离散数学第二章一阶逻辑知识点总结

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离散数学一阶逻辑

个体词,谓词
简单的命题被分解成个体词与谓词.
① 6是合数； ②王宏是程序员； ③小李比小赵高2厘米。
个体词相关的基本概念
1. 个体词:是可以独立存在的客体. 2. 个体常项:用小写的英文字母 a,b,c,d…. 3. 个体变项:用小写的英文字母 x,y,z…. 4. 个体域:个体的取值范围. 5. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
例题
1. 2是素数且是偶数. ① F(x): x是素数; ② G(x): x是偶数; ③ a:2 ④ 符号化为F(a)^G(a) 2. 如果2大于3,则2大于4. ① L(x,y): x大于y. ② a:2; b:3; c:4 ③ 符号化为L(a,b)->L(a,c)
量词
1. 量词:表示数量的词.
例题
1. 对任意的x，存在着y，使得 x+y=5. ① H(x,y)表示x+y=5 ② 可符号化成：x y H(x,y) ③ 不可符号化成： y x H(x,y)
2. P40. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
第二章一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
指导变项, 辖域, 约束出现,自由出现定义2.5 在合式公式xA和xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现（即x受相应量词指导变项的约束），A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现。
谓词和命题的关系
通常，n元谓词不是命题，因其真值无法确定。如： L(x,y)。并没说明其谓词的意思。当其谓词已为常项，其还不是命题。如： L(x,y)： x小于y 。其真值仍无法确定。只有当其谓词为常项，且n元个体词全为常量时， L(a,b)才是命题。如：a=2, b=3, 其真值可唯一确定。通常，将不带个体变项的谓词叫0元谓词。此时其不一定是命题。只有当谓词为常项时，才是命题。命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。

离散数学第2章一阶逻辑

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2.1 一阶逻辑基本概念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后，就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一阶逻辑基本概念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一阶逻辑基本概念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28

第二章一阶逻辑

本命题符号化为 ┐ x(W(x)→B(x))。
练习2 在一阶逻辑中将下列命题符号化。 ⑴ 兔子比乌龟跑得快。 ⑵ 每个人都有自己喜欢的职业。 ⑶ 不存在同样高的两个人。 ⑷ 存在最小的自然数。解 ⑴兔子比乌龟跑得快。令F(x)：x是兔子， G(x)：x是乌龟， H(x,y)：x比y跑得快。本命题符号化为 x(F(x)→ y(G(y)→H(x,y)))，或 x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。
⑷ 存在着偶素数。
⑸ 在北京工作的人未必都是北京人。
解 ⑴有的有理数是整数。
令Q(x)：x是有理数。 P(x)：x是整数。本命题符号化为 x (Q(x)∧P(x))。
⑵每个计算机系的学生都学离散数学。
令P(x)：x是计算机系的学生。
R(x)：x学离散数学。
本命题符号化为x (P(x)→R(x))。
⑶ 每个人都会犯错误。
令 R(x)：x是人。 P(x)：x会犯错误。本命题符号化为 x (R(x)→P(x))。
⑷ 存在着偶素数。
令E(x)：x是偶数。
P(x)：x是素数。
本命题符号化为 x(E(x)∧P(x))。
⑸在北京工作的人未必都是北京人。
令W(x)：x在北京工作。
B(x)：x是北京人。
母a, b, c, d 等表示常元。
个体变项（也称个体变元，简称变元）：泛指
个体域中个体的符号。一般用小写英文字母x, y,
z 等表示变元。
例
2是有理数。这是一个简单命题。 “2”是个体词 “…是有理数”是谓词，它表示个体的性质。个体词：是表示个体的符号。谓词：用来刻画个体的性质或个体之间的关系。一般用大写英文字母表示谓词。例张三比李四高。有两个个体词：张三，李四 “…比…高”是谓词，表示两个体之间的关系。

《离散数学》-一阶逻辑-基本概念

《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。

回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。

个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。

具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。

⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。

举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。

举例说明:（1） X是有理数。

“是有理数”是常项谓词。

（2） X与y有具体关系L。

这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。

下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。

我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。

F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。

对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。

Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。

G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。

(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。

离散数学2.1-2

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基本概念(续)
（1） xG（x）的真值规定 xG（x）的命题是“对任意xD，均有G（x）” xG（x）的真值为1，当且仅当，对一切xD，G（x）真值均为1， xG（x）的真值为0，当且仅当，存在一个 x0D，G（x0）真值为0。
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基本概念(续)
（2） xG（x）的真值规定 xG（x）的命题是“存在一个x0D，使得G （x0）成立” xG（x）的真值为1，当且仅当存在x0D， G（x0）的真值为1。 xG（x）的真值为0，当且仅当，对一切 xD，G（x）的真值为0。
3
一阶逻辑基本概念
苏格拉底三段论：（古罗马哲学家）凡人要死，苏格拉底是人，所以苏格拉底要死， P：凡人要死 Q：苏格拉底是人 R：苏格拉底要死此三段论表示为（PQ）R 苏格拉底三段论是正确的，但PQR却不是重言式，这就是命题逻辑的局限性。
4
一阶逻辑基本概念

1.个体域：命题逻辑中将命题（句子）作为最小研究单位。而现我们要将命题（句子）继续细分。命题是由主语和谓语两部分组成。主语是名词，称之为个体词。是独立存在的客体，可以是具体事物也可以是抽象概念（也可以是变化的）。
例1：将下列命题符号化所有人都要呼吸每个人都是要死的解: （1）设M（x）：x是人，M（x）：x是要呼吸。命题符号化为： x（M（x）H（x））。设M（x）：x是人，D（x）：x是要死的。命题符号化为： x（M（x）D（x））。
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基本概念(续)
2.存在量词： “有些”，“存在”，“至少有一个”，表示个体域D中存在个体，用符号“”表示。存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等如 x 表示在个体域中存在x， x F(x ) 表示存在个体域里的个体具有性质F

离散数学第二章一阶逻辑知识点总结

数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2代入得A=x(x>1x>2) 假命题问: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下都是命题，注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满足式：至少有一个成真赋值几点说明：永真式为可满足式，但反之不真谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等不是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n}xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由出现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有不犯错误的人(2) 不是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并说明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并说明理由.前束范式定义设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为不含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))不是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式不惟一求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张)两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为什么？）或x y(F(x)G(y)) （为什么？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y不能颠倒。

《离散数学》一阶逻辑

关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
注意量词的变化
注意量词的变化
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证明:设D={a1,a2,…,an}
（1）x(A(x)∨B) (A(a1)∨B) ∧(A(a2)∨B)∧… ∧(A(an)∨B) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∨B xA(x)∨B
设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
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量词否定等值式
❖定理2.1 量词否定等值式
▪ xA(x) xA(x)
▪ xA(x) xA(x)
❖证明:设D={a1,a2,…,an}
▪
xA(x)
A(a(A1)(∨a1)∧AA(a(a2)2∨)∧……∨∧AA(a(na)n))
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明确个体域
例2.（1）凡人都要死的。（ 2）有人活百岁以上
❖ 考虑个体域D为人类集合
▪ F(x)： x是要死的。 x F(x)
个体域不同，符号化不同
▪ G(x)： x活百岁以上。 x G(x)
❖ 考虑个体域为全总个体域
▪ 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。引入新谓词 M(x): x是人。
(此点以后再讨论)； ❖ 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意义可以看出，对于
任意的谓词A(x), 都有：
▪ xA(x) A(a1)∧A (a2) ∧…∧A (an); ▪ xA(x) A (a1)∨A (a2) ∨…∨A (an).
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嵌套量词
❖多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 ❖对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结一、各章复习要求与重点第一章集合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。

[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。

2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。

实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。

[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。

解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。

解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

离散数学第二章

怎么符号化？怎么符号化？
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每全称量词：所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一表示，称为全称量词。用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词中消去量词等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词中是指导变元，为相应量词作用域或辖域。的作用域或辖域。在辖域中x的出现称为在公式中的约束出现在辖域中的出现称为x在公式中的约束出现；的出现称为在公式A中的约束出现；公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现公式中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式如果在任何解释下均为假称A为矛盾如果A在任何解释下均为假解释下均为假,称为或称永假式式(或称永假式；或称永假式)；如果存在一个解释使A为真则称A为为真,则称可满足式如果存在一个解释使为真则称为可满足式；可满足式；

《离散数学》第二章一阶逻辑

解：定义特性谓词M(x)：x是在美国留学的学生。
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27

例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为：（1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。（1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。（1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
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2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。

离散数学2 一阶逻辑

(1) 符号化为 xF ( x) F ( x) : x是要死的. 真命题
(2) 符号化为 xG( x) G( x) : x活百岁以上. 真命题
下面考虑以上两个命题的符号化
(1) 所有的人都是要死的。 (2) 有的人活百岁以上。第二种情况：个体域D为全总个体域 (1) 对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 (2) 存在着个体，它是人并且活百岁以上。
又可符号化为：
xy M ( x) M ( y) H ( x, y) L( x, y)
例6 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(2)每个自然数都有后继数。
x 是自然数，解： F ( x) ：
y 是x的后继数 H ( x, y)：
x F ( x) y(F ( y) H ( x, y)
x M ( x) F ( x) x M ( x) F ( x)
例6 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 一切人都不一样高。
x 是人， H ( x, y)： x 和y不是同一个人解：M ( x) ：
L ( x, y ) ： x 和y一样高
xy M ( x) M ( y) H ( x, y) L( x, y)
例如：判断以下推理是否正确：凡人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。命题逻辑的局限性：未将 p, q, r 的内在联系反映出来对简单命题进一步分析。
二、个体词，谓词，量词。
简个体词单命题谓词用来刻画个体词的
所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体
性质或个体词之间关系的词
掌握在一阶逻辑中的命题符号化。
作业
P52-53， 2.1，2.3(单)
第二节一阶逻辑合式公式及解释

离散数学知识点总结

总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

离散数学第二章：一阶逻辑

(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…

离散数学第二章

(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、谓词——刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )

离散数学第二章一阶逻辑

(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。

离散数学第五版第二章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

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2.1一阶逻辑的基本概念
（2）谓词常项是指表示具体性质或关系的谓词称为谓词
常项，通常用F，G，H，……表示。
例如：x大于y。
（3）谓词变项是表示抽象G，H，……表示。
（4）n元谓词P（x1，x2，……，xn）表示含有n（n>0）
个命题变项：当n=1时，P（x1）表示x1具有性质 P；当n>1时，表示x1，x2……xn具有关系P。
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2.1一阶逻辑的基本概念
3. 量词
（1）量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
（2）全称量词是表示日常用语中“一切的”、“所有
的”、“每一个”、“任意的”、“凡是”、 “都”等词，可符号化为∀，并用∀x，∀y等表示个体域中的所有个体，用∀xF(x)，∀yG(y)表示
个体域中的所有个体都有性质F和都有性质G。
式公式。
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2.2一阶逻辑合式公式及解释
二、与合式公式相关的概念 1. 指导变元、辖域、约束出现、自由出现（定义2.5）
在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现均为约束出现，A中不是约束出现的其它变项均称为自由出现。
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2.2一阶逻辑合式公式及解释
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2.2一阶逻辑合式公式及解释
2. 一阶语言的项（定义2.2）
(1)个体常项和个体变项是项 (2)若（x1,x2,……,xn）是任意的n元函数，t1,t2,……，
tn是任意的n个项，则（t1,t2,……,tn）是项。 (3)所有的项都是有限次使用（1）,（2）得到的。
例如：a,b,x,y,f(x,y)=x+y,g(x,y)=x-y,h(x,y)=x*y， f(a,g(x,y))=a+(x-y) g(h(x,y),f(a,b))=x*y-(a+b)

离散数学一阶逻辑笔记

离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。

（一）个体词。

1. 定义。

- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。

- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。

2. 分类。

- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。

“小李”可以用a表示。

- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。

例如，“某个学生”可以用x表示。

（二）谓词。

1. 定义。

- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。

- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。

2. 分类。

- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。

如“是偶数”是谓词常项。

- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。

- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。

例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。

- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。

例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。

- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。

（三）量词。

1. 全称量词。

- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。

- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。

2. 存在量词。

- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。

- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。

二、一阶逻辑公式及其解释。

（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。

- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。

离散数学第二章一阶逻辑知识点总结

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第二章一阶逻辑

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离散数学2.1-2

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