绝对值的不等式
有关绝对值的不等式
有关绝对值的不等式一、绝对值的定义我们知道，绝对值的定义为数与零的距离，即：- 当一个实数x大于或等于0时，|x|=x；- 当一个实数x小于0时，|x|=-x。
二、绝对值的性质绝对值有以下几个性质：1. 非负性：|x|≥0，即绝对值是非负数；2. 正反性：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x；3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两数之和的绝对值不大于它们绝对值的和；4. 乘法性：|ab|=|a|×|b|，即两数之积的绝对值等于它们绝对值的积；5. 倒数性：若a≠0，则|1/a|=1/|a|。
三、绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，特别是在不等式中的应用更为常见。
下面介绍几个绝对值不等式的例子。
例1：|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
解析：首先，我们假设a≥0（a<0同理可证），那么由于|x-a|≥0，所以|x-a|<b等价于-a<x-a<a。
解不等式得到 x<a+b 且 x>a-b，即x∈(a-b,a+b)。
例2：|x|<a的解集为(-a,a)。
解析：当a>0时，由|x|≥0，得出|x|<a等价于-x<a且x<a，即解不等式得到x∈(-a,a)。
例3：|x-2|-|x+2|≤0的解集为[-2,2]。
解析：当x≤-2或x≥2时，|x-2|-|x+2|≤0显然成立，因为两个绝对值的差值不大于0。
当-2<x<2时，不等式可化为(x-2)-(x+2)≤0，即-4≤0，也是成立的。
所以，综合起来，解集为[-2,2]。
总结：以上是一些关于绝对值不等式的例子，通过这些例子可以体会到绝对值在不等式中的应用和威力，希望对大家学习数学有所帮助。
绝对值不等式求解方法
绝对值不等式求解方法宝子们，今天咱们来唠唠绝对值不等式的求解方法呀。
那啥是绝对值不等式呢？简单说就是不等式里有绝对值符号的式子。
比如说x - 3>5这种。
对于绝对值不等式x>a（a>0）这种类型的，它的解就是x>a或者x< - a。
就像刚刚说的x - 3>5，那咱就把x - 3看成一个整体，就得到x - 3>5或者x - 3< - 5。
解这俩小不等式，第一个得到x>8，第二个得到x< - 2，这就是答案啦。
再说说x<a（a>0）这种类型的，它的解就是 - a<x<a。
比如说2x + 1<3，那就是- 3<2x + 1<3。
咱先解左边的 - 3<2x + 1，移项得到 - 4<2x，也就是x> - 2；再解右边的2x + 1<3，移项得到2x<2，也就是x<1。
所以这个绝对值不等式的解就是 - 2<x<1。
要是遇到那种绝对值里有式子，外面还有系数的，像2x - 1>4。
咱先把系数除掉，两边同时除以2，就变成x - 1>2，然后就按照前面的方法解就好啦，得到x>3或者x< - 1。
还有那种两边都有绝对值的，比如x - 2 = 3x + 1。
这时候呢，就有两种情况，一种是x - 2 = 3x + 1，还有一种是x - 2 = - (3x + 1)。
解第一个方程，移项得到- 2x = 3，x = - 3/2；解第二个方程，x - 2 = - 3x - 1，移项得到4x = 1，x = 1/4。
这两个值就是这个等式的解啦。
宝子们，绝对值不等式其实没那么可怕，只要把这些基本的类型和方法搞清楚，多做几道题练练手，就肯定能掌握的。
加油哦，数学小天才们！。
含绝对值的不等式
含绝对值的不等式在数学的世界里，不等式是一个非常重要的概念，而含绝对值的不等式更是让很多同学感到头疼。
但别担心，让我们一起来揭开它神秘的面纱，看看它到底是怎么回事。
首先，咱们得搞清楚绝对值的含义。
简单来说，绝对值就是一个数到 0 点的距离。
比如说，｜3|就是 3 到 0 的距离，是 3；｜－3|呢，也是 3，因为-3 到 0 的距离同样是 3。
那含绝对值的不等式又是什么呢？比如说，｜x| ＜ 5，这就表示 x 到 0 的距离小于 5，那 x 就在-5 和 5 之间，也就是－5 ＜ x ＜ 5。
再比如，｜x| ＞ 3，这意味着 x 到 0 的距离大于 3，所以 x 要么小于－3，要么大于 3，即 x ＜－3 或 x ＞ 3。
接下来，咱们看看更复杂一点的情况。
如果是｜2x 1| ＜ 3，这该怎么解呢？我们可以把它分成两种情况来看。
第一种情况，当 2x 1 是非负数，也就是2x 1 ≥ 0 时，不等式就变成了 2x 1 ＜ 3。
解这个不等式，先移项得到 2x ＜ 4，再除以 2 得到 x ＜ 2。
同时别忘了，因为前提是2x 1 ≥ 0，所以还得解这个不等式，得到x ≥ 1/2。
综合起来，就是1/2 ≤ x ＜ 2。
第二种情况，当 2x 1 是负数，也就是 2x 1 ＜ 0 时，不等式变成了（2x 1) ＜ 3。
去括号得到－2x ＋ 1 ＜ 3，移项得到－2x ＜ 2，除以－2 时要注意，不等号方向要改变，得到 x ＞－1。
又因为前提是 2x 1 ＜ 0，解这个不等式得到 x ＜ 1/2。
综合起来，就是－1 ＜ x ＜ 1/2。
把这两种情况综合起来，不等式｜2x 1| ＜ 3 的解集就是－1 ＜ x＜ 2。
再来看一个例子，｜3x ＋ 2| ≥ 4。
同样分成两种情况。
第一种情况，当 3x ＋2 ≥ 0 时，不等式变成 3x ＋2 ≥ 4。
解这个不等式，移项得到3x ≥ 2，除以 3 得到x ≥ 2/3。
第二种情况，当 3x ＋ 2 ＜ 0 时，不等式变成（3x ＋2) ≥ 4。
【高中数学】绝对值不等式
【高中数学】绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}∅∅|x|>a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．[解](1)由题意得f (x )－4，x ≤－1，x －2，－1<x ≤32，x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1|x <13或x>5所以|f (x )|>1|x <13或1<x <3或x>5[题组训练]1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2.解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；当－1≤x ≤1时，原不等式可化为x ＋1＋1－x ＝2≤2，恒成立；当x >1时，原不等式可化为x ＋1＋x －1≤2，解得x ≤1，又因为x >1，故无解；综上，不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x .法一：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．法二：由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|≥|2x ＋1|，两边平方，化简整理得x 2＋2x ≤0，解得－2≤x ≤0，∴不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0≥a ，x －a ≤0<a ，x ＋a ≤0，≥a ，≤a 4<a ，≤－a 2.当a >0|x ≤－a 2由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0|x ≤a 4由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.[解](1)∵f (x )<|x |＋1，∴|2x －1|<|x |＋1，≥12，x －1<x ＋1x <12，－2x <x ＋1≤0，－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.故不等式f (x )＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R)，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值．解：因为f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|≤|x ＋2019－x ＋2018|＝4037，所以函数f (x )＝|x ＋2019|－|x －2018|的最大值为4037.2．若x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，求证：|x ＋2y －3z |≤53.证明：因为x ∈[－1,1]，|y |≤16，|z |≤19，所以|x ＋2y －3z |≤|x |＋2|y |＋3|z |≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x ＋2y －3z |≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．[解](1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，≥12，x －1－2x －1≤1－12<x <12，－2x －2x －1≤1≤－12，－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为－14(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈－12，12时等号成立，故m >2.所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )x ＋4，x <－1，，－1≤x ≤2，2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1，当－1≤x ≤2时，显然满足题意，当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3，故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且34，2⊆A ，求实数m 的取值范围．解：∵34，2⊆A ，∴当x ∈34，2时，不等式f (x )≤|2x ＋1|恒成立，即|x ＋m |＋|2x －1|≤|2x ＋1|在x ∈34，2上恒成立，∴|x ＋m |＋2x －1≤2x ＋1，即|x ＋m |≤2在x ∈34，2上恒成立，∴－2≤x ＋m ≤2，∴－x －2≤m ≤－x ＋2在x ∈34，2上恒成立，∴(－x －2)max ≤m ≤(－x ＋2)min ，∴－114≤m ≤0，故实数m 的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集．解：<－12，－2x －2x －1≤6－12≤x ≤12，－2x ＋2x ＋1≤6>12，x －1＋2x ＋1≤6.解得－32≤x ≤32，|－32≤x ≤322．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|2x ＋6，x ≤2，，2＜x ≤4，x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立；当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5|12≤x ≤1123．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )2，x ≤－1，x ，－1<x <1，，x ≥1.故不等式f (x )>1|x >12(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1|0<x <2a 所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )有最小值，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3≤4，即|3x －1|≤1－x ，x －1≤3x －1≤1－x ，解得0≤x ≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)3＋a)x＋2，x≥13，a－3)x＋4，x<13，所以f(x)＋3≥0，－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3<x<－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)＋x>0的解集为{x|－3<x<1或x>3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)2x＋1，x＜－1，，－1≤x＜2，x－1，x≥2，不等式f(x)＞x＋2＜－1，2x＋1＞x＋21≤x＜2，＞x＋2≥2，x－1＞x＋2，解得x＜1或x＞3，故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}．(2)∵f(x)＝|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，当(x－a)(x＋1)≤0时取等号．∴若关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，只需|a＋1|＜2，解得－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1)．7．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即|x －a 2|＋|12－x |≥3－a2.又x －a 2|＋|12－x＝|12－a 2|，所以|12－a2|≥3－a2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．8．(2018·福州质检)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R .(1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M M ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3<1，－2x ≤3≤x ≤2，≤3或>2，x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)M ，所以当x f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x |x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为12，2.。
绝对值不等式性质及公式
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|
2.|a|＜|b|可逆a&sup2;＜b&sup2;
另外
|a|-|b|小于等于|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab小于等于0时左边等
号成立，ab≥0时右边等号成立。
|a|-|b|小于等于|a-b|小于等于|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成
立，ab小于等于0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹙b的距离等于它
们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们பைடு நூலகம்别位于原点的两边，此时a
与﹙b的距离小于它们到原点的距离之和。
(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹙a，（a＜0)，}
因此，有
﹙|a|小于等于a小于等于|a|
﹙|b|小于等于b小于等于|b|
同样地
①，②相加得
﹙﹙|a|+|b|)小于等于a+b小于等于|a|+|b|
即|a+b|小于等于|a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b|小于等于|a+b|+|-b|，
即|a|-|b|小于等于|a+b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对
绝对值不等式解法
典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平 方 法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点： 段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3） （2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分 当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解 法 当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为： 公 式 法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2
高中绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ②解①得：1-2<x<1+2解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝（2）分析 不等式可转化为-1≤234x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2234x x -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
绝对值不等式性质及公式
绝对值重要不等式
我们知道
|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹣a，（a＜0)，}
因此，有
﹣|a|a|a|
﹣|b|b|b|
同样地
①，②相加得
﹣﹙|a|+|b|)a+b|a|+|b|
即|a+b||a|+|b|
显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。
由③可得
|a|=|(a+b)-b||a+b|+|-b|，
即|a|-|b||a+b|
综合③，④我们得到有关绝对值（absolute value)的重要不等式
|a|-|b||a+b||a|+|b|
绝对值不等式性质及公式
绝对值不等式
简介
在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。
公式：|a|-|b||a+b||a|+|b|
性质
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|
2.|a|＜|b|可逆asup2;＜bsup2;
另外
|a|-|b||a+b||a|+|b|，当且仅当ab0时左边等号成立，ab0时右边等号成立。
|a|-|b|Leabharlann a-b||a|+|b|，当且仅当ab0时左边等号成立，ab0时右边等号成立。
几何意义
1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
绝对值不等式成立条件
绝对值不等式成立条件绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。
在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。
本文将从定义、性质、举例等方面全面详细地介绍绝对值不等式的成立条件。
一、定义绝对值不等式是指形如|a|<b或|a|>b的不等式，其中a和b均为实数。
当a与0之间的距离小于b时，称|a|<b成立；当a与0之间的距离大于b时，称|a|>b成立。
二、性质1. 若|a|=0，则必有a=0。
2. 若|a|=|-a|，则称其具有奇偶性，即当a为偶数时，有|a|=|-a|=a；当a为奇数时，有|a|=|-a|=-a。
3. 若k>0，则有k|x|=|kx|；若k<0，则有k|x|=|-kx|=k|-x|。
4. 绝对值函数y=|x-a|(或y=||x-a||)在点x=a处不可导，在点x=a处左右导数分别为-1和1。
三、成立条件1. |ax+b|<c当c>0时，① a≠0且c>|b/a|② a=0且|b|<c当c=0时，a=0且b=0当c<0时，该不等式无解。
2. |ax+b|>c当c>0时，① a≠0且|b/a|>c② a=0且|b|>c当c=0时，a≠0且b≠0当c<0时，该不等式无解。
四、举例说明1. |x-2|<3的解集为(-1,5)。
解：将不等式转化为x-2<3和-(x-2)<3，得到x<5和x>-1。
综合起来得到(-1,5)。
2. |2x+3|>5的解集为(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。
解：将不等式转化为2x+3>5或-(2x+3)>5，得到x>-4/2或x<-1。
综合起来得到(-∞,-4/2)∪(1,-∞)。
总结：绝对值不等式是初中数学中的重要内容，它在解决一些实际问题时具有很大的帮助。
在学习绝对值不等式时，我们需要了解其成立条件。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
高中数学绝对值不等式
变式 3 二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a, b, c R) ，
, f (0) 1 , f (1) 1 已知 f (1) 1
5 求证：当 x 1时， f ( x ) 4 f (1) f (1) 2 f (0)
可利用不等式的几何意义或分区间讨论去掉绝对值； 2. 含绝对值的不等式 f ( x) g ( x) h( x) ， 主要是通过讨论 f ( x) 和 g ( x) 的符号去掉绝对值.
1. 定理 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立． 推论 1： a b a b ，当且仅当 ab 0 时，等号成立．
证明 不妨设 x1 x2 ，
2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (0) f (1) f ( x2 ) x1 x2 x1 0 1 x2 x2 x1 x1 1 x2 1
与函数 y ax 的图像有交点．故不等式 f ( x) ax 的解集非空时，a 的取值范围为
1 , 2 , ． 2
7. 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3， 则 b 的取值范围
.
答案 （ 5， 7）
解
b4 b4 ， 3x b 4 x 3 3
含绝对值的不等式
知识要点
x x 0 1. x 的定义： x 0 x 0 ． x x 0
2.
x 的几何意义： x 表示数轴上的点 x 与原点之间的距离； x a 表示数轴上的点 x 与点 a 之间的距离．
绝对值的不等式
绝对值的不等式什么是绝对值绝对值是一个数的非负值，也可以理解为该数到0的距离。
表示一个数a的绝对值记作|a|，定义如下：1.如果a ≥ 0，则|a| = a。
2.如果a < 0，则|a| = -a。
一元一次绝对值不等式一元一次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的不等式，且该未知数的绝对值与常数的线性关系。
例子假设有如下不等式：|x + 2| ≤ 3。
要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论：1.x + 2 ≥ 0当x + 2 ≥ 0时，|x + 2| = x + 2。
此时原不等式可以转化为x + 2 ≤3，解得x ≤ 1。
2.x + 2 < 0当x + 2 < 0时，|x + 2| = -(x + 2)。
此时原不等式可以转化为-(x + 2) ≤ 3，解得x ≥ -5。
综合以上两种情况的解集，得到最终解为-5 ≤ x ≤ 1。
绝对值不等式的解集可以表示为一个区间。
一元二次绝对值不等式一元二次绝对值不等式是指只含有一个未知数x的二次函数与常数的不等式。
假设有如下不等式：|x² - 4| > 3。
要求解这个不等式，我们可以分成以下两种情况进行讨论：1.x² - 4 ≥ 0当x² - 4 ≥ 0时，|x² - 4| = x² - 4。
此时原不等式可以转化为x² -4 > 3，解得x < -1 或 x > 3。
2.x² - 4 < 0当x² - 4 < 0时，|x² - 4| = -(x² - 4)。
此时原不等式可以转化为-(x² - 4) > 3，解得-1 < x < 3。
综合以上两种情况的解集，得到最终解为x < -1 或 -1 < x < 3 或 x > 3。
二元一次绝对值不等式二元一次绝对值不等式是指含有两个未知数x和y的一次函数与常数的不等式。
含绝对值的不等式
绝对值不等式的解法公式
一般地，如果m>0,则
-m
0
m
x
-m
0
m
x
|x|≤m -m≤x≤m |x|≥m x≤-m或x≥m
记忆：大于取两端，小于取中间
例7 解下列不等式，并在数轴上表示它的 解集： （1） |2x-3|≤1； （2） |2x-3|﹥1； 解：（1）原不等式等价于 -1≤2x-3≤1
2≤2x≤4 1≤x≤2 所以原不等式的解集是[1，2]；
|x|≤3的点的集合: 是与原点的距离小于或等于3的点的全 体构成的集合.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
即{x│|x|≤3}={x|-3≤x≤3}=[-3, 3].
不等式|x|>3的点的集合:是与原点距离大于3的点的全体构 成的集合.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
即{x│|x|>3}={x|x<-3或x>3}=(- , -3)∪(3, + )
集合 集合 集合 含绝对值的不等式
1、绝对值的定义？
m (m>0)
对任意实数m，都有 |m|=
0 (m=0) -m (m<0)
即，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它
的相反数，零的绝对值还是零。
2、绝对值的几何意义：
实数m的绝对值|m|，在数轴上表示与数m对应 的点到原点的距离。
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 图2-7
1：教材 P33 练习2-4 第1--4题 ；
．2：思考：第3题；第4题；
谢谢!12来自x（1）（2）原不等式等价于 2x-3 ﹤-1
或 2x-3 ﹥ 1 解得 x ﹤ 1 或 x﹥2
绝对值不等式推导
绝对值不等式推导
绝对值不等式是数学中常见的一种不等式，它的形式为|a|≤b，其中a和b为实数，|a|表示a的绝对值。
在解决数学问题时，经常需要使用绝对值不等式，因此掌握绝对值不等式的推导方法很重要。
首先，需要了解绝对值的定义。
对于任意实数a，它的绝对值表示为|a|，定义如下：
如果a≥0，则|a|=a；
如果a<0，则|a|=-a。
根据这个定义，可以推导出绝对值不等式的一般形式：
对于任意实数a和b，有|a|≤b的充分必要条件是-a≤b且a≤b。
证明过程如下：
如果|a|≤b，则有两种情况：
1、如果a≥0，则|a|=a，因此-a≤a≤b，即-a≤b且a≤b；
2、如果a<0，则|a|=-a，因此-a=-(-a)≤b，即-a≤b且a≤0≤b。
综上所述，对于任意实数a和b，有|a|≤b的充分必要条件是-a ≤b且a≤b。
绝对值不等式可以用来解决很多数学问题，例如求解一元二次不等式、证明不等式等等。
在使用绝对值不等式时，需要注意以下几点： 1、在不等式两边同时加上或减去同一个数时，需要保证该数的正负性与绝对值不等式所在的方程式一致。
2、在不等式两边同时乘以或除以同一个正数时，不等号方向不
变；如果同乘或同除一个负数，不等号方向需要反转。
3、在使用绝对值不等式时，需要注意绝对值的取值范围，避免出现错误结果。
绝对值不等式是数学中常用的一种工具，掌握它的推导方法对于解决数学问题非常有帮助。
高中绝对值不等式
高中绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，它们与绝对值的性质和不等式的求解密切相关。
在解决绝对值不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的技巧和方法，才能准确地得出不等式的解集。
本文将介绍如何解决高中中常见的绝对值不等式题目，并给出一些例题来加深理解。
一、绝对值的定义绝对值是数学中常用的一种运算符号，用两个竖线表示，例如|a|，表示a的绝对值。
绝对值的定义如下：当a ≥ 0时，|a| = a。
当a < 0时，|a| = -a。
二、基本性质绝对值具有以下的基本性质：1. |a| ≥ 0，即绝对值一定大于等于零。
2. |a| = 0 当且仅当 a = 0。
3. |a × b| = |a| × |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。
三、绝对值不等式的解法1. 形如 |ax + b| > c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 x < - (b + c)/a 或 x > (c - b)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 x < (c - b)/a 或 x > - (b + c)/a。
2. 形如 |ax + b| < c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 (c - b)/a < x < - (b - c)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 - (b - c)/a < x < (c - b)/a。
3. 形如|ax + b| ≤ c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为x ≤ - (b + c)/a 或x ≥ (c - b)/a。
绝对值解不等式
绝对值解不等式绝对值是数学中的一种运算符号，表示一个数与零之间的距离。
在解不等式时，绝对值经常被用到。
下面我将以绝对值解不等式为题，为大家详细解释这一概念。
我们需要明确绝对值的定义。
一个数a的绝对值，记作|a|，表示a 与0之间的距离。
如果a大于等于0，则|a|等于a本身；如果a小于0，则|a|等于-a。
例如，|3|等于3，|-5|等于5。
接下来，我们来看一些简单的绝对值不等式的解法。
首先，考虑如下不等式：|2x + 3| < 5要解这个不等式，我们可以将其分解成两个部分：2x + 3 < 5 以及 -(2x + 3) < 5解这两个不等式，我们可以得到：2x < 2 和 -(2x + 3) < 5进一步计算，得到：x < 1 和 -2x - 3 < 5解这两个不等式，我们可以得到：x < 1 和 -2x < 8最终解得：x < 1 和 x > -4接下来，我们来看一个稍微复杂一些的绝对值不等式：|3x - 2| > 7同样地，我们将这个不等式分解为两个部分：3x - 2 > 7 以及 -(3x - 2) > 7解这两个不等式，我们可以得到：3x > 9 和 -3x + 2 > 7进一步计算，得到：x > 3 和 -3x > 5需要注意的是，当我们将不等式中的绝对值去掉时，需要考虑到绝对值内的数值可能为正或负，所以要分别解两个不等式。
现在，我们来看一个稍微复杂一些的绝对值不等式组：|2x + 1| < 3 且 |3x - 2| > 4要解决这个不等式组，我们需要分别解两个不等式：2x + 1 < 3 且 -(2x + 1) < 33x - 2 > 4 且 -(3x - 2) > 4解这四个不等式，我们可以得到：2x < 2 且 -2x < 23x > 6 且 -3x > 6进一步计算，得到：x < 1 且 x > -1x > 2 且 x < -2需要注意的是，这是一个不等式组，所以我们需要找出满足所有不等式的解。
绝对不等式的基本公式
绝对不等式的基本公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：绝对不等式是数学中非常重要的概念，它在解决数学问题和实际生活中的应用中都扮演着重要的角色。
绝对值不等式是指式子中含有绝对值符号的不等式，比如|a|<b或|c|≤d等形式的式子。
在这篇文章中，我们将介绍绝对不等式的基本公式以及其应用。
我们来看一般形式的绝对值不等式：|a - b| < c这个不等式表示“a与b的绝对差小于c”。
根据绝对值的定义，我们知道|a - b|就是a与b的差的绝对值，也就是说|a - b| = |b - a|。
上面的不等式也可以写成：绝对值不等式的基本公式就是这样简单。
接下来，我们来看一些具体的绝对值不等式的应用。
1. 解绝对值不等式的基本方法是将不等式分成两种情况，即a - b < c和a - b > -c。
然后分别解这两种情况下的不等式，最后取它们的交集作为解空间。
举个例子，我们来解不等式|2x - 5| < 3。
根据上面的方法，我们分两种情况来解：2x - 5 < 32x < 8x < 4和两个解空间的交集就是1<x<4。
2. 绝对值不等式在数学问题中的应用非常广泛。
比如在代数中，我们经常用绝对不等式来证明不等式恒等式，或者来求解方程组的解集。
对于式子|x - 2| + |x + 3| < 5，我们可以将其分解为四种情况来求解，最后得到-3<x<2为解空间。
绝对不等式的基本公式不仅在数学中有重要的应用，同时也在生活中经常用到。
比如在计算机科学中，绝对值不等式能够帮助我们设计高效的算法；在经济学中，绝对值不等式能够帮助我们理解市场的波动；在物理学中，绝对值不等式能够帮助我们推导物体的运动规律。
绝对值不等式的基本公式为我们打开了解决问题的新途径，帮助我们更好地理解数学世界和现实世界。
绝对值不等式是数学中的重要概念，其基本公式和应用都非常广泛。
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绝对值的不等式
绝对值的不等式是数学中的一种重要概念，它在日常生活中也有
着广泛的应用。
在不等式中，绝对值表示一个数与0的距离，因此它
的结果始终为正数。
绝对值的不等式可以用来描述两个数之间的关系，掌握它的原理和应用对于我们做好数学和生活中的问题都非常有帮助。
首先，我们要了解绝对值的符号，用两条竖线括起来，例如|3|表
示3的绝对值，也就是3与0的距离，即3。
如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这个数的大小也一定更大。
然后，要理解绝对值的不等式。
绝对值不等式的一般形式为|a|<b
或|a|>b，其中a和b均为实数。
这意味着，如果|a|<b，那么a必须
是一个离0足够近的实数，距离0小于b。
如果|a|>b，那么距离0更远，a的值越大或越小，a绝对值的结果越大。
接着，我们来看绝对值的不等式的应用。
在数学中，绝对值的不
等式通常可用于解决不等式问题，如|x+2|<5，就可以用对称的形式把
不等式拆分成两个绝对值不等式：-(x+2)<5和x+2<5。
这样，我们就
可以得到-x<7和x<3两个解，取它们的交集，就得到了最终的解：-
7<x<3。
在生活中，绝对值的不等式也有着广泛的应用。
例如，在购买商
品时，我们需要对价格进行比较，绝对值的不等式可以帮助我们快速
地比较两个价格的大小。
又如，在交通中，车速的不等式就是一种绝
对值不等式，我们需要根据车速限制和实际行驶速度来调整车速，以保证自己和他人的安全。
总之，绝对值的不等式是数学中一个非常重要的概念，它在日常生活中也有着广泛的应用。
通过掌握绝对值的符号、原理和应用，我们可以更好地理解和解决数学问题，也可以更好地应对生活中的各种挑战，成为一个更加全面发展的人。