关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理

关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和特征。在正交矩阵的研究中，有两个定理十分重要，它们分别是正交矩阵特

征值定理和正交矩阵的行列式定理。本文将详细介绍这两个定理及其相关

的内容。

首先，让我们来介绍正交矩阵特征值定理。对于一个n阶的正交矩阵A，其特征值有以下几个性质：

1.特征值是复数或者实数。正交矩阵的特征值可以是复数或者实数。

实数特征值通常与旋转、缩放等几何变换相关，而复数特征值则与复数平

面中的旋转和放大相关。

2.特征值的模等于1、正交矩阵的特征值的模的平方等于1，即，λ，=1、这意味着特征值在复数平面上的表示在单位圆上。

3.不同特征值对应的特征向量正交。对于不同的特征值λ1、λ2，

它们所对应的特征向量x1、x2互相正交，即x1·x2=0。也就是说，正交

矩阵的不同特征向量之间是正交的。

4.若特征值为1，则其对应的特征向量为平移不变的向量。如果一个

正交矩阵A的特征值λ=1，则其对应的特征向量x称为平移不变向量。

这意味着A作用在x上，结果仍然是x。

接下来，我们将介绍正交矩阵的行列式定理。对于一个n阶的正交矩

阵A，其行列式的值有以下几个性质：

1. 行列式的值为±1、正交矩阵的行列式的值只能是±1，即，

det(A)， = 1、具体是 +1 还是 -1 取决于 A 是顺时针还是逆时针旋转。

2. 行列式的值与特征值的乘积相等。设正交矩阵 A 的特征值为λ1、λ2、…、λn，则有，det(A)，= λ1 * λ2 * ... * λn。这说明正

交矩阵的行列式的绝对值等于其特征值的乘积。

3. 行列式的值与特征向量的长度的乘积相等。设正交矩阵 A 的特征

向量为 x1、x2、…、xn，其对应的特征值为λ1、λ2、…、λn，则有，det(A)， = ，λ1， * ，λ2， * ... * ，λn， = ，x1， * ，x2，

* ... * ，xn。这说明正交矩阵的行列式的绝对值等于特征向量的长度的

乘积。

综上所述，正交矩阵特征值定理指出了正交矩阵特征值的一些重要性质，而正交矩阵的行列式定理则指出了正交矩阵行列式的一些特点。这两

个定理的应用范围非常广泛，涉及到许多不同领域的数学和工程问题。了

解和掌握这两个定理对于深入理解和应用正交矩阵具有重要意义。