先进控制理论-滑膜控制

1 滑模控制概述变结构系统，广义地说，是在控制过程(或瞬态过程)中，系统结构(或模型)可发生变化的系统。

这种控制方法的特点就在于系统的“结构力不是固定的，而是可以在动态过程中，随着系统的变化，根据当前系统状态，系统的各阶导数和偏差等，使系统按照设计好的“滑动模态”的状态轨迹运动。

由于滑动模态可以进行设计并且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。

这种方法的缺点是当系统状态运行到滑模面后，难于严格地沿着滑模面向平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿越，从而产生抖动。

滑模变结构控制是一种先进的控制方法，文献[34-51]讲述了这种控制方法是20世纪50年代，前苏联学者Emelyanov 首先提出了变结构控制的概念之后，UtkinE 等人进一步发展了变结构理论。

具有滑动模态的变结构系统不仅对外界干扰和参数摄动具有较强的鲁棒性，而且可以通过滑动模态的设计来获得满意的动态品质。

在这种控制方法的初始阶段研究的对象为二阶及单输入的高阶系统，采用的分析方法为相平i 酊法来分析系统特性。

20世纪70年代以来研究对象转变为状态空问的线性系统，使得变结构控制系统设计思想得到了不断丰富，并逐渐成为一个相对独立的研究分支，成为自动控制系统的一种设计方法，适用于线性与非线性系统、连续与离散系统、确定性与不确定性系统、集中参数与分布参数系统、集中控制与分散控制等。

并且在实际工程中逐渐得到推广应用，如电机与电力系统控制、机器人控制、飞机控制、卫星姿态控制等。

这种控制方法通过控制量的切换使系统状态沿着滑模面滑动，使系统在受到参数摄动和外干扰时具有不变性，正是这种特性使得变结构控制方法得到了越来越广泛的应用。

2 滑模控制的基本思想考虑一般的情况，在系统)(.x f x = nR x ∈的状态空间中，有一个切换面是0),,,()(321=⋯⋯=n x x x x s x s 它将状态空间分成上下两部分S>0及S<0。

在切换面上的运动点有三种情况，如图1所示。

图 1 滑模控制的基本思想通常点一一系统运动点运动到切换面S=O 附近时，穿越此点而过(点A)；起始点一一系统运动点到切换面S=O 附近时，从切换面的两边离开该点(点B)； 终止点一一系统运动点到达切换面S=O 附近时，从切换面的两边趋向于该点(点C)。

在滑模变结构中，通常点与起始点无多大意义，而终止点却有特殊的含义。

因为如果在切换面上某一区域内所有的运动点都是终止点，则一旦运动点趋近于该区域，就会被“吸引"到该区域运动。

此时，称在切换面S=0上所有的运动点都是终止点的区域为“滑动模态”区，或简称为“滑模”区。

系统在滑模区中的运动就叫做“滑模运动”。

按照滑动模态区上的运动点都必须是终止点这一要求，当运动点到达切换面s(x)= 0附近时， 0lim 0lim 0lim .0.0.0≤≥≤---→→→s s s s s s s 或者及。

所以当有一控制系统),,(.t u x f x =n R x ∈，R t R u m∈∈,要用滑模来控制时需要确定。

(1)切换函数 ),(s x m R ∈s ⎪⎩⎪⎨⎧<>=-+0)()(0)()()2(x s x u x s x u u 控制函数其中，)()(x u x u -+≠，使得1．滑动模态存在，即上式成立；2．满足可达性条件，在切换面s(x)=0以外的运动点都将于有限的时间内到达切换面；3．保证滑模运动的稳定性；4．达到控制系统的动态品质要求。

当系统的状态变量进入切换面后，就被约束在S=0的子空间中作小幅度，高频率的上下运动，即“滑模’’运动。

此时系统的动态品质由滑模面的参数决定，而与系统参数的摄动，外部的扰动无关，即：滑模控制具有对参数摄动的不变性。

这种不变性显然比鲁棒性更进了一步，称之为完全鲁棒性或理想鲁棒性。

3 滑模变结构控制的具体概念对单输入系统：)1(1.,x R u R x buAx n ∈∈+=我们所需要做的就是找到切换函数：)2()(xc x s T = 并且求出变结构控制：)3(0)()(0)()(⎪⎩⎪⎨⎧<>=-+x s x u x s x u u使得1)在切换面s@)。

0上，存在一个有限大或整个切换面的滑动模态区；2)滑动模态作为渐近稳定的运动，趋向原点X ；0，并且有良好品质3)原点具有足够大的吸引区，或者吸引区就是整个状态空间4)滑动模态前的正常运动，也具有某种优良品质5)滑动模态具有完全抗干扰及抗系统各种振动的性质。

设一个二阶定常线性系统可由下列状态空间方程描述：)4()(10)()(10)()(21212.1.t u t x t x a a t x t x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡式中：)(),(21t x t x 为系统状态变量(或相变量)，21,a a 为系统的固定参数，)(t u 为控制函数。

这里构造一个控制)()()(11t x x k t u -=，)5()()()(10)()(212112.1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t x t x a x k a t x t x当a x k =)(1时，设0>a 状态空间方程为：)6()()(10)()(21212.1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t x t x a a a t x t x设02>a ，此时系统有正实部复根，它的相轨迹为不稳定焦点的结构，如图2所示。

当a x k -=)(1时，设0>a 状态空间方程为：)7()()(10)()(21212.1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡t x t x a a a t x t x同样设02>a ，系统的像平面图如图3所示，此时系统有一正一负实根，为鞍点结构。

图2 a x k =)(1时相平面图 图3 a x k -=)(1 时相平面图所以系统结构不是固定的，而是可以变化的，有两个线性结构，或者说有两个线性模型，每一种结构都是不稳定的。

我们选定的s=0这条直线，即),0(0s 21且为常数>=+=C x Cx 这条直线。

我们把C 选定在位于1x 轴和a x k -=)(1时双曲线轨迹的渐近线之间。

下面我们来改进系统结构，使得系统稳定。

如果结构改变的规律具有如下形式：)8(00)(111⎩⎨⎧<->=s x a s x a x k 当当 如图4所示，当 0,01>>s x (I 区)和0,01<<s x (III 区)时，相轨迹为不稳定焦点的轨迹；当0,01><s x (II 区)和0,01<>s x (IV 区)时，相轨迹为鞍点的轨迹。

由图4可见，系统状态的代表点由任何初始位置出发，总会碰到直线0=s，这里规定，把碰到直线0=s 称为进入直线0=s 。

在这条直线的领域，两结构的轨迹指向相对，故往后系统的运动将是沿着0=s 这条直线的滑动模态，如图4中0=s 上面的锯齿所示。

直线0=s 是控制产生切换的边界线，由于控制切换，直线0=s 一般称为切换线。

在01=x 上，虽然)(1x k 发生切换，但控制不切换(因为1x a u -=)时相平面当当图⎩⎨⎧<->=00)(4111s x a s x a x k若系统的运动一旦进入滑动模态，则21x Cx +，应当等于0，因为21x Cx s +=，又因状态方程中2.x x =，所以)9(011.=+Cx x上式为一阶微分方程，它被用来作为描述滑动运动的方程，称为滑动模态方程或滑动方程。

此方程的解为)10()()(011==t t x t x 当0>C 时，此解稳定，所以变结构系统也是稳定的。

由上面的分析可知，两种结构都不稳定的变结构系统，若正确选择切换线，引入滑动模态之后，可以是稳定的。

总的来说，滑模控制系统的动态响应过程可分为两个阶段：(1)趋近运动阶段，即从任一初始状态于有限时间内趋近滑模面的运动，此时系统的轨线向着S=O 运动：(2)滑模阶段，此时系统的轨线沿着S=O 滑动。

只有滑模阶段才具有强鲁棒性，而趋近运动阶段不具有这一特点，因此希望趋势运动阶段尽可能快。

所以，滑模控制器的设计包括二个相对独立的部分：(1)寻求滑模面函数s ，使它所确定的滑动模态渐进稳定且具有良好的动态品质；(2)寻求控制u ，从而使滑模面上布满终止点，形成滑动模态区。

因此系统的性能主要包括动态特性和鲁棒性。

所以，在滑模控制中合理选取控制率u 和滑模面0=S是极为重要的，它直接影响了系统的性能。

4 滑模控制器的设计方法设计的目标通常包括三个方面:(1)所有的相轨迹于有限时间进入切换面S=0，并在进入切换面后保持在切换面上运动而不再离开.(2)系统在切换面上的滑动运动渐近稳定。

(3)系统的运动具有满足要求的良好的动态品质。

以上的三个目标描述了系统按时间顺序的运动过程，但是在设计时，则恰好是按相反的顺序来设计，设计滑模变结构控制器的基本步骤包括两个相对独立的部分：(1)切换函数S(x)的选择，使得确定的滑动模态运动渐进稳定且具有良好的动态品质。

包括线性切换函数和非线性切换函数。

(2)控制律U(x)的求取，使得到达条件得到满足，从而在切换面上形成滑动模态去。

一旦切换函数和控制律都得到了，滑模变结构控制系统就能建立起来。

对于如下非线性不确定系统：)()(),,()()(.t Cx t y u x t f t Bu t Ax x =++= 当系统发生故障时：)()(),,()()(.t Cx t y u x t f t Bu t Ax x f f f f f =++= 提出如下形势的鲁棒滑模观测器： Bv t y t x C G t Bu t x A x +--+=)()()()()(^^^.定义非线性不确定系统的状态与观测器的状态的偏差为：bv u x t B t e A t e +-=),,()()(0ψ若偏差系统的状态变量渐进或有限时问收敛到原点，则实现了系统的状念估计。

为了设计鲁棒滑模观测器，首先将滑模设计为如下的线性滑模形式：)(^y x C F FCe Me s -===故滑模设计问题归结为参数矩阵F 的设计。

对于非线性不确定系统的鲁棒滑模观测器，提出如下滑模策略v ：若非线性系统中的参数为：),,(u x t f 满足匹配条件，)]2sin()2cos(2)2cos()2sin(2[),,(t t t t u x t ππππψ++=则2=ρ设计中的几个条件：1）为了是设计简单，选取G=02）取),(^v x C F Me s -==其中;1121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=F 3) )(0}24,5,0max{)(3max -==--=M s A A λλ4) 设计控制策略，取设计参数2.0,6.02===εγβ，.系统重组后的输出和讵常系统输出的仿真图如图3．5和图3．6所示；滑模观测器的控制输入如下图所示；重组后1y 的输出 重组后2y 的输出由仿真结果可以看出，系统在发生传感器故障后通过设计恰当的虚拟传感器可以使得重组后被控对象的输出逼近正常被控对象的输出。