关于利用微分与积分性质计算卷积的条件
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程 的解，其中()t f 为函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 解得所以原方程的解 由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
第二章 (4)卷积积分的性质
f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广
§2.4 卷积积分的性质
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )
南航电子信息
f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )
考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
讲义二：卷积与微分方程的数值法求解
讲义二：卷积与微分方程的数值法求解一、 从离散卷积和到连续卷积序列f 1(k )和f 2(k )的离散卷积定义式为()()()()1212i f k f k f i f k i ∞=−∞∗=−∑ 用来计算离散卷积的函数为：f=conv(f1,f2) f1,f2为参与卷积运算的两个序列，f 为卷积的结果，长度为length(f1)+length(f2)-1。
[f,r]=deconv(f1,f2) 解卷运算，使f1=conv(f,f2)+r 成立EX 错误！文档中没有指定样式的文字。
-1 ()()1sin ,010x k k k =≤≤，()20.8,015k x k k =≤≤，计算离散卷积和()y k =()1x k ∗()2x k 。
%程序5_1 计算离散卷积和k1=0:10; %x1的变量取值范围x1=sin(k1); %构建x1序列k2=0:15; %x2的变量取值范围x2=0.8.^k2; %构建x2序列y=conv(x1,x2); %计算卷积结果%显示卷积结果subplot(3,1,1);stem(k1,x1);title('x_1(k)');subplot(3,1,2);stem(k2,x2);title('x_2(k)');k=0:length(y)-1;subplot(3,1,3);stem(k,y);title('y(k)');下面讨论连续卷积的计算：连续时间函数1()f t 和2()f t 的卷积定义为：()()()()()1212f t f t f t f f t d τττ∞−∞=∗=−∫由于计算机实际处理的数据必须满足：1、离散存储；2、有限数据量。
连续信号的处理必须首先经过数值化的过程，以离散的形式被分析、保存和处理。
用数值方法计算卷积需要将卷积积分看作信号的分段求和来实现，这样会得到一定的精确度要求下的卷积。
()()()()()()()1212120lim k f t f t f t f f t d f k f t k τττ∞∞−∞Δ→=−∞=∗=−=Δ−ΔΔ∑∫ 如果我们只求当t n =Δ(n 为整数)时f (t )的值()f n Δ,则得：()()()()1212[()]k k f n f k f n k f k f n k ∞∞=−∞=−∞Δ≈ΔΔ−ΔΔ=ΔΔ−Δ∑∑ 式中的()12[()]k f k f n k ∞=−∞Δ−Δ∑实际上就是连续信号f 1(t )和f 2(t )经等时间间隔Δ均匀抽样的离散序列1()f k Δ和2()f k Δ的离散卷积和。
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
常用的卷积积分公式(二)
常用的卷积积分公式(二)常用的卷积积分公式1. 卷积公式卷积是一种数学运算，常用于信号处理和图像处理中。
给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)⋅g(t−τ) dτ(f∗g)(t)=∫f−∞其中，(f * g) 表示 f(x) 和 g(x) 的卷积，t 表示卷积结果的自变量。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = 2x 和 g(x) = x^2，它们的卷积为：∞(f∗g)(t)=∫2τ⋅(t−τ)2 dτ−∞2. 线性平移不变性卷积的一个重要性质是线性平移不变性。
如果函数 f(x) 和 g(x) 的卷积为 h(x) = (f * g)(x)，那么对于任意常数 a，b，有：(a⋅f+b⋅g)∗g=a⋅(f∗g)+b⋅(g∗g)=a⋅ℎ+b⋅(g∗g)这个公式表明，卷积运算对于输入函数的线性组合是满足的。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = 2x 和 g(x) = x^2，它们的卷积为 h(x) = (f * g)(x)，那么对于任意常数 a，b，有：(a⋅f+b⋅g)∗g=a⋅ℎ+b⋅(g∗g)3. 卷积定理卷积定理是卷积在频域中的表示。
给定两个函数 f(x) 和 g(x) 的傅里叶变换为 F(k) 和 G(k)，它们的卷积的傅里叶变换为：ℱ{f∗g}=F(k)⋅G(k)其中，({f * g}) 表示 f(x) 和 g(x) 的卷积的傅里叶变换。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = e(-x2) 和 g(x) = e(-x2/2)，它们的傅里叶变换分别为 F(k) 和 G(k)，那么它们的卷积的傅里叶变换为：ℱ{f∗g}=F(k)⋅G(k)这个公式可以方便地在频域中计算卷积运算。
总结以上是常用的卷积积分公式的列举及说明。
卷积运算在信号处理和图像处理中具有广泛的应用，理解这些公式对于深入理解卷积的原理和应用非常重要。
§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]
![§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]](https://img.taocdn.com/s3/m/6e28fc527e21af45b307a8af.png)
由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：
f
( ) (t ) d
f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.3 卷积积分
二、卷积的图解法
f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
卷积的介绍——精选推荐
卷积的介绍先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。
但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。
1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。
其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。
第二章 (4)卷积积分的性质
t
f1 ( ) f 2 ( t )d e ( ) ( t )d
e
0
d
1
f 2 ( t ) f1 ( t )
(1 e t ) ( t )
0
1
2
3
t
f 2 ( ) f1 ( t )d
( t )
( ) e e
0 ( t )
( t )d
(1 e t ) ( t )
d
1
分配律的应用
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
f (t t1 t2 )
0
t2
t
0 t1
t
0
t 1+ t2
t
图 2.4-6
例2.4-2 计算下列卷积积分：
1 t 3 t 5
解：1 t 3 t 5
2 e
2 t
t 3 t 5
3 t 5d
f (t t1 ) (t t2 ) f (t t2 ) (t t1 ) f (t t1 t2 )
若f (t ) f1 (t ) f 2 (t )，则 f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) f 1 ( t t 2 ) f 2 ( t t1 ) f ( t t1 t 2 )
1 2t 2 e 1 e t 2 2
卷积积分介绍
15
卷积结果
f1 t
1 1 O 1 t
f2t
3
2
O
3t
g(t)
t2
4 t
t 2
1 4
t2
t
2
4 2
0
1t 1 1t 2
g(t ) 2
2t 4 其他t 1 O
12
4t
16
积分上下限和卷积结果区间的确定
(1)积分上下限
由 f1f2t0的范围（区间）确定
上限取小，下限取大
(2)卷积结果区间 上限
f1 f 2 t 0
g t f1 t f 2 t 0
11
-1 t 1
f2t向右移
f2t 1 f1
t3 1 O t 1
t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0，
积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;
t
g (t) 1f1 ()f2(t)d
t112td
2
2
4
t 1
t2 t 1
4 24
§2.5 卷积
•卷积 •利用卷积积分求系统的零状态响应 •卷积图解说明 •卷积积分的几点认识 •卷积的性质
一．卷积（Convolution）
设 有 两 个 f1(t)和 函 f2(数 t),积 分
ft f1f2t d
称为 f1(t)和f2(t)的卷积积分，， 简记 称为 卷积
f t f 1 t f 2 t 或 f ( t ) f 1 t f 2 t
Ot
r ( t ) e () h ( t ) d C s0 iA n e ( t ) d
Ae C t t si0 ne d
2 02
Ae C te t(si0 n t2 0 0 2 co 0 t)s
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
信号与系统第二章习题
方法一
1. 完全响应
该完全响应是方程
d2 rt
dt2
3
dr d
t
t
2r
t
2δ
t
6ut
且满足r0 2, r0 0的解
方程（1）的特征方程为
特征根为
α 2 3α 2 0
α1 1，α2 2
（1）
方程（1）的齐次解为
r t A1 et A2 e2t
因为方程（1）在t>0时，可写为
1
1
1 t1 eτ 1 dτ 1 1 et u t 1
注意：1 et1 ut 1 et1 ut 1
X
例2-5
对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系 统的冲激响应如图(b)所示。 (1)求复合系统的冲激响应h(t) ，画出它的波形；
(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统 ha t和hb t
2
5
dr d
t
t
6r
t
3
de d
t
t
2et
试 求 其 冲 激 响 应 h(t )。
冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。 在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方 法来求解本例。
方法：奇异函数项相平衡法
奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得
α1 2,α2 3
因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，
A1 A2 t 3A1 2A2 t 3 t 2 t
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut
例2-3
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
连续信号的微积分与卷积
6
计算示例2
画出如图15-2所示信号的一阶导数和积分的波形图。
解: (a)用Matlab的数值计算方法的程序如下
% 画微分和积分的程序(数值计算) exp15_1.m
f (t)
1
t0=-3;t1=3;dt=0.01;
t=t0:dt:t1;
f1=tripuls(t,4,0.5);
% 定义三角波
max_f=max(f1);min_f=min(f1);
运行程序后显 示的图形如图
15-4所示
11
计算示例4
例4 已知信号 f1(t)和 f2(t)的波形如图15-6(a)、(b)所示(其中 令A=2,B=3)。计算卷积积分 f (t) f1(t) f2(t) 。
解：程序如下：
% 计算连续信号的卷积(数值方法) exp15_3.m dt=0.01; t=-2:dt:4;
9
计算示例2
运行程序后显示的图形如图15-4所示
图15-4
10
计算示例3
已知三种有用的脉冲波形的信号能量如图15-5所示，试 用Matlab的积分运算来证明。
矩形脉冲
半周正弦波
三角脉冲
A
E A2b
A
E A2b / 2
A
E A2b / 3
b
b
b
图15-5 三种脉冲波形及能量
解：在Matlab的命令窗口输入以下命令
信号时尤其如此。
卷积积分计算实际上可用信号的分段求和来实现，即
f (t) f1(t) f2 (t)
f1( )
f2 (t
)d
lim
0
k
f1
(k)
f2 (t
k)
卷积积分基础
f1(t) f2 (t t0 ) f1(t t0 ) f2 (t)
20
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s1(t) f (t) f (t)
f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 t
2
t
h(t ) e( )
t
(1) t 1 2
e(t) h(t) 0
5
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t ) e( )
(1) t 1 2
h(t )
e(t) h(t) 0
t
(2) 1 t 1
e( )
2
e(t) h(t)
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
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关于利用微分与积分性质计算卷积的条件
微积分是数学中非常重要的研究分支，可以用来计算函数的微分和积分，当处理函数时，
微分和积分特性在各方面都有重要作用。
而卷积作为理论物理学中重要的概念之一，在现实应用中也有着重要的地位。
因此，利用微分和积分性质来计算卷积也变得尤为重要。
卷积的定义如下：它是两个函数（或称信号）的乘积，它们各自用一个变量从某一时间段（截止到时间t）表示。
即函数f (t)与g(t)的卷积为f (t) * g (t) 或 C (t)。
利用微分和积分来计算卷积，要求有三个条件：其一，函数f(t)与g(t)必须可导，即f’(t)，g’(t)必须存在；其二，尤其是f’(t)和g’(t)必须连续变化或有限；其三，尤其是函数f(t)和
g(t)有定义域，该定义域必须是有限的或者可以用积分的二阶定义域近似。
当这三个条件满足时，即可利用微分和积分计算卷积，具体方法如下：根据泰勒展开式，
函数f (t)和g(t)之间的卷积可以以f (t)正余弦级数的形式表示（其中t为时间）：
f (t) = f (0) + f' (0) t + \frac{d^2 f(t)}{2!} t^2 +...
g (t) = g (0) + g' (0) t + \frac{d^2 g(t)}{2!} t^2 + ...
因此，
C (t) = f(t) * g(t) = \int_0^t \left[f (0) g(u) + f' (0) g(u) + \frac{d^2 f(t)}{2!}g (u)+…\right]du 显然，以上表达式即为函数f (t)和g(t)的卷积，表明利用微分和积分计算卷积是可行的。
从而可见，利用微分和积分计算卷积，可以有效地处理不同函数的卷积，从而在实际应用
中发挥重要作用。
但要满足利用微分和积分性质来计算卷积的条件，就必须满足三个条件：函数f (t)和g(t)必须可导，尤其是f’(t)和g’(t)必须连续变化或有限，同时还要求定义域是
有限的或可用积分的二阶定义域近似。