根的分布

m 6或m 2 m6 解不等式组，得 m 2 m 2 4m 12 m 2 4m 4
思考题：
1.已知方程 : 4 ( k 1) 2 k 2 0有
x x
一个正根和一个负根 ， 求 k的范围 。
两根都在 m, n内
结论
0 f (m) 0 f (n) 0 b m n 2a
分布情况
大致图象（a 0）
两根有且仅有一根 在 m, n 内 （图象有两种情况， 只画了一种）
结论
f m f n 0
分布情况 一根在m, n内， , q 另一根在 p内，
大致图象（a 0 ）
mn pq
结论
f m f n 0 f p f q 0
练习题2：就实数k的取值，讨论下列关于x的方程 解的情况： x2 2 x 3 k
解： 将方程视为两曲线 y x 2 x 3与y k 相交，
2
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
2、韦达定理 若一元二次方程的两根为 x1, x2，则
0 b x1 x2 a x1 x2 c a
2 4 x 2(m 1) x (2m 3) 0(m R) 例1、已知方程


m的取值范围。
2 解：设 f ( x) x (m 1) x 4与 x轴有两个不同 的交点 x1 ,0和x2 ,0
0 f ( 0) 0 f (3) 0 ( m 1) 0 3 2
10 3 m 3
分布情况
大致图象（a 0）
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
练习题：m为何实数值时，关于x的方程 x mx (3 m) 0 有两个大于1的根. 2 转变为函数，借 法一：设 f ( x) x mx (3 m) 由已知得：
2
f(x)
x1
0
1
x2
x
m 2 4(m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
一元二次方程根的分布
实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
2 x 练习题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
=m 2 4(3 m) 0 法三： m m 2 4m 12 1 x1 2 m m 2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
0 ( x1 2) ( x2 2) 0 ( x 2)(x 2) 0 2 1
7 m 5 4 3
分布情况
a 0） 大致图象（
两根都大于 k
结论
0 b k 2a f (k ) 0
分布情况
分布情况
大致图象（a 0）
一个正根， 一个负根
结论
f 0 0
2 4 x 2(m 1) x (2m 6) 0(m R) 例2、若方程 的两根都大于2，求实数 m 的取值范围。
解法一：
解法二：
0 f ( 2) 0 2(m 1) 2 8
有两个负数根，求实数 m 的取值范围。
解：由题意得

0 x1 x2 0 x x 0 1 2
m 11
2 ax bx c 0(a 0) 归纳结论：设实系数一元二次方程 的两根为 x1 , x2，由韦达定理知：
两根都是正数

0 x1 x2 0 xx 0 1 2
转化为韦达定理的 不等式组
助于图像，解不 等式组
法二：
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
大致图象（a 0）
两根都小于 k
结论
0 b k 2a f (k ) 0
分布情况
大致图象（a 0）
一个根大于 ， k 另一个根小于 k
结论
f k 0
例3、已知方程
x (m 1) x 4 0
2
的两根都落在 0,3 ,求实数
两根都是负数 两根一正一负
0 x1 x2 0 xx 0 1 2
x1x2 0
分布情况
大致图象（a 0）
ห้องสมุดไป่ตู้两个负根
结论
0 b 0 2a f ( 0) 0
分布情况
大致图象（a 0）
两个正根
结论
0 b 0 2a f ( 0) 0