2012-2013下《概率论与数理统计》试卷3
2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案
2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。
概率论与数理统计试卷(三)
课程概率论与数理统计模拟考核试题（三）课程代码：考核方式: 闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：B一、填空题（每题2分，共20分）1只，作不放回抽样，则取到2只P（A）=0.2,P（B）=0.8，则P（A|B）= .3、设P(A)=1/2，P(B|A)=2/5，则P(AB)= .4、设X服从参数λ=3的泊松分布，则P{X<2}=_________5、设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=φ，且P（A）=P（B）=P（C）=x，则当x= 时，P（A∪B∪C）=43.6、设随机变量X～N（1，9），则E（2X＋3）= ，D（2X+3）=7、对于连续型随机向量，X与Y独立的充分必要条件是，对于任何（x，y）∈R2，有f（x，y）=8、T服从n个自由度的t分布，则T2服从自由度为的分布9、设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2已知；而μ未知，则μ的置信度1-α(0<α<1)的置信区间为__________10、X～N（10，9）),,,(921XXX 是来自总体X的一个样本,则X服从分布。
二、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号分，共20 分）（A|B）=1，则必有（）②. A⊂B④. P(AB)=P(A)2、对于任意两个随机事件A 与B ，有P(A-B)为（）．①②③. ④.3、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（）①A.2422②.CC2142③.242!A④.24!!4、设随机变量X的分布函数为F(x),. Y=2X+1,则Y的分布函数为( )①. F(y /2-1/2)②. F(y/2+1)③. 2F(x)+1④. 1/2F(y)-1/25、若E(XY)=E(X))(YE⋅,则必有( )①D(XY)=D(X)D(Y) ②D(X+Y)=D(X)+D(Y)③X与Y相互独立④X与Y不相互独立6、设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{}σμ≤-X应（）①单调增大②单调减小③保持不变④不能确定7、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N（2，1）和N（1，1）则（）①P{}1≤+YX=1/2 ②P{}0≤+YX=1/2③P{}1.5X Y+≥=1/2 ④P{}0≥+YX=1/28、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，则EY=（）第 2 页第 1 页座位号① 10 ② 4 ③ -2 ④ –1/29、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果的显著水平0.05下拒绝H 0：μ=μ0，那么在 显著水平0.01下，下列结论正确的是（ ）① 必接受H 0 ②可能接受,也可能拒绝H 0 ③ 必拒绝H 0 ④ 不接受也不拒绝H 0 10、设),(21X X 是来自总体X 的一个容量为2的样本,则在下列E(X)的无偏估计量中, 最有效的估计量是 ( )① 2Ｘ1／３＋Ｘ2／３ ②Ｘ1／４＋３Ｘ2／４ ③ ２Ｘ1／５＋３Ｘ2／５ ④ Ｘ1／２＋Ｘ2／２三、判断题：（共12分） A,B 一定独立。
2012―2013学年第二学期概率论与数理统计试卷(本科及专升本)
第 1 页 共 3 页一、单项选择题（每小题3分，共21分）1．对于事件B A ,，若∅=B A ，则下列说法中正确的是 （ ） A 、B A ,为对立事件B 、0)(=A P 或0)(=B PC 、B A ,互不相容D 、B A ,独立2．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列说法中错误的是 （ ） A 、)(x F 是不减函数B 、)(x F 必为),(+∞-∞上的连续函数C 、0)(=-∞FD 、1)(≤x F3．设连续型二维随机变量的联合概率密度函数为),(y x f ，则必有 （ ）A 、1),(0≤≤y x fB 、),(y x f 为xOy 平面上的连续函数C 、1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f D 、1),(=+∞+∞f4．设Y X ,是两个随机变量，则下式中一定成立的是 （ ）A 、)()()(Y E X E Y X E +=+B 、)()()(Y E X E XY E =C 、)()()(YD X D Y X D +=+ D 、)()()(Y D X D XY D =5．随机变量 n X X X ,,,21 相互独立，服从同一分布，且具有期望和方差，0)(,)(2>==σμk k X D X E ，当n 充分大时，近似服从)1,0(N 的是 （ ）A 、σμn n Xnk k∑=-1B 、21σμn n Xnk k∑=-C 、σμn n Xnk k∑=-1D 、21σμn n Xnk k∑=-6．设4321,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布的样本，其中θ未知， 以下估计量中哪个不是θ的无偏估计量？ （ ） A 、443211X X X X T +++=B 、722343211X X X X T +++=C 、3643211X X X X T +++=D 、5243211X X X X T +++= 7．对于一个原假设为0H 的假设检验问题，有可能犯的第一类错误是指（ ）A 、0H 成立时，检验结果接受0HB 、0H 成立时，检验结果拒绝0HC 、0H 不成立时，检验结果接受0HD 、0H 不成立时，检验结果拒绝0H二、填空题（每小题3分，共24分）1．设C B A ,,为三个事件，则事件“C B A ,,都不发生” 可以用C B A ,,的运算关系表示为 ．2．10片药片中有5片是安慰剂，从中任取2片，其中至少有1片是安慰剂的概率为 ．3．三人独立地去破译一份密码，各人能译出的概率分别为3.0,2.0,1.0， 三人中至少有一人能将此密码译出的概率为 ．第 2 页 共 3 页4．一射击运动员每次射击命中的概率为7.0，以X 表示他首次命中时 累计已射击的次数，则{}3=X P 为 ．5．随机变量X 在4,3,2,1中等可能地取一个值，随机变量Y 在X ~1中 等可能地取一个整数值，则{}4=Y P 为 ． 6．随机变量)2,0(~U X ，则=)(X D ． 7．总体)6(~2χX ，1021,,,X X X 是来自X 的样本，则=)(X D．8．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值， 则~X ．三、解答题（第1题8分，第2题9分，共17分）1．对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为80%，而当机器发生某种故障时，产品的合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为90%．（1）求每天早上第一件产品是合格品的概率；（2）若某天早上第一件产品是合格品，求此时机器调整良好的概率．2．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=其它,031,10,1)(x kxx xx f（1）确定常数k ； （2）求()20<<X P ．四、解答题（第1题10分，第2题10分，共20分）1．设随机变量X 与Y 的联合分布律为 求：（1）常数a 值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？(3) 设Y X Z +=，求Z 的分布律．第 3 页 共 3 页X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎪≤>-0,00,313x x e x．1000800元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望．五、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）X 具有分布律 )1<<θ为未知参数．,2,1,3321===x x x 求θ的矩估计值．2．某批铁矿石的9个样品中的含铁量，经测定为（%）35 36 36 38 38 39 39 40 41设测定值总体服从正态分布，但参数均未知， （1）求样本均值和样本标准差；（2）在01.0=α下能否接受假设：这批铁矿石的含铁量的均值为39%？ （3554.3)8(005.0=t ）。
《概率论与数理统计》习题三答案解析
《概率论与数理统计》习题及答案习题二1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以丫表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以丫表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.3.设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为F（x, y）Jsinxsiny,。
沁兰才gy 写L0, 其他.求二维随机变量（X, Y）在长方形域｛o<x< -,n y<内的概率.I 4 6 3., n n n【解】如图P{0 cx < - —c Y<—}公式（3.2）4 6 3F（n，n）-F（n n-F（o, n+F（o, n4 3 4 6 3 6n n n — n厂n厂n=sin — 0n — —sin — sin — -sin0sin — + sin 比sin — 4 3 4" 6 3 6出(屁1). 4[k(6 - X - y),0 c X c 2, 2 c y c 4, (x ，y )=( 0,其他.确定常数 求 P{X <1 , Y v 3}; 求 P{X<1.5}; 求 P{X+Y W 4}. 【解】(1)由性质有说明：也可先求出密度函数, 4.设随机变量 求：(1)(2) (3) 【解】(1)(X , 丫)的分布密度f (X , y )=0,,XA0,yA0,其他.常数A ;随机变量(X , 丫)的分布函数； P{0 <X<1 , 0<丫<2}.-be -be -be -be由 L LcfXyMxdy^ .0 Ae严d y)dxdy=4=112 得(2) A=12由定义，有y XF (x, y) = LcL f (u,v)dudv」「［任4和dudv 10,"(1-e 」X )(1-e"4y )y A 0,XA 0,0,其他⑶ P{0 <X <1,0 < 丫 <2}= P{0 cX <1,0cY <2}1「0[12e 5.设随机变量(仲枷)dxdy =(1-e 冷(1-e*“ 0.9499.Y ) 的概率密度为(1)(2) (3) (4) k ;-be -be2 4f f f(x,y)dxdy = r r k(6-x-y)dydx=8k=1,・0・21 R = -81 3-UU f (x ,y)d y d x1 313=0 L8k (6_x-y )dydx=8⑶ P{X v 1.5} = JJ f (x, y)dxdy 如图 a JJ f (x, y)dxdyx £5D 11.541 27=f dx f -(6 — x- y)dy =——. 0 28、 ” y 32⑷ P{X + Y <4} = ff f (x,y)dxdy 如图b JJ f (x, y)dxdyX -Y <D224_x12 =[dx f -(6 - X - y)dy =-. 0」2 8 3y,1.5 2 fa)求：（1） X 与丫的联合分布密度；（2） P{Y^X}.题6图【解】（1）因X 在（0, 0.2 ）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为I 1I ——,0ex <0.2, fx (X )= \ 0.2 0,其他.(2) P{X <1,Yc3} 6.设X 和丫是两个相互独立的随机变量,0.2）上服从均匀分布，丫的密度函数为 yf Y ( y )=y>o,其他.题5图X 在（0，y=yf(x,y X Y 独立f x xCf Y y()(2) P(Y <X) = ff f (x,y)dxdy 如图仃25e'y dxdyy < D0.2 x50.2 5=f 0 dx 0 25e ydy = J o (-5e +5)dx-1=e 止 0.3679.7.设二维随机变量(X ，Y )的联合分布函数为「(1—e"x )(1 —e 'y ), XA 0, y 》。
概率论与数理统计试题与答案()
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P 2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=- (C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
安徽建筑大学 2012-2013第二学期概率论与数理统计试卷
(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；
… …
1、设 A, B 为两个相互独立随机事件， P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3 ,则 P(A ∪ B) =
. (2)一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.
… … 装
2、设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，即 P{X = k} = λke−λ ， k = 0,1, 2, . 且
.
… …
5、设总体 X ∼ N (μ,σ 2 ) ，其中 μ,σ 2 已知，( X1, X 2
Xn ) 为来自 X 的一个样本，X 为
四、解答题(本大题 18 分，每小题 9 分) 1、袋中有 2 个白球，3 个红球，今从袋中随机抽取 2 个球，以 X 表示取到的红
草
订 …
样本均值，则 D(X ) =
(B)1；
(C) −0.8 ；
(D) 0.7 .
不 … 4、设二维随机变量 (X ,Y ) 的分布律为：并且已知
得
… …
事件{X = 0}与{X + Y = 1} 相互独立，则
.
Y0
X
1
⎧0
2、设连续型随机变量
X
的分布函数为：
F ( x)
=
⎪ ⎨
Ax2
⎪⎩ 1
x<0 0 ≤ x <1，
x ≥1
求：（1）常数 A ；（2） X 概率密度 f (x) ；（3） X 落在区间 (0.3, 0.7) 的概率.
… …
本容量 n 一定时，下列说法中正确的是
… …
(A) α 减小时 β 也减小；
(B) α 增大时 β 也增大；
(C) α ， β 其中一个减小，另一个会增大； (D) (A)和(B)同时成立.
2013~2014年全国自考概率论与数理统计试题及答案要点
全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)五、应用题(10分)全国2013年1月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)答案1、本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.2、解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂=== ，故选B.3、解：本题考查的是分布函数的性质。
由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。
再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。
所以答案为C 。
4、解：选A 。
{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 5、解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040.14d =--= ，故选D 。
6、解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。
7、解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+= ，选A8、解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= ，选C 。
华农-2012-2013下概率论与数理统计答案3
2012学年第一学期概率论与数理统计试题解答参考一、1.B ；2. A ；3. C ； 4. B ；5. B ；6.B ；7. C 二、1. 1 ； 2. 0，0.5；3.37；4. 0.4； 5. 0.6； 6. 22,X X αα-⎛⎫ ⎪⎝⎭； 7. 2(,)10N σμ三、1.解：解：,1,)1(lim )(1=∴=-=+∞=-∞→A A e A F x xP{1≤X ≤3} =F(3)-F(1)=e -1-e -3,2.解： X 的概率密度为)()(x F x f '=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=，a x a x x a ,0,,343⎰⎰∞+∞+∞-==adx xa dx x xf X E 333)()( 23a=3.解：解：设事件12,A A 分别为任取一件产品，产品是甲、乙厂生产的，事件B 为任取的一件产品为次品，则由已知条件可知1()0.6P A = ，2()0.4P A =，1(|)0.01P B A =，2(|)0.02P B A =由贝叶斯公式可得10.60.013(|)0.60.010.40.027P A B ⨯==⨯+⨯，20.40.024(|)0.60.010.40.027P A B ⨯==⨯+⨯，由上两式知，任取一件为次品，该产品是乙厂生产的可能性较大。
4.解：解： 由题设可知(,)X Y 的概率密度为 ()2,01,01,0,y x x f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其他于是关于X 的边缘分布密度为()()()10221,01,0,x X dy x x f x f x y dy -+∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘分布密度为()()()10221,01,0,y Y dx y y f y f x y dx -+∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他5.解：由于总体差已知，因此用U 检验法，设0:53H μ= ，1:53H μ≠由已知条件可知，51.3x =，3σ=，|| 1.7 1.96U ==< ， 所以在05.0=α不能拒绝0H 。
2012年概率论与数理统计试题及答案
∴
=(1-0.2)(1-0.3)(1-0.5)=0.28
=
=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
同理P(X=2)=P( =0.22
=0.03
∴X的分布律：
X
0
1
2
3
P
0.28
0.47
0.22
0.03
(2)由(1)及分布函数的定义知
解：设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有
P(A1)=P(B1)P( |B1)+P(B2)P(A1|B2)+P(B3)P(A1|B3)
= =0.467
P( )= =0.220
八、（10分）设 ．
1.若 ，求 ；2.若 ，求 ；3.若 ，求 ．
4.由题可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以
P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
故应选（C）。
5.因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A) ，P(B)>0，
所以 =A，因而P( |A)=P(A|A)=1，故选（A）
二、填空题（毎小题3分,共15分）：
1． 、 、 代表三件事，事件“ 、 、 至少有二个发生”可表示为．
2．已知 ，则 =．
3． 、 二个事件互不相容， ，则 ．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 ，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．
第二学期概率论与数理统计试卷 参考答案
重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。
从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。
从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。
4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。
假定应 考人知道正确答案的概率为p 。
如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。
5.重复抛一颗骰子5次得到点数为 6 的次数记为X ，则(3)P X > = 13/3888 。
6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。
7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。
8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Zf --（z ）。
9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n i i P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。
10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。
概率论与数理统计试题与答案完整版
概率论与数理统计试题与答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分）1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。
2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若95)1(=≥X p ，则=≥)1(Y p 。
3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。
4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。
5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2χ的样本，则统计量∑==n1i i X Y 服从分布。
6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。
（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分）1、 若A 与自身独立，则（ ）(A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<<A P ； (D) 0)(=A P 或1)(=A P2、下列数列中，是概率分布的是（ ）(A) 4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； (B) 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p (C) 6,5,4,3,41)(==x x p ； (D) 5,4,3,2,1,251)(=+=x x x p 3、设),(~p n B X ，则有（ ）(A) np X E 2)12(=- (B) )1(4)12(p np X D -=-(C) 14)12(+=+np X E (D) 1)1(4)12(+-=+p np X D4、设随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）。
(A)单调增大 (B)单调减小 (C)保持不变 (D)增减不定5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，X 与2S 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误．．的是（ ）。
2012-2013第二学期概率论与数理统计试卷 参考答案
重庆大学概率论与数理统计课程试卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。
2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。
3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。
4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。
假定应 考人知道正确答案的概率为p 。
如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。
5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >= 13/3888 。
6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。
7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。
8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X Y X Y N Z -=+ 且，则Z 的密度函数21()36z Z f --（z ）。
9.设总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n = 的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。
10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的样本，则Y =服从 t(8) 。
2012-2013第二学期概率论与数理统计(B)期中考试
( 2)
公式(2.1)得 Y 的概率密度为
⎧ f [h( y )] ⋅ h′( y ) , 0 < y < ∞, fY = ⎨ X y ≤ 0. ⎩0,
⎧ ⎛1⎞ 1 ⎪ fX ⎜ ⎟ ⎟ 2 , 0 < y < ∞, -------------------------------------2 分 =⎨ ⎜ ⎝ y⎠ y ⎪0, y ≤ 0. ⎩
⎛5⎞ P ( Ai ) = ⎜ ⎟ ⎝6⎠
i −1
1 . ------------------------2 分 6
因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为
P{甲胜} = P{ A1 ∪ A3 ∪ A5 ∪ } = P( A1 ) + P( A3 ) + P( A5 ) + 1 ⎡ ⎛5⎞ ⎛5⎞ = ⎢1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 6⎣ ⎢ ⎝6⎠ ⎝6⎠
z≤0 0 < x <1 z ≥1
--------------2 分
因此，随机变量 Z 的概率密度函数为 f Z ( x ) = ⎨
⎧2 z 0 < z < 1 其它 ⎩0
7
九(满分 10 分) 设二维随机变量 ( X， Y ) 的联合密度函数为
⎧C(x + y) 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 f ( x， y ) = ⎨ 其它 ⎩ 0
当 z ≤ 0 时， FZ ( z ) = 0 -------------------------------------------------------------1 分
{
其它
X 2 +Y2 ≤ z
}
FZ ( z ) = P =
(完整版)自考本概率论与数理统计真题10套
X
-1
0
1
0
0.3
0.2
0.1
1
0.1
0.3
0
求：(1)X和Y的分布律；(2)Cov(X，Y).
四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N(75，σ2)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.
三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
26.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06.
(1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.
27.已知二维随机变量(X，Y)的分布律
A. B. C. D.
3.设随机变量X的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（ ）
A.0≤f(x)≤1B. C. D.f(+∞)=1
4. 设随机变量X的概率密度为f(x)，且P｛X≥0｝＝1，则必有（ ）
A.f(x)在（0，＋∞）内大于零B.f(x)在（－∞，0）内小于零
C. D.f(x)在（0，＋∞）上单调增加
17.设二维随机变量(X，Y)的分布律
Y
X
0
1
2
0
0.1
0.15
0
1
0.25
0.2
0.1
2
0.1
0
0.1
则P{X=Y}=____________.
18.设二维随机变量(X，Y)～N(0，0，1，4，0)，则X的概率密度fX(x)=___________.
概率论与数理统计试卷3
《概率论与数理统计》试卷3一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 某门诊有三个诊室，先后有三个患者来看病，病人可随机选择诊室，则每个诊室恰好接待一个患者的概率为 ．2. 设随机变量1~(1,)4X b , 随机变量21Y X =+, 则{2}P Y ≤= . 3. 设随机变量221(,)~(2,0,2,3,)2X Y N , 42X YZ =-, 则()D Z = .4. 设X ～)(n t ，其中1n >, 则21X～ .5. 设总体~(1,)X b p ，10110,,,,是来自总体X 的样本观察值，则p 的矩估计值为 .二、选择题 (每小题3分，共15分)1. 假设事件A 和B 满足(|)1P B A =, 则 ( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D) A B ⊂2. 设随机变量X 与Y 独立同分布，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-313211~X ，则必有（ ）.（A ）Y X = （B ）5}{==Y X P (C) 5}{==Y X P (D) 1}{==Y X P 3. 设(1,2,,)i X i n = 是独立同分布的随机变量, ()1i E X =，()4i D X =且2()i E X 存在，1,2,,i n = , 对任意整数0ε>，则（ ）成立.(A) 11lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (B) 211lim 41n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑(C) 211lim 51n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ (D) 211lim 31n i n i P X n ε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑4. 在假设检验中，原假设为H 0，检验显著性水平为α，则下列各式正确的是( ).(A) P {接受H 0|H 0正确}=α (B) P {拒绝H 0|H 0正确}=α (C) P {接受H 0|H 0正确}=1－α (D) P {拒绝H 0|H 0正确}=1－α5.设有一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2σμ，均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值),cm (9=x 样本标准差为μ，则)cm (1=s 的置信度为0.95的置信区间为（ ）.（A ）（)16(419025.0t ±） （B ）（)16(41905.0t ±） （C ）（)15(41905.0t ±） （D ）（)15(419025.0t ±）三、(10分) 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：求它是次品的概率.四、（14分）设⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10),1(),(~),(xy x x ky y x f Y X , （1）求常数k ； （2）求),(Y X 关于X 及Y 的边缘密度)(x f X 和)(y f Y ; （3）计算概率}1{≤+Y X P .五、（10分）设总体X 在区间),0(θ上服从均匀分布，1X ，2X ，3X ，4X 为其样本. 试求（1）14i i X ≤≤max ()的概率密度函数; (2) 1412(max ())ii E X θ≤≤-. 六、（12分）某箱装有100个产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件. 现在从中随机抽取一件, 记1,0,i X ⎧=⎨⎩抽到i 等品其它，1,2,3)i =（.试求: (1)1X 与2X 的联合分布律; (2)1X 与2X 的相关系数ρ.七、（12分）某家庭的日开支X （元）的任意三次抽样为40，20，30，设22(10)(10)e 10~()010a x a x x X f x x --⎧⎪-≥=⎨<⎪⎩，，，求参数a 的极大似然估计值（保留三位小数）.八、（12分）机器包装袋盐，假设袋盐重量服从正态分布，规定袋重标准差不能超过12g ，某天开工后要检查机器工作是否正常，从装好的袋盐中随机抽查9袋，测得样本标准差为16.03g ，问按显著性水平0.05α=, 能否认为包装机工作是正常的?参考答案： 一、填空题 1. 92 2. 43 3. 47 4. )1,(n F 5. 53 二、选择题1. D2. C3. C4. B5. D三、解：记A 表示“取到的是一只次品”，i B （3,2,1=i ）表示“取到的产品是由第i 家工厂提供的”则 1()0.10P B =，2()0.75P B =,3()0.15P B =,1(|)0.02P A B =, 2(|)0.01P A B =，3(|)0.03P A B =,由全概率公式得31()()(|)0.014iii P A P B P A B ===∑.四、解：(1) 由100(,)d d (1)d d 124xkf x y x y ky x x y +∞+∞-∞-∞=-==⎰⎰⎰⎰，得 24k =. (2)2024(1)d ,0112(1),01()(,)d =0,0,xX y x y x x x x f x f x y y +∞-∞⎧⎧-≤≤-≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它1224(1)d ,0112(21),01()(,)d =0,0,y Y y x x y y y y y f y f x y x +∞-∞⎧-≤≤⎧-+≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它其它 （3）111222011124112242y yx y P X Y f x y x y y x x y y y y -+≤+≤==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰{}(,)d d ()d d d .五、解：（1）令14max ()i i Y X ≤≤=，由X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=θθθx x x x x F ，，，1000)(得， Y 的分布函数为4()[()]Y F y F y =，所以Y 的概率密度为34400Y y y f y θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它()（2） 44445y EY y θθθ==⎰（）d ， 1411432255(max ())i i E X θθθθ≤≤-=⨯-=- . 六、解: (1) 160{1}0.6100P X ===,230{1}0.3100P X ===,310{1}0.1100P X ===,123{0,0}{1}0.1P X X P X =====.(2) 1()0.6E X =, 2()0.3E X =, 21()0.6E X =, 22()0.3E X =,21()0.60.60.24D X =-=, 22()0.30.30.21D X =-=, 12()0E X X = , 1214））X X ρ===-七、解：构造似然函数：211021110ni i annx n i i i i L a f x a x =--==∑==⋅-⋅∏∏()()()()e ，1012,,,,i x i n ≥= ， 其对数似然函数为：∑∑∏===---+==ni i ni i i ni x a x a n x f a L 1211)10(2)10ln(ln )(ln )(ln 1012,,,,i x i n ≥=令21d 1ln ()(10)0d 2ni i n L a x a a ==--=∑，得∑=-=ni i x na 12)10(2ˆ，代入相关数据得0004.ˆa ≈． 八、解: 检验假设①0H :2212σ≤ 1H : 2212σ>, ②取检验统计量222(1)n S χσ-=2(1)n χ-,③拒绝域形式为22(1)n αχχ≥-, ④20.05(8)15.507χ=,22220.05220(1)816.0314.27615.507(8)12n S χχσ-⨯==≈<=⑤2χ值不在拒绝域内, 接受0H :2212σ≤, 综上讨论,认为包装机工作正常.。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)-试卷13
考研数学三（概率论与数理统计）-试卷13(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。
以E表示事件“电炉断电”，而T 1≤T 2≤T 3≤T 4为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E=（）（分数：2.00）A.{T 1≥t 0 }B.{T 2≥t 0 }C.{T 3≥t 0 } √D.{T 4≥t 0 }解析：解析：由于T 1≤T 2≤T 3≤T 4，所以 {T 1≥t 0 } {T 2≥t 0 } {T 3≥t 0{T 4≥t 0 }。
因此，当有两个温控器显示温度大于等于t 0时，E发生，即当{T 3≥t 0 }和{T≥t 0 }发生时，E发生。
又因为{T≥t 0 }发生时，{T≥t 0 }必发生，故选C。
3.设A，B为随机事件，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则A，B相互独立的充要条件是（（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由于0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，所以A与B，正确选项是C。
4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 ={掷第一次出现正面}，A 2 ={掷第二次出现正面}，A 3 ={正反面各出现一次}，A 4 ={正面出现两次}，则事件（）（分数：2.00）A.A 1，A 2，A 3相互独立B.A 2，A 3，A 4相互独立C.A 1，A 2，A 3两两独立√D.A 2，A 3，A 4两两独立解析：解析：显然P（A 1）=P（A 2）= ，且A 1与A 2相互独立。
2012-2013概率期末试题+答案
2012-2013-1《概率论与数理统计》期末试卷(A)一、填空题（每小题4分，共28分）1．对一批次品率为p (0<p <1)的产品逐一检测, 则第二次或第二次后才检测到次品的概率为________.2．二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为j i p ， (i , j =1 , 2 ,……)，关于X 及关于Y 的边缘分布律为p i •及p •j (i , j =1,2,……)，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是_________. 3．设样本),,,(21n X X X 抽自总体22, ). ,(~σμσμN X 均未知. 要对μ作假设检验，统计假设为,:00μμ=H (0μ已知)， ,:01μμ≠H 则要用检验统计量为_________.4．若总体) ,(~2σμN X ，则~n Z σμ-X =__________其中n 为样本容量.5．设某种零件的寿命),(~2σμN Y ，其中μ未知. 现随机抽取5只，测得寿命(单位小时)为1502 , 1453 ,1367 , 1650，1498，则用矩估计可求得μˆ=________. 6．设某离散型随机变量ξ的分布律是{}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k Ck P kλξ，常数λ>0，则常数=C ________.7．设A ，B 是两个互不相容的随机事件，且知21)(,41)(==B P A P ， 则=)(B A P ______. 二、单项选择题（每小题4分，共40分）1．对任意两个互不相容的事件A 与B ，必有_________.(A ) 如果0)(=A P ，则0)(=B P . (B ) 如果0)(=A P ，则1)(=B P .(C ) 如果1)(=A P ，则0)(=B P . (D ) 如果1)(=A P ，则1)(=B P .2．已知随机变量X 在]1,0[上服从均匀分布，记事件}5.00{≤≤=X A ，}75.025.0{≤≤=X B ，则_________.(A ) A 与B 互不相容. (B ) B 包含A . (C ) A 与B 对立. (D ) A 与B 相互独立. 3．6.0 ,1)( ,4)(===ξηρηξD D ，则=-)23(ηξD _________.(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.64．任一个连续型的随机变量ξ的概率密度为)(x ϕ，则)(x ϕ必满足_________.(A) 1)(0<<x ϕ (B)()⎰+∞∞-=1dx x ϕ (C) 单调不减 (D)1)(lim =+∞→x x ϕ5．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，{1}{1}0.5P X P Y ====，{1}{1}0.5P X P Y =-==-=,则下列各式成立的是_________.(A){}0.5P X Y == (B) {}1P X Y == (C) {0}0.25P X Y +== (D) {1}0.25P XY == 6．若随机变量ξ和η相互独立，且方差21)(σξ=D 和22)(ση=D 2121,),0,0(k k >>σσ 是已知常数，则)(21ηξk k D -等于_________.（A ）222211σσk k - （B ）222211σσk k + （C ）22222121σσk k - （D ）22222121σσk k +7．设( X , Y )为二维随机变量，其概率密度函数为⎩⎨⎧≥≥=+-其他,0,0,),()(y x e y x f y x ，则下列各式正确的是_________.⎰⎰∞-∞-+-=x y y x dxdy e y x F A )(),()( ⎰∞+∞-+-=dy e x f B y x X )()()(dx e dy Y X P C y y x ⎰⎰-+-=≤+240)(2}42{)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-=dxdy xe X E D y x )()()(8．对总体的某个参数做检验，取显著性水平α，如果原假设正确，但由于样本的随机性做出拒绝原假设的决策，因而犯了错误，这类错误称第一类错误，也称“弃真错误”，犯这类错误的概率是_________.(A )α-1 (B) 21α-(C) α (D)α19．设n X X ,,1 是来自随机变量X 的样本∑=--=ni i X X n S 122)(11(样本方差),则下列结论正确的是_______. (A))()(2X D S E = (B) )(1)(2X D n nS E -=(C) )(1)(2X D nn S E -= (D) )()1()(22X D n nS E -= 10．采用包装机包装食盐，要求500g 装一袋. 已知标准差g 3=σ，要使食盐每袋平均重量的95%的置信区间长度不超过4.2g ，则样本容量n 至少为_______.（已知u 0.025=1.96）(A ) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10三、不同的两个小麦品种的种子混杂在一起，已知第一个品种的种子发芽率为90%，第二个品种的种子发芽率为96%，并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍，求：(1)从中任取一粒种子，它能发芽的概率；(2)如果取到的一粒种子能发芽，则它是第一个品种的概率是多少？(8分)四、设随机变量X 和Y 相互独立且)5,3(~N X , )19,3(~-N Y . 试求 Z =3X –2Y –15的概率密度. (8分)五、从一台车床加工的成批轴料中抽取15件，测量其椭圆度(设椭圆度服从正态分布),(2σμN ) ，计算得2s =0.025，问该批轴料的椭圆度的总体方差2σ与规定的方差 04.020=σ 有无显著差别？（最后结果保留3位小数），(α =0.05). (8分) (已知220.9750.025(14) 5.629,(14)26.119χχ==，220.9750.025(15) 6.262,(15)27.488χχ==）六、设某种零件长度X 服从正态分布),(2σμN ，现随机从该批零件中抽取10件，测得其样本均值)(05.10cm X =，样本标准差)(2415.0cm S =，求μ的置信度为95%的置信区间（最后结果保留3位小数）. (8分) (已知2281.2)10(,2622.2)9(025.0025.0==t t ，2281.2)10(,8331.1)9(025.005.0==t t ）答案：一、填空1．1-p ；2．j i j i p p p ••⨯=；3．,/0nS X t μ-= ；4．)1 ,0(N ；5．1494. 6.λ-e ；7. 21二、单项选择题 题号 12345678910答案C D C B A D C C A C三、A i (i =1,2)分别表示取到的一粒种子是第一，二品种的事件B =“取到的一粒种子能发芽”则()()%90,3211==A B P A P ，()()%96,3122==A B P A P 由全概率公式 ()()()2121230.90.960.92=3325i i i P B P A P B A ===⨯+⨯=∑由贝叶斯公式 ()()()()⎪⎭⎫⎝⎛≈===65.0231592.060.0111B P A B P A P B A P 四、因为)3,2(~N X , )6,3(~-N Y ，且X 与Y 独立，故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即 Z ~N (E (Z ), D (Z ))015)(2)(3)(=--=Y E X E Z E 121)(4)(9)(=+=Y D X D Z D Z ~N (0, 112)则Z的概率密度函数为 2242(),()x f x x -=-∞<<+∞五、显著性水平 α = 0.05，检验假设04.0:;04.0:20212020=≠==σσσσH H22201140.0258.750.04n s χσ-⨯===（）由于()22220.0250.97521(14) 5.6298.7526.119(14)n αχχχχ-==<=<=故接受H 0 即认为该批轴料的圆度的总体方差与定的方差0.04 无显著差别. 六、当2σ未知时，μ的置信度为0.95的置信区间为22(1),(1)X n X n αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.05 2.2622,10.05 2.2622⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(9.877,10.223)=。
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概率论与数理统计练习一
一、选择题（本大题共7 小题，每小题 3 分，共 21 分）
1. 设A ，B 为随机事件, 若P (A )=P (B )>0.5, 则 （ ）
(A) A ，B 互不相容； (B) A ，B 非互不相容； (C) A ，B 相互独立； (D) A ，B 非相互独立.
2.设2(,4)X N μ ，2(,5)Y N μ ，1(4)p P X μ=≤- ，2(5)p P Y μ=≥+，则
（ ）
(A) 对任意实数μ，都有12p p =； (B) 对任意实数μ，都有12p p <； (C) 只对μ的个别值，才有12p p = ； (D) 对任意实数μ，都有12p p >；
3.己知随机变量X 服从区间[5,10]上的均匀分布, 则 （ ） (A) 2(9)0.3P X <= ； (B) 2(9)0.15P X <=； (C) 2(9)0P X ≤= ； (D)｛7X =｝是不可能事件. 4．对随机变量X ，关于EX ，EX 2合适的值为 （ ） (A)3，8 (B) 3， 10 (C) 3，-8 (D) 3，-10
5. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则22X Y +服从
( )
(A) 自由度为1的2χ分布； (B) 自由度为2的2χ分布； (C) 自由度为1的F 分布；
(D) 自由度为2的F 分布.
6. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ，D (X )=2σ，则有 ( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计量；
(B)
123
3
X X X ++是μ的无偏估计量；
(C) 2
2X 是2σ的无偏估计量；
(D) 2
1233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
是2
σ的无偏估计量.
7. 设总体X 服从二项分布),1(p B ，n X X ,,1 是来自总体X 的一个样本，则)(n
k
X P ==（ ）。
（A ）p （B ）p -1
（C ）k n k k n p p C --)1( （D ）k n k k
n p p C --)1(.
二、填空题（本大题共7小题，每小题 3 分，共 21 分）
1．设()P λX （泊松分布），且()(1
)21E X X --=
⎡⎤⎣⎦，则λ= .
2.设X
的概率密度为2
()x f x -=
，
则()E X = ，()D X ＝ . 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=A α，P(B)=0.3，P(A B)=0.7 ，则
α= .
4．已知随机变量X 与Y 的联合分布律为 则(1)P X Y +== .
5. 设X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<=5.1,15
.11,21
10,2
0,
0)(x x x x x
x x F ，则=≤<}3.14.0{X P 。
6．设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，2σ已知，X 是样本均值，2S 是样本方差，则μ的置信度为1α-的置信区间为 . 7.设1210,,,X X X 为来自正态总体2(,)N X μσ 的一个简单随机样本，则样本均
值10
1
110i i X X ==∑服从
.
三、简单解答题 (本大题共5小题，每小题 6 分，共30 分) 1.
设X 的分布函数为
⎩⎨
⎧<≥-=-0,0,
0),1()(x x e A x F x 求常数A 及P{1≤X≤3} .
2.设随机变量X 具有分布函数3
31,()0,a x a
F x x x a ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩，其中0a >，求E(X).
3.一箱产品，甲、乙两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。
现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？
4.设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布.
求：变量X 和Y 的边缘概率密度.
5.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ，今抽取9个动物考察，测得平均体重为
3.51公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为53公斤。
（05.0=α）（提示：
96.1645.1025.005.0==Z Z ）
四、综合解答题 (本大题共3小题，共28 分)
1．已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数. （8分）
2.总体X 具有概率密度 )0(,,0,
10,)(1>θ⎩⎨
⎧<<θ=-θ其他x x x f
求θ的矩估计量和极大似然估计量。
（10分）
3. 由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布)1,(μN ，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售
利润L (元)与销售零件的内径X 的关系为：⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤<-=125121020101
X X X L ，问平均内径μ取何
值时，销售一个零件的平均利润最大？（提示：1744.025
21
ln
-≈）（10分）。