三阶曲线积分

三阶曲线积分

一、三重积分的性质与计算方法

1.性质的话主要是对称性，其中又包括一般对称性与轮换对称性。

2.计算方法：直角坐标法、柱坐标法与球坐标法。

（1）直角坐标法要掌握垂直投影法与切片法，其实就是分别将积分区域投影到xoy平面、z轴上的两种累次积分。

（2）柱坐标法我更愿意把它理解为垂直投影法的另一种方法。

（3）球坐标法。这个是要重点掌握的，对于积分区域是球体（或者半球体）或者积分式子中含有x、y、z三项的平方和的被积函数都可以用。

二、曲线积分

曲线积分包括第一类曲线积分与第二类曲线积分。

第一类曲线积分

1.性质：对称性与轮换对称性、代入性质。

2.计算方法：特殊代替法、定积分法

第二类曲线积分

性质：对同一段曲线进行积分，方向相反，积分结果相反。

计算方法

1.定积分法

2.二重积分法

对于平面曲线，可以用格林公式将其转化为对曲线所围区域的二重积分。运用格林公式的时候要注意：

（1）曲线是否封闭，如果不封闭，可以一段曲线使其封闭，但是补了之后要记得减去相应的曲线积分。

（2）曲线方向是否为逆时针，如果不是逆时针要在前面加负号。

（3）曲线所围的区域内，P，Q是否是连续可偏导，如果不是连续可偏导（针对于分母为0的情况），可以挖一个区域。

3.曲线积分与路径无关的条件

三、曲面积分

曲线积分也包括第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分

性质：对称性、代入性质。

计算方法—二重积分法。将曲面向xoy（或者yoz，xoz）投影，在投影所得的积分区域中进行二重积分，积分元ds换成对应的积分元。

在第二型曲面积分比较难算的时候，往往会转化为第一型曲面积分进行计算。

第二型曲面积分是对有向曲面的积分，要注意正负号。

计算方法

1.二重积分法

2.高斯公式转化为三重积分

具体的操作也比较简单，也是把需要注意的点列出来就可以了。

（1）曲面是否取的是围成封闭区域，不是封闭区域要补齐平面，补了之后还要减。

（2）曲面是否为外面，不是外面的话，要加上负号。