高考数学解答题双曲线的标准方程 Word版含答案

1.双曲线的标准方程

一．知识梳理

1.定义：平面内与两定点1F 、2F 的距离的差的绝对值是常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。 设()y x M ,为双曲线上的任意一点,

若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ； 若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<； 因此得a MF MF 221±=-.

2.标准方程：焦点在x 轴上:()0,122

22>>=-b a b

y a x

焦点在y 轴上:()0,122

22>>=-b a b

x a y .

可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在x 轴上；如果2

y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上.

3.标准方程中的c b a ,,三个量满足2

22b a c +=

4.方程()012

2

<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线,它包含焦点在x 轴

上或在y 轴上两种情形.若将方程变形为1112

2=+n y m x ,则当0>m ，0

12

2=--n

y m x ，它表示焦点在x 轴上的双曲线,此时n

b m a 1

,1-==；当0,0>

12

2=--m

x n y ,它表示焦点在y 轴上的双曲线,此时m

b n a 1

,1-==。 因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法. 三．例题分析

题型1 双曲线的定义及应用

例1.双曲线

1144

252

2=-y x 上一点P 到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ） A.P 到左焦点的距离为8 B.P 到左焦点的距离为15 C.P 到左焦点的距离不确定 D.这样的P 点不存在

习题1.双曲线116

92

2=-y x 上一点P 到左焦点1F 的距离101=PF ,求P 点到右焦点2F 的

距离2PF .

习题2

4表示的曲线方程为（ ） A ．2

4x －25

y ＝1(x ≤－2)

B ．2

4x －25

y ＝1(x ≥2)

C ．24y －2

5x ＝1(y ≤－2)

D ．24

y －2

5x ＝1(y ≥2)

题型2.求双曲线方程

例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

-

3104,1A ；（2）经过点()

24,3-、⎪⎭

⎫ ⎝⎛5,49； （3）与双曲线

14

162

2=-y x 有相同的焦点，且经过点)2,23(.

题型3.判断曲线类型

例3.（1）．“m>2”是“方程22

121

x y m m -=--表示双曲线”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

（2）．设()0,2πθ∈，则“方程22

134sin x y θ

+=表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）

A ．()0,πθ∈

B ．2,23πθπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

D ．π3π,22θ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

（3）．已知方程22

134x y m m +=+-表示双曲线，则m 的取值范围是______．

（4）．若方程

22

131x y m m

-=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为____________．

解析：（1）方程

22

121x y m m -=--表示双曲线等价于()()210m m --<，即1m <或m>2， 故“m>2”是“方程

22

121

x y m m -=--表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A （2）由()0,2θ∈π，方程22

134sin x y θ+=表示双曲线，则sin 0θ<，所以(),2θ∈ππ，

根据选项，“方程22

134sin x y θ

+=表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B.

（3）若方程22

134x y m m +=+-表示在x 轴上的双曲线，则3040m m +>⎧⎨-<⎩，解得34-<

若方程22

134x y m m +=+-表示在y 轴上的双曲线，则3040m m +<⎧⎨->⎩，此时m ∈∅.

综上所述，34-<

（4）因为方程22

131x y m m -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，所以有3010

m m +>⎧⎨->⎩，解得31m -<<，所以实数m 的取值范围为(3,1)-，故答案为：(3,1)-

题型4 双曲线的轨迹

例4.在△ABC 中，()6,0B -，()6,0C ，直线AB 、AC 的斜率乘积为9

4

，求顶点A 的轨迹.