实变函数证明大全(期末复习)

实变函数证明大全(期末复

习)

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1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞

=于E 。

证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测

子集n E ，使得1

()n m E E n

-<

， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立

[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1

[||]()n n mE f g n m E E n

-≥≤-<

，因此lim [||]0n n mE f g n →∞

-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列

{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞

=，..a e 于E

2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。

证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数

1,[]c E f c >是直线上的开集，设11

[](,)n n n E f c αβ∞

=>=

，其中(,)n n αβ是其构

成区间（可能是有限个，n α可能为-∞n β可有为+∞）因此

22221

1

[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞

∞

==>=

<<=

><因为g 在2E 上

可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，

{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。

证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意

(,)x ∈-∞∞，

0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E

δδ∈∈⊂就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，

0()lim ()n n f x f x a →∞

=≥，

即0x E ∈，因此E 是闭集。

4、（1）设2121

(0,),(0,),1,2,

,n n A A n n n

-==求出集列{}n A 的上限集和下限集

证明：lim (0,)n n A →∞

=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，

0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞

∈，

又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞

→∞

⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞

=若有lim n n x A →∞

∈，则存在

N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，

211

,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞

=

（2）可数点集的外测度为零。

证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且

||2i i

I ε

=

所以

1

i i I E ∞

=⊃，且1

||i i I ε∞

==∑，由ε的任意性得*0m E =

5、设}{n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞

→∞

==

=1

1

[lim lim ]n n x x k E f f k ∞

→∞→∞=-<∏.

由n f 可测lim n x f →∞

及lim n x f →∞

都可测，所以lim lim n n x x f f →∞

→∞

-在E 上可测。

从而，对任一自然数k ，1

[lim lim ]n n x x E f f k

→∞→∞-<可测。故

01

1

[lim lim ]

n n x x k E E f f k ∞

→∞→∞==-<∏

可测。既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。 6、设q R E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }， {n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m

（n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.

证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞

=1

，所以 E B E B i n n -⊂∞

=-1

又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-

所以对于任意i ，)(**1

E B m E B m i n n -≤-∞

=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=

令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1

=-∞

=）（E B m n n 所以E B n n -∞

=1

是可测的又由于

n B 可测，有n n B ∞=1

也是可测的所以)(1

1E B B E n n n n --=∞

=∞= 是可测的。

7、设在E 上()()n f x f x ⇒，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2

n =，则有

()()n g x f x ⇒

设[]n n n E E f g =≠，则1

10n n n n m E mE ∞∞

==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑。

0σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫

⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭所以

1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫

⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭

因为()()n f x f x ⇒，所以

0lim lim 0n n n n

mE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦ 即 ()()n g x f x ⇒

8、证明：()A B A B '''⋃=⋃。

证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而

()A B A B '''⋃⊂⋃

反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有