实变函数证明大全(期末复习)
实变函数期末考试重点
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数复习要点
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
实变函数(复习资料,带答案)
---《实变函数》试卷一一、单项选择题（ 3 分×5=15 分）1、下列各式正确的是（）（ A） lim A n A k ;（B） lim A nn 1 k n A k ;n n 1 k n n（ C） lim A n A k ;（ D） lim A nn 1 k A k ;n n 1 k n n n2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A）P c (B)mP 0(C)P'P(D)P P3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设f n ( x) 是 E 上的a.e.有限的可测函数列 , 则下面不成立的是()（A）若f n(x) f ( x) ,则f n( x) f ( x)(B)sup f n ( x) 是可测函数（C）inf f n (x) 是可测函数 ; （ D）若n nf n (x) f (x) ,则 f (x) 可测5、设 f(x) 是[ a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) f (x) 在 [ a, b] 上有界(B)f ( x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数（C）f'( x)在[ a, b]上 L 可积 (D)bf '(x)dx f (b) f (a)a二.填空题 (3 分× 5=15 分 )1、(C s A C s B) ( A ( A B))_________2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则oE' =______, E =______, E =______.3、设 E 是 R n中点集，如果对任一点集T 都，则称 E是L可测的4、f ( x)可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 . （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设f (x)为 a, b 上的有限函数，如果对于a, b 的一切分划，使_____________________________________则,称f ( x)为a, b 上的有界变差函数。
实变函数整理(定理精简版)
定理1.12若A 非空集合,则A 与其幂集φ(A)不对等｡ 证明 假定A 与其幂集φ(A)对等,即存在一一映射 f :A ->φ(A),作集合B={:()x A x f x ∈∉},于是有y ∈A,使f(y)=B ∈φ(A),分析一下y 与B 的关系:(1)若y ∈B,则由B 之定义可知()y f y ∉=B;(2)若y ∉B,则由B 之定义可知()y f y ∈=B ｡这些矛盾说明A 与φ(A)之间并不存在一一映射,即A 与φ(A)并不是对等的｡n R 中有界闭集的任一开覆盖均含有一个有限子覆盖｡证明 设F 是nR 中的有界闭集,Γ是F 的一个开覆盖,可以假定Γ由可列个开集组成:Γ={12,i G G G ……}｡令k H =1ki i G =,k L =F ⋂H c k (k=1,2…)｡显然,k H 是开集,kL 是闭集且有k L 1k L +⊃(k=1,2…)｡分两种情况:1,存在0k ,使得0k L 是空集,即0H ck 中不含F 的点,从而知F 0k H ⊂,定理得证;2,一切k L 皆非空,则有Canter 闭集套定理知,存在点0x ∈k L (k=1,2…),即0x ∈F 且0x ∈H c k (k=1,2…)｡这就是说F 中存在点0x 不属于一切k H ,与原假设矛盾,故第(2)种情况不存在｡定理1.28若F 是nR 的闭集,f(x)是定义在F 上连续函数且|f(x)|≤M(x ∈F),则存在nR 上的连续函数g(x)满足| g(x)|≤M,g(x)= f(x),x ∈F ｡ 证明 把F 分成三个点集:A=:()3M x F f x M ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭, B=:()3M x F M f x -⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭,C=:()33M M x F f x -⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭,作函数1()g x =(,)(,)3(,)(,)M d x B d x A d x B d x A -⎛⎫⎪+⎝⎭,x ∈n R ｡因为A 与B 是互不相交的闭集,所以1()g x 处处有定义且在n R 上处处连续,此外还有|1()g x |3M≤,x ∈ n R ,|f(x)-1()g x |23M≤,x ∈F ｡再在F 上考察f(x)-1()g x ,用类似方法作n R 上连续函数2()g x ,由于f(x)-1()g x 的界是2M/3,故2()g x 满足|2()g x |12()33M≤,x ∈n R ,|[f(x)-1()g x ]-2()g x |23≤23M =223⎛⎫⎪⎝⎭M,x ∈F ｡继续,可得nR 上连续函数列{()k g x },使|()k g x |11233k -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭M,x ∈nR (k=1,2…),|f (x)-1()ki i g x =∑|≤23k⎛⎫⎪⎝⎭M,x ∈F(k=1,2…)｡表明1()kk gx ∞=∑是一致收敛,若记其和函数为g(x),则其是nR 上连续函数;表明g(x)=1()kk gx ∞=∑=f(x),x ∈F ｡对任意x ∈nR ,|g(x)|≤1|()|k k g x ∞=∑≤3M (1+23+223⎛⎫ ⎪⎝⎭+…) ≤3M 1213-= M ｡ 定理 2.16设E 是nR 中可测集且m(E)>0｡作点集E-E def={x –y:x,y E ∈},则存在0δ>0,使E-E ⊃B(0,0δ)｡ 证明 取λ满足1-(1)2n -+<λ<1,存在矩体I ,使得λ|I|<m(IE )｡现在记I 的最短边长为δ,并作开矩体J=12(,,):||(1,2,....,)2n i x i δξξξξ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭…,n ｡从而只需证明J ⊂E-E,即证明对每个0x J ∈,点集IE 必与点集(IE )+{0x }相交｡因为J 是以原点为中心､边长为δ的开矩体,所以I 的平移矩体I+{0x }仍含有I 的中心｡知m(I0I+{}x )>2n -|I|｡由此可得m(I0I+{}x )=|I|+I+m({0x })-m(I0I+{}x )<2|I|-2n -|I|,即m(I0I+{}x )<2λ|I| ｡但由于IE 与(IE )+{0x }有着相同的测度并且都大于λ|I|,同时又都含于m(I0I+{}x )之中,故它们必定相交,否则其并集测度要大于2λ|I|,故引起矛盾｡ 定理(EropoB)：证明 对任给的ε>0,有lim ()k j k j m E ε∞→∞=⎛⎫⎪⎝⎭=0.现在取正数列1/i (i=1,2…),则对任给的δ>0以及每一个i,存在i j ,使得1()2i k i k j m E i δ∞=⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭,令E δ=11()ik i k j E i ∞∞==,有m(E δ)≤11()i k i k j m E i ∞∞==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑≤12i i δ∞=∑=δ｡现证明在点集E\E δ=11:|()()|i ki k j x E f x f x i ∞∞==⎧⎫∈-<⎨⎬⎩⎭上,{()k f x }是一致收敛于f(x)的｡事实上,对任给的0ε>,存在i 使得1/i<ε｡从而对一切x ∈E\E δ,当k ≥i j 时,有|()k f x -f(x)|<1i<ε｡说明()k f x 在E\E δ上一致收敛于f(x)｡定理 3.18(卢津定理)：证明假定f(x)是实值函数,这是因为m({}:|()|x E f x ∈=+∞)= 0 ｡首先考虑f(x)是可测简单函数:f(x)=1()ip i E i c x χ=∑,x ∈E=1pi i E =,iE j E =∅(i ≠j)｡此时,对任给的δ>0及每个E δ,可作E δ中闭集iF ,使m(i E \i F )<pδ,i=1,2…p ｡因为当x ∈i F 时,f(x)=i c ,故f(x)在i F 上连续｡而12,F F …p F 是互不相交的,可知f(x)在F=1pi i F =上连续,显然F 是闭集,且有m(E\F)=i 1m(E \)p i i F =∑<1pi pδ=∑=δ｡其次考虑f(x)是一般可测函数的情形,由于可作变换g(x)=()1|()|f x f x +｡故假设f(x)是有界函数｡根据简单函数逼近,存在可测简单函数列{()k x ϕ}在E 上一致收敛于f(x)｡现在对任给的δ>0及每个()k x ϕ,均作E 中的闭集k F ,m(E \)k F <2kδ,使()k x ϕ在k F 上连续｡令F=1k k F ∞=,则F ⊂E,且有m(E\F)≤1m(E \)k k F ∞=∑<δ｡因为每个()k x ϕ在F 上都是连续的,根据一致收敛性,易知f(x)在F 上连续｡ 定理 4.4(Levi 非负渐升列的积分)：证明 易知f(x)是E 上的非负可测函数,积分()Ef x dx⎰有定义｡因为()k Ef x dx ⎰≤1()k Ef x dx +⎰(k=1,2…),所以lim ()k Ek f x dx →∞⎰有定义,而且从函数列的渐升性可知lim ()k Ek f x dx →∞⎰≤()Ef x dx ⎰,现令c 满足0<c<1,h(x)是n R 上任一非负可测简单函数,且h(x)≤f(x),x ∈E ｡记k E ={x ∈E:()k f x ≥ch(x)}(k=1,2…),则{k E }是递增可测集列且lim k k E →∞=E,可知lim ()kE k ch x dx →∞⎰=c ()Eh x dx ⎰｡于是从()k Ef x dx ⎰≥()kk E f x dx ⎰≥()kE ch x dx ⎰=()kE c h x dx ⎰ 得到 lim ()k E k f x dx →∞⎰≥c ()Eh x dx ⎰｡在上式中令c->1,有lim ()kEk f x dx→∞⎰≥()Eh x dx ⎰｡依f(x)的积分定义即知lim()k Ek f x dx →∞⎰≥()Ef x dx ⎰｡。
实变函数复习要点
3
可测函数的收敛性 知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学 习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念 掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明） 一致收敛 处处收敛 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章 集合 集合的运算 子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法 则。会证明两集合相等 单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限 集。 集合的基数 明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系 会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应 能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集 基本概念 掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ， 给定一个集合，会求前述点集 开集、闭集、完备集 理解开集、 闭集、 自密集、 完备集的概念， 能分辨一个集合属于哪一类。 了解 Cantor 集的构造方式， 并要掌握其特性： 完备集； 不可数集； 测度为零； 内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。 知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的 了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场 掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 依测度收敛 必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理 掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理
实变函数证明题大全
1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数,证明:存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ,使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明:因为()f x 在E 上可测,由鲁津定理就是,对任何正整数n ,存在E 的可测子集n E ,使得1()n m E E n-<, 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ,使得当n x E ∈时,有()()n g x f x =所以对任意的0η>,成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<,因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒,由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ,使得lim ()()k n k g x f x →∞=,..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数,()g x 为[,]a b 上的可测函数,则(())f g x 就是可测函数。
证明:记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=,由于()f x 在1E 上连续,故对任意实数1,[]c E f c >就是直线上的开集,设11[](,)nn n E f c αβ∞=>=U ,其中(,)n n αβ就是其构成区间(可能就是有限个,nα可能为-∞nβ可有为+∞)因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><I U U 因为g 在2E 上可测,因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 就是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数a ,{|()}E x f x a =>就是一开集,而{|()}E x f x a =≥总就是一闭集。
实变函数总结
篇一：实变函数复习提纲实变函数复习提纲第一章集合2006-7-14一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：n?a、q?a（a＞0）；4、不可数数集合的基数：r?c（c>a>0）．三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例证明i=（－1，1）和r=（－∞，+∞）是对等的，并求i. 证：作映射ф：??x??tan因??x??tan?2x，x∈（－1，1），其值域为r=（－∞，+∞）、?2x，在（－1，1）∴?：??x??tan?2x是（－1，1）到r上的一一对应, 即 i= (-1,1)1?1?(x)?tanx2由对等的定义知：i～r.∵i～r∴i?r，又r?c，∴i?c. 2 集合的运算，德。
摩根律的应用 3 可数数集合的判定(??,??)=r第二章点集一、基本概念：距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设e为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求e，e，e； 2）判定e是开集还是闭集，为什么？解：1）对于?x?e，x的任意邻域u(x)内有无数个无理点,∴u(x)?e，∴x不是_e的内点，由x的任意性，知e无内点,∴e??.对于?x??0,1?，?u(x)内都有无数多个有理点，即有无数多个e的点,∴x为e的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是e的聚点. ∴e???0,1?. ∵e?e?e??e??0,1???0,1? ，∴2）e 不是开集，也不是闭集.因为e??，而e是非空的，∴e?e, ∴e不是开集.因为e???0,1?，而[0，1]中的无理点不在e内，即e??e，∴由定义知，e不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造__e??0,1?.第三章测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度．一、基本概念：勒贝格外测度，l测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设e为r中任一点集，对于每一列覆盖e的开区间uii?e，i?1n?作出它的体积和?? ?ii?1?i（?可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的?），所有这一切的?组成一个下方有界的数集，它的下确量（由e完全确定）称为e的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*e，即：m*e?infe???ii???i??i? ?i?1?注：由定义1知：r 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设e为r中点集，若对任一点集t都有nnm*t?m*(t?e)?m*(t?ce)（1）则称e为l可测的，这时e的l外测度m*e就称为e的l测度，记为me，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.l可测集的全体记为?.3可测集类1）零测度集类： 2）一切区间i（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且mi?i 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）m*e≥0，当e 为空集时m*e=0（即m*??0）；（非负性）；（2）设a?b，则m*a≤m*b；（单调性） ??（3）m*(uai)≤m*ai?1?i；（次可数可加性） i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合e可测←→对任意的a?e，b?[ce，总有m*(a?b)?m*a?m*b 2）余集的可测性：s可测←→cs可测3）并集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∪s2也可测； 4）交集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∩s2也可测； 5）差集的可测性：若s1，s2都可测，则s1－s2也可测；6）可列可加性：设?s?i?是一列互不相交的可测集，则u?1si也是可测的，且im(us??i)??msii?i?17）可列交的可测性：设?si??是一列可测集合，则?si也是可测集合；i?18）递增的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递增的可测集合：s1?s2???sn?，?令s=?s? 则ms?limi?1ilimn??snn??msn9）递减的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递减的，可测集合： s1?s2???sn ??令s??i?1si?limn??sn，则当它ms1＜∞时，ms?limn??msn.三基本题目1、试述l外测度的定义.（答案见第三章1定义1） 2、试给l测度的定义（答案见第三章2定义1）3、设点集e?rn，m*e?0，证明e是可测集，并求me.证：只须证明卡氏条件成立，即对?t?rn，有m*t?m*(t?e)?m*(t?ce)∵t?(t?e)?(t?ce)∴m*t≤m*(t?e)?m*(t?ce) （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵(t?e)?e，∴m*(t?e)≤m*e（单调性）∵已知m*e?0，m*(t?e)≥0，∴0≤m*(t?e)≤0，必有m*(t?e)=0 又：t?(t?ce) ∴m*t≥m*(t?ce)（单调性）∴m*t≥m*(t?ce)+m*(t?ce) ②由①、②可知：m*t=m*(t?ce)+m*(t?ce)，此即卡氏条件成立；∴ e是可测的，∴ me?m*e?0.n4、证明可数点集e?r的外测度m*e?0iii证明：e为可数点集，∴e??e1,e2,e3,?,em,? ?，其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?rn，i?1,2,3,?,m,?对于任意给定的?＞0，不妨设? 1，作开区间????ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1ij＜eij?i?1,j?1,2,3,?,n?22??ii?(因?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n?ii?1?i??ei?e，由外测度的单调性及次可列可加性得：i?1?1??m*e?m*(?ii)??m*ii??ii??i????1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*e≥0得：m*e=0，得证.注：本题可当作定理.5、设q为有理数集合，求m*q，mq. 解：∵q为一可数集合，∴m*q=0. 对于?t，∵t?(t?q)?(t?cq)∴m*t?m*(t?q)?m*(t?cq) （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵(t?q)?q，∴m*(t?cq)?m*q?0（单调性），m*(t?q)?0，∴m*(t?q)?0。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数的复习资料
一、集合1、证明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。
2、证明：单调上升（下降）有上界（下界）的数列{xn}必有上确界（下确界），且sup{xn} limxn，nn（inf{xn} limxn）。
nn3、证明：若{An}单增，则limAn An；若{An}单减，则limAn An。
n n 1n n 1114、证明：E[f a] E[f a ]；E[f a] E[f a ]。
n 1n 1nn5、证明：任何无限集必与其一个真子集对等。
6、证明：若A是无限集，B是有限集或可数集，则A B A。
7、证明：有理数全体成一可数集。
8、证明：开区间(0,1)是一不可数集。
9、证明：无理数全体成一不可数集。
二、点集1、设A B，证明：A B ,A0 B0,A B。
2、证明： A A A。
3、设E是[0,1]中的全体有理点，求E在R内的E ,E0,E。
4、设E {(x,y)|0 x y 1}，求E在R内的全体内点集，外点集，界点集，聚点集，孤立点集。
5、设E R，证明：E是开集，E 和E是闭集。
6、证明开集的任意并、有限交仍为开集。
并举例说明开集的任意交不一定是开集。
7、证明开集与闭集的对偶性。
8、证明：点集F为闭集的充要条件是F F。
9、设f(x)是定义在R上的函数，则f(x)在其上连续的充要条件是：对任意开集G，点集n012220f 1(G) {x|f(x) G}是开集。
三、测度论n1、若E {(0,0, ,0)} R，求mE。
***2、证明：若A B，则mA mB。
3、若mA 0，则对任意B，证明：m*(A B) m*B。
4、若m*(E1E2) m*(E2E1) 0，证明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、设S1,S2均为可测集，S2 S1且mS2 ，证明：m(S1 S2) mS1 mS2。
6、证明：凡外测度为零之集皆可测。
7、若X {1,2,3}， {{1},{2,3}}，试写出X上由所生成的代数。
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
40曲阜师范大学2020年成人高等教育 《实变函数》复习资料 期末考试试题及参考答案
10. 于 .
二、证明题
1. 证明如下:
2. 中任何一个元素可以由球心 , 半径为 唯一确定, , , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故 为可数集.
3.令 , 则 且 为可测集, 于是对于 , 都有 ，故
,
令 , 得到 , 故 可测. 从而
2、设在 上 ,而 成立, ,则有 ．
3、设 是 上 有限的函数，若对任意 ，存在闭子集 ，使 在 上连续，且 ，证明： 是 上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)
4、在有限闭区间 上的单调有限函数 是有界变差函数．
答案
一、计算题
1、设 ，其中 为Cantor集，计算 。
解.设 ，因 ，
则在 上 ，
2、求极限
D.若 ,则 可测．
3. 若 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 （）
A.
B.
C.
D.
4. 下列断言中( )是错误的 （）
A.零测集是可测集
B.可数个零测集的并是零测集
C.任意个零测集的并是零测集
D.零测集的任意子集是可测集
5. 设 是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是 （）
A. 在[a,b]上有界
9. 设 是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称 在E上依测度收敛于 . （）
10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________ （）
三、名词解释
1. Jordan分解定理
解：设 ，则易知当 时，
又因 ，( )，所以当 时，
实变函数证明题大全（期末考试）
实变函数证明题⼤全（期末考试）1、设',()..E R f x E a e ?是上有限地可测函数，证明：存在定义在'R 上地⼀列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E.证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 地可测⼦集n E ，使得1()n m E E n-<，同时存在定义在1R 上地连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意地0η>，成⽴[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 地⼦列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上地连续函数，()g x 为[,]a b 上地可测函数，则(())f g x 是可测函数. 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上地开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，nα可能为-∞nβ可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测.故[()]E f g c >可测.3、设()f x 是(,)-∞+∞上地实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是⼀开集，⽽{|()}E x f x a =≥总是⼀闭集.证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续地，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有，即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集.4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 地上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标⽐N ⼤地⼀切偶指标集，从⽽x 属于⽆限多n A ，得lim n n x A →∞∈，⼜显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集地外测度为零. 证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=?，且1||i i I ε∞==∑，由ε地任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上地可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测地. 证：显然，{}n f 地收敛点集可表⽰为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测.从⽽，对任⼀⾃然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测.故 011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测.既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测.6、设qR E ?，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ?E ?n B 且m （n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ?∞=1，所以E B E B i n n -?∞=-1⼜因为E A i ?，i i i A B E B -?-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -= 令i →∝，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测地⼜由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测地所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测地.7、设在E 上()()n f x f x ?，⽽()()n n f x g x =..a e 成⽴，1,2n =，则有()()n g x f x ?设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==??≤= ∑.σ?>1n n n n E f g E E f f σσ∞=??-≥-≥所以1nnn nn m E f g m EmE fσσσ∞=-≥?≤+?-≥?=?-≥?因为()()n f x f x ?，所以0lim lim 0n n nnmE f g mE f f σσ≤?-≥?≤?-≥?=即()()n g x f x ?8、证明：()A B A B '''?=?.证明：因为A A B ??，B A B ??，所以，()A A B ''??，()B A B ''??，从⽽()A B A B '''反之，对任意()x A B '∈?，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ??=为⽆限集，从⽽(,)B x A δ?为⽆限集或(,)B x B δ?为⽆限集⾄少有⼀个成⽴，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈?，()A B A B '''.综上所述，()A B A B '''?=?.9、证明：若()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E . 证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，⽽ 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥?-≥?-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ?，()()n f x g x ?（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=.所以，1[]0mE x f g k-≥=，从⽽[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E . 10、、证明：若()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥⾄少有⼀个成⽴.从⽽11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥?-≥?-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥.⼜由()()n f x f x ?，()()n g x g x ?（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=. 所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±?±（x E ∈）.11、若()()n f x f x ?（x E ∈），则()()n f x f x ?（x E ∈）.证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥?-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥.⼜由()()n f x f x ?（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=.所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ?（x E ∈）.12、证明：1R 上地连续函数必为可测函数.证明：设()f x 是1R 上地连续函数，由连续函数地局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从⽽是可测集.所以，()f x 是1R 上地可测函数.13、证明：1R 上地单调函数必为可测函数.证明：不妨设()f x 是1R 上地单调递增函数，对任意实数a ，记inf{()}A x f x a =>，由单调函数地特点得，当{()}A x f x a ∈>时，{()}[,)x f x a A >=+∞，显然是可测集；当{()}A x f x a ?>时，{()}(,)x f x a A >=+∞，也显然是可测集.故()f x 是1R 上地可测函数.14、设()()f x L E ∈，n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，若l i m n n m E m E →∞=，则l i m ()d ()dnE En f x x f x x →∞=??. 证明：因为n E 是E 地可测⼦集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从⽽由lim n n mE mE →∞=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞→∞-=-=.⼜()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性，lim[()d ()d ]lim ()d 0nnEE E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==?.15、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ?都有()()d 0Ef x x x ?=?，则()0f x =..a e 于E .证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ??∈>?=∈=??-∈，显然()x ?为E 上地有界可测函数，从⽽()d ()()d 0EEf x x f x x x ?==?.所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E .16、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞=；（2）lim 0n n n me →∞=.证明：由()d ()d nn e En me f x x f x x ?≤≤?得，（1）lim 0n n me →∞=.（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分地绝对连续性得，lim ()d 0ne nf x x →∞=?，从⽽注意到0()d nn e n me f x x ≤?≤?，所以，lim 0n n n me →∞=.17、若()f x 是[,]a b 上地单调函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()()baV f f b f a =-.证明：不妨设()f x 是[,]a b 上地单调增函数，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则11011()()[()()]()()nnii i i n i i f x f xf x f x f x f x --==-=-=-∑∑()()()()f b f a f b f a =-=-，所以，11()sup()()()()nbii V f f x f xf b f a -==-=-∑.18、若()f x 在[,]a b 上满⾜：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有1212()()f x f x K x x -≤-，则（1）()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且()()ba V f Kb a ≤-；（2）()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.证明：（1）由题设，任取[,]a b 地⼀个分割011:i i n T a x x x x x b -=<<<<<<=则111111()()()()nn ni i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑∑∑，所以，()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，且11()sup()()()nbi i aTi V f f x f x K b a -==-≤-∑.（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =.由于111()()n niiii i i i i f x f y K x yK x y ===-≤-=-∑∑∑，于是，对任意0ε>，取Kεδ=，则当1ni ii x yδ=-<∑时，有11()()nni i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑∑，即()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数.19、若()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.证明：由()f x 是[,]a b 上地绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不相交地开区间(,)i i x y ，1,2,,i n =，只要1n i i i x y δ=-<∑时，有1()()1ni i i f x f y =-<∑.现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<<<<<=，使得每⼀等份地长度⼩于δ.易得1()1ii a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上地有界变差函数.⼜11[,][,]n i i i a b a a -==，所以，11()()ii na baa i V f V f n -==≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上地有界变差函数.20、若()f x 是[,]a b 上地有界变差函数，则（1）全变差函数()xa V f 是[,]ab 上地递增函数；（2）()()xaV f f x -也是[,]a b 上地递增函数.证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21()0x x V f ≥，有21211()()()()x x x x aax aV f V f V f V f =+≥，即()xaV f 是[,]a b 上地递增函数.（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到211()()()x i i x V f f x f x -≥-，有21212121()()[()()]()[()()]x x x aax V f f x V f f x V f f x f x ---=--2121()()()0x x V f f x f x ≥--≥，即()()xaV f f x -是[,]a b 上地递增函数.21、证明Jordan 分解定理：()f x 是[,]a b 上地有界变差函数?()f x 可表⽰成[,]a b 上地两个增函数之差.证明：“充分性”显然成⽴.下证“必要性”.事实上，()()[()()]xxaaf x V f V f f x =--，由上题()xaV f 和()()xaV f f x -都是[,]a b 上地递增函数.版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some 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Copyright is personal ownership.RTCrpUDGiT⽤户可将本⽂地内容或服务⽤于个⼈学习、研究或欣赏，以及其他⾮商业性或⾮盈利性⽤途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本⽹站及相关权利⼈地合法权利.除此以外，将本⽂任何内容或服务⽤于其他⽤途时，须征得本⼈及相关权利⼈地书⾯许可，并⽀付报酬.5PCzVD7HxAUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time,they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.jLBHrnAILg转载或引⽤本⽂内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使⽤⽬地地合理、善意引⽤，不得对本⽂内容原意进⾏曲解、修改，并⾃负版权等法律责任.xHAQX74J0XReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. 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实变函数复习题
一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。
2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。
3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。
4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。
证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。
5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。
证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。
6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。
7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。
8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。
9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。
求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。
10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。
实变函数
| f ( x)| n
= |f|
∫ +∞ 4 4 , dx = 4 ⇒ g 可积。 (1+ x)2 0 (1+ x)2 x −n x −n x −2 3.{(1 + n ) } 单调递减,n ≥ 2, (1 + n ) ≤ (1 + 2 ) x −n x x −n 4 fn = (1 + n ) sin n ≤ (1 + n ) ≤ (1+ x)2 = g( x) x −n x x 4.lim fn ( x) = lim(1 + n ) · sin n = lim e− x n = 0. 由控制收敛定理得证。 集合相等的证明及应用 例 4. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc ∩ 1 1 例 5. ∞ n=1 (− n , n ) = {0} ∩ 1 证明. 1. 首先 {0} ⊂ (− 1 n , n ) 显然 ∩ 1 1 2. 欲证 (− n , n ) ⊂ {0} 反证法: 设 ∀ x ∩ 1 1 1 1 则 x (− n , )故x (− n , n ) 得证 x nx 例 6. A − ∩ An = ∪ (A − An )
=
4 (2+ x)2
<
4 . (1+ x)2
{0}, 即 x
0, 不妨 x > 0 ∃n x > 0, s.t. x >
1 nx
> 0,
上下极限的计算
1 例 7. An = [0, 1 + 1 n ], An = [0, 1 − n ]
解：
∩ 1 1 [0, 1 + ] = [0, 1 + ] = [0, 1] n→∞ k n n=1 k=n n=1 k=n n=1 ∪ ∪∩ ∪∩ 1 [0, 1] = [0, 1] lim An = Ak = [0, 1 + ] = k n→∞ n=1 n=1 k=n n=1 k=n ∩∪ ∩∪ ∩ 1 lim An = Ak = [0, 1 − ] = [0, 1) = [0, 1) n→∞ k n=1 k=n n=1 k=n n=1 ∪∩ ∪∩ ∪ 1 1 Ak = [0, 1 − ] = lim An = [0, 1 − ] = [0, 1) k n n→∞ n=1 k=n n=1 k=n n=1 lim An = Ak = 2
实变函数复习题(一)
实变函数复习题(一)实变函数复习题实变函数是数学分析中一门重要的课程，是几乎所有科学学科的一个基础，也是微积分的基础。
在学习实变函数的过程中，我们需要复习一些理论知识和解题技巧。
以下是一些重要的复习题目。
一、理论知识1. 实变函数的定义和性质2. 连续性和一致连续性的定义及其关系3. 极限的定义及其性质4. 导数的定义及其性质5. 高阶导数的定义及其性质6. 麦克劳林公式及其应用7. 极值和最值的定义及其求解方法8. 函数的单调性、凸性和拐点的定义及其求解方法9. 不定积分的定义及其性质10. 定积分的定义及其性质11. 变限积分和重积分的定义及其性质12. 广义积分的定义及其性质二、解题技巧1. 理解定理的证明过程，掌握其具体应用2. 运用极限的定义求解无穷小量、无穷大量等问题3. 对于特殊函数如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数等，需要熟悉其性质和求导规则4. 对于一些常用函数的不定积分，如$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$，$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$，$\int e^{ax}dx$，需要掌握其求解方法5. 对于求解最大值、最小值、拐点等问题，需要作图、求导、判别法等多种方法相结合6. 对于解决变限积分、重积分、广义积分等问题，需要根据相关定理进行计算和判定三、练习题1.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$2.证明函数$f(x)=x^3$在$x=0$处连续，但不一致连续3.证明$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$4.求函数$f(x)=x^5-5x^4+10x^3+10x^2-5x+1$的极值和最值5.求函数$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$的单调性、凸性和拐点6.求$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$7.求$\iint\limits_D(x^2+y^2)dx dy$，其中$D$是由$x^2+y^2=1$及$x^2+y^2=4$围成的区域8.求$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx$的值9.证明$\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx$收敛当且仅当$\alpha>1$10.证明$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$以上是实变函数复习的一些基本知识、技巧和练习题，通过对这些内容的熟练掌握和灵活运用，可以在以后的学习和科研中起到重要的作用。
实变函数(全)总结
limAn limAn A
n
n
则称集列{An} 收敛，称其共同的极限为集
列 {An} 的极限集，记为：lim An A n
单调增集列极限
若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调增加 ; 若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1, A2 , A3,两两不交, B1, B2 , B3,也两两不交
f
f
而且An ~ Bn (n 1,2,),所以 An ~ Bn
n1
n1
g
另外由Bk ~ Ak 1(k 1, 2,
g
), 可知 Bk ~ Ak 1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
f
(x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)
f
(x)
:
1 k
1, N
1,n
N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
A {x : ,有x A }
A {x : ,使x A }
例2
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
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实变函数证明大全(期末复习)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1、设',()..E R f x E a e ⊂是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数{}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞=于E 。
证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1()n m E E n-<， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥⊂-由此可得1[||]()n n mE f g n m E E n-≥≤-<，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ⇒，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞=，..a e 于E2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。
证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11[](,)n n n E f c αβ∞=>=，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个，n α可能为-∞n β可有为+∞）因此222211[()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞∞==>=<<=><因为g 在2E 上可测，因此22[],[]n n E g E g αβ><都可测。
故[()]E f g c >可测。
3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞，0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E Eδδ∈∈⊂就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞=≥，即0x E ∈，因此E 是闭集。
4、（1）设2121(0,),(0,),1,2,,n n A A n n n-==求出集列{}n A 的上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞=∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞∈，又显然lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞→∞⊂∞=∞所以lim n n A φ→∞=若有lim n n x A →∞∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N ->时，211,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以lim n n A φ→∞=（2）可数点集的外测度为零。
证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，且||2i iI ε=所以1i i I E ∞=⊃，且1||i i I ε∞==∑，由ε的任意性得*0m E =5、设}{n f 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。
证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n n x x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏.由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n n x x f f →∞→∞-在E 上可测。
从而，对任一自然数k ，1[lim lim ]n n x x E f f k→∞→∞-<可测。
故011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测。
既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。
6、设q R E ⊂，存在两侧两列可测集{n A }， {n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m（n A -n B ）→0，（n→∝）则E 可测.证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞=1，所以 E B E B i n n -⊂∞=-1又因为 E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ，由)(i i A B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n 所以E B n n -∞=1是可测的又由于n B 可测，有n n B ∞=1也是可测的所以)(11E B B E n n n n --=∞=∞= 是可测的。
7、设在E 上()()n f x f x ⇒，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =，则有()()n g x f x ⇒设[]n n n E E f g =≠，则110n n n n m E mE ∞∞==⎛⎫≤= ⎪⎝⎭∑。
0σ∀>1n n n n E f g E E f f σσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤⊂⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭所以1n n n n n mE f g m E mE f f mE f f σσσ∞=⎛⎫⎡-≥⎤≤+⎡-≥⎤=⎡-≥⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭因为()()n f x f x ⇒，所以0lim lim 0n n n nmE f g mE f f σσ≤⎡-≥⎤≤⎡-≥⎤=⎣⎦⎣⎦ 即 ()()n g x f x ⇒8、证明：()A B A B '''⋃=⋃。
证明：因为A A B ⊂⋃，B A B ⊂⋃，所以，()A A B ''⊂⋃，()B A B ''⊂⋃，从而()A B A B '''⋃⊂⋃反之，对任意()x A B '∈⋃，即对任意(,)B x δ，有(,)()((,))((,))B x A B B x A B x B δδδ⋂⋃=⋂⋃⋂为无限集，从而(,)B x A δ⋂为无限集或(,)B x B δ⋂为无限集至少有一个成立，即x A '∈或x B '∈，所以，x A B ''∈⋃，()A B A B '''⋃⊂⋃。
综上所述，()A B A B '''⋃=⋃。
9、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈），则()()f x g x =..a e 于E 。
证明：由于11[()()][]n E x f x g x E x f g n∞=≠=-≥，而 111[][][]22n n E x f g E x f f E x f g k k k-≥⊂-≥⋃-≥，所以，111[][][]22n n mE x f g mE x f f mE x f g k k k-≥≤-≥+-≥，由()()n f x f x ⇒，()()n f x g x ⇒（x E ∈）得1lim []02n n mE x f f k →∞-≥=，1lim []02n n mE x f g k→∞-≥=。
所以，1[]0mE x f g k-≥=，从而[()()]0mE x f x g x ≠=，即()()f x g x =..a e 于E 。
10、、证明：若()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈），则()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
证明：对任意0σ>，由于()()[()()]()()()()n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x ±-±≤-+-，所以，由()()[()()]n n f x g x f x g x σ±-±≥可得，1()()2n f x f x σ-≥和1()()2n g x g x σ-≥至少有一个成立。
从而11[[]][][]22n n n n E x f g f g E x f f E x g g σσσ±-±≥⊂-≥⋃-≥，所以，11[[]][][]22n n n n mE x f g f g mE x f f mE x g g σσσ±-±≥≤-≥+-≥。
又由()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒（x E ∈）得，1lim []02n n mE x f f σ→∞-≥=，1lim []02n n mE x g g σ→∞-≥=。
所以，lim [[]]0n n n mE x f g f g σ→∞±-±≥=，即()()()()n n f x g x f x g x ±⇒±（x E ∈）。
11、若()()n f x f x ⇒（x E ∈），则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
证明：因为()()()()n n f x f x f x f x -≥-，所以，对任意0σ>，有[][]n n E x f f E x f f σσ-≥⊂-≥，[][]n n mE x f f mE x f f σσ-≥≤-≥。
又由()()n f x f x ⇒（x E ∈）得，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=。
所以，lim []0n n mE x f f σ→∞-≥=，即()()n f x f x ⇒（x E ∈）。
12、证明：1R 上的连续函数必为可测函数。
证明：设()f x 是1R 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a ，11[]{(),}R x f a x f x a x R >=>∈是开集，从而是可测集。