生绕某一点转动作用的物理量。
它是矢量，等于力作用点位置矢r和力矢F的矢量积。
例如，用球铰链固定于O点的物体受力F作用，以r表示自O点至F作用点A的位置矢，r和F的夹角为a（见图）。
物体在F作用下，绕垂直于r与F组成的平面并通过O 点的轴转动。
转动作用的大小和转轴的方向取决于F对O点的矩矢M，M＝r ×F ；M的大小为rFsina ，方向由右手定则确定。
力矩M 在过矩心O的直角坐标轴上的投影为Mx 、My 、Mz 。
可以证明Mx 、My 、Mz 就是F对x ，y，z轴的矩。
力矩的量纲为L2MT -2，其国际制单位为N·m。
例如，3牛顿的力作用在离支点2米的杠杆上的力矩等于1牛顿的力作用在离支点6米的力矩，这里假设力与杠杆垂直。
一般地，力矩可以用矢量叉积（注意：不是矢量点乘）定义：其中r是从转动轴到力的矢量, F是矢量力。
力对点的矩与力对轴的矩
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z rOA = x i +y j +z k
F 投影：Fx、Fy、Fz F =Fx i +Fy j +Fz k
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
i jk MO( F ) = rOA×F x y z
Fx Fy Fz
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
Mz ( F ) =Fxy.d ★:注意
①力对轴之矩是代数量,正负由右手 螺旋法则确定;
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零;
③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
a O
b Fh
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3
F5
F2
F4
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素）
①力矩的大小（F.d） ②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向
力矩,转矩,扭矩的定义
扭矩是使物体发生转动的力。
发动机的扭矩就是指发动机从曲轴端输出的力矩。
在功率固定的条件下它与发动机转速成反比关系，转速越快扭矩越小，反之越大，它反映了汽车在一定范围内的负载能力。
扭矩在物理学中就是力矩的大小，等于力和力臂的乘积，国际单位是牛米Nm，此外还可以看见kgm、lb-ft这样的扭矩单位，由于G=mg，当g=9.8的时候，1kg的重量为9.8N，所以1kgm=9.8Nm，而磅尺lb-ft则是英制的扭矩单位，1lb=0.4536kg;1ft=0.3048m，可以算出1lb-ft=0.13826kgm。
在人们日常表达里，扭矩常常被称为扭力（在物理学中这是2个不同的概念）。
例如：8代Civic 1.8的扭矩为173.5Nm@4300rpm，表示引擎在4300转/分时的输出扭矩为173.5Nm，那173.5N的力量怎么能使1吨多的汽车跑起来呢？其实引擎发出的扭矩要经过放大（代价就是同时将转速降低）这就要靠变速箱、终传和轮胎了。
引擎释放出的扭力先经过变速箱作“可调”的扭矩放大（或在超比挡时缩小）再传到终传（尾牙）里作进一步的放大（同时转速进一步降低），最后通过轮胎将驱动力释放出来。
如某车的1挡齿比（齿轮的齿数比，本质就是齿轮的半径比）是3，尾牙为4，轮胎半径为0.3米，原扭矩是200Nm 的话，最后在轮轴的扭力就变成200×3×4=2400Nm（设传动效率为100%）在除以轮胎半径0.3米后，轮胎与地面摩擦的部分就有2400Nm/0.3m=8000N，即800公斤力的驱动力，这就足以驱动汽车了。
若论及机械效率，每经过一个齿轮传输，都会产生一次动力损耗，手动变速箱的机械效率约在95%左右，自动变速箱较惨，约剩88%左右，而传动轴的万向节效率约为98%。
整体而言，汽车的驱动力可由下列公式计算：扭矩×变速箱齿比×最终齿轮比×机械效率/轮胎半径补充一点：为什么引擎的功率能由扭矩计算出来呢？功率P=功W/时间t，功W=力F×距离s；所以，P=F×s/t=F×速度v这里的v是线速度，而在引擎里，曲轴的线速度=曲轴的角速度ω×曲轴半径r，代入上式得：功率P=力F×半径r×角速度ω ；而力F×半径r=扭矩得出：功率P=扭矩×角速度ω 所以引擎的功率能从扭矩和转速中算出来角速度的单位是弧度/秒，在弧度制中一个π代表180度发动机扭矩概述扭矩是使物体发生转动的力。
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
工程力学知识要点
28.压杆临界力与杆端的支承情况无关（错）。
29.压杆的临界应力与杆件的轴力有关（错）。
30.双向弯曲正应力公式，仅适用于横戴面具有两个互相垂直的形心主轴的情况。（对）
计算题
1、已知图中各力大小均为50kN，求各力在三个坐标轴上的投影。
题1图
解：
2、在平行六面体上作用有大小均为10kN的三个力，求各力对三个坐标轴的矩。
解：
1、计算支座反力
2、计算指定截面上的弯矩
3、计算指定点的正应力
26、某点的应力状态如图所示，试求：(1)该点的主应力大小与方向；(2)该点的最大切应力；(3)在单元体上画出主应力的方向（图中应力单位： ）。
解：
用解析法做
26、已知 点处为二向应力状态，过 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa）。试用解析法（用图解法无效）确定该点的三个主应力。
解：
18、长度 =320mm，直径d=32mm的圆形横截面钢杆,在试验机上受到拉力P=135kN的作用。由量测得知杆直径缩短了0.006mm，在50mm的杆长内的伸长为0.04mm，试求此钢杆的弹性模量E和泊松比 。
解：
题19图
19、图示三压杆，其直径和材料皆相同。试判断哪一根能承受的压力最大？哪一根所承受的压力最小？若E=210GPa，d=150mm，试求各杆的临界力。
8、把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力称为（力偶）。
9、限制物体运动的其他物体称为（约束）。
10、使物体处于平衡状态的力系称为（平衡力系）。
11、力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以将它平移到刚体上任一新作用点，但必须同时附加一（力偶），这一力偶的力偶矩矢量等于（原力对于新作用点的矩）。
力和力矩的区别是什么[管理资料]
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力和力矩的区别是什么力矩力使物体转动的效果，不仅跟力的大小有关，还跟力和转动轴的距离有关。
力越大，力跟转动轴的距离越大，力使物体转动的作用就越大。
从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。
力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩。
力矩(torque)：力(F)和力臂(L)的乘积(M)。
即：M=F·L。
其中L是从转动轴到力的矢量, F是矢量力。
力矩的量纲是距离×力；与能量的量纲相同。
但是力矩通常用牛顿-米，而不是用焦耳作为单位。
力矩的单位由力和力臂的单位决定。
力对物体产生转动作用的物理量。
可分为力对轴的矩和力对点的矩。
力对轴的矩是力对物体产生绕某一轴转动作用的物理量。
它是代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的分力同此分力作用线到该轴垂直距离的乘积；其正负号用以区别力矩的不同转向，按右手螺旋定则确定：以右手四指沿分力方向，且掌心面向转轴而握拳，大拇指方向与该轴正向一致时取正号，反之则取负号。
力对点的矩是力对物体产生绕某一点转动作用的物理量。
它是矢量，等于力作用点位置矢r和力矢F的矢量积。
例如，用球铰链固定于O点的物体受力F 作用，以r表示自O点至F作用点A的位置矢，r和F的夹角为a（见图）。
物体在F作用下，绕垂直于r与F组成的平面并通过O点的轴转动。
转动作用的大小和转轴的方向取决于F对O点的矩矢M，M ＝r×F ；M的大小为rFsina ，方向由右手定则确定。
力矩M 在过矩心O的直角坐标轴上的投影为 Mx 、My 、Mz 。
可以证明 Mx 、My 、Mz 就是F对x ，y，z轴的矩。
力矩的量纲为L2MT -2，其SI单位为N·m。
力力（force）力是物体对另一物体的作用，一个物体受到力的作用，一定有另外的物体施加这种作用。
前者是受力物体，后者是施力物体，只要有力发生，就一定有受力物体和施力物体。
有时为了方便，只说物体受了力，而没有指明施力物体。
但施力物体一定是存在的。
力对点的矩与力对轴的矩
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
标量
O
B
d
F
A
定义：力 F 的大小×点 O 到 F 作用线的距离 d，加 以适当的正负号，为力F 对 O 点的矩。
MO（F）=F.d
O为力矩中心，简称矩心
=2S∆OAB
力与矩心确定的平面称为力矩平面
规定：力使物体绕矩心有逆时针转动趋势时力矩为正
F
α
Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解
则 MO( F ) =Σ MO( Fi ) = MO( Fv ) + MO( Fh )
0Fsina2b2
Fsin a2b2
A
8
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z
F
Fz
O
xy d
Fxy
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy 将力 F 分解
A
1
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
标量
★注意
O
B
d
F
A
1. 矩心不一定要选为物体可以绕之转动的固定点。
2. 力为0或力作用线过矩心时，力矩为0。
3. 力沿其作用线滑动时，力矩值不变。
4.
必须指明矩心，力矩才有意义。 A
2
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
汇交力系的合力对任一点的力矩矢量，等于力系中各分 力对同一点的力矩矢量的矢量和。
——汇交力系合力之矩定理
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量共 线，因此可看作代数量。
第 章力矩优秀文档
§3-1 力对点的矩
力矩
➢ 力矩的概念 ➢ 力矩的矢量表示
§3-2 力对轴的矩
§3-3 力对点之矩与对轴之矩的关系
§3-4 汇交力系的合力矩定理
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求力对轴的矩
作平面 P 垂直于轴 z
行且的面求 三 对 求 轴力线分作过力P维轴别用点FzA投F的B交线空的A影z分归水轴于间作垂的别结平点中z轴向面矩投为和OA，z影与PB力的力点F和中F平平F，A 作m第m作作 过§m作§三力 作三力过力第作三§第力mm作求求§§第作求三m力力作三三m作 求力zzzzzzz平平平点3平3维平维点平维3平33平维平维维平3FFF33F力 力 3力 FF力 F(((((((-----的的的FFFFFFF22122面 章 面 面面 空 面 空 章 面 空 章 面 章 面 空 面 空 空 面分分分分AA)))))))对对对对=======水 水水间间间间间间别别别别力力力力力作作PPPPPPPPPPmmmmmmm轴轴轴轴平 平平中中中中中中垂垂垂垂垂垂垂垂垂垂向向向向对对对对对轴 轴0000000投 投投，，，的的的，，，的直直直 直直直直直直直(((((((AAAA轴轴点轴轴zzFFFFFFFBBBB影 影影xxxxxxx力力力力力力力力力力于于于 于于于于于于于的的的的的的的矩矩矩矩yyyyyyy和和和和轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴FFF平平矩矩矩矩矩)))))))FFFFFF矩矩矩矩xxx平平平平对对对对对对行行yyyzzzzzzzzzz对 对对面面面面且且且 且且且且且且且轴轴轴轴轴轴线线点点 点分分分 分分分分分分分PPPPAAzzzzzzOOO投投投投别别别 别别别别别别别BB的的的的的的的 的的影影影影交交交 交交交交交交交矩矩矩矩矩矩矩 矩矩轴轴轴 轴轴轴轴轴轴轴即 即即zzzzzzzzzz所 所所和和和 和和和和和和和求 求求力力力 力力力力力力力...
4-2空间力偶力系
2).力 偶– 力偶矩矢
A.力偶的平移 一个空间力偶 （1）可在其作用面上任意
平移
（2）可沿作用面法向轴线 任意平移?(Y)
均不改变力偶对刚体的作
用效应。
B. 力偶矩矢
(1) 空间力偶可用一个(双箭头)矢量M 表示， 称为力偶矩矢。
(2)力偶的三要素：
大小:力偶矩(矢量M的大小)； 作用平面:力偶方向垂直于作用平面;
F1 x F2
z
F2
F3
O
y
F3 F1
又问: 使这个刚体平衡，还需要施加怎样
一个力偶。
解： 1.画出各力偶矩矢(见右图)
z
M1 M2
45° 45°
M3 y
O
x
2.合力偶矩矢M 的投影。
M x M1x ( 0) M 2 x ( 0) M 3 x ( 0) 0
M y M 1 y M 2 y M 3 y 11.2 N m
M z M1z M 2 z M 3z 41.2 N m
3.合力偶矩矢M 的大小和方向。
2 2 M M x M y M z2 42.7 N m
Mx 0 , M , i 90 M My cosM , j 0.262 , M , j 74.8 M M cosM , k z 0.965 , M , k 15.2 M
3). 空间力偶系的合成与平衡
A.合成结果: 一力偶, 合力偶(主矩)等于各分力偶的矢量和。
M M1 M 2 M n M i
B. 平衡的充要条件
M
i
0
C. 平衡方程
Mx 0 My 0 Mz 0
第五章空间力系 第二节 力对轴的矩
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
M x FR M x Fi M y FR M y Fi M z FR M z Fi
[例1] 如图，手柄 ABCE 位于 xy 平面内，在 D 处受力 F 的作用。力 F 位于垂直于 y 轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。已知 AB = BC = l ，CD = a，杆 BC 平行于 x 轴，杆 CE 平行于 y 轴。试求力 F 对x、y、z 三轴的矩。
M y (F ) zFx xFz 0 l F cos Fl cos M z F xFy yFx 0 l a F sin F l a sin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力 F 对 x ，z 及 y1 三轴的矩。 解：将力 F 作三维正交分解，其中分力大小
MO (F )z xFy yFx
x
=
M O (F ) y
=
MO (F )z
MO F
z
B F
k
O
j
h
r
A x, y, z
y
i
一、力对轴的矩的定义 力对轴的矩定义为力在垂直于 轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩，即
Fz
F
M z F M O Fxy Fxy d
解法一：利用合力矩定理求解
将力 F 作正交分解，分力大小
Fx F sin
Fz F cos
根据力对轴的合力矩定理，即有
Fx
Fz
M x F M x Fx M x Fz 0 Fz AB CD F l a cos
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力对某轴之矩，等于力在垂直于该轴的平 面上的分力对该轴与此平面交点的矩。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
z Fz O
Mz ( F ) =Fxy.d
F
★:注意 ①力对轴之矩是代数量,正负由右 手螺旋法则确定;
xy
d
Fxy
②力作用线与轴平行或相交(即力 与轴共面)时,力对该轴矩为零; ③力沿其作用线移动时,它对轴之 矩不变。
MO( FR ) =Σ MO( Fi )
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
a O
b
Fh
α
F Fv
例：求力 F 对 O 的矩。
解：将力 F 沿水平垂直方向分解 则 MO( F ) =Σ MO( Fi )
= MO( Fv ) + MO( Fh )
0 Fsin a 2 b 2
Fsin a 2 b 2
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k z Fz
Fx
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
i
MO( F ) = rOA×F x
j y Fy
k z Fz
Fx
yFz zFy i zFx xFz j xFy yFx k
——力对点矩矢量的解析表达式 力对点的矩矢量在 x、y、z 轴上的投影
B
|MO( F ) |= F.d =2S∆OAB 定义矢量 rOA
MO( F ) = rOA×F y 空间力系中，力对点的矩矢量 等于力始点相对于矩心的矢量 与力矢量的矢量积 rOA = x i +y j +z k
rOA
O
F A
d
x
rOA投影（A点坐标）：x、y、z F 投影：Fx、Fy、Fz
F =Fx i +Fy j +Fz k
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
B
标量
O
d F
A
1. 矩心不一定要选为物体可以绕之转动的固定点。
★注意
2. 力为0或力作用线过矩心时，力矩为0。 3. 力沿其作用线滑动时，力矩值不变。 4. 必须指明矩心，力矩才有意义。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
[MO( F )]z = Mz ( F )
MO (F )=[Mx ( F )] i + [My ( F )] j + [Mz ( F )] k
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z
O′
A点坐标：x、y、z
Fz B F Fy Fxy
F 投影：Fx、Fy、Fz 力F 对 oz 轴的矩为 Mz ( F ) = MO′ ( Fxy )
A
O
Fx
z x y
y
= MO′ ( Fx ) + MO′ ( Fy )
= -Fx.y + Fy .x
同理力F 对 ox 轴的矩为 = -Fy.z + Fz .y 力F 对 oy 轴的矩为 = -Fz.x + Fx .z
x
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
二、力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
z
O′
A点坐标：x、y、z
Fz B F Fy Fxy
F 投影：Fx、Fy、Fz Mx (F )= yFz – zFy My (F )= zFx - xFz
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.5 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念
过力 F 的始端做垂直力的平面 xy
z Fz O
F
将力 F 分解 Fz∥z 轴 Fxy⊥z 轴
xy
d
Fxy
定义： Fxy 对 O 点之矩为力 F 对 z 轴之矩：Mz ( F ) 即 Mz ( F ) = MO ( Fxy ) =Fxy .d
②力矩平面在空间中的方位（法线方位） ③力矩平面内，力使物体绕矩心的转向 ——需用矢量表示空间力系中力对点的矩 MO（F） ①过矩心作垂直于力矩平面的矢量， 其长度表示力矩的大小 ②矢量的方向表示力矩平面的法线方向
F
O
③矢量的指向按右手螺旋法则确定 空间力系中力对点的矩矢量 MO（F）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 z MO（F）
A
O
Fx
z x y
y
Mz (F )= xFy - yFx.
力F 对 O 点之矩矢量的解析表达式 MO (F )=( yFz – zFy) i + ( zFx – xFz) j +( yFz – zFy) k
x
力对某点矩矢量在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴的矩
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
[MO( F )]x = Mx ( F ) [MO( F )]y = My ( F )
[MO( F )]x = yFz - zFy
[MO( F )]y = zFx - xFz [MO( F )]z = xFy - yFx
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
三、汇交力系合力之矩定理
对于由n个力组成的汇交力系
FR F1 F2 Fn Fi Fi
§2.4 力对点的矩
二、空间力系中力对点的矩
平面力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面是重合的
{ F1、F2、F3、F4 }
O
F3 F2 F4
F5
F1
{ F1、F2、F4、F5 }
空间力系中，各力作用线与矩心所确定的力矩平面不再重合
第二章 平面汇交力系与平面力偶系 空间力系中，力对矩心的矩取决于三方面（要素） ①力矩的大小（F.d）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.4 力对点的矩
一、平面力系中力对点的矩
B
标量
定义：力 F 的大小×点 O 到 F 作用线的距离 d， 加以适当的正负号，为力 F 对 O 点的矩。 MO（F）=F.d
O
d F
A
O为力矩中心，简称矩心
力与矩心确定的平面称为力矩平面
=2S∆OAB
规定：力使物体绕矩心有逆时针转动趋势时力矩为正
i 1 n
MO( FR ) = rOA×FR = rOA×ΣFi =∑（rOA×Fi） =ΣMO( Fi )
汇交力系的合力对任一点的力矩矢量，等于力系中各 分力对同一点的力矩矢量的矢量和。 ——汇交力系合力之矩定理
对于平面汇交力系，各力对力系平面内任一点的矩矢量 共线，因此可看作代数量。 此时合力之矩等于各分力之矩的代数和。