6.1平方根(第1课时) 教学设计

6.1平方根(第1课时）

教学目标

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;

2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;

3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;

4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.

教学重点

表示正数的算数平方根

教学难点

√2多大探究

教学过程

一、情景引入

讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

二、新知探究

活动一：算数平方根探究：

问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是

怎样算出来的？

因为52

=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.

问题2：完成表1：

正方形的边长/dm 1 3 9 2 3

正方形的面积/dm²1 9 81 4

9

思考：你能从表1发现什么共同点吗？

已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：

正方形的面积

/dm² 4 49 0.36

9

64

正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8

思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？

已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算

归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。

问题4：因此4、49、0.36、算数平方根分别是2、7、0.6、3

8

，

我们容易得到它们的算数平方根；2、5这样的数的算数平方根呢？

引入根号：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。表示为x=√a，读作：根号a，0的平方根是0。

例题精讲：

1. 下列说法正确的是( A)

A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根

B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根

C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D．以上说法都不对

2.下列说法正确的是（A）

A. 表示25的算术平方根

B．－√ 2 表示2的算术平方根

C．2的算术平方根记作±

D．2是√ 2 的算术平方根

3.求下列各数的算术平方根：

(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.

(1)∵（10）²=100，

∴100的算术平方根是10，

即√100=10

(2)∵（3）²=32=9，

∴32的算术平方根是3，

即√32=3

(3)∵（0.01）²=0.0001，

∴0.0001的算术平方根是0.01， 即√0.0001=0.01 4.求下列各式的值：

(1)√ 1 ； (2)

； (3)

√ 1 =1；√9

25=3

5；√22=2 活动二：双重非负性探究：

问题1：x ²=a 在前面正方形面积探究中， x 、 a 代表什么意义？ x 、 a 分别满足什么条件？

X 代表边长a 正方形面积；x 、 a 非负数

问题2：逆运算后x 、a 大小有没有改变？ x 、 a 满足什么条件？ 没有；x 、 a 非负数

归纳：算术平方根的双重非负性： a ≥0；√a ≥0 . 例题精讲：

5.判断题：下列各式是否有意义？为什么？

(1)3 (2)3-2

(3)(3)-(4)π

（1）有（2）没有，被开方数不能为负（3）有（4）有

6.若 |m - 1| +√n +3 = 0，求 m + n = -2 .

活动三：√2多大探究（小组合作）：

思考1：能否用两个面积为 1 dm 2

的小正方形拼成一个面积为 2 dm 2

的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？

如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，

就得到一个面积为 2 dm 2

的大正方形.

有多大呢？ 夹逼法：

因为 12 = 1，22=4，所以1< √2 <2;

因为 1. 42 = 1. 96，1. 52=2. 25，所以 1.4< √2 <1.5;

因为 1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，所以 1.41< √2 <1.42； 因为 1. 4142 = 1. 999 396，1. 4152=2. 002 225， 所以 1.414< √2 <1.415； ……

√2=1.414 213 562 373…

如此进行下去，可以得到 √2 的更精确的近似值. 事实上， √2 =1. 414 213 562 373…，它是一 个无限不循环小数.实际上，许多正有理数的算术平方根(例如√3 、√ 5 、√7等)都是无限不循环小数

例题精讲：

7. √5+1的取值范围为( B )

A. 2到3之间 B ．3到4之间 C ．5到6之间 D ．6到7之间 8.比较下列各组数的大小：

(1) 810与； 658与 ； 51(3)

0.52与 ； 51

(4) 12与 .

(1) 810＜658＞ （3510.5- 51(4) 1- .