圆 轨迹方程
【原创】圆的一般方程与点的轨迹
概念
圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特殊地，当 a＝b＝0 时，方程为 x2＋y2＝r2， 表示以原点为圆心、半径为 r 的圆．
概念
(1)圆的一般方程的概念： 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的 圆的圆心为(－D2 ，－E2)，半径长为12 D2＋E2－4F.
注：
应用待定系数法求圆的方程时： (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或
半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法求出常数 D、E、F.
例1
求过三点 O(0,0) 、 M1 (1,1) 、 M 2 (4,2) 的圆的方程，并求出圆的
设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线 且|PA|＝1，求 P 点的轨迹方程．
思考
已知△ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3， 求顶点 C 的轨迹方程．
半径长和圆心坐标。
例2
方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆，求实数 m 的取值范围。
例3
已知一动点与两个定点 O(0,0) 、 A(3,0) 距离之比为 1 ， 2
求动点的轨迹方程。
例4
长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动，
求线段 AB 中点 M 的轨迹。
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
与圆有关的轨迹方程的求法[精选.]
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与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ②代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因202y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+yx过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x .3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ① βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
轨迹方程的求法及典型例题
轨迹方程的求法及典型例题轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点一、知识复习例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M 与已知圆相切，且过点P，求圆心M 的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36 内的一点， A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB 的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP 中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|= (x 4)2y 2所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=x24,y1 y20, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得(x24)2(2y)24 x24－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.2设曲线段C的方程为y 2px(p 0),(x A x x B ,y 0) ，由|AM | 17,|AN | 3得(x Ap2)22px A 17 (1)(x A 2p)2 2px A 9 (2)由①，②两式联立解得4 p 4 或p p。
再将其代入①式并由p>0解得x A 1 x A例3、如图, 直线L1和L2相交于点M, L1 L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L 2的距离与到点N的距离相等. 若AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段 C的方程.解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点其中x A,x B分别为A，B的横坐标，P=|MN| 所以M ( p,0),N(p,0)22x Ax A |ME | DA| | AN | 3y A |DM | | AM |2 |DA |2 2 2 由于 AMN 为锐角三角形故有 x N |ME | |EN ||ME | | AM |2 | AE |2 4 x B |BE| |NB| 6设点P(x, y)是曲线段 C 上任一点则由题意知 P 属于集合 2 2 2 {( x,y)|(x x N ) y x ,x A x x B ,y 0} 故曲线段 C 的方程y 2 8(x 2)(3 x 6,y 0)p x A因为△ AMN 是锐角三角形，所以 2 A ，故舍去p2 x A 2∴p=4,x A =1x B |BN |由点B 在曲线段 C 上，得 B 22综上得曲线段 C 的方程为y 8x(1 x解法二：如图建立坐标系，分别以 4 。
圆的一般方程的第二课时：求轨迹方程问题
教学设计主备课人：德庆县香山中学王婷教学内容圆的一般方程第2课时：求轨迹方程问题教学目标能直接法和相关点法求圆的轨迹方程，渗透数形结合、化归与转化的思想。
核心素养a.数学抽象：通过圆的一般方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力；b.逻辑推理：运用转移代换的思想方法推导求出轨迹方程;c.数学运算：化简、整理方程；d.数学建模：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.教学重点能直接法和相关点法求圆的轨迹方程。
教学难点学会用数形结合、化归与转化的思想方法解答数学问题。
教学策略手段（教学过程）一、复习回顾知识点圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（必备条件：D2 + E2– 4F＞0）将它化成圆的标准方程22224()()224D E D E Fx y+-+++=得，圆心(,)22D E--，半径为2244D E Fr+-=；二、引入：求轨迹方程设动点(,)M x y动点M满足MC r=即22()()x a x b r-+-=222()()x a y b r-+-=结论：求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标(x，y)所满足的关系.二、例题讲解例1：已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-、（1,0)，直线AM 与直线BM 垂直相交于M ,且它们的斜率都存在,求动点M 的轨迹方程。
例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3）， 端点A 在圆22(1)4x y ++= 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹 方程。
对点练习对点练习1：已知点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程。
对点练习2：点P 是圆2216x y +=上的动点，点A(12,0),当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？。
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法有五种方法可以求解轨迹方程，分别是：1.参数方程法2.一般方程法3.极坐标方程法4.隐函数方程法5.线性方程组法接下来将对这五种方法进行详细解释。
1.参数方程法：参数方程法是指将坐标轴上的点的位置用一个参数表示，通过参数的变化来表示轨迹。
例如，一个点在x轴上运动，其速度为v，经过时间t后的位置可以用参数方程表示为x = vt。
参数方程法可以很方便地描述物体的运动轨迹，特别适用于描述曲线的参数方程。
2.一般方程法：一般方程法是指将轨迹上的点的位置用一般方程表示。
例如，对于一个圆形轨迹x^2+y^2=r^2，其中r为半径，可以通过该一般方程来描述圆的轨迹。
一般方程法可以描述各种曲线轨迹，但是求解过程可能较为繁琐。
3.极坐标方程法：极坐标方程法是指将轨迹上的点的位置用极坐标系表示。
极坐标系由极径和极角两个参数组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向角度。
通过给定极径和极角的值可以唯一确定一个点的位置。
例如，对于一个以原点为中心的圆形轨迹，可以用极坐标方程表示为r=R，其中R为圆的半径。
极坐标方程法适用于描述具有对称性的轨迹，如圆形、椭圆形等。
4.隐函数方程法：隐函数方程法是指将轨迹上的点的位置用隐函数方程表示。
隐函数方程是一个含有多个变量的方程，其中至少有一个变量无法用其他变量表示。
通过给定其他变量的值，可以计算出不能用其他变量表示的变量的值，从而确定轨迹上的点的位置。
例如，对于一个抛物线轨迹y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以根据给定的x的值求解出y的值，从而确定轨迹上的点的位置。
5.线性方程组法：线性方程组法是指将轨迹上的点的位置用线性方程组表示。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数是轨迹上的点的坐标。
通过求解线性方程组可以得到轨迹上的点的坐标。
线性方程组法适用于描述由多个轨迹组成的复杂图形，如多边形等。
以上就是求解轨迹方程的五种方法，分别是参数方程法、一般方程法、极坐标方程法、隐函数方程法和线性方程组法。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
阿波罗尼斯圆轨迹方程
阿波罗尼斯圆轨迹方程稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊超有趣的阿波罗尼斯圆轨迹方程。
你们知道吗？这个方程就像是一个神秘的魔法咒语，能揭开好多图形的秘密。
想象一下，在一个大大的数学世界里，有一些点按照特定的规律移动，然后就形成了阿波罗尼斯圆。
它可不是随便出现的哦，是有一套严格的规则在控制着。
这个方程看起来可能有点复杂，一堆字母和符号，但其实只要咱们耐心点，就能发现它的美妙之处。
比如说，当我们给定两个固定的点，然后通过这个方程，就能算出那个神奇的圆的位置和大小。
是不是感觉像在变魔术？而且哦，阿波罗尼斯圆在好多数学问题里都能派上用场。
比如解决几何图形的最值问题，一下子就能找到最巧妙的答案。
怎么样，是不是对这个阿波罗尼斯圆轨迹方程有点好奇啦？那就一起深入探索它的奇妙世界吧！稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们要讲讲那个神奇的阿波罗尼斯圆轨迹方程。
一提到这个名字，是不是感觉有点高大上？但别被它吓到啦，其实它也没那么难理解。
你看啊，咱们先想象有两个固定的点，就像两个坚守岗位的小卫士。
然后呢，根据这个方程，就能找出一个特别的圆。
这个圆可有意思了，它的出现就像是数学天空中的一颗璀璨星星。
有时候，我们在解题的时候，被各种条件绕得晕头转向。
但是，只要想起阿波罗尼斯圆轨迹方程，就好像找到了一把万能钥匙，能打开难题的大门。
而且哦，它不仅仅在数学课本里有用，在现实生活中也有它的影子呢。
比如说建筑设计、工程规划，都可能用到它。
所以呀，别觉得数学枯燥无聊，像阿波罗尼斯圆轨迹方程这样的知识，其实充满了乐趣和惊喜。
让我们一起爱上数学，探索更多的奇妙之处吧！。
圆中的轨迹方程问题
圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。
在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。
让我们来了解一下什么是轨迹方程。
在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。
而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。
在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。
内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。
根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。
以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。
我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。
我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。
即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。
通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。
举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。
我们需要求出M点的轨迹方程。
根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。
M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。
物体的轨迹方程
物体的轨迹方程物体的轨迹方程是描述物体在运动过程中所形成的轨迹的数学表达式。
在物理学中，物体的运动可以分为直线运动和曲线运动两种情况，各自有不同的轨迹方程。
本文将详细介绍这两种情况下物体的轨迹方程。
在直线运动中，物体在一条直线上沿着同一方向运动。
若物体的初始位置为x₀，初始速度为v₀，加速度为a，则物体在时间t后的位置x可以用以下方程表示：x = x₀ + v₀t + ½at²这是直线运动的位移方程，也是物体的轨迹方程。
通过这个方程，我们可以计算物体在一段时间内的位置。
在曲线运动中，物体在空间中的运动轨迹是一条曲线。
常见的曲线运动包括抛体运动、圆周运动和椭圆运动等。
针对这些不同的曲线运动，有着各自的轨迹方程。
首先，我们来看抛体运动。
抛体运动是指物体在一个重力场中自由运动，并且具有一个初速度的运动。
当忽略空气阻力时，抛体运动的轨迹方程可以分别在水平方向和竖直方向上得到。
在水平方向上，物体的速度保持不变，因为没有水平方向上的外力作用。
所以，物体的水平位移可以用以下方程表示：x = v₀xt其中，v₀x为物体在水平方向上的初速度。
在竖直方向上，物体在重力作用下做匀加速运动。
加速度的大小为g，方向向下。
所以，物体的竖直位移可以用以下方程表示：y = v₀yt - ½gt²其中，v₀y为物体在竖直方向上的初速度。
综合水平和竖直方向的方程，我们可以得到抛体运动的轨迹方程。
以抛体的起始点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，可以写为：x = v₀xty = v₀yt - ½gt²这是抛体运动的轨迹方程。
通过这个方程组，我们可以计算任意时刻物体的位置。
接下来，我们讨论圆周运动。
圆周运动是指物体绕某一点以一定的角速度进行的运动。
在圆周运动中，物体的轨迹是一个圆。
设物体绕圆心运动，圆心在坐标系的原点。
设物体在圆周上某一点的位置为(x, y)，物体与x轴之间的夹角为θ。
大学物理 第一章 第二节圆周运动与一般平面曲线运动
2、角加速度
lim
t 0 t
d
dt
d 2
dt 2
方向？
四、 圆周运动中线量和角量的关系 1、线速度与角速度 v R
角速度 的方向:
按“右旋规则”确定 角加速度 的方向: 加速时与方向相同 减速时与方向相反
y
R
o
x
2、切向加速度与角加速度 3、 法向加速度与角速度
a R
an
v2 R
v
R 2
4、速度分量式
（1）可将抛体运动分解为 沿x和y 两个方向的独立运动。
立进行的运动迭加而成。
※
抛体运动方程的矢量形式
v
(v0cos )i
(v0
sin
gt)
j
v0t
r
1
gt
2
2
v dr dt
r
t vdt
0
t 0
(vxi
vy
j )dt
(v0t
cos
)i
(v0t
sin
1 2
gt2 )
j
（2）也可将抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7
五、匀变速率圆周运动
常量， 故 at r，an r 2
dω 常量，
dt
又
dω dt d dt，
如 t 0 时, 0 ， 0
可得：
0 t θ θ0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
匀变速率圆周运动
0 t
θ
θ0
0t
1 2
t
圆的轨迹方程(难题精编)
1．已知集合A={(x,y)|x+ay=1},B={(x,y)|ax+y=1},C={(x,y)x2+y2=1}(1)若card（(AUB)∩C)=2,求实数a的值(2)若card（(AUB)∩C)=3,求实数a的值2.若曲线C1:x2-y2=0与圆C2:(x-a)2+y2=1的图象有3个交点,求a的值3.求证:对任何实数k,圆x2+y2-2kx-(2k+6)y-2k-31=0恒过两定点,并求出它们的坐标4.已知两圆x2+y2-10x-10y=0和x2+y2+6x-2y-40=0(1)求这两个圆的公共弦所在直线的方程:(2)求它们的公共弦长5.已知定点A(4，0),在定圆O:x2+y2=4上有一动点Q,求线段AQ的中点P 的轨迹方程6.已知圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,且OP⊥OQ(O为原点)求实数c的值7.已知⊙C:x2+y2+6x-6y=0与直线l:y=-x+m交于A、B两点,对定点D(-2，0)有DA⊥DB,求m的值8.已知直线l:x+y+2=0与⊙O:x2+y2=4相交于A、B两点(1)求|AB|:(2)求AB中点坐标:(3)求以AB为直径的圆的方程9.已知⊙O:x2+y2=9,分别求满足下列条件的动弦中点M的轨迹方程(1)弦过点(3,2)(2)弦的斜率为2(3)弦长为2.10.己知实数x,y满足:x2+y2-2x+4y-20=0(1)求的最值:(2)求2x-y+3的最值:(3)求x2+y2的最值(4)求x2+y2-10x-4y的最值11.已知O为原点,定点Q(4,0),点P是圆x2+y2=4上一动点,但P不在x 轴上,设∠POQ的平分线12.过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点A作圆的切线l,M为1上任意一点,再过M作圆的另一切线,刃点为Q,当点M在直线l上移动时,求△MAQ的垂心H的轨迹方程13.已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圈M于A,B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程14.过圆x2+y2=4内一点A(1，1)作圆的动弦交圆于PQ两点,过点P,Q分别作圆的两切线,交于R点求点R的轨迹方程.。
与圆有关的轨迹方程
求与圆有关的轨迹方程[概念与规律]求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：? 设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x0，y0），? 求出用x，y表示x0，y0的关系式，? 将（x0，y0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
[讲解设计]重点和难点例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。
例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。
方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC，当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即即x2＋y2－4x＝0. ①当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)．方法二：(定义法)由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)．例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|}∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，设点M的坐标为（x，y），则√(x2+x2−1)=√(x−2)2+x2整理得（x-4）2+y2=7．∴动点M的轨迹方程是（x-4）2+y2=7．它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7121l2都相交，并且l1与l2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。
圆上弦中点轨迹方程
圆上弦中点轨迹方程引言圆是几何学中一个重要的概念，它的研究涉及到许多有趣的问题。
其中之一就是圆上弦中点的轨迹方程。
在本文中，我们将详细探讨这个问题，并给出相应的推导和解释。
圆的基本概念在深入讨论圆上弦中点轨迹方程之前，我们先来回顾一下圆的基本概念。
定义圆是由平面上与一个固定点的距离等于常数的点所组成的集合。
这个固定点称为圆心，而常数称为半径。
公式设圆的圆心坐标为 (a, b)，半径为 r，则圆的方程可以表示为： (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2弦和弦中点圆上的弦是指连接圆上任意两点之间的线段。
而弦中点则是指弦的中点。
弦的性质在讨论弦中点的轨迹方程之前，我们先探讨一下弦的性质。
1.弦与圆心连线互相垂直2.圆心到弦的距离等于圆半径的一半弦中点轨迹我们现在来研究圆上弦中点的轨迹，即当弦的两个端点在圆上移动时，弦中点的位置如何变化。
设弦的两个端点分别为 A 和 B，弦中点为 M。
令圆的圆心为 O，半径为 r。
由于弦中点是弦的中点，所以有 AM = MB。
设 A 的坐标为 (x1, y1)，B 的坐标为 (x2, y2)，M 的坐标为 (x, y)。
根据中点坐标公式，我们可以得到以下关系：x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2推导过程我们可以通过代入圆的方程来推导出弦中点轨迹的方程。
代入 A 和 B 的坐标到圆的方程中，我们得到： (x1 - a)^2 + (y1 - b)^2 = r^2 (x2 - a)^2 + (y2 - b)^2 = r^2对上述两个方程同时做减法，消去 a 和 b，我们可以得到： (x1 - x2)x + (y1 - y2)y = (x1^2 + y1^2 - x2^2 - y2^2) / 2由于 (x1^2 + y1^2 - x2^2 - y2^2) 是常数，我们可以将上述方程重新写为： Ax + By = C这个方程描述了弦中点轨迹的几何性质。
圆上弦中点轨迹方程
圆上弦中点轨迹方程在数学中，圆上弦中点轨迹是一个有趣且美丽的几何问题。
我们先来看一下该问题的具体描述：给定一个圆，以及圆上的一个点P，我们通过点P画一条弦，然后将该弦的中点M标记出来。
现在的问题是，当点P在圆上移动时，点M的轨迹是什么？为了求解这个问题，我们可以先假设圆的半径为r，圆心为O，点P 的坐标为(x,y)。
由于点P在圆上，根据圆的定义，我们可以得到一个重要的关系式，即x^2 + y^2 = r^2。
这是因为点P到圆心O的距离恒定为半径r。
接下来，我们需要求解弦的中点M的坐标。
由于弦是点P和点M确定的，我们可以通过求解点P和点M的中点得到点M的坐标。
根据中点公式，我们可以得到点M的坐标为((x+x')/2, (y+y')/2)，其中(x', y')是点P关于圆心O的对称点的坐标。
为了求解点P关于圆心O的对称点的坐标，我们需要利用点的对称性质。
由于点P在圆上，我们可以得到点P和点P'关于圆心O的连线与圆的切线垂直。
根据切线和半径的性质，我们可以得到点P'的坐标为(-x, -y)。
现在我们已经得到点M的坐标为((x-x')/2, (y-y')/2)，将点P'的坐标代入，可以得到点M的坐标为(-x/2, -y/2)。
至此，我们已经得到了点M的坐标，接下来我们需要求解点M的轨迹方程。
由于点M的坐标为(-x/2, -y/2)，我们可以得到点M的轨迹方程为x = -2y。
通过点M的轨迹方程x = -2y，我们可以看出点M的轨迹是一条直线。
这条直线与圆的半径垂直，并且过圆心O。
因此，点M的轨迹是圆的直径。
我们得到了圆上弦中点轨迹的方程为x = -2y。
这个方程描述了当点P在圆上移动时，点M的轨迹是一条直线。
这个结论对于理解圆的性质和几何问题具有重要的意义。
在实际应用中，圆上弦中点轨迹方程可以用于解决各种几何问题。
例如，可以利用这个方程来求解圆的直径或者判断给定的三点是否共线。