2020届人教A版__解三角形单元测试

解三角形

一、单选题

1．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， a =2，且

()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为

A B ．2 C ． D ． 【答案】A

【解析】由正弦定理得: ()()()2b a b c b c +-=-,即224b c bc +-=,由余弦定理得:

2241cos 222b c bc A bc bc +-===

, 3

A π

∴=,又2242b c bc bc bc bc +-=≥-=,4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时取等号,此时ABC ∆为正三角形,则ABC ∆的面积的最大

值为11sin 422S bc A =

=⨯=故选A. 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.

2．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，

则C

B A sin sin sin -=（ ） A

53 B 53± C 54 D 5

4

± 【答案】D 【解析】

试题分析：根据正弦定理可知

C B

A sin sin sin -84

105

BC AC AB ,故选D. 考点：正弦定理，双曲线的定义. 3．如果等腰三角形的顶角的余弦值为3

5

，则底边上的高与底边的比值为 A ．

12 B ．45 C ．2

3

D ．1 【答案】D

【解析】设等腰三角形的顶角为2α，底边上的高为h ，底边长为2x ，由三角形知识得

tan x h α=，∵3

cos 25

α=，∴222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5ααααααα--=

==++，∴1tan 2x

h

α=

=，∴2h x =，∴底边上的高与底边的比值为1，故选D 4．ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 2a =，

b =，

45A =︒，则B =（ ）

A ．30︒

B ．60︒

C ．30︒或150︒

D ．60︒或120︒ 【答案】A

【解析】由正弦定理可得：

a b

sinA sinB

=

，

1222

bsinA sinB a ===. 又因为2a =，

b =， a b >，所以A B >，所以30B =︒，故选A.

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b ，a cos C =c （2-cos A ），则cos B =（ ） A

B ．1

4

C

D

【答案】B

【解析】∵a cos C =c （2-cos A ），

∴a cos C +c cos A =2c ，由正弦定理可得：sin A cos C +sin C cos A =2sin C ， ∴sin B =sin （A +C ）=2sin C ， ∴b =2c ，由a =b ，可得a =b =2c ，

∴22221cos 2224

a c

b

c B ac c c +-===⋅．

故选：B ．

6．在ABC ∆中，已知A=45

，2,a b ==

B 等于（ ）

A ．30

B ．60

C ．150

D ．30或

150 【答案】A 【解析】 试

题

分

析

：

由

正

弦

定

理

得

045,2

1sin sin sin sin 0>>∴>==⇒=B b a A a b B B b A a 故知B=300,所以选A. 考点：正弦定理.

7．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若060=A ，045=B ，6

=a 则=b （ ）

A ．5

B ．2

C ．3

D ．2 【答案】B 【解析】

试题分析：由正弦定理得sin sin a b

A B

=

，即006sin 60sin 45b =，得006sin 452sin 60b ==，选B ．

考点：正弦定理 8．在

中，

则

等于（ ）

A ．60°

B ．45°

C ．120°

D ．150° 【答案】D

【解析】试题分析：由已知得b 2+c 2-a 2=−√3bc,根据余弦定理cosA =b 2+c 2−a 2

2bc

=−

√3

2

, ∴∠A =150°.

考点：1、余弦定理；2、特殊角的三角函数值.

9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边长，b 和c 是关于x 的方程x 2﹣9x+25cosA=0的两个根（b ＞c ），且，

则△ABC 的形状为（ ）

A ．等腰三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．钝角三角形 【答案】C 【解析】

试题分析：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=

sinBsinC ，利用正弦定理可

得b 2+c 2﹣a 2=bc ，进而利用余弦定理求cosA ，从而可求sinA 的值，由方程x 2﹣9x+25cosA=0，可得x 2﹣9x+20=0，从而b ，c ，利用余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=9，可求得a ，直接判断三角形的形状即可．

解：由已知：（sinB+sinC+sinA ）（sinB+sinC ﹣sinA ）=sinBsinC ，

∴sin 2B+sin 2C ﹣sin 2A=sinBsinC ， 由正弦定理：∴b 2+c 2﹣a 2=bc ，