01相似三角形题型之一比例与比例线段
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8 相似三角形常见的图形DB (4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
知识点12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),经典例题透析类型一、相似三角形的概念 1．判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ (4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 解：(1)不一定相似.反例 直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似. (2)不一定相似.反例 等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. (3)一定相似. 在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中 设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b ∴ ∴ABC∽A′B′C′ (4)一定相似. 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似. (5)一定相似. 全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1. 举一反三 【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？ 解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等. 因此这两个三角形全等. 总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似. (3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等. 【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.类型二、相似三角形的判定 2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴△BEF∽△CDF∽△AED. ∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比； 当△CDF∽△AED时，相似比. 总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC 和△EDF相似吗？为什么？ 思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°. 由勾股定理得. 在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°. 由勾股定理，得. 在△ABC和△EDF中，，，， ∴， ∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似). 总结升华： (1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相 似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边. (2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似. 4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举. 思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC. 条件一：∠1=∠B. 条件二：∠2=∠ACB. 条件三：，即. 总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的. 举一反三 【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下： 证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2 ∵=3，∴=4 又∵BC=2DQ，∴=2 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°， ∴△ADQ∽△QCP． 【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：. 思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用. 证明：连接，. 在 ∴∽ ∴. 【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：△DFE∽△ABC． 思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似． 证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线， ∴ DE=AB， 即 =． 同理 =． ∵ EF为△ABC的中位线， ∴ EF=BC， 即 =． ∴ ==． ∴ △DFE∽△ABC． 总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．类型三、相似三角形的性质 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能. 总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类. 6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积. 解：∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ∴，∴，. ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴. 总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三 【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ ∵M为DE中点，∴ ∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC ∴ ∴=1：2. 总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.类型四、相似三角形的应用 7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽. 方案2： 思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河宽为85m． 总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 举一反三 【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90° ∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴ ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m ∴ ∴DE=16m 答：古塔的高度为16m. 【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC. 解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以又因为， 所以，所以. 因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m. 所以m.类型五、相似三角形的周长与面积 8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积． 思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF 的面积． 解：∵ DA∥BC， ∴ △ADE∽△BCE． ∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵ AE︰BE=1︰2， ∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵ S△ADE=1， ∴ S△BCE=4． ∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴ S△ABC=6． ∵ EF∥BC， ∴ △AEF∽△ABC． ∵ AE︰AB=1︰3， ∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9． ∴ S△AEF==． 总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 举一反三 【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴. 【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上． (1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； 解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2 ∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2 ∴CP2=42×，∴CP=. (2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6 ∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ∴，即： 解得，CP=类型六、综合探究 9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°， 又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或 4. 总结升华： (1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似 三角形的知识解决. (2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程 解决，体现了数形结合的思想. 10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. (1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围； (2)当P在BC边上什么位置时，值最大.∴，∴∴，∴∴∴.(2)∴当时，即边的中点时，值最大出发，以cm/st=a CM=a=CD点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．23. (本小题满分9分)如图12－1，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF DE，交直线AB于点F．(1) 若点F与B重合，求CE的长；(3分)(2) 若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；(4分)(3) 设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式(直接写出结果即可)．(2分)24．(本小题满分9分)如图11，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°. 设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且△PQR的一边与梯形ABCD的两底边平行.(1) 当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法)；(2) 当点P在BC边或CD边上时，求BP的长.23．（本小题满分8分）如图7，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α(0°<α<180°)．(1) (6分) 求证：BE=DG，且BE⊥DG；(2) (2分) 设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．(直接写出结果，不必说明理由)图7。
三角形的相似比与比例线段
三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。
本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。
一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。
三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。
设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。
相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。
2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。
3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。
三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。
比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。
设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。
四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。
解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。
2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。
线段的比例和相似三角形
线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。
本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。
1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。
设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。
当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。
2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。
若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。
相似三角形的边长比例与角度比例成正比。
3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。
比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。
4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。
常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。
这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。
5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。
例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。
b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。
c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。
例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。
总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。
通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。
线段比例和相似三角形的性质
线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。
本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。
设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。
根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。
换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。
2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。
设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。
二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的定义之一。
2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。
3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。
设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。
4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。
设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
A
E
F
B
D
C
作业
姓名： 作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士 身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理 质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线） ，所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延 长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 例 、 如 图 5， 在 △ABC 中 ， D 是 BC 上 的 点 ， E 是 AC 上 的 点 ， AD 与 BE 交 于 点 F， 若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、 或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念：…1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）^A三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EFAE AF EB FC =AE AF AB AC =BE CFAB AC=A B C EF FECBAAE AF EB FC =AE AFAB AC=BE CFAB AC='//EF BC 'F 'F …△ABC '''△A B C '''△∽△ABC A B C ∽∽B A'A C'B 'C∽△△ABC A B C '''A A '∠=∠，B BC C ''∠=∠∠=∠，∽△△ABC A B C '''AB BC ACk A B B C A C ===''''''k △ABC △A B C '''AM AH 、AD △ABCBC A M ''A H ''A D ''△A B C '''B C ''AB BC AC AM AHADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''【△ABC △A B C '''AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++△ABC△A B C'''△△ABCA B CBC AHS BC AHkS B C A HB C A H2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅2>'A A∠=∠'B B∠=∠△∽△ABC A B C'''AB BC ACA B B C A C==''''''△∽△ABC A B C'''AB ACA B A C='''''A A∠=∠△∽△ABC A B C'''\BAD EC∥△∽△AD AE DEDE BC ADE ABCAB AC BC⇔⇔==AD CBO∥△∽△AB OA OBAB CD AOB CODCD OC OD⇔⇔== .△ABC△∽△ADG ABCDG ANBC AM=BAC∠=90︒△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC NMGFEDCBAGFEDCBAG EDCBAGFEDC BA G FEDCB ADEFCBA GAH DFBECAGDF BEC]::::x y z =135x y z x y z +3--3+x y z 234==x y z x y-+3=3-a b c2=3=4abc ≠0a bc b+-2x k =y k =3z k=5x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53113-2:2:3x y =53x y y +=13y x y -=123x y =1314x y +=+23a c e b d f ===a c b d ++2323a c e b d f -+-+b c a c a b a b c a b c +-+-+-==()()()a b b c a c abc+++11x y ≠23a cb d +=+232233a c e b d f -+=-+0a b c ++≠()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=()()()a b b c a c abc +++=80a b c ++=()()()()()()a b b c a c c a b abc abc +++-⋅-⋅-==-11-∥∥l l l 123AB DE BC EF=∥∥AD BE CF AB =4AC =10DE =5DF =∥∥l l l 123AB =3BC =5DF =12_______DE =______EF = AD BE CF l 12l 3l A D B E C FAD BE CF l 12l l 3△△ABE CBES AB BC S =∴∥AD BE∵∥BE CF △△ABE DEB S S =∴△△CBE FEB S S =△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DE BC S S EF ===∴25292152∥∥l l l 123.cm AG =06.cm BG =12.cm CD =15CH =△ABCAD BD 2=3AE =3AC =AC =3BD =3CD =2CE =A CH GDBl 1l 2l 3B ADEA B C152∠ADC =90︒∥AD BC ∠∠DFC AEB =△∽△ADF CAE AD =8DC =6∥AD BC∠∠DAF ACE =∠∠DFC AEB =DFA AEC ∠=∠△∽△ADF CAE AD =8DC =6AC =10AF =5△∽△ADF CAEAD AF CA CE =CE 85=10CE 25=4BC 25=2125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭△ABC △DEF 90A ∠=︒90F ∠=︒5AC =13BC =10DF =26EF =85C ∠=︒85E ∠=︒AC DEBC DF=1AB = 1.5AC =2BC =8EF =10DE =16FD =46A ∠=︒80B ∠=︒45E ∠=︒80F ∠=︒△ABC AD AC =DE BC ⊥△∽△ABC FCD △ABC BD CE BC 21⋅=2△∽△ACE DBAAEF DAD B CE AD AC =∵FDC ACB ∠=∠∴DE ∵EB EC =∴ABC FCD ∠=∠△∽△ABC FCD ∴（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ． A D BECF l 12l 3l F EDCB A题型一 &题型二“A ”字和“8”字模型例题1 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）！（3）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固1： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAACEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3~解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型三 与内接矩形有关的相似问题例题2 （1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2;解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ?∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固2： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF AB解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型四 {题型五“A 字和“8”字模型的构造例题3 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，GFED CBA H MACDEG BIHABDECHP ED CBAAH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， -∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固3： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ， ：∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ， ∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2， 而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型六 斜“A ”和斜“8”模型例题4 ?例题5 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB=，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，C DEKBA ED CAB∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固4： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．%FECDBAA BDEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， 】∵AF AD ⊥，M 为DE 中点 ∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找-巩固5： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）ADEF CM123图3图2图1lP FEDC B AFP EDCB AlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC B A 图3lPFEDC B A图8-1 图8-2 图8-3解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下：？∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型七 射影定理例题6 如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅． ~解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固6： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．/（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅．C AEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． GHFED CB A（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型八 ?题型九三垂直模型例题7 如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．￥（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固7： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB ABy D E OAxC图10-1 图10-2%解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==，∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴855CE =，455CF =1255BC ，855AB ， ∴矩形ABCD 的周长为5EDCG FBM A（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，:由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =， 求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固8： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2，解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PA a =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题8 (例题9 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．DFAPQFEMDCBA巩固9： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF.解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题10 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- &∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固10：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD AC DBBC ==，由于5AB =，31577AD AB ==∴ 》（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固11：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．B CAEDP DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题11 、例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， （即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN D EFQP GABCMN DEF巩固12： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． （2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．FED NMCBA（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3"解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60．②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴ttt23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固13：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42．∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
线段的比例分点与相似三角形
线段的比例分点与相似三角形线段的比例分点与相似三角形是数学中重要的概念和定理。
在几何学中，线段的比例分点是指将线段按照一定比例分为两段的点，而相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
本文将详细介绍线段的比例分点和相似三角形的相关内容。
一、线段的比例分点线段的比例分点是指在一条线段上，将其按照一定的比例分为两段的点。
设有一条线段AB，将其分为两段的点P和Q，当点P将线段AB分为AP和PB两段时，点Q将线段AB分为AQ和QB两段，且满足AP：PB = AQ：QB时，称点P和Q分别为线段AB的比例分点。
线段的比例分点具有以下性质：1. 比例分点唯一性：线段AB的比例分点是唯一的，即在一条线段上，只有一个点能够将其按照一定的比例分为两段。
2. 分点与线段的长度关系：设线段AB的比例分点为P和Q，线段AP的长度为x，线段PB的长度为y，线段AQ的长度为m，线段QB 的长度为n，则有x：y = m：n。
3. 全长内外分点：当m+n=1时，称P和Q是线段AB的全长内分点；当m+n>1时，称P和Q是线段AB的全长外分点；当m+n<1时，称P和Q是线段AB的全长外分点。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B =∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与DEF相似。
相似三角形的性质：1. 对应边的比例关系：相似三角形的对应边之间有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AB：DE = BC：EF = AC：DF = k，则称k为相似比。
2. 高线的比例关系：相似三角形的高线之间也有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且AD：DG = BE：EH = CF：FI = k，则称k为相似比。
3. 面积的比例关系：相似三角形的面积之间具有一定的比例关系。
若三角形ABC与DEF相似，并且面积(ABC)：面积(DEF) = k²，则称k 为相似比。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理A两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CFAB AC=． ABC E FFEC BA平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC=，则有EF//BC ． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的定义3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有 A A '∠=∠，B B C C ''∠=∠∠=∠，．②相似三角形的对应边成比例． 如图，∽△△ABC A B C '''，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，△ABC ∽△A B C '''，AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线，A M ''、A H ''和A D ''是△ABC '''中B C ''边上的中线、高线和角平分线，则有AB BC AC AM AH ADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，△ABC ∽△A B C '''，则有 △△ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H 2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅24．相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果AB BC ACA B B C A C ==''''''，则 △∽△ABC A B C '''．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果AB ACA B A C =''''，'A A ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．五、“A ”字和“8”字模型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，E 、F 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则有：△∽△ADG ABC ，DG ANBC AM=． 特别地，当BAC ∠=90︒时，有△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC ．NM GFE DCB AGFEDCBA七、“A ”字和“8”字模型的构造“A ”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：G EDCAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBAGA HDFBECAGDF BEC八、斜“8”模型九、斜“A”模型十、射影定理十一、三平行模型十一二、三垂直模型十三、角平分线定理十四、线束模型题型一 比例的性质和成比例线段的概念例题1 （1）已知::::x y z =135，则x y zx y z+3--3+的值是_______．（2）若x y z 234==．则x y z x y-+3=3-_______． （3）若a b c 2=3=4，且abc ≠0，则a bc b+-2的值是_______． 解析（1）设x k =，y k =3，z k =5．∴x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53；（2）113；（3）-2 巩固1： （1）如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ．123x y = D ．1314x y +=+ （2）已知：23a c e b d f ===，求值：①a cb d++；②2323a c e b d f -+-+． （3）已知b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+++的值． 解析：（1）A 为合比性质，B 为分比性质，C 显然正确，D 错误，由于11x y ≠，不能用等比定理．故答案为D ．（2）由等比性质直接可以得到23a c b d +=+；232233a c eb d f -+=-+． （3）当0a bc ++≠时，()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++ 于是：2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=，()()()a b b c a c abc+++=8．当0a b c ++=时，()()()()()()a b b c a c c a b abc abc+++-⋅-⋅-==-1．本题答案为1-或8．题型二 平行线分线段成比例定理 例题2（1）如图2-1，已知∥∥l l l 123，用面积法证明：AB DEBC EF=． （2）如图2-2，∥∥AD BE CF ，若AB =4，AC =10，DE =5，则DF =______． （3）如图2-3，∥∥l l l 123，AB =3，BC =5，DF =12，则_______DE =，______EF =．A D BECF l 12l 3lAD B ECFA DBECF l 12l l 3图2-1 图2-2 图2-3（1）如图所示，连接AE ，BD ，BF ，CE ．△△ABECBES AB BC S =∴． ∥AD BE ∵，∥BE CF ，△△ABE DEB S S =∴，△△CBE FEB S S =．△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DEBC S S EF===∴． （2）252； （3）92，152． 巩固2： （1）如图2-1，直线∥∥l l l 123，已知.cm AG =06，.cm BG =12，.cm CD =15，CH =_____．（2）如图2-2，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若AD BD 2=3，AE =3，则AC =______（3）如图2-3，AB ∥DE ，AE 与DB 交于C ，AC =3，BD =3，CD =2，则CE =______A CH GDBl 1l 2l 3B ADEABC图2-1 图2-2 图2-3解析：（1）0.5cm ；（2）152；（3）6 题型三 相似三角形的定义、性质和判定 例题3如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC =90︒，∥AD BC ，点E 在BC 上，点F 在AC上，∠∠DFC AEB =．（1）求证：△∽△ADF CAE ．（2）当AD =8，DC =6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．解析：（1）∵∥AD BC ，∴∠∠DAF ACE =，∵∠∠DFC AEB =，∴DFA AEC ∠=∠，∴△∽△ADF CAE（2）∵AD =8，DC =6，∴AC =10，又∵F 是AC 的中点，∴AF =5 ∵△∽△ADF CAE ，∴AD AF CA CE =，∴CE 85=10，∴CE 25=4，∵E 是BC 的中点， ∴BC 25=2，∴直角梯形ABCD 的面积125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭A D BECF l 12l 3l F EDCBA巩固3： （1）下列所给条件中，可以判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A ．90A ∠=︒，90F ∠=︒，5AC =，13BC =，10DF =，26EF = B ．85C ∠=︒，85E ∠=︒，AC DEBC DF=C ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，8EF =，10DE =，16FD = D ．46A ∠=︒，80B ∠=︒，45E ∠=︒，80F ∠=︒（2）如图1，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，交BA 于点E ，EC 与AD 相交于点F ．求证：△∽△ABC FCD ．（3）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，BD CE BC 21⋅=2，求证：△∽△ACE DBA ．AEF DADB CE图1 图2解析：（1）D ； （2）AD AC =∵，FDC ACB ∠=∠∴；DE ∵垂直平分BC ，EB EC =∴， ∴ABC FCD ∠=∠，△∽△ABC FCD ∴.（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ．题型四 “A ”字和“8”字模型例题4 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105． （2）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固4： （1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ．（2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAAB CEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型五 与内接矩形有关的相似问题 例题5（1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ， 则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=． 由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固5： 如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF ABGFED CBA H MACDEG BIHHPED CB A解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24． 由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37． 法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型六 “A 字和“8”字模型的构造 例题6如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，AH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， ∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3． 还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固6： 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点． （1）若BK KC 5=2，求CDAB的值； （2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ，∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ，∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2，ABDECC DEKBA而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-． 题型七 斜“A ”和斜“8”模型 例题7如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB =，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固7： （1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅． （2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．FECDBAA DEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2． 方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥， 又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅， 又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2． 总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找ADEF CM123ED CAB巩固8： 在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明． （2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）图3图2图1lP FEDCB AFP EDC BAlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC BA图3lPFED CB A 图8-1 图8-2 图8-3 解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下： ∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△． （2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型八 射影定理 例题8如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅．解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅， 又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固9： （1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅． GHFED CB ACAEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△． （2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅， 于是仅需证明AB FDAC ED=， 由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证． 题型九 三垂直模型 例题9如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠， 又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固10： （1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB AByD E OAxC图10-1 图10-2EDCG FBM A解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==， ∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =， 又∵4EF =，∴CE =，CF =BC，AB ， ∴矩形ABCD的周长为（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点 则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===， 设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-， 由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-， 解得45x =，故45CG =，125DF =，求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固11： 如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ． （1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠， 又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△． （2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PAa =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十 三平行模型例题10 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．DFAPQFEMDCBA解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥． （2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+． 巩固12： 如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点． 由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+． 题型十一角平分线定理例题11 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- ∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固13： （1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD ACDB BC ==，由于5AB ==，31577AD AB ==∴ B AED（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+． 巩固14： 若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．P DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴， 又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴． 题型十二 线束模型例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =． 法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ， 由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法． 法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ， 交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3， 即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN DEFQP GABCMNDEF巩固15： （1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． FED NMCBA（2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=； （2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点； （3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅． 题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是 ．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t 2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60． ②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴tt t23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固16：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。
线段的比例分割与相似三角形
线段的比例分割与相似三角形线段的比例分割与相似三角形在数学中属于几何学的分支。
当两个线段分割另外一条线段时，这两个线段的比例关系可以用来推导相似三角形的性质。
本文将详细讲解线段的比例分割与相似三角形之间的关系，并探讨在实际问题中的应用。
一、线段的比例分割原理线段的比例分割是指将一条线段按照一定的比例分为两部分。
设有一条线段AB，C点是该线段上的一个点，将线段AB分为AC和CB两部分，根据线段的比例分割原理，有以下的比例关系：AC/CB = AD/DB其中AD和DB分别表示从点A和点B到点C所划分出的两个线段。
这个比例关系可以推广到更复杂的情况，即当线段AB被多个点分割时，依然成立。
二、相似三角形的性质与线段的比例分割相似三角形是指具有相似形状但大小不同的三角形。
当两个三角形相似时，它们的对应边长成比例。
而线段的比例分割正是相似三角形性质的一种特殊情况。
以线段AB为边的三角形ABC与以线段AC为边的三角形ADE相似，根据相似三角形的性质，有以下的比例关系：AB/AC = BC/CE = CA/AD其中CE和AD分别表示从点C和点A到点E所构成的线段。
这个关系表明，线段的比例分割可以推导出相似三角形的对应边长比例关系。
三、线段的比例分割与相似三角形的应用线段的比例分割与相似三角形在几何学中有广泛的应用。
它们可以用于解决各种问题，例如测量无法直接获得的长度、计算图形的面积以及解决实际生活中的几何问题等。
1.测量无法直接获得的长度在实际情况中，有时候我们无法直接测量一个线段的长度，但我们可以利用已知线段的比例分割关系来计算。
例如，我们知道一根棍子被两个点分割成三段，其中两段的比例为2:3，而总长度为60厘米。
那么我们可以利用线段的比例分割来计算每段的长度，进一步解决问题。
2.计算图形的面积通过线段的比例分割与相似三角形，可以推导出各种图形的面积比例关系。
例如，在两个相似三角形中，它们的面积的比例等于边长的比例的平方。
线段比例与相似三角形
线段比例与相似三角形线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。
在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。
一、线段比例的定义与性质线段比例是指两个线段之间的长度关系。
假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。
如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。
线段比例具有以下性质：1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。
2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。
3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。
二、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。
两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。
如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。
相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。
2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。
4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。
三、线段比例与相似三角形的关系线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。
当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。
具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b = k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。
这个性质也被称为对应角的性质。
根据相似三角形的性质，在相似三角形ABC和CDE中，对应边也成比例，即AB：CD = BC：DE = AC：CE = a：b = k。
比例线段和相似三角形
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3、比例的基本性质
• 其中（3）称为合比性质，（4）称为等比 性质． m 2m n 1 • 例：若 n 3 ，则 n _______
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4、黄金分割
• 如图， • 点P把线段AB分成两段AP和PB.如果，那么 称线段AB被点P黄金分割.点P叫线段AB的 黄金分割点，线段AP与AB的比值叫做黄金 比.经计算可知这一值等于 5 1 0.168 。
2
• 注意，一条线段的黄金分割点有两个。
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• 例：已知C是线段AB的黄金分割点,
•
AC 5 5 5
பைடு நூலகம்
且AC>BC,求线段AB与BC的长。
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二、相似三角形的定义：
• 一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角 形，叫做相似三角形． • 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． • ！注意： • ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个) 三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相 等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形， 即定义中的两个条件，缺一不可； • ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定 相等.
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二、相似三角形的性质：
• 如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成 比例． • （1）相似三角形对应中线之比、对应高之比、对应角平 分线之比都等于相似比； • （2）相似三角形周长之比等于相似比； • （3）相似三角形面积之比等于相似比的平方； • ！注意： • ①全等三角形一定是相似三角形的特例，其相似比k＝ 1．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边 成比例． • ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的 比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅 当它们全等时，才有k＝k′＝1．
相似三角形的比例关系与比例定理
相似三角形的比例关系与比例定理相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在研究相似三角形时，比例关系和比例定理起着重要的作用。
它们无论在几何学还是实际应用中都具有广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形的比例关系和比例定理，并通过实例加以说明。
1. 比例关系：在相似三角形中，相应边的长度之间存在着比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF这表示两个相似三角形中相应边的长度之间的比值是相等的。
比例关系可用来计算未知边长或角度的值，同时也可以用来进行图形的放缩。
2. 比例定理：比例定理是指在一个三角形内部，若一条直线平行于另两条边，则该直线将三角形切割成了三个相似的三角形。
具体而言，设在三角形ABC中，有一条直线DE与边AB和边AC分别平行。
则有以下比例关系成立：AD/DB = AE/EC这表示切割后的三个三角形中，对应边的长度之间的比值是相等的。
比例定理可以用来求解线段的分割比例问题，也可以应用于解决实际问题，如地图的缩放等。
下面通过一个实例来说明相似三角形的比例关系和比例定理的应用。
例题：已知∠A为直角，BC是直角三角形ABC的斜边，D是BC的中点，且AD平分∠BAC。
证明：∆ABC和∆ACD相似。
解：首先，根据已知信息，我们可以知道∆ABC是一个直角三角形，且有AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠DAC。
又因为D是BC的中点，所以BD=DC。
根据这些已知信息，我们可以通过比例关系证明∆ABC和∆ACD相似。
对于∆ABC和∆ACD的比例关系，我们可以考察三条边之间的比值。
∆ABC中，∠B是直角，BC是斜边，则根据勾股定理可得AB²+BC²=AC²。
∆ACD中，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，再结合BD=DC，我们可以得出∆ACD中的两边比值：AB/AD = AC/CD。
线段比例定理与相似三角形
线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。
它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。
一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。
具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。
考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。
根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。
二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。
具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。
相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。
在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。
这个比例关系又称为“对应边比例定理”。
相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。
三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。
2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。
中考总复习 相似三角形
【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中 的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这 样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面 与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电 线杆的高度，一个小组的同学进行了 如下测量：某一时刻，在太阳光照射 下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度 为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落 在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识 进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相 似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ， 又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗 杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图， 在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.
初中数学 相似三角形的边中点连线和边的比例关系
初中数学相似三角形的边中点连线和边的比例关系
相似三角形的边中点连线和边的比例关系可以通过以下推导来得到。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
我们来探讨它们的边中点连线和边的比例关系。
首先，我们知道在一个三角形中，边中点连线是连接两个相似三角形的对应边中点的线段。
假设在三角形ABC中，P是连接边AB和边AC中点的线段，Q是连接边BC和边AC中点的线段。
同样地，在三角形DEF中，R是连接边DE和边DF中点的线段，S是连接边EF和边DF中点的线段。
我们要证明的是，|PQ|/|RS| = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
首先，我们来证明|PQ|/|RS| = AB/DE。
根据边中点连线的性质，我们知道∠APQ = ∠DRS，并且∠AQP = ∠DSR。
由此，我们可以得到两个相似三角形APQ和DRS。
根据相似三角形的性质，我们有|PQ|/|RS| = AQ/DR（边长比例）。
同样地，我们可以证明|PQ|/|RS| = BP/ES = CP/FS。
由于ABC和DEF是相似三角形，我们可以得到以下关系：
AB/DE = BC/EF = AC/DF （边长比例）
因此，我们可以得出|PQ|/|RS| = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
从上述推导可以看出，相似三角形的边中点连线和边的比例关系是相等的。
这意味着，对于相似三角形中的任意两个边中点连线，它们与对应边的比例是相等的。
在解决与相似三角形有关的问题时，我们可以利用这一性质来简化计算和推导。
线段比例定理与三角形的相似性应用解析
线段比例定理与三角形的相似性应用解析线段比例定理是解决几何问题中常用的原理之一，它在求解线段的长度比例时起到了重要作用。
三角形的相似性应用则是在解决三角形问题时的关键概念，它可以帮助我们简化计算过程，得到更加准确的结果。
本文将详细介绍线段比例定理与三角形相似性应用的概念和具体解析方法。
一、线段比例定理线段比例定理是指在一个平面内，若点D在线段AB上，AD与DB 的比等于点C在线段AB上AC与CB的比，则有AD/DB = AC/CB。
这个定理通过比例的概念，帮助我们计算线段的长度比例，进而解决实际问题。
例题1：已知线段AB与线段CD的比为3:5，线段DE与线段BC 的比为4:9，求线段AE与线段AC的比。
解析：根据线段比例定理，我们可以得到AB/CD = 3/5，DE/BC = 4/9。
将两个等式相乘，得到(AB/CD)*(DE/BC) = (3/5)*(4/9)，即(AB*DE)/(CD*BC) = 12/45。
移项后可得到(AB*DE)/(AE*CD) = 12/45。
同理可以得到(AE*AC)/(CD*AC) = 3/5。
由此可得(AE*AC)/(AE*CD) = 3/5，即AC/CD = 3/5。
最终我们得到线段AE与线段AC的比为3:5。
二、三角形的相似性应用三角形的相似性应用是指在两个或更多个三角形之间存在一定的比例关系，从而可以通过已知条件求解未知量。
三角形相似性应用在实际问题中有很多应用，比如求解高空物体的高度、测量难以到达的距离等。
例题2：如图所示，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3/5，AC = 12cm，求线段DF的长度。
（图示：三角形ABC和三角形DEF重合在角A和角D上，AC为线段AB的割线）解析：根据已知条件，我们可以得到三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 3/5。
由线段比例定理可得AC/DF = AB/DE，即12/DF = 3/5。
通过交叉相乘避免分数相除，我们可以得到3DF = 5*12。
利用相似三角形求解线段比例
利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。
相似三角形具有对应角相等的特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。
在几何学中，利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。
本文将介绍相似三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角形求解线段比例。
相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。
两个相似三角形的对应边之间存在比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，记作∆ABC∼∆DEF。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。
接下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。
【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。
若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。
解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。
我们可以通过构造相似三角形来求解。
首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。
根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。
根据对应边成比例的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。
由于已知AD/DB = 2，AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC= 3。
因此，线段DE与BC的比例为2:3。
通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一般步骤：1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。
2. 建立相似三角形的比例关系。
3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。
在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。
相似三角形(一)线段的比、比例线段
相似三角形（一）-------------------线段的比、比例线段一、知识点：1、线段的比：2、比例线段：等价形式3、比例尺：4、合比定理：5、等比定理：6、黄金分割点：黄金比例：7、方法：二、精选例题例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x+y+z=6，求x 、y 、z.(2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.(3)已知a 、b 、c 是非零实数，且 EMBED Equation.3，求k 的值.(4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足 EMBED Equation.3 ，且a b ca c cb b a x ))()((+++=，求x 的值.针对练习：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC（2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？课堂练习9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′， EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3 ＝ EMBED 낣볐 鍤栺塺漘ܫມ△塂猍⫬⫬ﾕ끗⫬⫬㔱駞⫬⫬ ⫬छ촘몔Ѝ歭愾蒖鱐秡⫬峢ﵬ쳸㣯朁荤オ 㤻祿 喇⫬셩 葁乁 ⫬ 顇㛨 ⫬捀⫬䘣檆骯誵乷仝 程뿶幹詀쐊幷⫬ 뇊㨇㱣鼚쵝敫隑⫬㉨폰ﮐ鏁巠 뷁鳨⫬쑦छ랭ᾨ 灼 꼤쁐蠆 㳸 鑾㑾옭韹얩魊㮟 磃텮䝅 ఠ 舼鈌漲⫬稤⫬䝖랦簏뺷⫬⫬⫬笏㐀豈跲诐 栉⫬劫⫬⫬䗼 訵졍⫬뼫欮⫬包鄓닳⫬屑⫬ 瘱ӝ ⫬壃㯑๊譱뗋㾞⫬ ᾂ㤙傔 噇⫬ƿ⫬㫹넊许콽垊휿⫬䨛㦭 Ḷ剉 프⫬⫬Ä3꼀℁픚㘕䏅 沔⫬ʉ⤡⫬Ả篓矀嵪쬥⫬๊䘸⫬꽕뙄芓⫬袿싪꽖趙屏单綏냑捲⫬憝翕妸솔둋鏭깮⫬⫬㛒 鸖ž씴ཿ⫬燫䯶挮猙怵⫬ ⫬瞹 樷 拢嚾绎嫥墫 薪踭嗍餚닱酨닚邇⫬⫬⫬燠똕⫬⫬툉삮誼쬗‹㦝豜嶇薰㸿⫬㟇 ⫬盿⫬狉⫬幝蚖瞅쩮僾௺ұ௺⫬逘۾횪먫旿뢡⫬捓⫬⫬荶훦ῐ⫬ ⫬⫬ﾾ뾞ǿ쪿뿯౨3ĀÀĀझ x 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则db c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 20．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 22．已知a b a 3)(7=-，则=ba 23．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 24．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .28、若322=-y y x , 则_____=y x . 29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .30．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .练习：1、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 2、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．3、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 4.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x+y+z 的值.5、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.。
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01相似三角形题型之一比例与比例线段比例与比例线段教学目标：1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项。
3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。
1．知识点与方法概述A：比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.B：比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.C：黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EFF：三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：DE//BC，DE?G：梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF//AD//BC，EF?12(AD?BC).12BC2．典型例题讲解例1：有关合分比定理的计算①已知：3x=5y，則x:y=________，=________。
②已知：课堂练习：，則_______，=_______。
①已知：，則=_______。
②已知：，則x+y+z=6，則x=_______，y=_______，z=______。
③已知：a:b:c=1:3:5，則=_________。
ABAMAC④如图已知BE=ME=CEAB?BC?CAAE求证：BC=MEABAMACAB?ACAM证明：∵BE=ME=CE，∴ BE?CE=EM，AB?ACAMAB?BC?CABCAM?ME即BC=ME，∴=MEAB?BC?CAAE即BC=ME本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的例2：有关比例线段的计算①如图，CE是?ABC的中线，CDcm；若CD=9cm，则AF= cm.②如图，?ABC中，E为BC上一点，CD平分?ACB交AE 于点D，且CD?AE，DF交AB于F。
若AF=2cm，则AB= cm.课堂练习：①已知：如图，?ABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求?DEF的周长.ACB的平分线，②已知：如图，?ABC中，BD、CE分别是?ABC、AH?BD于H，AF于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.CE//BC12AD,EF//BD,EG//AC. 若EF=18cm，则BG=③已知：如图，梯形ABCD中，?ABC两底的长.例3：有关黄金分割的作图与计算①黄金分割DCB?45?，AD//BC，高是h，中位线长m，求五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离 ACBC与相等吗？ ABACBCAC点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果＝，ACAB那么称线段AB被点C黄金分割(golden section), 图4-5 点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？②求黄金比的数值，如图4－1－4 设AP＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB?x. ABABP图4-1-4A C BAB－AB?xAB?x1－xPBAPx＝，得＝，即＝ APAB AB?xABx1化简，得x2＋x －1＝0.－1＋5 －1－5 解得x1＝，x2＝22所以5 －1AP ＝≈ AB2黄金分割的深远意义：历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为许多美丽的形状都与这个比值有关。
③尺规做线段的黄金分割点：已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是＝5 －1a， 25 15 1 a－ a，于 a是以a和 a为直角边的斜边长 2222因此本题转化为作两条线段之差.DEACB作法：11.经过点B作BD⊥AB,使BD＝ AB 22.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.如图，点C就是线段a的黄金分割点思考：如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?计算 AB的黄金分割点吗? 课堂练习：①已知：M是线段AB的黄金分割点，AM>BM. 求证： AM?ABAB?ABAMACBC与；点C是线段ABAC.②一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人比例协调。
一个参加空姐选拔活动的选手肚脐以上的高度是65cm，肚脐以下的高度是95cm，那么，她该穿多高的鞋子才好看？例4：有关平行线分线段成比例的计算与证明①如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于G，求证GF＝FB．GFEF证明：∵GF∥AD ∴AD＝EDFBEF又FB∥DC ∴DC＝EDGFFB又AD＝DC得：AD＝AD，∴GF=FB本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A型”或“最后使问题得证。
②已知：如图△ABC中，DE//AC，DF//AB，求证：BE:AE=AF:FC。
③已知：如图，△ABC中，AD//EF，AC//ED，求证：BF:FD=BD:DC。
④已知：如图，AD//EG，CD//FG，求证：AC//EF。
课堂练习：①如图，l1//l2//l3，分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F. 若AB:AC=1:2，那么DE:EF= .型”，得到相应的比例式，并注意公共线段“ED”产生“中间比”，②已知：如图，在?ABC中，EF//CD,DE//BC. 求证：AF：FD=AD:DB.③已知：如图，在?ABC中，AD平分?BAC交BC于D，DE 平分?ADC交AC于E，若?BAC长.2B，AE=4，CE=3. 求AB的3、课堂小结A：比例与比例的性质，有关合分比定理的计算；B：比例线段，与比例线段有关的计算；C：黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念，黄金分割点的尺规求法； D：平行线分线段成比例定理及相关计算与证明。
A组一、填空题：1.若4x=5y,则x∶y＝.2.若x3＝y4＝z5，则x?y?zyx?yy∶y?z?xx＝.3.已知x?y13ab＝y7，则的值为.4.已知＝34，那么a?bb＝.5.若ab＝cd＝ef＝3，且b+d+f＝4，则a+c+e＝ .6.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝.7.若ba?b＝35，那么ab＝.8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是.9.已知△ABC和△A′B′C′，则AB+BC+AC＝ .10.若a＝8cm，b＝6cm，c＝4cm，则a、b、c的第四比例项d＝cm； a、c的比例中项x＝cm.11.已知3∶x＝8∶y，求a?3b2b72ABA'B'BCB'C'CAC'A'32＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.xy=ab12. 已知x2＝，求=13. 若＝y3，求x?yy=14. 如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么x?3y?zx?3y?z＝15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的地图上，量得杭州到南京的距离约为60cm，那么杭州到南京的实际距离约为km.17．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知19．若ab3x＝cd＝25 (b+d≠0)，则a?cb?d＝x4，则x等于532320．已知xyab?，则(x?y):(x?y)? a?b?1a?b?521．如果?，且a?2,b?3，那么ab?22．已知7(a?b)?3a，则23．如果xa?x2? 2x?3y?z2a?3b?cxx?y?zyb?y7??zcz5?2，那么?x?zy24．已知：，设A?，B?，C?x?y?zx，那么A、B、C 的大小顺序是. 25．已知：4x?11y?5z,2x?y二、解答题：z，则x:y:z= .1、已知：5y-4x＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知3、已知线段x、y，如果(x+y)∶(x-y)＝a∶b，求x∶y.4、已知：5．如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，ADABAEACDEBC23aba?bc=b?ca=c?ab＝x，求x＝cd＝ef＝3(且有b+d+f＝0)，求证：a?cb?d＝c?ed?f＝3.＝＝＝，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.6已知a:b:c?2:4:5，且2a?b?3a?6，、求 3a?b?2c 的值。
8 、若a:b:c?2:3:4，且a?b?c?5， a?b的值．求10、已知ab?cd7、已知 a5?b7?c8，且a?b?c?20，求2a?b?c 9、若a?23?b4?c?56,且2a?b?3c?21 ，试求a:b:c ，求证：a?bb?c?dd 11、若a:b:c?1:2:3，求a?b?ca?b?c的值。
B组1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E、F为BC 的三等分点，求BG、GH、HD的长DCFHEGAB2. 如图，已知△ABC、△CDE是等边三角形，且B、C、D三点在一直线上，如果BC=15,CD=5. 求CF的长AEFBCD3. 如图，已知矩形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且BE=2AE，BF=2FC, EF交BD于点G. 求证：△GEB是等腰三角形ADEGBFC4. 如图，在△ABC中，AD?13AB, 延长BC到点F，使得CF?13BC，连接DF, 交AC于点E. 求证：DE=EF (2) AE=2ECADEBCFAFAB5. 如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D，DE：AE=1：3. 求A的值FEBDC6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2, 延长AD 到H，使AH=7，对角线AC、BD相交于点O，连接HO交DC于点F，延长HO交AB于点E. 求AE的长HDFCOAEB7. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DF ∥BE交AC于点F，EG∥CD交AB于点G. 求证：GF∥BCAGDFEBC8. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，F为AC上一点，且CF：AF=1：2，BF交AD于点E求BEEF的值AFEBDC9. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6, BC=9, AE:AB=2:3，求GF 的长ADEFGBC10. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点A作EA ∥BC，F是AB上一点，连接DF的直线交AE于点E，交BC的延长线于点P. 求证：AE=CP (2)若AB=4AF;EP=12,求DF的长EAFDBCP11. 如图，AB∥EF∥DC, AB=6,DC=9,求EF的长DAEBFC12. 如图，ABCD为正方形，过A的一条直线依次与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G，AE=5,EF=4,求FG的长ADEFBCG13. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AC与BD交于点O,CE∥AB交BD的延长线于点E.求证：OB?OD?OEE2ADOBC14. 如图，AF∥BE∥CD, AF=12, BE=19, CD=28,求FE:ED 的值AFBE15. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，AE交BD于点F, 求DF:FO的值DCDEFOCAB16. 在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=3CD,E为对角线AC的中点，直线BE交AD于点F,求AF:FD的值DCFEAB17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB 上，且AE=BF=AB, EF与AC相31交于点H.(1) 求EH：FH的值(2) 设AB=x, 四边形BCHF的面积为y，求y关于x的函数关系式AEDHFBC18. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC 上，点F在射线DC上.若AF=AE,并设CE=x, △AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域若CE?14，延长FE与直线AB 交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？DFCDCEABAB19. 如图，在直角坐标系中有点A(6,0)、B(0,8)、C(-4,0), M、N分别为线段AC,射线AB上的动点. 点M以每秒2个单位的速度自C向A运动，点N以每秒5个单位的速度自A向B的方向运动. 若MN交OB于点P 求证：MN：NP为定值；若△BNP是等腰三角形，求CM的长yBCOAx20．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求证：EF=3DE．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过N、M分别作AC的平行线，线段之间的关系可得 = ，进而DF∥HN，可得 = = ，即 = ，进而即可得出结论．解答：证明：过N、M分别作AC的平行线交AB于H，G 两点，NH交AM于K，∵BM=MN=NC，∴BG=GH=HA，则HK= GM，GM= HN，∴HK= HN，即 = ，又DF∥HN，∴ = = ，即EF=3DE．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．求证：OE=OF，求证：1/AD+1/BC=2/EF．比例和比例线段检测题一、若填空题：x?yy?35，则xy? ； l1 A E 线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是；l2 B F 如果a:b:c?3:4:5，那么ABBD2a?3b?ca?5b?3c? ； C如图，l1∥l2∥l3，那么______，EGFG?______；l3 G D⊿ABC中，如果AC:CB?3:4，∠C的内角平分线交AB于P，那么PA:PB? 若x2?xy?6y2?0，则x:y? ； A 如图，⊿ABC中，DE∥BC，AD = 3k，BD = 3k， D E 那么DE:BC? ； B C 如图，⊿ABC中，∠C = 900，CD是斜边AB上的高， C AD = 9，BD = 4，那么 CD = ；AC = ；已知⊿ABC中，P是AB上的一点，∠ACP = ∠B，AB = c，BC = a，那么CP = ； A D B 两个相似三角形的相似比系数为k?2，如果它们的周长之差4cm，那么这两个相似三角形的周长分别是。