人教版九年级下册 27章 相似 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 导学案
人教版数学九年级下册27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
6．如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD 是∠ABC 的平 分线，求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∴∠A＝∠CBD， 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，DM⊥AB 于点 M ， DN⊥BC 于 点 N ， 交 AB 于 点 E. 求 证 ： △DME∽△BCA. 证明：∵∠C＝90°，DM⊥AB 于点 M，DN⊥BC 于 点 N， ∴∠C＝∠ENB＝∠DME＝90°， ∴AC∥DN，∴∠DEM＝∠A.
在△DME 与△BCA 中， DEM A, DME C, ∴△DME∽△BCA.
1．已知一个三角形的两个内角分别是 40°，60°，另
一个三角形的两个内角分别是 40°，80°，则这两个
三角形( C )
A．一定不相似 B．不一定相似
C．一定相似
D．不能确定
2．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠C＝∠AED＝90°， 点 E 在 AB 上，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定△ABC∽△DAE 的是( A ) A．∠B＝∠D B. AC AB
DE AD C．AD∥BC D．∠BAC＝∠D
3．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，AB＝4，AE＝2
8
当 AD＝____3____时，Rt△ABC∽Rt△ADE.
4．如图，点 D 是△ABC 中 AC 边上的一点． (1)若∠1＝_∠__C_B__A_，则△CBD∽△CAB； (2)若∠2＝_∠__A____，则△CBD∽△CAB.
而 AC＝3，DB＝156，
∴AD
AD
16 5
＝9，
新人教版九年级数学下册27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 (2)
27.2.1 相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标：1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”．学习难点:三角形相似的判定方法4的运用．教具:三角板学法指导：自主完成一、认真阅读教材小组合作交流完成二、三、四、五学习过程备注一、复习导学:1、我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？2、如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．二、探究新知：问题1：观察两副三角板其中同样度数的两个三角尺相似吗？说说理由。
问题2：作△ABC和△A/B/C/ 使得∠A=∠A/ ,∠B=∠B/，这时它们的第三个角满足∠C=∠C/ 吗？分别度量这两个三角形的边长，计算△ABC和△A/B/C/的对应边的比是否相等？自主完成把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A/B/C/相精品资料小结：三角形相似的判定方法4：的两个三角形相似．几何语言：证明：三、巩固提升如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.解：由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足_______或_____，那么这两个直角三角形相似.四、思考探究：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。
那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?似吗？自己画图证明。
自己动脑完成看谁最先做出来精品资料已知:如图，Rt △ABC 与Rt △A /B /C /中，∠C=∠C / =90°， AB ：A /B /=AC ：A / C / .求证: Rt △ABC ∽Rt △A /B /C /结论：_________________________________________________五、能力提升：1、已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．2、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：AF EFBF FD=．六、小结小组交流展示讲解。
人教版数学九年级下册27 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
∴
BC B C
AB 2 AC 2 B C
k 2 AB2 k 2 AC2 B C
kBC k. BC
A' A
∴ ＿BB＿CC＿ ＿AABB＿ ＿ A＿ACC＿ .
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. C
B C'
B'
新课讲解
归纳： 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
新课讲解
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL” 判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比 例的两个直角三角形相似吗？
新课讲解
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
∠C′=90°， AB AC .
AB AC
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. A'
=40°，∠A' = 60°，当∠C'= 80°时，△ABC ∽ △A'B'C'.
A A'
B
C
B'
C'
随堂即练
2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = 6 .
C A
P B
O
D
2 判定两个直角三角形相似
新课讲解
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
人教版九年级数学第二学期第27章教案27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第4课时 两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC ，另一人画△A ′B ′C ′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α，∠B 和∠B ′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比AB A ′B ′，AC A ′C ′，BC B ′C ′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AB 边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若BD ＝3，CE ＝2，求△ABC 的边长．解析：(1)由题有∠B ＝∠C ＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD ＝∠CDE ，即可证明△ABD ∽△DCE ；(2)根据△ABD ∽△DCE ，列出比例式，即可求出△ABC 的边长．(1)证明：在△ABD 中，∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，又∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE .在△ABD 和△DCE 中，∠BAD ＝∠CDE ，∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABD ∽△DCE ；(2)解：设AB ＝x ，则DC ＝x －3，由△ABD ∽△DCE ，∴AB DC ＝BD DE ，∴x x －3＝32，∴x ＝9.即等边△ABC 的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】 添加条件证明三角形相似如图，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC ＝∠AED ，∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ，故添加条件∠ABC ＝∠AED 即可求得△ABC ∽△AED .同理可得∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB可以得出△ABC ∽△AED .故答案为∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AE AB. 方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型三】 相似三角形与圆的综合应用如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点G ，弦CE 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m 2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m 2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH 5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m 2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m 2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
2019年春人教版九年级下册数学27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似名师课件
则AB kAB, AC kAC.
由
勾股定理 ，得
BC AB 2 AC 2
BC AB2 AC2 .
BC ∴ BC
AB2 AC 2 k 2 AB 2 k 2 AC 2 kB C k BC BC B C
个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,
AB AC . AB AC
A' A
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
目标： BC AB AC
BC AB
AC
C
B
C'
B___=
做一做
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB . ∴ AB : AC=AD : AB. ∴ AB2= AD · AC. A D
B
C
∵ AD=2，AC=8，
∴ AB =4.
二 判定两个直角三角形相似
探究归纳
第二十七章
相
似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
导入新课
观察与思考
问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会 相似吗？测量一下，得出你的猜想.
问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°， 45°, 75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗?
B
C
4.如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，
2021年人教版九年级下册数学27 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似课件
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
B
C
B'
C'
2. 如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = 6 .
C A
P B
O
D
二 判定两个直角三角形相似
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，
AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
D
B
A
E
C
A' B' C'
归纳： 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
九年级数学下册第27章图形的相似27.2相似三角形27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似
第七页，共二十六页。
新知讲解
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB， 求证(qiúzhèng)：△ADE∽△EFC.
证明(zhèngmíng): ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. B ∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似）
∴ AF EF . BF FD
第二十一页，共二十六页。
随堂检测
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D. 若 AB=6, AD=2, 则AC=
Bபைடு நூலகம்= 18
.4 2
12 2
A
D
. BD=
B
C
第二十二页，共二十六页。
学以致用
如 图 ， ∠ 1=∠2=∠3 ， 求 证 ( q i úz h èn g ) ： △ABC∽△ADE．
第二十六页，共二十六页。
第十五页，共二十六页。
新知讲解 由此得到另一个判定直角三角形相似(xiānɡ sì)的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
第十六页，共二十六页。
分层教学
做一做下面的题目(tímù)，看谁做得又快又准确。
1、2组
3、4组
如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的任意 (rènyì)一点（A、B两点除外），过点P作一条 直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样 的直线可以作 条．
自主学习任务：阅读课本 35页- 36页并学习101名师微课，掌握下列知识(zhī shi)要点。
1、两角分别相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形相似的判定定理；利用两角来判定两个三角形相似的方 法；
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27.2.1 相似三角形的判定
第4课时两角分别相等的两个三角形相似
学习目标：
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
学习重点:三角形相似的判定方法4——“两角对应相等，两个三角形相似”．学习难点:三角形相似的判定方法4的运用．
教具:三角板
学法指导：自主完成一、认真阅读教材小组合作交流完成二、三、四、五
解：
结论：_________________________________________________
教案(学案)的基本格式及要领
一、教学目标
1、知识与能力
2、过程与方法
33、情感、态度与价值观
二、【教学重点、难点】
1、本课教学内容的框架结构
2、重点
3 、难点：
三、【道具使用】
PPt 直尺三角板等，根据教材内容定。
四、【课堂类型】
教师引导，学生自主学习。
集体讨论式。
小组讨论形式。
探究性。
实验课。
五、【教学过程】
（一）组织教学
1.新课引入
（二）新课讲授
1.教师引导
2.学生探讨，得出结论
3.结论应用
4.课堂小练习
（三）课堂小结
六、【巩固训练】
课堂练习：
课后作业
七、【板书设计】
1.新定义定理判定等课堂关键内容
2.计算过程演练
3.学生展示板书。