函数极值与导数
导数与极值
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(Байду номын сангаас) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
导数与函数的极值、最值。
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. (√) (2)对可导函数f(x), f '(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. (×) (3)函数的极大值一定是函数的最大值. (×) (4)开区间上的单调连续函数无最值. (√)
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又f (2） 40 a, f (0) a, f (2) 8 a
由已知得 40 a 37解得a 3
(2)由(1)知f (x)在2, 2的最大值为3.
反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大
小上，从而解决问题，往往伴随恒成立和分类讨论。
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2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑨ 极值 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与⑩ 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注:如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值.
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导数与函数的极值、最值
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1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ① 都小 , f '(a)=0,而且在点x=a附近的左侧② f '(x)<0 ,右侧 ③ f ' (x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的 极小值. (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ④ 都大 , f '(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑤ f '(x)>0 ,右侧 ⑥ f ' (x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 注:⑦ 极大值 和⑧ 极小值 统称为极值.
导数与函数极值最值
导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。
导数与函数的极值、最值
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
知识要点
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典型例题
易错辨析
提升训练
x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
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典型例题
易错辨析
提升训练
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.
函数的极值与导数
y
y = f ( x)
x3 x x5 x6 b
a
x1
x2 O
x4
结论： 求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列 成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取 极值的情况
例： 求出函数 f ( x ) = x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
f ( x ) = 3 x 2 6 x 9= 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) = 0，得驻点 x1 = 1, x2 = 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1)
1
0
极 大 值
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
来自极大值 f ( 1) = 10,
极小值 f ( 3) = 22.
函数的极值与导数
观察图像：
在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处
的函数值相比,有什么特点?
f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?
y
f (x1)
f(x3)
y=f(x)
f(x2)
f(x4)
x3 x4 b x
O a
x1
x2
函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的点x0称为极 值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
导数与极值
2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
函数的极值与导数 课件
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
例 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0<x<2π)；
(3)f(x)＝ 2x －2. x2＋1
【思路分析】
求f（x）的定义域 → 求f′（x） →
解方程f′（x）＝0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R；
思考题 2 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； (2)f(x)＝lnxx.
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程 3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1) －1 (－1，3)
3
【解析】 (1)∵f(x)＝2x2－ekxx＋k， ∴f′(x)＝－2x2＋（ke＋x 4）x－2k. ∵f(x)无极值，∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立． ∵ex>0，∴f′(x)与 g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k 同号． ∵g(x)的二次项系数为－2， ∴g(x)≤0 恒成立，令 Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，则 k＝ 4. ∴当 k＝4 时，f(x)无极值．
【解析】 以 d、e 两点为例，y＝f(x)在点 x＝d 处的函数值 f(d)比它在点 x＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在 x＝d 的附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.类似地函数 y＝f(x)在点 x ＝e 的函数值 f(e)比它在 x＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e) ＝0；在 x＝e 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
导数与函数的极值与最值
导数与函数的极值与最值在微积分中，导数是描述函数局部变化率的工具，而函数的极值和最值则是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
导数与函数的极值与最值密切相关，通过导数的计算可以确定函数的极值和最值点的位置。
本文将探讨导数与函数的极值与最值之间的关系。
一、导数与函数的极值在微积分中，导数反映了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，若存在导数f'(a)，则在点a处函数f(x)在该点的变化速率为f'(a)。
导数的正负决定了函数的增减性，即导数大于0表示函数在该点上升，导数小于0表示函数在该点下降。
函数的极值点即为函数在区间内的最值点，包括极大值和极小值。
在导数的帮助下，我们可以通过求解导数为零的点来确定函数的极值点。
根据费马定理，对于可导的函数f(x)，如果函数在某一点x=a处取得极值，且f'(a)存在，则f'(a)=0或f'(a)不存在。
为了确定函数的极值点，我们需要进行以下步骤：1. 求函数的导数f'(x)；2. 找到导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 对求得的点进行二阶导数测试，判断其是极大值还是极小值。
二、导数与函数的最值除了极值点外，函数在特定区间内还可能有最大值和最小值。
与极值点不同，最值点可能出现在函数的端点或者函数在区间内的某个点上。
因此，函数的导数对于确定最值点的重要性较小。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，要确定函数的最大值和最小值，可以按照以下步骤进行：1. 求函数在区间[a, b]内的导数f'(x)；2. 找到区间内的所有导数为零或不存在的点，即f'(x)=0或f'(x)不存在的点；3. 将导数为零或不存在的点与区间的端点进行比较，确定最大值和最小值。
需要注意的是，求得的极值和最值点可能存在于导数为0或不存在的点上，也可能出现在区间的端点上。
因此，在寻找最值点时，需要综合考虑这些情况。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
函数的极值与导数
f ( x)在开区间(a，b)内存在极小值点 y
1
个.
b x
a
O
25
函数 f ( x) x 3 ax2 bx a 2 在 x 1时有极值10，则a， b的值为
，
解:由题设条件得： f (/1) 10 f (1) 0 解之得
a 3 a 4 或 b 3 b 11
1 a b a 2 10 3 2a b 0
1 3 1 2 所以 f ( x) x x 2 x 3 2
21
(2)
f (x )=x2+x-2
由 f (x ) >0,得x<-2或x>1, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)
由 f (x ) <0,得-2<x<1,
所以f(x)的单调减区间为(-2,1)
22
变式训练
3.3.2函数的极值与导数
1
知识回顾
1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义
f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
2 、某点处导数的几何意义 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.
10
练习：求函数f(x)=x3-12x+12的极值。 解： f (x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 f (x) =0 得x=2,或x=-2
11
f 当x变化时， (x) , f(x)的变化情况如下表；
(-∞,-2) -2 f (x) + 0 f(x) 单调递增↗ 28 x
高中数学 选修1-1 28.函数的极值与导数
28.函数的极值与导数教学目标 班级____姓名________1.了解函数极大值与极小值的概念.2.了解函数取极值与函数的导数为0的关系.3.会利用函数的导数求函数的极值.教学过程一、知识要点.1.函数的导数.（1）导数的几何意义：函数在某点的切线斜率.（2）以下几种情况函数没有导数（切线斜率）：①函数端点处（包括定义域边界、函数间断点等）；②函数尖角处.2.极值点与极值：（1）极小值点与极小值：函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，0)('=a f ；而且在点a x =附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，则把点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极小值.（2）极大值点与极大值：函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点b x =附近其他点的函数值都大，0)('=b f ；而且在点b x =附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，则把点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极大值.（3）极小值点与极大值点统称极值点；极小值与极大值统称极值.（4）注意事项：①极值反映了函数在某一点附近函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质； ②极值可能是最值，但不一定是；极值可能有多个；③极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点.3.求极值的方法：（1）令0)('=x f ，解方程，求出导数为0的点；（2）令0)('0>x f ，求增区间；令0)('0<x f ，求减区间；（3）表格分析，找出极值点和极值；①若在0x 附近左侧0)('0<x f ，右侧0)('0>x f ，则)(0x f 是极小值；②若在0x 附近左侧0)('0>x f ，右侧0)('0<x f ，则)(0x f 是极大值；③其他情况不存在极值. （4）下结论.二、例题分析.1.求函数的极值.例1：求函数11232)(23+-+=x x x x f 的极值.2.利用函数极值求参数的值.例2：已知函数)0(31)(23>-=m x m x x f . （1）当)(x f 在1=x 处取得极值时，求)(x f 的解析式.（2）当)(x f 的极大值不小于32时，求m 的取值范围.作业：求函数x x x f 3)(3-=的极值.。
函数的极值与导数
极大值 和_______ 极小值 统称为极值． 极值点，_______
练习1：指出下图中的极大值、极小值、极 值点、极值
y y=f(x) P(x1,f(x1)) Q(x2,f(x2)) o a x1 x2 x3 b x
4
2、上图的左右端点是极值点吗？极值点 在图像的什么地方出现？ 3、一个函数只有一个极大值和一个极小 值吗？它的极大值一定大于它的极小值吗？
• 1.理解极大值、极小值的概念． • 2.会用导数求最高次幂不超过三次的 多项式函数的极大值、极小值． 重点： 利用导数求函数的极大值、极小值．
（一）导学案自主探究（一） 在点t=a附近的图像有什么特点（自左向右上 升还是下降）？此点附近的导数符号有什么 变化？在t=a时，函数h(t)在此点的导数是多少？
∴a＝－6，b＝9. ………………………6 分
• (2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1) ……… ……… 8分 • 当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1. • 当f′(x)>0时，0<x<1； • 当f′(x)<0时，x<0或x>1. ……… ……… ……… ……… 10分 • ∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为 f(0)＝0. ……… 12分
3
当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋
∞)
f ′ (x )
＋
0
－
0
＋
f(
x)
极
大值
极
小值
2 ∴f(x)的递增区间为－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间 2 为－3，1. 2 49 2 当 x＝－3时，f(x)有极大值，f－3＝27；
导数与函数的极值问题
导数与函数的极值问题在微积分中，导数与函数的极值问题是一个重要的研究方向。
通过研究函数的导数，我们可以确定函数的极大值和极小值，从而找到函数的极值点。
本文将讨论导数与函数的极值问题，介绍如何通过导数的性质和定理来解决相关的数学问题。
一、导数的定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具，它与函数的斜率和切线有密切的关系。
对于函数f(x)，在给定点x处的导数记作f'(x)，它的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量的增量。
导数的定义可以用来计算函数在特定点的斜率，从而揭示函数在该点的变化趋势。
导数具有一些基本的性质，包括线性性、乘积法则、商法则等。
这些性质对于求解函数的极值问题非常重要。
例如，利用导数的乘积法则，我们可以计算函数的极大值和极小值，找到函数的极值点。
二、函数极值的求解方法1. 导数为零的点对于函数f(x)，如果存在x=a，使得f'(a)=0，那么我们可以得到一个关键的结论：在x=a处，函数f(x)可能存在一个极值点。
根据导数的定义和性质，我们可以通过求解f'(x)=0来找到函数f(x)的极值点。
首先，我们需要求出导数方程f'(x)=0的所有解x=a₁，a₂，...，an。
然后，我们将这些解代入原函数f(x)中，得到相应的函数值f(a₁)，f(a₂)，...，f(an)。
最后，比较所有的函数值，即可确定函数的极大值和极小值。
2. 导数的符号变化除了导数为零的点外，我们还可以通过导数的符号变化来确定函数的极值点。
具体而言，如果在某区间上导数大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数小于零，函数在该区间上是递减的。
根据这个性质，我们可以通过绘制函数图像和导数图像，找到函数的极值点。
在绘制函数图像时，我们可以观察函数曲线的上升和下降趋势；在绘制导数图像时，我们可以观察导数曲线的正负变化。
导数与极值
函数的极值与导数是什么？
分两种情况：
1、可导函数的极值点导数一定等于0，但是如果没有前面的“可导”两个字就错了，如函数f(x)=｜x｜，在x=0 时是极值点，但是x=0这点导数不存在。
2、导数等于0的点也不一定是极值点，如函数f(x)=sinx，在x=0处导数等于0 但是x=0时不是极值点。
要判断是否是极值点，除了导数等于0，还要判断这个点左右导数值是否相反。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。
3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。
二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。
2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。
三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 相关例题及练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。
2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。
引导学生理解导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。
5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。
要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。
六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。
2. 掌握基本函数的导数求解方法。
3. 能够运用导数判断函数的单调性。
七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。
2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。
3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。
5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。
八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。
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函数极值与导数
函数极值与导数是数学中的一个重要概念，在微积分学中起到了极为重要的作用。
它们被广泛应用于理论研究和实际问题解决中，为
人们的工作和生活带来了便利和创新。
本文将分步骤阐述函数极值与
导数的相关知识。
第一步：导数的定义和性质
在微积分学中，导数是函数变化率的表示，它是函数在某一点的切线斜率。
导数的定义是：当自变量的增量趋近于0时，函数值的增
量与自变量增量之比的极限称为函数在该点的导数。
一般用符号f‘(x)表示。
导数具有以下的性质：
（1）导数存在的充分必要条件是函数在该点连续；
（2）可导函数的任何一点，切线必然过曲线上相应点；
（3）可导函数微小区间上的平均变化率在微小区间趋于零时的
极限，等于这个区间的导数。
第二步：函数极值的定义和判定
函数极值是指函数取得最大值或最小值的点，它是函数曲线的拐点。
函数的极大值和极小值统称为极值。
通常用f(x)表示函数，x0表示函数的零点，若f(x)在x0处取得极大值，则称f(x)在x0处取得极大值；若f(x)在x0处取得极小值，则称f(x)在x0处取得极小值。
判断函数的极值可以采用以下常用方法：
（1）导数法：求出函数的导数f’(x)，令其等于0，求根，根即为函数的极值点。
（2）二阶导数法：计算函数的二阶导数f’’(x)，当
f’(x)=0，f’’(x)<0时，函数在该点有极大值；当f’(x)=0，
f’’(x)>0时，函数在该点有极小值。
（3）边界法：当函数定义域中存在有限区间[a，b]时，在区间端点处极值的情况也可能存在，可以通过求函数在端点取值情况比较
的方法来判断该区间内的极值情况。
第三步：函数极值的应用
函数极值在实际问题中的应用非常广泛，下面以几个例子进行说明：
（1）优化生产问题：生产厂家需要求出生产成本的最小值，可
以将生产成本函数的导数求解，找出导数为0的点以及随着自变量的
变化，导数变化的趋势，决策者可以依据这些信息来做最优化生产。
（2）为了研究影响空气和水质的因素，需要分析空气和水样品
的样本数据，用标准正态分布的概率密度函数来进行拟合，根据函数
图像的形状以及导数、二阶导数的符号来判断峰值和谷值。
（3）在房地产业中，我们需要根据市场需求来判断房屋价格走势，此时可以利用函数极值的方法来进行分析，以获得更准确的预测。
综上所述，函数极值与导数是微积分学中一个重要的概念，不仅
在数学理论研究中有着广泛的应用，同时在各个领域的实际问题中也
有着广泛的应用。
对于我们的生活和工作来说，掌握这些知识是非常
重要的。