泰勒公式在考研数学的常见应用

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高等数学之泰勒公式的应用问题方法总结
应用泰勒公式来求函数极限和求证明题经常出现在考研题中。

利用泰勒公式求极限是求极限的一种常用方法，这种方法可以减少求极限的计算量。

另外可以利用泰勒公式来证明不等式，如果要证明的不等式中，函数函数的二阶或二阶以上的导数，这时我们可以考虑通过泰勒公式证明不等式。

泰勒公式的应用：
（1）把函数f（x）展开成n阶的麦克劳林公式；
（2）求函数f（x）的n阶导数；
（3）利用泰勒公式求极限；
（4）利用泰勒公式求证明题。

题型一：利用泰勒公式求极限；
利用泰勒公式在于要把函数展开到x的几次方，一般对于分子和分母有一个能确定次数，则可以把另一个展开到相同次数即可。

例1：
分析：本题可以先确定分母展开的次数，ln(1-x)至少展开到二阶，确定了分母的次数后，分子的次数也就可以确定了。

解：
题型二：利用泰勒公式求证明题
例2：
证明：
备注：利用泰勒公式求极限和求证明题是考研中经常考的知识点。

2022考研数学：不等式证明的7种方法总结

2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。

把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。

把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。

考研数学极值用到的不等式

考研数学极值用到的不等式
在考研数学中，求解极值问题时常常会用到以下不等式：
1.拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）：在约束优化问题中，通过引入拉格朗日乘子来构造拉格朗日函数，并利用临界点求解极值。

2.泰勒公式（Taylor's Formula）：在判断局部极值时，可以通过函数在某一点的泰勒展开，特别是二阶导数判据来分析极值性质。

如果一阶导数为0且二阶导数在该点大于0，则可能是局部最小值；若二阶导数小于0，则可能是局部最大值。

3.Jensen不等式：当处理某些期望或积分形式的函数极值问题时，可以借助Jensen不等式进行初步判断和推导。

4.均值不等式：包括算术-几何平均不等式、Holder不等式、Cauchy-Schwarz不等式等，这些不等式在证明或计算过程中经常用于估计函数值域或者确定极值的存在性。

5.KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）：非线性规划问题中的约束优化问题也可以使用KKT条件来寻找可能的全局最优解或局部最优解。

6.不等式链（Inequality Chain）：在一些复杂问题中，需要通过一系列不等式变换和应用已知的经典不等式（如AM-GM不等式、琴生不等式等）来缩小函数取值范围，进而找到极值点。

7.函数单调性的判定：根据函数的一阶导数判断函数的增减性，从而确定极大值或极小值的位置。

8.二重积分中的极值问题：可能需要用到格林定理、高斯积分以及相关的曲面积分理论，结合区域边界条件求解极值。

以上列举了考研数学中涉及求解极值问题时可能会用到的一些不等式和方法。

具体运用哪一种不等式取决于问题的具体类型和结构。

泰勒公式在考研数学的常见应用

泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式是高等数学的重要公式，也是考研数学的重要考点，在求极限，中值定理的证明题等方面有着广泛的应用，熟练掌握泰勒公式的几种常见应用对于考研复习是至关重要的，本人结合多年教学经验和考研数学的研究，系统总结了泰勒公式的一些常见应用和解题技巧。

泰勒中值定理：若f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x-x0)n+f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1(1)这里ξ是x0与x之间的某个值。

公式(1)称为f(x)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

若f(x)在x0具有n阶导数，则对任一x∈U(x0,δ)，有(2)公式(2)称为f(x)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质，因此一般用于证明等式或者不等式，带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质，一般用于求极限。

1 利用泰勒公式求极限若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和，且洛必达法则求解过程复杂时，用泰勒公式求极限。

解题方法和步骤：①展开分母各项，直到合并同类项首次出现不为零的项。

②将分子的各项展开至分母的最低阶次。

③代入后求极限。

例1：计算分析：“”用洛必达法则计算复杂，考虑用泰勒公式求解。

解：由于原式2 利用泰勒公式证明等式或不等式利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题：(1)展开几阶泰勒公式。

由泰勒公式知，条件给出n+1阶可导，展开至n阶。

(2)在何处展开(展开点x0)。

展开点x0通常选取导数为零的点，区间的中点，函数的极值点。

(3)展开后x取何值。

通常选取x为区间的端点。

例2：设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续的导数，且f(-1)=0,f(1)=1。

f′(0)=0,证明在(-1,1)内至少存在一点[-1,1]，使得f″(ξ)=3。

考研泰勒公式大全

考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。

它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。

由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。

1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。

假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。

公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。

当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。

2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。

首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。

考研常用八大泰勒公式

考研常用八大泰勒公式泰勒公式是微积分中非常常用的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。

具体来说，泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，通过截取其中有限项来进行计算。

有许多版本的泰勒公式，但在考研中常用的有以下八大泰勒公式。

它们分别是：常数项近似、线性近似、二次公式近似、三次公式近似、四次公式近似、五次公式近似、六次公式近似和七次公式近似。

首先是常数项近似，这是泰勒公式中最简单的形式。

它表示一个函数在某一点附近的值可以近似为函数在该点的值，也就是函数的常数项。

举个例子，如果我们要计算 sin(x) 在 x=0 附近的值，常数项近似告诉我们可以用 0 来近似计算。

接下来是线性近似，它在常数项近似的基础上增加了一阶导数的项。

这样近似计算的结果更加精确。

以 f(x)=sin(x) 为例，线性近似公式告诉我们可以用 x 来近似计算函数在 x=0 附近的值，即f(x)≈x。

在二次公式近似中，我们考虑了除了常数项和一阶导数项之外的二阶导数项。

这进一步提高了近似的准确性。

例如，在计算f(x)=sin(x) 在 x=0 附近的值时，二次公式近似告诉我们可以用 x-x^3/6 来近似计算。

类似地，三次公式近似引入了三阶导数项，四次公式近似引入了四阶导数项，以此类推。

每一次增加的导数项将增加近似计算的精度。

比如，四次公式近似给出了f(x)≈x-x^3/6+x^5/120。

最后两个公式是五次公式近似和六次公式近似。

它们在之前公式的基础上再增加了五阶导数和六阶导数的项。

这些高阶导数项使得近似结果的精度更高，特别是在函数曲率较大的地方。

七次公式近似又增加了七阶导数。

通过使用这八大泰勒公式，我们可以在考研中更准确地进行计算和近似。

它们为我们提供了一种逼近函数值的工具，特别是在无法直接计算函数值的情况下。

例如，当计算某一函数值的导数过于繁琐或无法获得解析解时，我们可以通过泰勒公式来进行近似计算。

需要注意的是，泰勒公式的应用需要考虑近似的范围。

考研数学讲解之泰勒公式的应用

考研数学讲解之泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中的重要内容，也是应用广泛的数学工具之一、它通过对任意一阶、二阶、三阶等导数的展开近似，将一个函数在其中一点附近展开为无穷项的多项式，从而可以用多项式来近似表示一些复杂的函数。

泰勒公式的应用主要集中在以下几个方面：1.函数的近似计算泰勒公式的最基本的应用就是对函数在一些点的近似计算。

通过取泰勒公式的前几项，可以将复杂的函数简化为多项式函数进行计算，从而大大简化了计算过程。

比如，利用泰勒公式可以计算各种三角函数和指数函数在一些特定点的近似值。

2.函数的极值与拐点通过泰勒公式，可以计算函数在一些点附近的近似表达式。

利用这个近似表达式，可以判断函数在该点附近的变化趋势，从而判断函数是否有极值或拐点。

通过求解近似表达式的导数，可以得到极值点和拐点的位置。

3.函数的收敛性分析泰勒公式还可以用来分析函数的收敛性。

通过对函数在一些点附近进行泰勒展开，可以得出一个多项式序列。

只要该多项式序列收敛，则可以得出函数在该点附近的收敛性。

这对于数值计算和数值分析非常重要。

4.函数的曲线拟合在实际应用中，很多函数并不能用已知的基本函数来表示，但我们可以通过泰勒公式的展开来将其近似表示为多项式函数，从而进行曲线拟合。

通过选择合适的展开点和展开阶数，可以得到较高的拟合精度，使得函数的曲线与真实数据点较为吻合。

5.常微分方程的求解泰勒公式在常微分方程的求解中是一个非常重要的工具。

通过对微分方程进行泰勒展开，可以将微分方程转化为一个多项式方程，从而简化求解过程。

通过取不同阶数的展开，可以得到微分方程的近似解，进一步帮助我们理解微分方程的性质。

总之，泰勒公式作为一种近似计算和函数分析的方法，广泛应用于数学的各个领域。

通过泰勒公式的运用，我们可以对复杂的函数进行简化和分析，从而更好地解决实际问题。

因此，在数学的学习和应用过程中，掌握泰勒公式的原理和应用是非常重要的。

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨

考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨
0 引言
极限是微积分中一个非常重要的内容，极限的方法是微积分最基本的方法，如何计算极限是高等数学教学的重点和难点，也是考研高数的一个重要的考点，研究生入学考试数学试题几乎每年都有函数极限的题目，而且考查形式多种多样。

综合性题目一般考查的都是几种极限计算方法的综合，要求考生具有灵活运用知识解决问题能力。

纵观历年的试题，会发现很多综合性的题目应用泰勒公式与等价无穷小替换便可迎刃而解。

1 重要函数的泰勒公式
泰勒公式是考研数学的重要技术性工具，考研中通常应用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。

2 无穷小的运算
设m，n为正整数，则
3 实例
一般应用泰勒展开式求型未定式极限，可将f（x）展开到x的k 次方。

例2（2012考研数学三）计算
分析：所求极限是一个型未定式极限x，将分子加以处理会发现有等价无穷小存在，即
例3（2015年考研数学二）设函数f（x）=x+aln（1+x）+ bxsinx，g（x）=kx3，若f（x）与g（x）是x→0时的等价无穷小，求a，b，k的值。

解：由题意f（x）与g（x）是x→0时是等价无穷小，得
此题用洛必达法则也可求解，但过程非常繁琐。

综上所述，对于型未定式极限呈现的形式，且用洛必达法则求解较复杂或不可用，也没有常用的等价无穷小代换时，运用带有佩亚诺余项的泰勒公式求极限非常方便简洁。

应用泰勒公式时若一般形式为则（fx）展开到x的k次方，遵循上下同阶原则；若一般形式为（fx）-g（x），则将（fx），g（x）分别展开到他们的系数不相等的的最低次幂为止，遵循幂次最低的原则。

泰勒公式在考研题中的妙用

泰勒公式在考研题中的妙用
杨慧芝
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)3
【摘要】高等数学是众多专业考研时的必考科目,泰勒公式在高等数学中至关重要。

在考研数学中,泰勒公式频繁出现,主要集中在求极限和求高阶导数的题型中。

求极
限和求高阶导数的方法有多种,但如果能使用泰勒公式求解,往往都可以很大程度降
低计算量。

本文基于考研数学真题,系统地讨论了带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
在求极限中,以及泰勒级数在求高阶导数中的灵活应用。

并对解题时泰勒公式展开
的次数和余项选取办法作出了详细研究,通过对比泰勒公式和其它方法,展现了泰勒
公式的优势,为学生理解掌握其应用奠定了基础。

【总页数】6页(P1002-1007)
【作者】杨慧芝
【作者单位】四川建筑职业技术学院成都
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.泰勒公式及泰勒级数之妙用
2.泰勒公式在解题中的妙用——从2008年的几道数学考研题说起
3.考研数学利用泰勒公式求函数极限的方法探讨
4.试析泰勒公式及
泰勒级数之妙用5.隐函数定理及泰勒公式在一类分叉问题中的妙用
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考研泰勒公式大全

考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。

下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。

1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。

一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。

同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。

2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。

二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。

二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。

3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。

高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。

高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。

考研数学公式大全

考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。

以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。

一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。

泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。

本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。

这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。

它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。

这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。

2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。

它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。

3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。

本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。

3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。

3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。

例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。

3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。

考研数学-专题7 泰勒公式及其应用

专题7 泰勒公式及其应用(一) 泰勒公式定理1（皮亚诺型余项泰勒公式）如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L常称))(()(0nn x x o x R −=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=L定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L其中10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)12)!1(!!21)1(+++++++=n x nxx n e n x x x e θL121213)!12(cos )1()!12()1(!3sin )2(+−−+−+−−++−=n nn n x n x n x x x x θL 22122)!22(cos )1()!2()1(!21cos )3(+++−+−++−=n n n n x n x n x x x θL1112)1)(1()1()1(2)1ln()4(++−++−+−++−=+n n nnn x n x n x x x x θL n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1()5(2+−−++−++=+αααααααL L11)1()!1())(1()1(+−−++−+−−+n n x x n n n αθααααL(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点1. 本质（相同点）1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系2. 不同点1）条件不同皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数2）余项不同皮亚诺型余项： ))(()(0nn x x o x R −=；定性；局部.拉格朗日型余项：10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ；定量；整体. 【注】通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）；而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）.(三) 泰勒公式的应用1.利用高阶导数研究函数性态【例1】若,0)()()(0)1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)(>x fn 时极小，0)(0)(<x f n 时极大；当n 为奇数时)(x f 在0x 处无极值.【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.232.计算函数近似值【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106−【解】 )(!!212x R n xx x e n nx+++++=L11)!1()!1()(+++<+=n xn n x n e x n e x R ξ取1=x ，得 !1!2111n e ++++≈L 其误差 )!1(3)!1(+<+=n n e R n当10=n 时，误差不超过.106−得.718282.2≈e3.求极限【例1】 ._________cos 11lim 0=−−−−+→xx xe x x ]3[−【解】【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f xx x ,则 (A) 0)(3lim 220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f x x (B)3)0(=f(C)3)0(=′f (C)9)0(=′′f (D)【例3】(2001年1)设)(x f y =在)1,1(−内具有二阶连续导数,且0)(≠′′x f ，试证：（1）对于)1,1(−内的任一0≠x ，存在唯一的)1,0()(∈x θ，使))(()0()(x x f x f x f θ′+=成立；（2）21)(lim 0=→x x θ. 【证】（1）任给非零)1,1(−∈x ，由拉格朗日中值定理得).1)(0())(()0()(<<′+=x x x f x f x f θθ因为)(x f ′′在)1,1(−内连续,且0)(≠′′x f ，所以)(x f ′′在)1,1(−内不变号，不妨设0)(>′′x f ，则)(x f ′在)1,1(−内严格单增，故)(x θ唯一.（2）由泰勒公式得2)(21)0()0()(x f x f f x f ξ′′+′+=， ξ在0与x 之间.所以 2)(21)0()0()())((x f x f f x f x x f x ξθ′′+′=−=′，从而 ).(21)()0())(()(ξθθθf x x f x x f x ′′=′−′由于)0()()0())((limf xx f x x f x ′′=′−′→θθ，)0()(lim 0f f x ′′=′′→ξ，故 21)(lim 0=→x x θ. 4.求高阶导数【例1】(2015年2) 函数xx x f 2)(2=在0=x 处的n 阶导数.________)0()(=n f])2)(ln 1([2−−n n n【解1】【解2】【例2】设),()()(x a x x f nϕ−=其中)(x ϕ在a x =处n 阶可导,若m 为不超过n 的正整数,则)()()(=+a fm n(A)!)()(n a m ϕ (B)!)()(m a n ϕ(C))(!)!()(a m m n m ϕ+ (D))()!(!)(a m n n n ϕ+ (C)【解1】【解2】【解3】5.证明不等式或等式【例1】设1)(lim,0)(30)4(=>→xx f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件a x f ≤|)(|,b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,c 是(0,1)内任一点.（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（2）证明 .22|)(|ba c f +≤′ 【证】（1） 2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有21)0(!2)()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （1） 22)1(!2)()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）（2）式减（1）式得])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−]|)(|)1(|)([|21)1()0(|)(|2122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′])1[(2222c c b a +−+≤又因为当)1,0(∈c 时，,1)1(22≤+−c c 故.22|)(|b a c f +≤′【例3】（1999年2）设函数)(x f 在闭区间]1,1[−上具有三阶连续导数，且0)1(=−f ，1)1(=f ，0)0(=′f ，证明：在开区间)1,1(−内至少存在一点ξ，使3)(=′′′ξf .【证法1】由麦克劳林公式得32)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η′′′+′′+′+=，其中η介于0与x 之间，]1,1[−∈x . 分别令1−=x 和1=x ，并结合已知条件，得01),(61)0(21)0()1(011<<−′′′−′′+=−=ηηf f f f .10),(61)0(21)0()1(122<<′′′+′′+==ηηf f f f两式相减，可得.6)()(21=′′′+′′′ηηf f因)(x f ′′′连续，)(x f ′′′在闭区间],[21ηη上有最大值和最小值，设其分别为M 和m ，则有.)]()([2121M f f m ≤′′′+′′′≤ηη再由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,1(],[21−⊂∈ηηξ，使.3)]()([21)(21=′′′+′′′=′′′ηηξf f f【证法2】【例4】设)(x f 在[0,1]上二阶可导,2)(max ,0)1()0(10===≤≤x f f f x .试证存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法1】设2)(max )(10==≤≤x f c f x ，则10<<c ，且0)(=′c f ，由泰勒公式知2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ 在上式中分别令0=x ，和1=x 得214)(cf −=′′ξ ),0(1c ∈ξ 22)1(4)(c f −−=′′ξ )1,(2c ∈ξ若21≤c ，则16)21(44)(221−=−≤−=′′c f ξ若21>c ，则16)21(4)1(4)(222−=−≤−−=′′c f ξ 故存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法2】【例5】设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，且,0)()(==b f a f ,)(max ],[x f M b a x ′′=∈证明：.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证1】由泰勒公式得21)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f −′′+−′+=ξ (1) 22)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f −′′+−′+=ξ (2)(1)式加(2)式得2221)(!2)()(!2)()2)(()(20x b f x a f x b a x f x f −′′+−′′+−+′+=ξξ 两端从a 到b 积分得 +−++=∫∫baba x df xb a dx x f )()2()(20dx x b f x a f ba])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′∫ξξ 又∫∫∫=+−+=−+bababa badx x f dx x f x f x b a x df x b a )(2)(2)()2()()2( 则 =∫ba dx x f )(4dx x b f x a f ba ])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′−∫ξξ dx x b M dx x a M dx x f b a b a b a ∫∫∫−+−≤22)(2)(2)(4 333)(3)(6)(6a b Ma b M a b M −=−+−=故.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证2】∫bax x f d )(∫−=baa x x f )d()(∫−′−−=baba x a x x f x f a x d ))(()()(∫−−′−=bab x a x x f )d())((∫∫−′+−−′′+′−−−=bababa dxb x x f x b x a x x f x f b x a x ))((d ))()(()())(( ∫∫−+−−′′=ba bax df b x x b x a x x f )()(d ))()((∫∫−−−′′=babadx x f x b x a x x f )(d ))()((则 ∫ba x x f d )(∫−−′′=bax b x a x x f d ))()((21∫−−′′=ba xb x a x f d ))((2)(ξ （积分中值定理）∫−−′′=b a a x b x f 2)d()(4)(ξ3)(12)(a b f −′′−=ξ 故 .12)()(3M a b dx x f ba−≤∫思考题： 1.试证 ).0(1812112>+<−+x x x x2.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，试证存在),(b a ∈ξ，使)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ′′−=++−. 3.设)(x f 三阶可导,且0)(lim,1)1(,0)1(0===−→xx f f f x ,试证存在)1,1(−∈η,使3)(≥′′′ηf .4. 若)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(,1)1(,0)0(=′=′==f f f f ,试证: ]1,0[∈ξ,使2)(≥′′ξf .5. 设)(x f 在0x x =的某邻域内1+n 阶可导，且,0)(0)1(≠+x fn).)((!)(!21)()()(0)(20000h h x f n h h x f h x f x f h x f n n θ+++′′+′+=+L 求极限).(lim 0h h θ→答案提示：1.【证】)(!2)121(21211)1(12221x R x x x x +−++=+=+ )(8121122x R x x +−+=其中).10(,)1(!3)221)(121(21)(33212<<+−−=−θθx x x R 由于当0>x 时，,0)(2>x R 则).0(1812112>+<−+x x x x2.【证1】2)2(!2)()2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +−′′++−+′++=ξ 在上式中分别令b x a x ==,得4)(!2)()2)(2()2()(21a b f b a b a f b a f a f −′′+−+′++=ξ4)(!2)()2)(2()2()(22a b f a b b a f b a f b f −′′+−+′++=ξ上式两端相加得8)()]()([)2(2)()(221a b f f b a f b f a f −′′+′′++=+ξξ由)(x f 二阶可导及导函数的介值性知，存在ξ使得).(2)()(21ξξξf f f ′′=′′+′′则)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ′′−++=+【证2】令)()2()(x f ab x f x −−+=ϕ 2)]()2([2)()()2(a b c f a b c f a b c a b a −′−−+′=−′=−+ϕϕϕ 4)()(2a b f −′′=ξ即 4)()()2(2)()(2a b f b a f a f b f −′′=+−+ξ 3.提示：由0)(lim=→xx f x 知，.0)0(,0)0(=′=f f 写出)(x f 在0=x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，再将1,1=−=x x 代入便可证明.4. 提示：分别写出)(x f 在1,0==x x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，然后两式相减便可证明.5. 提示：参见：3.求极限中的例3，.11)(lim 0+=→n h h θ。

考研对泰勒公式的要求

考研对泰勒公式的要求
【原创实用版】
目录
1.考研数学对泰勒公式的要求
2.泰勒公式在考研数学中的应用
3.考研数学中泰勒公式的证明要求
4.如何掌握和应用泰勒公式
正文
一、考研数学对泰勒公式的要求
考研数学对泰勒公式的要求较高，尤其是在数学二和数学三的考试中。

泰勒公式是高等数学中的基本概念和思想之一，它解决很多问题的有力工具。

在考研数学中，泰勒公式经常被用于求极限和展开幂级数等问题。

二、泰勒公式在考研数学中的应用
泰勒公式在考研数学中的应用非常广泛，特别是在求极限和展开幂级数等问题中。

泰勒公式可以将函数在一点处展开，从而近似地表示函数的值。

这种展开方式可以帮助我们更好地理解函数的性质，也可以帮助我们在计算中更精确地表示函数。

三、考研数学中泰勒公式的证明要求
在考研数学中，泰勒公式的证明要求并不是很高。

一般来说，只要掌握了泰勒公式的基本思想和方法，就能够轻松地证明泰勒公式。

不过，对于一些具体的应用问题，可能需要对泰勒公式进行进一步的推导和证明。

四、如何掌握和应用泰勒公式
要掌握和应用泰勒公式，首先要理解泰勒公式的基本思想和方法。

其次，要多做练习，尤其是对于一些具体的应用问题，要熟悉泰勒公式的使
用方法。

最后，要注意泰勒公式的适用范围，不要盲目地使用泰勒公式。

考研数学考点解析：泰勒公式

考研数学考点解析：泰勒公式
泰勒公式是一元函数微分学的重要内容。

在数一数二中对它的要求是理解，属于重点考查的内容，数三中的要求是了解。

但从近几年的试题来看，对泰勒公式的要求数三与数一数二的在逐渐模糊。

这就对数三的考生也提出了更高的要求，要以更高的标准来要求自己。

在考研数学中，泰勒公式主要在计算极限、高阶导数及一些证明题中有重要应用，在下册中无穷级数里也会用到泰勒公式的一些内容。

在本文里中公考研数学名师李擂老师先为大家介绍泰勒公式的主要内容及对考生的基本要求，最后再通过一些简单的例题来演示泰勒公式在具体的解题过程中的应用。

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考研数学泰勒公式的应用

由于最后要证明（计算）的是，所以展开的基点只能取，而中的应该取一个常数，例如就取．
【解】写出函数在基点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，
，，
所以有，
在此等式两边同时取时的极限，其中，
由可知在时有，，
所以有
，
【例4】设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中、为非负常数．证明对任意，有．
，
于是
，
由于在时，有，所以
．
【例3】若，且，试证明．
【分析】由题意可知函数在无穷远点的某个左邻域[即 ]内有二阶导数，在题意中没给出更高阶的导数是否存在的条件，就不能用了．
这里的极限问题的趋限过程不像上面的是趋向于0或者可以转化为趋向于0，所以，余项的形式也不能取皮亚诺余项的形式了．
所以要展开泰勒公式，只能展开到一阶为止，把二阶导数作为拉格朗日余项表达式的需要．
【分析】一般给出条件中函数有二阶导数，则可用以二阶导数作为余项的一阶泰勒公式来证明，展开基点的选定可综合考察题目所给定条件及所需证之结论，这里为便于将结论中的表示出来，可将基点选取在内任意取定的点处．
【证明】在上具有二阶导数，则由泰勒展开式得
，在与之间．
分别令，得
，，
，，Leabharlann 两式相减，得