三次函数常见的性质及应用

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11三次函数的性质及其简单应用

所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ）故所求c的范围是（0，（ 7 4 3，）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值；在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点（2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征单调性对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：

例说三次函数图象性质的应用

．‘．一ａ＝１，ａ＝一１，ｆ（ｘ）＝（ｘ一１）３．．’．ｆ（２）十“一２）＝（２—１）３＋（一２—１）３＝一２６．方法点拨：本题利用了三次函数“ｘ１图象的对称中心、其导函数ｆ’（ｘ）图象的顶点有相同横坐标这一特征来确定参数的值。
万方数据
例说三次函数图象性质的应用
作者：作者单位：刊名：
减区间为［ｏ，一半］，由已知函数ｆ（ｘ）在［ｏ，２］上是减函ｊ
１Ｌ
数，．·．２≤一｛兰，ｂ≤一３，．·．ｆ（１）＝１＋ｂ一８—４ｂ＝一３ｂ一７≥２．
ｊ
方法点拨：（１）本题中的字母较多。要求我们能够利用消元的思想，与及相关知识消去中介变元，保留适当“主变元”它是解决问题的基本原素。（２）利用三次函数图象的性质，得出函数的单调递减区间，再由已知单调递减区间是此单调递减区间的子集的关系求出主变元的范围。从而证得不等式成立。
１．当△≤０时，三次函数ｆ（ｘ）在Ｒ上是单调函数；（１）当△≤Ｏ且ａ＞０时；函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增下图：
‘ｙ
汐
ｆ．ａ＜Ｏ
＼
０／
ｉ
／
Ｏ＼＼ｉ
２．当△＞０时，三次函数ｆ（ｘ）在Ｒ上必有一个极大值点和一个极小值点（即三次函数ｆ（ｘ）在Ｒ上有极值的充要条件是：△：４ｂ２—１２ａｃ＞ｏ）。当△＞０时，设方程ｆ’（ｘ）
Ｘ－ｘｌＸ２ｘ２
（一）
Ｘ＝ｘ１Ｘ＝。２
（二）
３．三次函数ｆ（ｘ）＝ａ）【３“ｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠ｏ）的图象是中心对
称图形，其对称中心坐标为（嘉，ｆ（害））．
Ｘ＝ｘ１Ｘ＝ｘ２
．·．“ｘ）在区间（０，２）上是减函数，又因为ｆ（ｏ）＝１＞０， “２）＝９—４ａ＜０，故选Ｂ．
方法点拨：本题的切入点是利用三次函数的图象性质先判断“Ｘ１－ｘ，一ａｘ：＋１在区润（０，２）上的单调性，再判断“０）、“１）的符号是否异号。

5-4三次函数的图象和性质

293-b ±b2- 3ac专题4 三次函数的图像和性质第一讲三次函数的基本性质设三次函数为f (x)=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其基本性质有：性质一：定义域为R．性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a > 0 a < 0图像∆>0 ∆≤ 0 ∆> 0 ∆≤ 0当 a > 0 时，先看二次函数 f '(x) = 3ax+ 2bx +c ， ∆= 4b- 12ac = 4(b- 3ac)①当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) > 0 ，即b2 - 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2，图像如图1，2．②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点1 2图像如图3，4．③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6当 a < 0 时，同理先看二次函数 f '(x) = 3ax2 + 2bx +c ，. ∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac)①当∆= 4b2-12ac = 4(b2- 3ac) > 0 ，即b2- 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2.②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点.1 2③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点.性质四：三次方程 f (x )= 0 的实根个数对于三次函数 f (x )=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其导数为 f '(x) = 3ax2+ 2bx +c当b2-3ac > 0 ，其导数f '(x) = 0有两个解x1 ，x2 ，原方程有两个极值x1、x2 =3a.294x 1x 2x 1 x 2x①当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) > 0 ，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. ②当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) = 0 ，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. ③当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 ，则方程有三个实根，图像如图 17.图 13 图 15 图 16 图 17性质五：奇偶性对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d （ a 、b 、 c 、 d ∈ R 且 a ≠ 0 ）. ① f (x ) 不可能为偶函数；②当且仅当b = d = 0 时是奇函数．性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b , f (- b)) ；3a 3a（2）结论二：其导函数为 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c = 0 对称轴为 x = - b 3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见， y = f (x ) 图象的对称中心在导函数 y = f '(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（3）结论三： y = f (x ) 是可导函数，若 y = f (x ) 的图象关于点(m , n ) 对称，则 y = f '(x ) 图象关于直线 x = m对称.（4）结论四：若 y = f (x ) 图象关于直线 x = m 对称，则 y = f '(x ) 图象关于点(m , 0) 对称.（5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的对称中心横坐标为 x 0 ，若 f (x )存在两个极值点 x 1，x ，则有 f (x 1 ) - f (x 2 ) = - a (x - x )2 = 2f '(x ).2 x - x 2 1 23 0 1 2性质七：切割线性质（1）设 P 是 f (x )上任意一点(非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的一条割线 AB 与一条切线 PT ( P 点不为切点), A , B , T 均在 f (x )的图象上，则T 点的横坐标平分 A 、B 点的横坐标，如图 18．图 18图 19 图20295推论 1：设 P 是 f (x )上任意一点（非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的两条切线 PM 、PN 切点分别为 M 、P ，则 M 点的横坐标平分 P 、N 的横坐标，如图 19．推论 2 ：设 f (x ) 的极大值为 M ，当成 f (x ) = M 的两根为 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，则区间 [x 1 , x 2 ] 被中心(- b , f (- b)) 和极小值点三等分，类似的，对极小值点 N 也有此结论，如图 20． 3a 3a第二讲三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数 f (x )图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f (x )的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作 f ( x )的切线，有且仅有 3 条；（2）过区域 II 、Ⅲ内的点以及对称中心作 f (x )的切线，有且仅有 1 条；（3）过切线 L 或函数 f (x )图象（除去对称中心）上的点作 f (x )的切线，有且仅有 2 条．【例 1】过点(1，-1)与曲线 f (x ) = x 3 - 2x 相切的直线方程是．【例 2】若2 f (x ) + f (-x ) = x 3 + x + 3对 x ∈ R 恒成立，则曲线 y = f (x )在点(2, f (2))处的切线方程为．【例 3】过点 A (2 ，1)作曲线 f (x ) = x 3 - 3x 的切线最多有（）A ． 3条B ． 2 条C ．1条D ． 0 条秒杀秘籍：第三讲四段论法则─“房间里装大象”f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0)且导函数∆ > 0 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a < 0)且导函数∆ > 0极大值极大值极小值等值点中心极小值极小值中心极小值等值点1．对称中心： ⎛ - b ，f ⎛ - b ⎫⎫ ；3a 3a ⎪⎪⎝⎝ ⎭⎭2．极大值到对称中心距离为∆x ，极小值到对称中心距离为∆x ，极小值等值点到极大值距离为 ∆x ，极大值等值点到极小值距离为 ∆x ；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.2960 0 【例 4】函数 f (x ) = x 3 - 3x + 1在闭区间[-3 , 0]上的最大值、最小值分别是（）A ．1， -1B ． 3， -17C ．1， -17D ． 9 ， -19【例 5】已知函数 f (x ) = x 3 + ax + b 的定义域为[-1 , 2] ，记 f (x ) 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（）A ． 4B ． 3C ． 2D ．【例 6】已知 f (x ) = x 3 - 3x + m ，在区间[0 , 2] 上任取三个数 a ， b ， c ，均存在以 f (a )， f (b )， f (c )为边长的三角形，则 m 的取值范围是（）A ． m > 2B ． m > 4C ． m > 6D ． m > 8【例 7】已知 f (x ) = ax 3 - 2ax 2 + b 在区间[-2 , 1] 上的最大值是5 ，最小值为-11，求 f (x ) 解析式．图 1 (a > 0) 图 2 (a < 0)【例 8】若函数 f (x ) = 1 x 3 + x 2 - 2 在区间(a , a + 5) 内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）3 3 A ． [-5 , 0)B ． (-5 , 0)C ． [-3 , 0)D ． (-3 , 0)【例 9】若函数 ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 对任意的 x ∈[-2 , 1]恒成立，求 a 的取值范围（）A ． [-2 , 2]B ． [-2 , 4]C ． [-2 , 6]D ． [-2 , 8]【例 10】设函数 f (x ) = x 3 + ax + bx + c ， a ，b ，c ∈ R ，总存在 x ∈[0 ，4]，使得不 f (x ) ≥ m 等式成立，则实数 m 的取值范围是.达标训练一．选择题1．函数 f (x ) = 3x 3 - 9x 2 + 5 在区间[-2 , 2] 上的最大值是（）A ． 5B ． 2C ． -7D ．142．已知 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + a （ a 是常数）在[-2 ，2] 上有最大值3，那么在[-2 ，2] 上的最小值是（）A ． -5B ． -11C ． -29D ． -373．函数 f (x ) = 3x - 4x 3 (x ∈[0 ，1]) 的最大值是（）A ．1B ． 12C ． 0D ． -13297, ] 0 0 4．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 + a 在[-1 , 1]上有最大值3，则该函数在[-1 , 1]上的最小值是（）2A ． - 1 2B ． 0C ． 1 2D ．15．若函数 f (x ) = 3x - x 3 在区间(a 2 - 12 , a )上有最小值，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-1 , 11)B ． (-1 , 4)C ． (-1 , 2]D ． (-1 , 2) 6．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 在(a , 8 - a 2 ) 上有最小值，则实数 a 的取值范围是（） A ． (- , 1)B ． [- 7 , 1)C ． [-2 , 1)D ． (-2 , 1)7．函数 f (x ) = x 3 - 3ax - a 在(0 , 1) 内有最小值，则 a 的取值范围是（）A ． 0 ≤ a < 1B ． 0 < a < 1C ． -1 < a < 1D ． 0 < a < 12 8．当 x ∈[-2 , 1] 时，不等式 mx3 ≥ x 2 - 4x - 3 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A ． ⎡-6 , ⎣ - 8 ⎤9 ⎦ B ． [-6 , - 2]C ． [-5 , - 3]D ． [-4 , - 3]9．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 - 9x + 2 ≥ m 对任意 x ∈[-2 , 2]恒成立，则 m 的取值范围是（）A ． (-∞ , 7]B ． (-∞ , - 20]C ． (-∞ , 0]D ． [-12 , 7]10．函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + a ，函数 g (x ) = x 2 - 3x ，它们的定义域均为[1 , + ∞)，并且函数 f (x )的图象始3终在函数 g (x )的上方，那么 a 的取值范围是（） A ． (0 , + ∞)B ． (-∞ , 0)C ． (- 4, + ∞)3D ． (-∞ 4311．设函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，若对于任意 x ∈[1 , 2]，f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）2A ． (7 , + ∞)B ． (8 , + ∞)C ． [7 , + ∞)D ． [8 , + ∞) 12．已知函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 + 1 ，若 f (x )存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 的取值范围是（）A ． (2 , + ∞)B ． (-∞ , - 2)C ． (1 , + ∞)D ． (-∞ , - 1)13．已知 a ≥ - 3，b ≥ 0 ，函数 f (x ) = x 3 + ax + b (-1≤ x ≤ 1)，设 4有 M ≥ k ，则实数 k 的最大值为（）f (x ) 的最大值为 M ，对任意的 a 、b ∈ R 恒A ． 4B ． 2C ． 1D ． 12 4 14．曲线 y = x3 - x 的所有切线中，经过点(1 , 0) 的切线的条数是（）A ． 0B ．1C ． 2D ． 3 15．已知函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax + 3(a ∈ R ) 有两个极值点 x ， x (x < x ) ，则（）31 2 1 2A ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10B ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 23 C ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10 D ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 2316．已知函数 f (x ) = -x 3 + 6x 2 - 9x + 8 ，则过点(0 , 0) 可以作几条直线与曲线 y = f (x ) 相切（）7298, ] x A ． 3条 B ．1条 C ． 0 条 D ． 2 条17．已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ， x ∈[-3 ，3] 的图象过原点，且在点(1 ， f （1）) 和点(-1 ， f (-1)) 处的切线斜率为 -2 ，则 f (x ) = （） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数18．已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2- bx + c 有两个极值点 x ，x ，若 x < x = f (x ) ，则 f (x ) = x 的解的个数为（）121221A ． 0B ．1C ． 2D ． 319．已知函数 f (x ) = x 3 - mx 2 + 2nx + 1， f '(x ) 是函数 f (x ) 的导数，且 f '(2 + x ) = f '(- 2- x ) ，若在[1，π] 上3f (x ) 1 恒成立，则实数 n 的取值范围为（）A ． (-∞ 1 2B ． (-∞ , - 1 ] 2C ． [ 1 , + ∞) 2D ． [π, + ∞)20．（2019•汕头月考）函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax 在[-1， 2] 上单调递增，则 a 的取值范围是（）3A ． a > 0B ． a 0C ． a 1D ． a > 121．（2019•浙江期中）已知函数 f (x ) = 1x 3 + ax 2 - 2x 在区间(1, +∞) 上有极小值无极大值，则实数 a 的取值3 范围（）A ． a < 12B ． a > 12C ． a 12D ． a 1222．（2019•长沙期中）已知函数 f (x ) = 4x 2 - 3x + 1，g (x ) = 3x 3 - x -1，则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系是（）A ． f (x ) = g (x )B ． f (x ) > g (x )C ． f (x ) < g (x )D ．随 x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{a }中的 a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 4x 2 + 4x - 3 的极值点，则log 2 a 2019 = （）n 114027 3 A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5324．若函数 f (x ) = - a x 2 + x + 1 在区间(1 , 2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（）5 [2 , ] 23 2 B ． [ 5 , + ∞) 2 C ． ( 5 2 , + ∞)D ． (2 , + ∞) 25．（2019•醴陵期中）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 4 ，若函数 g (x ) = f (x ) - m 在 x ∈[-2 ， 5] 上有 3 个零点，则 m 的取值范围为（）A ． (-23 , 9)B ． (-23 , 2]C ． [2 , 9]D ． [2 , 9)26．（2019•湛江一模）已知函数 f (x ) = x 3 - x 2+ ax - a 存在极值点 x ，且 f (x ) = f (x ) ，其中 x ≠ x ，x + 2x =1（）11A ． 3B ． 2C ．1D ． 027．（2019•邯郸一模）过点 M (-1, 0) 引曲线C : y = 2x 3 + ax + a 的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A ，B 两点，若| MA |=| MB | ，则 a = （）A ． - 25 4B ． - 274C ． - 2512D ． - 491228．（2019•黔东南州一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - (6a + 3)x 2 + 12ax + 16a 2 (a < 0) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0 < 0 ，A ．2990 0 6 则 a 的取值范围为（）A ． (-∞, - 1)2B ． (- 1 , 0) 2C ． (-∞, - 3)2 D ． (-3 , 0) 229．（2019•莆田一模）若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + 2x 没有极小值点，则 a 的取值范围是（）31 [0 , ]2 B ． [ 1 , +∞)2 C ．{0} ⋃ [ 1 , 2 +∞) D ． {0} ⋃ ( 1 , 2+ ∞) 30．（2018 秋•晋中期末）已知 f (x ) = 1 x 3 - 5 ax 2 + 6ax + b 的两个极值点分别为 x ，x (x ≠ x ) ，且 x = 3x ，3 2 则函数 f (x 1 ) - f (x 2 ) = （）1 2 1 2 22 1 A ． -1B ． 16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数 f (x ) = x 3 + 3x ，则不等式 8 (1 + x )3 +1 + x > x 3+ 3x 的解集为（）A ． (-∞ , - 2) ⋃ (-1 , 1) C ． (-∞ , - 2] ⋃ (1 ,+∞)B ． [-2 , - 1) ⋃ [1 , + ∞) D ． (-2 , 1)32．（2018•宜春期末）等比数列{a }的各项均为正数， a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 3x 2 + 8x + 1的极值点，n 5 63 则log 2 a 1 + log 2 a 2 + ⋯ + log 2 a 10 = ( （）A ． 3 + log 2 5B ． 8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx -17(a ， b ， c ∈ R ) 的导函数为 f '(x ) ， f '(x ) 0的解集为{x | -2 x 3} ，若 f (x ) 的极小值等于 -98 ，则 a 的值是（）A ． - 8122 B ． 1 3C ． 2D ． 534．（2019•朝阳二模）已知 f (x ) = - 1x 3 + x 在区间(a ,10 - a 2 ) 上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）3A ． a < -1B ． -2 a < 3C ． -2 a < 1D ． -3 < a < 1 35．（2018•海淀期末）函数 f (x ) = x 3 + kx 2 - 7x 在区间[-1 , 1]上单调递减，则实数 k 的取值范围是（）A ． (-∞ , - 2]B ． [-2 , 2]C ． [-2 , + ∞)D ． [2 , + ∞)36．（2019•汉阳模拟）函数 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则实数 a 的范围为（）A ． (-∞, -2)B ． (-∞, 2)C ． (2, +∞)D ． (-2, +∞)37．（2019•瀍河月考）设函数 f (x ) = ax 3 - bx + 2 的极大值和极小值分别为 M ， m ，则 M + m = ( （）A ． 0B ．1C ． 2D ． 438．（2018•南阳期末）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 2 在[0 , 4]上的最大值和最小值分别是（）A ． 2 ， -18B ． -18 ， -25C ． 2 ， -25D ． 2 ， -2039．（2018•合肥期末）已知函数 f (x ) = -x 5 - 3x 3 - 5x + 3，若 f （a ） + f (a - 2) > 6 ，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-∞, 3) 二填空题B ． (3, +∞)C ． (1, +∞)D ． (-∞,1)1．（2019•东城一模）已知函数 f (x ) = 4x - x 3 ，若∀x ，x ∈[a ，b ] ，x ≠ x 都有 2 f (x + x ) > f (2x ) + f (2x )12121212A ．3000 0 成立，则满足条件的一个区间是．2．（2019•陕西二模）设函数 f (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + 1的导函数为 f '(x ) ，若函数 y = f '(x ) 的图象的顶点横坐标为 - 1 ，且 f '（1） = 0 ．则 a + b 的值为．23．（2019•新疆二模）已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2 在(-1 , 1) 上没有最小值，则 a 的取值范围是．4．（2019•十堰模拟）对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ，b ，c ，d ∈ R ，a ≠ 0) ，有如下定义：设 f '(x )是函数 f (x ) 的导函数， f '(x ) 是函数 f '(x ) 的导函数，若方程 f '(x ) = 0 有实数解 m ，则称点(m ， f (m )) 为函数 y = f (x ) 的“拐点”．若点(1, -3) 是函数 g (x ) = x 3 - ax 2 + bx - 5，(a , b ∈ R ) 的“拐点”也是函数 g (x ) 图象上的点，则当 x = 4 时，函数 h (x ) = log 4 (ax + b ) 的函数值为．5．（2018•揭阳期末）已知函数 f (x ) = x 3 + 2x ，若 f (a -1) + f (2a 2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是．6．（2018•长治期末）已知函数 f (x ) = 2x 3 - 3x ，若过点 P (1,t ) 存在 3 条直线与曲线 y = f (x ) 相切，则t 的取值范围是．7．（2019•自贡模拟）已知 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且x < 0 ，则实数 a 的取值范围是．8．（2019•天山月考）设 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，当 x ∈[-1， 2]时， f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范2 围为． 9．已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x + 4，直线l ： 9x + 2 y + c = 0 ．若当 x ∈[-2 , 2]时，函数 y = f (x )的图象恒3 3 在直线l 的下方，则c 的取值范围是．三解答题1．已知函数 f (x ) = 1ax 3 + 2x 2 ，其中 a > 0 ．若 f (x ) 在区间[-1，1] 上的最小值为 -2 ，求 a 的值．32．知函数 f (x ) = ax 3 - 6ax 2 + b (x ∈[-1 ，2]) 的最大值为3，最小值为-29 ，求 a 、b 的值．3．已知函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 + bx + c ；2（1）若 f (x ) 在(-∞ , + ∞) 上是增函数，求 b 的取值范围；301( , 0)（2）若 f (x ) 在 x = 1时取得极值，且 x ∈[-1 , 2] 时， f (x ) < c 2恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数 f (x ) = ax 3+ bx 2+ x + c ，其导函数 y = f '(x ) 的图象过点 1 3和(1, 0) ．（1）函数 f (x ) 的单调递减区间为，极大值点为；（2）求实数 a ， b 的值；（3）若 f (x ) 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数 g (x ) = x 3 - 3x 2 + 2 ．（1）若函数 g (x ) 在区间(0, m ) 上递减，求 m 的取值范围；（2）若函数 g (x ) 在区间(-∞ ， n ]上的最大值为 2，求 n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 5x 2 + a | x | -1．3 2 （1）当 a = 6 时，求函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的单调区间；（2）求证：当 a < 0 时，函数 f (x ) 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 1(a ∈ R ) ．（1）当 a = 0 时，求 f (x ) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程；302P (1, ) （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）求 f (x ) 在区间[0 ， 2] 上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - ax 2 + 1(a ∈ R ) ．（1） a = 6 时，直线 y = -6x + m 与 f (x ) 相切，求 m 的值；（2）若函数 f (x ) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点，求此时函数(x ) 的单调区间；（3）当 a > 0 时，若函数 f (x ) 在[-1 , 1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数 f (x ) = 1 x 3 + 1．3 2（1）求曲线 y = f (x ) 在点 5 6处的切线与 x 轴和 y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2, a ) 可作三条不同直线与曲线 y = f (x ) 相切，求实数 a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若 x = 2 是函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 的极值点．（1）求 a 的值；（2）若 x ∈[n ，m ] 时， -4 f (x ) 0 成立，求 m - n 的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数f (x) =x3 + 3ax2 + 3(a2 -l)x ．（1）若 f (x) 在x = 1处取得极小值，求 a 的值；（2）设x ，x 是g(x) =f (x) - 6ax2 - 3a2 x + 5a(a > 0) 的两个极值点，若g(x ) +g(x ) 0 ，求a 的最小值．1 2 1 2303。

三次多项式函数的性质研究与应用举例

中学数学杂志２１００年第７期
三次多项式函数的性质研究与应用举例
北京市六一中学
１教学中学习思考
１０４０１２
康志山
ｙ（）Ｘ有两个不同的零点为、且。０，））＜．Ａｘ１１新课标学习．（ Ⅲ ）只有两个不同的零点的充要条件是：ｘ有。）＝０．高中数学理科选修（＿２（２）文科选修（１—１）ｆ（）两个不同的零点为、且。：）导数及其应用一章，学课程标准中指出：用导数数会证明（Ｉ）充分性：１若厂（．）没有零点或只有一个零点，求不超过三次多项式函数的极值（大值、极极小值）单调区间以及闭区间上的最值（、最大值、最小
瓢毛％９为
综上）只有一个零点，厂（则）无零点或只个的零点与由（ Ⅱ
中学数学杂志２１００年第７期
２思考中性质探究
）＞０则），
１当．）Ｒ上单调时，在即任 ∈Ｒ有厂（）
≥ ０或厂（）≤ ０恒成立，以厂（）零点或有一所戈无个零点．
２当在Ｒ上）．不单调时，则存在 ∈Ｒ使得
厂（＞０，）还存在 ∈ Ｒ使得厂（）＜０成立所以厂（）必有零点，因为厂（）为二次函数，所以厂（）必有两个不同的零点，为。，以设、所，）（）（和，为）的极值，因为）只有一个零点，以，）的零点只能在（所（一∞ ，。（：）或，

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

三次函数性质总结.

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

特别是文科。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

x三次方的导数定义式_解释说明

x三次方的导数定义式解释说明1. 引言1.1 概述在微积分中，导数是一个核心概念，用于描述函数在每个点处的变化率。

对于一次函数、二次函数以及常见的多项式函数，我们可以通过导数定义式来求出它们的导数，从而研究函数的性质和特点。

本文将重点讨论x三次方函数及其导数定义式，并展示推导过程和高阶导数计算方法。

1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：第二部分将介绍x的三次方函数的定义与性质，以及导数的概念和常见计算方法。

第三部分将详细解释x三次方函数导数定义式的推导过程，包括使用极限定义和幂函数求导法则。

第四部分将探讨x三次方函数高阶导数的计算方法，回顾一阶导数计算方法并推广至二阶和三阶导数，并介绍更高阶导数的递归计算方法。

最后，在结论部分对x三次方函数及其导数定义式进行总结与拓展思考，分析其理解与应用意义，并探讨其他类型函数类比思考与推广讨论。

同时给出一个综合案例分析：x四次方和更高次方函数的导数定义式解释说明。

1.3 目的通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更深入地理解x三次方函数及其导数定义式。

同时，本文也将为读者提供进一步研究其他类型函数导数定义式和高阶导数计算方法的思路和启示。

希望读者能通过这篇长文，对微积分中函数的导数概念有更全面和深入的认识。

2. x的三次方函数2.1 定义与性质x的三次方函数是指形如f(x) = x^3的函数。

它是一个二次多项式函数，由x的立方项构成。

在数学中，我们通常将其称为立方函数或三次函数。

x的三次方函数具有以下性质：- 定义域为全体实数，即对于任意实数x都可以计算出对应的函数值；- 值域也是全体实数集合，因为无论x取任何实数值，其立方都是一个实数；- 函数图像关于原点对称，在第一象限、第三象限上呈现正增长趋势，在第二象限、第四象限上呈现负增长趋势；- 当x>0时，函数值随着自变量x的增大而增大；当x<0时，函数值随着自变量x的减小而减小。

2.2 导数的概念导数是描述函数斜率和变化率的概念。

三次函数有关极值的一个性质及应用

三次函数有关极值的一个性质及应用湖南省岳阳市华容县东山镇联校（414203)聂新军设三次函数/(尤）=似;3 + +c i + d(a #0)，记/"(尤）=3似;2 + 2心;+ c的判别式为4= 4 (62 -3a c).我们有如下结论:命题1对于/(尤）=a x3+心;2 + cx + d(a ^0)，若4= 4(62 -3a c)<0,则/(幻无极值♦证明••因4二4(62 - 3狀）彡0,当a> 0时，/(A〇>〇,当a<0 时，/(>) <0,均使/(A〇为单调函数.故/(%)无极值.命题2对于/(%) = a?+ &r2cx + d(a0)，若厶=4(62-3狀）>0，记/(%)二0的两根分别为A< %)，则当^ > 〇时，/0)的极大值M为/(尤1)，极小值肌为/(尤2)，且肌；当^<0时,/(>)的极大值M为/(巧），极小值m为/(A),且M > m.证明：当a > 0时，由条件知当尤< ^，或％%时，/(X)>0,当A<x时，/(X)<0,于是可知/u)的极大值为/(^)，极小值为y u2).注意到A，尤2(A-尤2< 0)是方程3ax2 + 26尤+ c= 0的两根，且 62 - 3ac > 0，a> 0•M - m = f(x1) -f(x2) -a(x\ - x32) + b{x\ -%2 ) + ~ X2) =~ X2) \-a(X l+ ^1^2+ X l)+b(x1+ x2)+ c] = (x1- x2) [a(x1+ x2)2- ax1x2 +b(x1+ ^;2)+ c]= (x}- x2)^a •(2b,3a/cTa +心•（-|^) +C] = («!X2)[~9~a{b2■3ac)]> 0.即M > m.同理，当a <0时，/(均的极大值M为/(尤2)，极小值m为/( a)，且M > ??!♦综上可知，我们有如下推论：推论函数/($) = a%3 +心2+ cx + d(a7^0)有极值的充要条件是方程/u)=〇有两个不相等的实根.下面举例说明上述结论在解题中的应用.例1已知/(%)=似：3 + cx ,a b + c =〇,客O)=/0)，若客(〇)客(1) > 〇,求证/〇)有两个极值.证明：由已知得g(%) =/(%)=3a%2+26A；+c，当 a=0时，6=-c，g(0)g(l) =c(3a+26+c)= -c2 $0与已知矛盾，故a #0.方程3a i2 + 26% + c =0 的判别式A = 4(62 - 3a c)•由a + 6 + c = 0,消去6，得4=4(62-3(!<:)=4(«2+,-狀）=2 ry 24[(C-f)+f]>〇,于是方程/(x)=〇有两个不等的实根'，^2,由命题2知，/U)有两个极值f(Xl)/(%)'例 2 函数 /(尤）=%3 + 3 a%2 + 36x+c在尤=2处有极值，其图像在％ = 1处的切线平行于直线心+ 2y+5=0,求极大值与极小值的差.解:,（％)= 3%2 + 6a i +36，/"(%) =0有根％ = 2,所以4 +4« + 6二0①，由于图像在尤二1处的切线平行于直线6a;+2；x+5二0,于是/(I)二-3,即3 +6a +36 = -3②，联立①，②解得a = - 1，6 = 0,从而/(%)=尤3-3尤2+c.2018年第8期令/(x)=0,得另一根为0,由命题2知，当％ =〇时函数取极大值，当％= 2时取极小值.于是所求之差为/(〇) _/(2) = c - (8 - 12 + c)= 4.例 3 已知,(尤）=3似3 + 9fcc2 + 9c i+ 15(a > 0)在％ = -2和a； = 4处取得极值，而极大值与极小值之差为27,求a,6,c的值.解:/"($) = 9ax2 + 186% +9c，令/"(i)= 0,得似2 + + c=0,它应有根尤=-2及尤=4,由韦— = -2+4,— = (-2)- 4 = -8.a a故 6= _a，c= —8a.因a >0,由命题2知，/(均的极大值为/(-2)，极小值为/(4),且/(-2)>/(4).由/(-2)-/(4) =27,得 324a= 27,解得 a= ‘ •••a=占，6=例 4 设函数/(%)=尤3 - 3%2 —= % + a.若/(a〇与g(>)的图像恰有三个交点，求实数a的取值范围.解:/(幻与g(幻的图像恰有三个交点，即方程 %3 - 3%2 - 8% = % + a恰有三个不等实根♦令_F(a;)= ^;3- 3x2- 8x - x - a = x3- 3x2-9x- a, ^ F(x)的图像与x轴有三个不同交点.= 3i2 - 6尤- 9,易知厂〇) =0有两个不等实根a=-1，％2 =3, 又尸(^)的/项的系数1> 0,由命题2知，均的极大值为- 1) = 5 -〜极小值为F(3) = -27 -a，且n-1) > ^(3)，以均的图像与％轴有三个不同交点，从而F(i)的极大值大于零，极小值小于零.即|5 _ a > 1解得-27 < a < 5.故i-27 - a<0,例5 设函数/(x)= -~^2+c，其中a >〇,曲线y =/U)在点P(〇，/(〇))处的切线为％轴•若过点（〇,2)可作曲线^ =/U)的三条不同切线，求实数a的取值范围.解：由/(x) = _f x2+&K +C，得/(0) = C，/(尤）=x2-似;+6，/(0) =6,又曲线 y=/(x)在点P(0，/(0))处的切线为％轴，故/(0)二0，/(0)=〇，•♦.6 = C = 0•于是/(>) = ^;3 -音：/，/(>)=尤2 - ax•点〇，/(〇)处的切线 y -/(〇=/(〇〇 - 〇,点（0,2)在切线上一2 -/(〇二/(〇(-〇,化简整理得f r3- f r2 + 2 = 0.即£满足方程f r3- +2二0♦过点（0,2)可作曲线y二/(幻的三条不同切线，等价于方程f f3 - f t2 + 2 = 0有三个相异实根■记g(f)= |^3+2,只需g(t)的图像与t轴有三个不同交点.从而贫(〇的极大值大于零，极小值小于零♦令g'(〇= 2i2 - ai = 0，得^ = 0^2=f因0 >0)，由命题2知，g⑴的极大值为客(0)= 2，g(〇的极小值为客(^)= 2 - ^，由g(0)= 2 > 0，g(f)= 2 - ^ < 0,解得 a > 2灰.所以实数a的取值范围是(2灰，+ =〇).2018年新课标I卷理科数学第19题的研究与推广安徽省宣城中学（242000)项卫华众所周知，高考试题是命题专家集体智慧的结晶，一道好的试题不仅具有典型性，代表性，还具有进一步探索、研究的价值.本文对2018年高考数学新课标I卷理科第19题进行了思考探究并做引申推广.试题再现（2〇18年新课标理科第19题）设椭圆=1的右焦点为厂过F的直线Z与C交于S两点，点M的坐标为（2,0).(1)当Z与x轴垂直时，求直线的方程；(2) 设〇为坐标原点，证明：乙O M A =乙O M B.一见此题，笔者立即联想到下面两道高考试题: (2015年新课标理科第20题）在直角坐标系。

三次函数与四次函数的认知及其应用解读

三次函数与四次函数的认知及其应用俗话说：时势造英雄. 同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位. “何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势. 注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助.一、三次函数的图象与极值设 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f . 则 c bx ax x f ++='23)(2令方程 a b x f 1240)(21-=∆='的判别式，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：.00,0111<∆=∆>∆与此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途径去认知三次函数的图象与性质.特殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值. (1) 4431)(3+-=x x x f （方程0)(='x f 的判别式01>∆情形）； (2) 2)(3+=x x f （方程0)(='x f 的判别式01=∆情形）； (3) x x x f 2)(3+= （方程0)(='x f 的判别式01<∆情形）.品悟上述函数的共性：(I)它们的图象呈“N ”字形（01>∆时的常态情形更为形象）；(II)一次方程0)(=''x f 有实根,o x 并且在点o x 两侧)(x f '' 的符号相反.由此猜想“一般”，从而认知 1、三次函数的图象(1)当三次项系数0>a 时，三次函数的图象呈“N ”字形；当三次项系数0<a 时，三次函数的图象呈“倒N ”字形.(2)令方程)(x f ''=0的实根为,o x 则点o x 为三次函数的对称中心与拐点.（证明从略）.2、三次函数的极值 (1)三次函数极值的存在性对于二次方程 0)(='x f 的判别式1∆ (i) )(01x f ⇔>∆有极大值与极小值.令方程0)(='x f 的两个实根为2121x x x x <且、，则当0>a 时，函数图象左“峰”右“谷”：为极小点为极大点21,x x ；当0<a 时，函数图象左“谷”右“峰”：为极大点为极小值21,x x . (ii) )(01x f ⇔≤∆无极值.其中，当)(,0x f a 时>在R 上单调递增；当)(,0x f a 时<在R 上单调递减. (2)三次函数的极值与相应三次方程的实根 (i)三次方程0)(=x f 有一个实根α与两个虚根0)()(<⋅⇔x f x f 极小值极大值.(ii)三次方程0)(=x f 有二相等实根α2)()(α-⇔x x f 具有因式三次函数轴相切处与的图象在点三次函数x x f α)(⇔.此时，三次方程0)(=x f 有二相等实根或极小值极大值0)()(=⋅⇔x f x f0)(0)(='=ααf f 且.(iii)三次函数0)(=x f 有一个实根α与两个共轮虚根0)()(=⋅⇔x f x f 极小值极大值或)(x f 单调且0)(≠'αf . 范例：1、(07·津). 设函数R a R x a x x x f ∈∈--=其中),()()(2. (1)当a=1时，求曲线)(x f y =在点())2(,2(f 处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数)(x f 的极值；(3) 当a>3时，证明：存在],0,1[-∈k 使得不等式()()x k f x k f 22cos cos -≥-对任意R x ∈恒成立.分析：幸会三次函数问题，关于三次函数的认知立即浮上脑海：图象已然在胸，只待展示过程. 在这里，这一特殊的三次函数)(x f 的图象为常态“倒N ”字形，经过原点，并且在点a 处与x 轴相切. 当a>0时，其图象形如于是，)(x f 的单调性及其极值系列一片清明. 解：(1)当a=1时，x x x x x x f -+-=--=2322)1()( ∴143)(2-+-='x x x f ∴5)2(,2)2(-='-=f f∴曲线)(x f y =在点2=x 处的切线方程为),2(52--=+x y 即 .085=-+y x(2)当x a ax x a x x x f a 22322)()(,0-+-=--=≠时 ))(3(43)(22a x a x a ax x x f ---=-+-=' 令.30)(a x a x x f ==='或得以下为比较a a与3的大小而讨论.(i)若)(,,0x f x a aa '<>变化时当则的变化情况如下表：∴3)(a x x f =当时取得极小值3274)3(a a f -=；当a x =时取得极大值.0)(=a f (ii)若.3,0aa a <<则同理可得 )(x f 的极小值;0)(=a f)(x f 的极大值.274)3(3a a f -=(3)证：注意到133>⇔>a a令 x k u x k u 2221cos ,cos -=-=，则当1,1]0,1[21≤≤-∈u u k 时 ①又由(1)知当]1,()3,()(0-∞⊃-∞>ax f a 在时上递减，∴欲使不等式 R x x k f x k f ∈-≥-对任意)cos ()cos (22成立，只要 21u u ≤ 对任意R x ∈成立只要 )(c o s c o s 22R x x x k k ∈-≥-恒成立 ② 又令 )(cos cos )(2R x x x x g ∈-=则②等价于 )(max 2x g k k ≥- ③而且241)211()(),(41)21(cos )(2max 2=---=∈--=x g R x x x g 故∴由③得 22≥-k k由此解得 21≥-≤k k 或 ④ 注意到这里],0,1[-∈k 于是由④得1-=k .因此可知，在区间[-1，0]上存在1-=k ，使得)cos ()cos (22x k f x k f -≥-对任意R x ∈恒成立.点评：对于(3)，为利用)(x f 的单调性“脱去”所给不等式中的函数符号“f ”，往往循着“从内向外”的顺序走向深入：首先了解内层函数21,u u 的取值范围，再而锁定所要“立足”的单调区间，进而利用)(x f 在相应区间上的单调性脱去“f ”. 于是，化生为熟或化繁为简的意图得以实现.2、（08·徽）已知函数 ).(1)1(233)(23R a x a x x a x f ∈+++-=(1)已知函数的值求处取得极值在a x x f ,1)(=；(2)已知不等式01)(2>+-->'a a x x x f 对任意成立，求实数x 的取值范围. 解：(1) )1(3)(2++-='a x ax x f由题设得 ,0)1(3,0)1(=++-='a a f 即 ∴1=a .(2)由题设知 01)(2>+-->'a a x x x f 对任意成立 002)2(22>>--+⇔a x x x a 对任意成立.02222>++>⇔a x xx a 对任意成立（分离参数） ①令 )(22)(22R x x xx x g ∈++=则由①得 0)(>>a x g a 对任意成立 ② ∴由②得的为a x g 0(0)(≤“下确界”) ③ 02222≤++⇔x xx 0)2(≤+⇔x x02≤≤-⇔x∴所求实数x 的取值范围为[-2，0].点评：当年李清照感慨：“一种相思，两处闲愁”. 今日面对②中的不等式 )(x g a >，亦有类似的感悟：“一个式子，两方转化”：)(x g a >…恒成立)(x g a >⇔的最大值（或)(x g a ≥的“上确界”）；亦有)(x g a >…恒成立a x g <⇔)(的最小值（或a x g ≤)(的“下确界”）. 二、四次函数的图象与极值设四次函数)0()(234≠++++=a f dx cx bx ax x g则 ,234)(23d cx bx ax x g +++=')9636(2612)(222ac b c bx ax x g -=∆++=''其判别式.624)(b ax x g +='''借鉴研究三次函数的经验，循着“特殊→一般”的途径，不难发现四次函数图象的特征.1、四次函数的图象 (1)宏观形状当四次项系数a>0时，若0)(='x g 有三个相异实根（即02>∆），则)(x g 的图象呈“W ”字形；若0)(='x g 有等根或虚根（即02≤∆），则)(x g 的图象呈“∪”字形；当四次项系数a<0时，若0)(='x g 有三个相异实根（即02>∆），则)(x g 的图象呈“倒W ”字形；若0)(='x g 有等根或虚根（即02≤∆），则)(x g 的图象呈“倒∪”字形. (2)“对称”认知当02>∆时，令0)(=''x g 的两个实根分别为21,x x ，则由韦达定理得aa x x ab x x 6,22121=-=+. 此时，若,0==d b 则R x x f x f ∈=-对任意)()(成立，从而)(x f 的拐点21,x x 关于直线0=x 对称，)(x f 的图象亦关于直线0=x 对称.2、四次函数的极值与相应四次方程的实根(1)若三次方程 0)(='x f 有相异的三个实根,,,321321x x x x x x <<且则当四次项系数a>0时，)(x f 有一个极大值)(2x f ，两个极小值)(1x f 、)(3x f .(2)若三次方程0)(='x f 有等根或虚根则当四次项系数a>0时，)(x f 仅有一个极小值；当四次项系数a<0时，)(x f 仅有一个极大值.(3)设四次函数)(x f 的极小值为λ（或极大值为μ），则四次方程0)(=x f 的实根情况，一般是立足于(1)、(2)关于四次函数)(x f 的极值情况的认知，通过考察)(x f 的图象与直线λ=y 或μ=y 的交点情况获知结果.范例：设函数.,),(2)(234R b a R x b x ax x x f ∈∈+++=其中 (1)当)(,310x f a 讨论时=的单调性； (2)若函数0)(=x x f 仅在处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意]1,1[1)(],2,2[-≤-∈在不等式x f a 上恒成立，求b 的取值范围. 分析：由前面的认识可知，(1)中四次函数)(x f 的图象为“W 字形”. 于是，未曾解题之时，脑海中已经呈现)(x f 的单调区间与极值点的明晰的轮廊，解题之时自然倍加清明而坚定. “世路如今看惯，此心到处悠然”（宋·张孝祥）. 此时，（函数）图象如今见惯，此心自信悠然. 解题凭此又增添几分胜算. 解：(1) ).434()(2++='ax x x x f当),2)(12(2)(,310--='=x x x x f a 时令.2,21,00)(321===='x x x x f 得'由此可知，)(x f 在)21,0(，),2(+∞内是增函数；)(x f 在)0,(-∞，)2,21(内是减函数.(2)注意到 )434()(2++='ax x x x f显然 043402=++=ax x x 不是方程的根. ∴)(x f 仅在0=x 处有极值 00)(=='⇔x x f 仅在驻点附近改变符号R x ax x ∈≥++⇔对任意二次三项式04342成立 06492≤-=∆⇔a 3838≤≤-⇔a 此时，)()0(x f b f 是=的唯一极值（极小值）∴所求a 的取值范围为].38,38[-(3)由0649]2,2[2<-=∆-∈a a 可知此时 ∴R x ax x ∈>++对任意04342成立 ∴当0)(0;0)(0>'><'<x f x x f x 时当时 ∴)}1(),1(max{]1,1[)(f f x f 上的最大值为在- ∴对任意 ]1,1[1)(]2,2[-≤-∈在不等式x f a 上恒成立.成立对任意1)}1(),1(max{],2,2[≤--∈⇔f f a恒成立有对任意⎩⎨⎧≤-≤-∈⇔1)1(1)1(],2,2[f f a恒成立有对任意⎩⎨⎧+-≤--≤-∈⇔a b ab a 22],2,2[由此得 4-≤b∴所求满足条件的b 的取值范围为].4(--∞点评：对于(2)，需要注意方程0)(='x f 的根（驻点）与极值点的关系：o o x x x f x f ='='点且)(0)(两侧符号相反o x x =⇔为极值点； o o x x x f x f ='='点但)(0)(两侧符号相同o x x =⇔非极值点（拐点）.对于(3)，所给条件历经两次向最值问题的转化，方才修成“正果”.延伸练习：已知函数x a x x g x a x x f -=-=)(,]2,1(ln )(2上为增函数在在(0,1)上为减函数.(1)求)(x f ，)(x g 表达式；(2)求证：方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (3)当]1,0(,12)(,12∈-≥->m x mbm x f b 在若时内恒成立，求b 的取值范围.。

试探三次函数的图像性质与应用(定稿)

6ma b 12m2a 4mb c (8m3a 4m2b
2mb
d
2n)
m n
b 3a
f ( b 3a
)
由上又可得以下结论： y f (x) 是可导函数，若 y f (x) 的图象关于点 (m, n) 对称，则
y f '(x) 图象关于直线 x m 对称.
证明 y f (x) 的图象关于 (m, n) 对称，则 f (x) f (2m x) 2n,
3 解：依题意可得 f (x) x2 2x m
上为单调函数或两极值同号，所以 b 2 3ac 0 或 b 2 3ac 0 ，且 f (x1 ) f (x2 ) 0 . (3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，
所以 b2 3ac 0 ，且 f (x1) f (x2 ) 0 . (4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一
处取得极小值. 以上两个性质的图像特征如下图： 3.根的性质
三次函数 f (x) ax3 bx 2 cx d (a 0) (1) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 0 恰有一个实根； (2) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
则 f (x) 0 恰有一个实根； (3) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
(3) 若 b2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (,) 上为减函数；
(4) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上为减函数， f (x) 在 (x1, x2 ) 上为增函数，

三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用
三次函数：性质及应用
三次函数是在数学领域中常用的函数之一，表达式常写为y=ax³+bx²+cx+d.
它是含有一个三次项的多项式函数，可以通过三次函数的性质可以得出曲线的性质。

三次函数的性质
首先，是函数的解析法则，例如，y=ax³+bx²+cx+d，其中a不等于0。

可以使
用贝塞尔公式将它补充完整，这样可以求出图形函数的所有有限点。

从图像上看，三次函数是一条弯曲的曲线，有一个极点。

极点可以通过使用微分计算法则求出，即可以使用f'(x)=0来求解出极点。

三次函数的应用
三次函数在日常生活中被很多人所使用，从制造汽车和飞机，到设计微型机器人，无不是这一函数的付出。

比如说道路的建造，一般采用的是“S形”的三次函数，它提高了由起点向终点的安全性和舒适性，同时可以增加隧道的速度、减少改变方向时的磨擦，从而节省能源和改善和加快交通流量。

此外，三次函数还广泛应用于无损检测与机器视觉技术，利用这种技术可以实
现精确检测及定位，应用广泛。

三次函数是一种高级函数形式，它不仅可以用来解决各种数学问题，而且在实
践中也有着广阔的用途，它在帮助社会有所作为的过程中也发挥了重要的作用。

三次函数性质大全

三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一三次函数的图象及单调性，专题二三次函数的对称性，专题三三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。

专题一三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象（先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。

三次函数常见的性质及应用

三次函数常见的性质及应用在数学中，三次函数是把实数当做自变量的函数，其形式为： f(x)=ax+bx+cx+d其中，a≠0，b、c、d为常数。

三次函数是最常用的幂函数之一，也是处理数学实际问题的重要函数。

它可以通过它的性质及应用，来提高我们的数学认知水平。

二、三次函数的性质1、三次函数的一阶导数根据定义，一阶导数是指函数的斜率。

设f(x)=ax+bx+cx+d，其一阶导数为：f(x)=3ax+2bx+c综上所述，可以看出，三次函数的导数为二次函数。

2、三次函数的局部极值三次函数的局部极值问题可以使用一阶导数法来解决。

即求出f(x)=3ax+2bx+c的极值，再根据其值判断f(x)的极值情况。

也就是求出f(x)=0的解，即可找出f(x)的极大值和极小值。

3、三次函数的对称轴若令f(x)=0，即可得出f(x)的对称轴，它是函数图像的对称轴。

当b=0时，它可以是x轴，当b≠0时，它可以是一条直线。

三、三次函数的应用1、三次函数在求解复杂函数中的应用复杂函数是指有交叉部分的函数，如正弦函数、余弦函数等。

在求解这类复杂函数中，三次函数可以帮助我们把函数分解成几个子函数，并将其组合起来。

这样可以更方便地求解，也更容易理解。

2、三次函数在物理中的应用在物理学中，三次函数可以用来描述力学系统中物体的运动轨迹。

比如在动量定理中，物体在受外力作用时，其运动可以用三次函数来进行描述。

此外，三次函数还可以用于喷气发动机的设计中，是一种非常有效的工具。

四、总结以上就是三次函数的常见性质及应用。

它不仅可以把复杂的函数分解成若干个子函数，同时还可以在物理学中得到重要的应用。

只要我们熟悉三次函数的性质和应用，就可以更好地利用它来进行数学实际问题的解决，提高我们的数学认知水平。

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。

三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。

三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。

它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。

理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。

本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。

接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。

最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。

通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。

接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。

1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。

通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。

本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。

2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。

我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。

此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。

2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。

我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。

此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。

三次函数的性质及导函数研究函数的应用

专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。

一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。

②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。

例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆；函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。

例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于【】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为【】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。

（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。

三次函数的性质;单调区间和极值资料

8
变式训练:
1.讨论函数f(x)=x3 +ax+5的增减性。
2.已知f(x)=x3 +ax2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，
则a的取值范围为（Ｄ）
A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6
3.已知函数f (x) x3 ax在R上递增，则a的取值范围是 _______ .
9
三次函数图象与x轴交点问题
三次函数f(x)=ax3 +bx2 +cx+d(a 0)图象的性质揭示了一元三次方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)根的实质. 由f(x)的图象的性质不难看出: 方程实数根的个数即f(x)图象与轴的交点个数.
三次函数f(x)的导数F '(x) 3ax2 2bx c(a 0)
1.若=4b2 -12ac 0即b2 3ac,则三次函数f(x)无极值, 图象在R上为单调函数,其图象与x轴有且有一个交点. 即方程ax3 +bx2 +cx+d=0(a 0)有且有一个实数根.
a>0
a<0
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2.若=4b2 -12ac>0即b2>3ac,则三次函数f(x)有2个极值点x1x2 , 不妨设极大值为f(x1),极小值f(x2 ),其图象与x轴交点情况取决于2个极值点与x轴的关系:
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变式训练
1.方程x3-6x2+9x-4=0的实数根个数是（ B ） A.3 B.2 C.1 D.0
2.设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a. (1)求f (x)的极值；

三次函数性质的研究和应用

作者：屠丰庆
作者机构：浙江绍兴一中,312000
出版物刊名：上海中学数学
页码： 48-49页
主题词：三次函数质的研究对称中心竞赛试题无理函数导数高中学生高次性质推广
摘要：随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对
y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.。

微专题18 三次函数的图象、性质的应用

微专题18 三次函数的图象、性质的应用真题感悟(2019·江苏卷)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数. (1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值； (3)若a ＝0，0<b ≤1，c ＝1，且f (x )的极大值为M ，求证：M ≤427. (1)解因为a ＝b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )＝(x －a )3. 因为f (4)＝8，所以(4－a )3＝8，解得a ＝2.(2)解因为b ＝c ，所以f (x )＝(x －a )(x －b )2＝x 3－(a ＋2b )x 2＋b (2a ＋b )x －ab 2，从而f ′(x )＝3(x －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＋b 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3.因为a ，b ，2a ＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a ≠b ，所以2a ＋b3＝1，a ＝3，b ＝－3.此时，f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1). 令f ′(x )＝0，得x ＝－3或x ＝1. 当x 变化时，f (x )，f ′(x )变化如下表：X (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值(3)证明因为a ＝0，c ＝1，所以f (x )＝x (x －b )(x －1)＝x 3－(b ＋1)x 2＋bx ，f ′(x )＝3x 2－2(b ＋1)x ＋b .因为0<b ≤1，所以Δ＝4(b ＋1)2－12b ＝(2b －1)2＋3>0，则f ′(x )有2个不同的零点，设为x 1，x 2(x 1<x 2). 由f ′(x )＝0，得x 1＝b ＋1－b 2－b ＋13，x 2＝b ＋1＋b 2－b ＋13.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化如下表：1法一 M ＝f (x 1)＝x 31－(b ＋1)x 21＋bx 1＝[3x 21－2(b ＋1)x 1＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－b ＋19－2（b 2－b ＋1）9x 1＋b （b ＋1）9＝－2（b 2－b ＋1）（b ＋1）27＋b （b ＋1）9＋227(b 2－b ＋1)3＝b （b ＋1）27－2（b －1）2（b ＋1）27＋227(b （b －1）＋1)3≤b （b ＋1）27＋227≤427.因此M ≤427.法二因为0<b ≤1，所以x 1∈(0，1). 当x ∈(0，1)时，f (x )＝x (x －b )(x －1)≤x (x －1)2. 令g (x )＝x (x －1)2，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13(x －1).令g ′(x )＝0，得x ＝13(x ＝1舍去). 当x 变化时，g ′(x )，g (x )变化如下表：所以当x ＝13时，g (x )取得极大值，且是最大值，故g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.所以当x ∈(0，1)时，f (x )≤g (x )≤427.因此M ≤427.考点整合三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普适性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中.1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，则y ＝f (x )在该区间为增函数；如果f ′(x )＜0，则y ＝f (x )在该区间为减函数. (2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 2.极值的判别方法当函数f (x )在点x 0处连续时，如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是点x 0两侧导数异号，而不是f ′(x )＝0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小. 3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一三次函数图象的切线问题【例1】已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ).(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2). (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0 有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，解得a ≠－12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系. 【训练1】已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)过点P (2，4)作曲线的切线，求切线的方程. 解 (1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，则x 20＝4，x 0＝±2，所以切点为(2，4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43，切线方程分别为4x －y －4＝0，12x －3y ＋20＝0. (2)由(1)知，答案为4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 1，y 1)，则切线斜率为x 21. 由y 1－4x 1－2＝x 21，y 1＝13x 31＋43，联立得x 31－3x 21＋4＝0，所以(x 1＋1)(x 1－2)2＝0，解得x 1＝2或－1，从而切线斜率为4或1，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.热点二三次函数的极值、最值问题【例2】 (2019·南京模拟)已知函数f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2(a ＞0)，记f ′(x )为f (x )的导函数.(1)若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值. 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )(a ＞0). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a .当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增. 故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23.(2)g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2(a ＞0)，则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]. ①当0＜a ≤2时，Δ＝36(a 2－4)≤0，所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，则g (x )取得最大值时x 的值为1；②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且Δ＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6＞0，所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42.当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42.综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42.探究提高 (1)求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练2】 (2019·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a ). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减；若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1单调递增，所以f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a .于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎨⎧4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.当0<a <2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫827，2.当2≤a <3时，y ＝a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，1.综上，M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，2.热点三三次函数的零点问题【例3】已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在x ∈[－2，5]上有3个零点，则m 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1，3)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(3，5]时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增.所以函数f (x )的极小值为f (3)＝－24，极大值为f (－1)＝8. 而f (－2)＝1，f (5)＝8，函数图象大致如图所示.故要使方程g (x )＝f (x )－m 在x ∈[－2，5]上有3个零点，只需函数f (x )在[－2，5]内的函数图象与直线y ＝m 有3个交点，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＜8，m ≥1，即m ∈[1，8).答案 [1，8)探究提高已知函数有零点(方程有根)求参数值或取值范围的常用方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数值或取值范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域加以解决；(3)数形结合法：先对解析式进行变形，并在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【训练3】关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.解析由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0.答案 (－4，0)【新题感悟】 (2019·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a ). 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减.若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增.若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减.(2)满足题设条件的a ，b 存在.①当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.②当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.③当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b,最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾.若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾. 综上，当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.一、填空题1.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则b ＝________，c ＝________.解析f(x)的导函数为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，结合图象可知f′(－2)＝12－4b＋c＝0，f′(3)＝27＋6b＋c＝0，可求得b＝－32，c＝－18.答案－32－182.函数y＝x3－3x＋9的极小值是________.解析x∈R，令y′＝(x3－3x＋9)′＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1).当x∈(－∞，－1)时，y′＞0，函数y＝x3－3x＋9单调递增；当x∈(－1，1)时，y′＜0，函数y＝x3－3x＋9单调递减；当x∈(1，＋∞)时，y′＞0，函数y＝x3－3x＋9单调递增.综上，当x＝1时，y极小值＝7.答案73.函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点有________个.解析x∈R，f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1＞0，则f(x)在R上单调递增，故不存在极值点.答案04.已知函数y＝2x3－3x2－12x＋a在[0，2]上的最大值为5，那么a的值为________. 解析x∈R，y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，当x∈[0，2]时，y′≤0，故函数y 在[0，2]上单调递减，所以当x＝0时，y max＝a＝5，故a＝5.答案 55.已知函数y＝3x3－9x＋a有两个零点，那么实数a＝________.解析x∈R，令y′＝9x2－9＝0，得x＝±1，所以y极小值＝a－6，y极大值＝a＋6.由a－6＝0，得a＝6；由a＋6＝0，得a＝－6，所以a＝±6.答案±66.若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则实数b 的值为________.解析因为直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3.① 又因为y ＝x 3＋ax ＋b ，所以y ′＝3x 2＋a ，当x ＝1时，y ′＝3＋a ，得切线的斜率为3＋a ，所以k ＝3＋a .②联立①②，解得a ＝－1，k ＝2，b ＝3. 答案 37.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为________.解析由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，满足题意，故a b ＝－23. 答案－238.若函数f (x )＝13x 3－x 在(t ，8－t 2)上有最大值，则实数t 的取值范围是________. 解析因为f ′(x )＝x 2－1，所以当x ∈(－∞，－1)和(1，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－1，1)时，f (x )单调递减，故x ＝－1是函数f (x )的极大值点.又函数f (x )在(t ，8－t 2)上有最大值，所以t ＜－1＜8－t 2，又f (－1)＝f (2)＝23，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (8－t 2)≤f (2)，从而t ＜－1＜8－t 2≤2，得－3＜t ≤－ 6. 答案 (－3，－6]二、解答题9.(2019·启东中学期末)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ＋1，g (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，且函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在x ＝0处有公共的切线. (1)求b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ， g ′(x )＝e x ，由f ′(0)＝b ＝g ′(0)＝1，得b ＝1.(2)由(1)知f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1＝(x ＋a )2＋1－a 2，x ∈R ，当a 2≤1，即－1≤a ≤1时，f ′(x )≥0，从而函数f (x )在R 上单调递增. 当a 2＞1时，f ′(x )＝(x ＋a ＋a 2－1)(x ＋a －a 2－1)，此时若x ∈(－∞，－a －a 2－1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若x ∈(－a －a 2－1，－a ＋a 2－1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；若x ∈ (－a ＋a 2＋1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增. 综上，当－1≤a ≤1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＜－1或a ＞1时，f (x )在(－∞，－a －a 2－1)上单调递增，在(－a －a 2－1，－a ＋a 2－1)上单调递减，在(－a ＋a 2＋1，＋∞)上单调递增. 10.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2.(1)试问函数f (x )能否在x ＝－33处取得极值？请说明理由；(2)若a ＝－1，令g (x )＝2x －f (x )，求函数g (x )在(－1，2)上的极大值、极小值； (3)若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数，求实数a 的取值范围.解 (1)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，假设f (x )在x ＝－33处取得极值，则有 f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝1－233a ＋1＝0，解得a ＝ 3. 此时，f ′(x )＝3x 2＋23x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，f (x )为R 上的增函数，无极值.所以函数f (x )不可能在x ＝－33处取得极值.(2)当a ＝－1时，g (x )＝2x －(x 3－x 2＋x ＋2)＝－x 3＋x 2＋x －2，所以g ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1. 由g ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x ∈(－1，2)时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数g (x )在x ＝－13处取得极小值－5927；在x ＝1处取得极大值－1. (3)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1的对称轴为x ＝－a3.若－a 3≥－13，即a ≤1时，要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤3，所以－3≤a ≤1；若－a 3＜－13，即a ＞1时，要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞上为单调增函数，则有f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1≥0，解得a ≤2，所以1＜a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为[－3，2].11.(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围. (1)解由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23.当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23. 因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3. 当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：故12因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞). (2)证明由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a. 设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增.因为a >3，所以a a >33，故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)解由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )，因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3. 因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减.因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6. 因此a 的取值范围为(3，6].。

三次函数常见的性质及应用

11三次函数的性质及其简单应用

例说三次函数图象性质的应用

5-4三次函数的图象和性质

三次多项式函数的性质研究与应用举例

三次函数图像与性质(解析版)

三次函数性质总结.

x三次方的导数定义式_解释说明

三次函数有关极值的一个性质及应用

三次函数与四次函数的认知及其应用解读

试探三次函数的图像性质与应用(定稿)

三次函数的性质及应用

三次函数 性质大全

三次函数常见的性质及应用

3次函数曲线-概念解析以及定义

三次函数的性质及导函数研究函数的应用

三次函数的性质;单调区间和极值资料

三次函数性质的研究和应用

微专题18 三次函数的图象、性质的应用

三次函数性质大全