根的分布

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必修一第三章根的分布

一元二次方程根的分布结论：设二次函数()f x 在区间(,)()m n m n <上递增（或递减），且()()f m f n 与异号，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。

（如图1）例1：设20x x m -+=在区间(1,3)-有两个不等实数根，求m的范围？解：令2()f x x x m =-+因为()f x 在1(1,)2-递减，在1(,3)2递增。

则(1)011()0224(3)0f f m f ->⎧⎪⎪<⇒-<<⎨⎪>⎪⎩ 点评：设2()(0)f x ax bx c a =++>，两个不等2均在区间(,)m n 内，由例1知：①()0,()0f m f n >> ②对称轴2b x a=-在区间(,)m n 内 ③224()040024b ac b f b ac a a--=<⇒->⇒∆> 对0a <情形，类似解决。

练习：若关于x 的方程210x ax -+=两个不等根均在(0,4)内，则a 的范围： 1724a << 推论：：设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠中()()f m f n 与异号()m n <，则方程()0f x =在(,)m n 内有唯一实根。

（如图2）例2：若关于x 的方程20x x a -+=两实根分别在在(2,0),(0,3)-内，则a 的范围？解：(2)0(0)060(3)0f f m f ->⎧⎪<⇒-<<⎨⎪>⎩练习：若关于x 的方程20x x a -+=两实根满足：122x x <<则a 的范围： 2a <-例3：设关于x 的方程2430ax ax -+=的两个不等实数根都在区间(1,)-+∞，求a 范围？解：当0a >时，由草图知03(1)0421f a x ∆>⎧⎪->⇒>⎨⎪=>-⎩当0a <时，由草图知03(1)0521f a x ∆>⎧⎪-<⇒<-⎨⎪=>-⎩综上所述：3354a a <->或例4：设关于x 的方程2230x ax a --=在(0,3)有唯一实数根，求a 范围？解：设2()23f x x ax a =--（1）若0∆=，即03a a ==-或当0a =时，两根120(0,3)x x ==∉当3a =-时，两根123(0,3)x x ==∉（2）若0∆>，即03a a ><-或①001(0)(3)0a f f ∆>⎧⇒<<⎨<⎩ ②0(0)0(3)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解 ③0(3)0(0)0f f ∆>⎧⎪=⇒⎨⎪>⎩无解综上所述：01a <<二：综合运用1、若方程20x x m -+=在实数R 上有解，则m 的范围14m < 2、若方程20x x m -+=在区间(1,3)-上有两个不等解，则m 的范围1(2,)4- 3、关于x 的方程220x x m -+=在(0,)+∞有两个不等的实根，求m 的范围？4、关于x 的方程20x x a -+=的两实根满足120,14x x <<<，则a 的范围：5、关于x 的方程222320kx x k ---=的两个根12,x x 满足121x x <<,求实数k 的范围? 04k k ><-或6、求实数k 的范围, 关于x 的二次方程227(3)20x k x k k -++--=有两个实根,他们分别在区间(0,1)和(1,2)内.21k k ><-或7、若关于x 的一元二次方程2210(0)ax x a -+=≠有一正根和一负根，则a 的范围 0a <8、已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m 的取值范围? 1m ≤9．已知{}2(/(2)10,A x x p x p R =+++=∈若A R -⋂=∅，则p 的范围0p < 10、关于x 的一元二次方程20x x a -+=在(2,2)-内至少有一个实根，则a 的范围？164a -<≤三：函数与方程1．已知函数2()2(2)f x x p x p =+-+，若在]0,1⎡⎣内至少存在一个实数c ，使得()0f c >，则p 的范围是CA (1,4)B (1,)+∞C (0,)+∞D (0,1)法一，若1p =检验法二，反面使得]0,1c ⎡∈⎣，有()0f c ≤即(0)0(1)0f f ≤⎧⎨≤⎩2．若方程2(5)80x a x a -+++=在(1,)x ∈+∞上有解，求a 的范围解：法1 由2(5)80x a x a -+++=得2581x x a x -+=- 设2584()1311x x f x x x x -+==-+---因为1,10x x >-> 故413311x x -+-≥=- 即()1f x ≥ 故1a ≥法2 设2()(5)8f x x a x a =-+++则51(1)020a f +⎧>⎪<⎨⎪∆≥⎩或则1a ≥ 点评：()a f x =在A 内有解，a 的范围为()f x 在A 上的值域。

人教版高中数学2019-2020 必修一第三章根的分布(共11张PPT)

1x
(m 3)2 4m 0

b 2a

3m 2

1
f (1) 2m 2 0
m m 9
根的分布：
方程x2 (m 3)x m 0满足下列条件，求m的取值范围。
(1)有两个正根；
(2)有两个负根；

k1

b 2a

k2

f
(k1
)

0
f (k2 ) 0
k 1 k2
f(k1 )f(k2 )<0
m np q
f (m) 0
f (n) 0

f
(
p)

0
f (q) 0
y
kx
k
小
结
0
0

b 2a
k

b 2a

k
f (k ) 0 f (k ) 0
k
f (k) 0
根的分布：
两个根都在（k1.k2)内
y
两个根有且仅有
一个在（k1 .k 2)内
x 1∈(m,n) x 2∈(p,q)
k1
小
k2 x
结
0
(3)两根都小于1；
(4)两根都大于1 ; 2
m
5 6

m

1
1
x

2
(m 3)2 4m 0

b 2a

3m 2

1 2

f

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象结论()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图象结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩k kk函数与方程思想：（1）方程f (0x )=0有根⇔y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔函数y=()f x 有零点0x （2）若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

根的分布+简单逻辑

的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一例3：在边长为的正方形：在边长为a的正方形中、边上各有一个动点Q、，个动点、R，且|BQ|=|CR|，试求直线与DQ的，试求直线AR与的交点P的轨迹方程的轨迹方程．交点的轨迹方程．
解：
交轨法在直角坐标系内，已知矩形OABC的边长的边长OA=a，OC=b，若D在在直角坐标系内，已知矩形的边长，，在 AO的延长线上，|DO|=a，设M、N分别是、BC边上的动点，使的延长线上，分别是OC、边上的动点边上的动点，的延长线上，、分别是 OM：MC=BN：NC≠0，求直线交点P的轨迹方程：：，求直线OM与AN交点的轨迹方程．与交点的轨迹方程．解：
是实数，例1：“已知：已知a,b,c,d是实数，若a>c,b>d,则a+b>c+d”, 是实数则写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假
12．设集合“ u = {( x , y ) | x ∈ R , y ∈ R } , ．设集合“ A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0}， ≤ ，的充要条件是( ) 那么点 P(2,3) ∈ A ∩ (CU B) 的充要条件是 A m>-1,n<5 B m<-1,n<5 C m>-1,n>5 D m<-1,n>5
同类变式
已知△ 已知△ABC，A(一2，0)，B(0，一2)，第三个顶点在，一，，，，第三个顶点c在曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程曲线上移动，的重心的轨迹方程上移动

根的分布

一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。

本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。

一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。

例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。

由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。

由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。

综上，m 的取值范围是m ＞7。

例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。

若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。

一元二次方程根的分布

一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。

2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。

3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。

一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。

判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。

在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。

它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。

解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。

求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。

因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。

二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。

牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。

在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。

高一根的分布初步知识点

高一根的分布初步知识点随着社会的发展和科技的进步，人们对数据的处理和分析需求日益增长。

根的分布作为数学中重要的一个概念和工具，被广泛运用于各个领域。

在高一阶段，我们首次接触到了根的分布的相关知识点。

本文将围绕此主题展开讨论。

1. 根的概念及性质首先，我们需要明确根的概念。

在数学中，根是指方程的解，即满足特定条件的数值。

比如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的根可以用公式 x = (-b ± √(b^2-4ac))/2a 来表示。

根的性质也是我们应当了解的内容。

根的个数与方程的次数相关，一元一次方程有且仅有一个根，一元二次方程有两个根（可能重合），而一元三次方程及更高次方程的根的个数则不确定。

根是方程图象与x轴的交点，它们的坐标也可以通过根的求解求得。

2. 根的判别式在求解一元二次方程的根时，我们需要引入根的判别式。

根的判别式是一个关于系数的代数式，用来判断方程的根的性质。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，它的判别式Δ=b^2-4ac。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程没有实根，但可能有复数根。

根的判别式的含义十分重要，它不仅决定了方程解的存在性，也反映了方程图象与x轴的关系。

3. 根的分布与图象通过前面的学习，我们已经知道根是一元方程的解，而方程图象则是描述方程与坐标系的交点关系。

根的分布与方程图象之间存在密切的联系。

对于一元一次方程，其图象是一条直线。

由于只有一个根，因此方程的图象与x轴只有一个交点。

而一元二次方程的图象则是一条抛物线，根的个数可能为0、1或2，与抛物线与x轴的交点数相对应。

特别地，在一元二次方程的图象中，根的分布还与判别式Δ有关。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实根，说明抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根，说明抛物线与x 轴有一个重合的交点；当Δ<0时，方程没有实根，说明抛物线与x轴没有交点。

三角函数根的分布问题

三角函数根的分布问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数在数学中是非常重要的一部分，它涉及到了角度和三角形的关系，同时也在各个领域中有着广泛的应用。

在三角函数中，我们经常会遇到根的问题，即在什么条件下，三角函数的值会等于零。

这个问题往往涉及到了角度的范围、周期性以及三角函数的性质等方面，对于理解三角函数的性质和应用至关重要。

三角函数根的分布问题，即研究三角函数在某一区间内根的位置和数量。

这个问题涉及到了三角函数的周期性和性质，因此在解决这个问题时，我们需要充分了解三角函数的周期性和特点。

在本文中，我们将深入探讨三角函数根的分布问题，包括不同类型三角函数的根的分布规律，以及如何通过图像和计算来确定根的位置和数量。

首先，我们需要了解三角函数的基本性质。

在数学中，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

这些函数在不同的区间内都具有周期性，即它们的函数值在一定区间内会重复出现。

例如，正弦函数的周期是2π，余弦函数的周期也是2π，而正切函数的周期是π。

这个周期性是三角函数根的分布问题的关键，因为根的位置和数量都受到周期性的影响。

正弦函数和余弦函数是最常见的三角函数，它们在数学中起到了非常重要的作用。

正弦函数的图像是一条波浪线，它在[0, 2π]区间内有无数个根，即正弦函数在这个区间内有无数个解。

余弦函数的图像也是一条波浪线，它和正弦函数的图像有些许不同，但在[0, 2π]区间内同样有无数个根。

这说明正弦函数和余弦函数在一个周期内有无限个根。

在实际计算中，我们往往需要确定三角函数在某一区间内的根的位置和数量，这时我们可以通过图像来判断。

以正弦函数为例，我们可以画出正弦函数在一个周期内的图像，然后找出所有的根的位置。

通过观察图像，我们可以大致确定根的大致位置和数量。

除了通过图像外，我们还可以通过计算来确定三角函数的根。

以正弦函数为例，我们知道正弦函数的周期是2π，即正弦函数在[0, 2π]区间内有一个周期。

二次函数根的分布

二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。

设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。

根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。

第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。

第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。

第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。

经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。

同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。

根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。

高一数学必修一二次方程根的分布

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是时，；
一元二次方程在开区间上有根应分下列情况讨论
或或或
一元二次方程在闭区间上有根应分下列情况讨论
1）若，解出参数
2）若，解出参数
3）
4）
二．例题选讲
（1）两个根在实数的同一侧
例1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
解：由即，从而得即为所求的范围。
变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于，一个小于，求实数的取值范围。
解：由即即为所求的范围。
变式2：求实数的范围，使关于的方程．
（1）有两个实根，且一个比大，一个比小．
（2）有两个实根，且满足．
（3）至少有一个正根．
解：设．
（1）依题意有，即，得．
（2）依题意有
解得：．
（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即．
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得．
综上所述，得．
（3）在区间有两个实根
例3：已知关于的二次方程 .若方程两根均在区间内，求的范围.
解：据抛物线与轴交点落在区间内，列不等式组 ,
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）
得出的结论
得出的结论
表二：（两根与的大小比较）
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于，一个大于即

一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。

在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。

1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根；（2）两个负根；（3）两根都小于1；（4）两根都大于1；（5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内；（7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。

根的分布教案

一元二次方程根的分布汤丽娅一、教材及学情分析二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教版九年级二次函数与人教版A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。

本节教学结合解一元二次方程及根与系数的关系、二次函数的性质、函数的基本性质，是初等函数思想方法，特别是数形结合思想应用的典型。

虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。

一元二次方程根的分布问题是二次函数性质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材。

本节教学内容是在学生初中已初步探讨学习了正比例函数、反比例函数、一次函数等简单函数，高中探讨了集合工具和函数的基本性质（单调性、奇偶性等）的基础上重新回到一元二次方程根的问题上，学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高解决问题的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。

二、教学目标1、知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二次方程更本质的规律；会熟练利用二次函数的图象性质解决一元二次方程根的分布问题。

2、过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等数学活动过程，获得一元二次方程根的分布与系数的重新夺得关系的条件限制（不等式组）；通过运算获得具体、简洁的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所提出的新问题；并会运用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。

3、情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信；培养对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。

三、重难点分析重点：一元二次方程根的分布的函数解法难点：利用换元法将不熟悉的方程转化为一元二次方程四、教法与教具设计教法：采用高中数学“问题解决”教学方法：创设问题情境——发现问题——探索问题——解决问题——发现问题——探索（新）问题——……；采用多媒体演示，提高效率；师生互动，活跃课堂气氛。

高次方程的根的性质总结

高次方程的根的性质总结高次方程是指未知数的最高次数大于等于二次的方程。

根的性质是指方程解的分布特点和数量关系。

二、根的个数：1.一般情况下，n次方程有n个实数根或复数根。

2.根的个数与方程的系数和常数项有关。

三、根的分布：1.根的分布受到判别式的影响，判别式大于0时，根的分布为两个不相交的区间；判别式等于0时，根的分布为一个区间；判别式小于0时，根的分布在实数范围内没有解。

四、根的性质：1.实数根：方程的实数根是指在实数范围内满足方程的解。

2.重根：当方程的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，称为重根。

3.复数根：方程的复数根是指在复数范围内满足方程的解，形式为a+bi，其中a、b为实数，i为虚数单位。

五、根与系数的关系：1.对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根与系数的关系为：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

2.对于高于二次的方程，根与系数的关系复杂，一般需要利用求根公式进行计算。

六、求根公式：1.一元二次方程的求根公式为：x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。

2.高于二次方程的求根公式一般需要利用数学软件或教材中的公式进行计算。

七、解题方法：1.因式分解法：将方程进行因式分解，找出满足方程的解。

2.求根公式法：利用求根公式计算方程的解。

3.图解法：利用坐标系，通过绘制函数图像来找出方程的解。

八、注意事项：1.在解高次方程时，要注意判别式的正负性，判断根的分布情况。

2.对于复杂的方程，可以利用数学软件进行求解。

3.在解题过程中，要灵活运用各种解题方法，选择合适的方法进行求解。

习题及方法：求解方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0。

这是一个三次方程，我们可以尝试因式分解法来解这个方程。

首先观察方程，我们可以尝试将其分解为三个一次因式相乘的形式。

通过尝试，我们可以找到以下因式分解：(x - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0进一步分解得到：(x - 1)(x - 1)^2 = 0因此，我们得到三个解：x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1求解方程：2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0。

根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m的取值范围。

【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则【定理3】0021<<<ac x x ，则例 3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k b k af ac b k x x 0)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11xk <（或2x ）【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b1.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围2.若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围3.已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若A R+，求a的取值范围4.已知A={x| x2+2x+2-p=0}，且A∩R+=φ，求p的取值范围5. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m范围6.若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围7.方程ax2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于18.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围9. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围。

根的分布问题总结

根的分布问题总结
根的分布问题涉及到树结构中根节点的位置和分布情况。

以下是根的分布问题的一些总结：
1. 根的位置：树可以具有不同的根节点位置。

常见的根的位置有树的顶部、底部或中间位置。

根的位置可以根据具体问题的需求进行选择。

2. 根的数量：有些问题中，树只有一个根节点，而其他问题中可能存在多个根节点。

多个根节点可以形成森林结构，每个根节点独立存在。

3. 根的分布模式：树结构中的根节点可以按照不同的分布模式进行排列。

常见的根的分布模式包括：
- 完全分布：根节点均匀分布在整个树的结构中，每个节点
都可以作为根节点。

- 集中分布：根节点集中在一部分几点上，其他节点作为其
子节点。

- 分散分布：根节点分散在树结构的不同部分，每个部分都
有一个根节点。

4. 根的选择：在根的分布问题中，有时需要选择最佳的根节点。

选择最佳的根节点可以根据问题的需求和特定的优化条件进行，例如选择具有最小或最大高度、深度或距离的节点作为根节点。

5. 根的分布对树的性能影响：根的分布可以对树的性能产生影
响。

例如，如果根节点集中在某一部分节点上，可能会导致该部分节点的负载过重，从而影响树的性能。

因此，根的分布应考虑平衡性和性能需求。

总之，根的分布问题是树结构中的一个重要问题，需要根据具体问题的需求和优化条件进行选择和调整。

根的位置、数量和分布模式可以根据问题的特点来确定，而选择最佳的根节点需要考虑平衡性和性能需求。

根的分布

必修一第三章根的分布

人教版高中数学2019-2020 必修一 第三章 根的分布(共11张PPT)

一元二次方程根的分布情况归纳总结

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