北师大版高中数学必修第一册同步培优第一章预备知识第3节不等式 基本不等式 第2课时基本不等式的应用

第一章 §3 3.2 第2课时

A 组·素养自测

一、选择题

1．若x ∈{x |－2＜x ＜0}，则x (2＋x )的最小值是( C ) A ．－2 B ．－32

C ．－1

D ．－12

[解析] 因为x ∈{x |－2＜x ＜0}，所以2＋x ＞0，所以x (2＋x )＝－(－x )(2＋x )≥－

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋2－x 22＝－1，当且仅当x ＝－1时，等号成立． 2．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )

A ．x ＝a ＋b

2

B ．x ≤a ＋b

2

C ．x ＞a ＋b

2

D ．x ≥a ＋b

2

3．当x ＞1时，不等式x ＋1

x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )

A ．a ≤2

B ．a ≥2

C ．a ≥3

D ．a ≤3

[解析] 由于x ＞1，所以x －1＞0，1

x －1＞0，

于是x ＋1x －1＝x －1＋1

x －1＋1≥2＋1＝3，

当

1

x －1

＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1

x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ．

4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫

1x ＋4y 的最小值为( B ) A ．6 B ．9 C ．12

D ．15

[解析] x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x

y ≥9，当且仅当y ＝2x 时等号成立．选B ．

5．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ． 2 B ．2 C ．2 2

D ．8

[解析] 因为x ＞0，y ＞0， 所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy

≤

2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2，

当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以使得x ＋y ≤a

x 2＋y 2对所有正数x ，y 都成立的a 的最小值是2．故选A ．

6．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2

n 的最小值

为( C )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

[解析] 因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1．

因为m ＞0，n ＞0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m

n ＝8，

当且仅当m ＝14，n ＝1

2

时取等号．故选C ．

二、填空题

7．已知x 、y 都是正数，

(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是__225

4

__．

[解析] (1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．

(2)xy ≤⎝

⎛⎭

⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝225

4，

即xy 的最大值是225

4

．

当且仅当x ＝y ＝15

2

时xy 取最大值．

8．已知正数a 、b 满足9a ＋1

b ＝3，则ab 的最小值为__4__．

[解析] 9a ＋1

b

＝3≥2

9

ab

⇒ab ≥2⇒ab ≥4． 当且仅当9a ＝1b ，即a ＝6，b ＝2

3时取等号．

三、解答题

9．若正数a 、b 满足：1a ＋2b ＝1，求2a －1＋1

b －2

的最小值．

[解析] 正数a 、b 满足1a ＋2b ＝1，则1a ＝1－2b ＝b －2b ，则1b －2＝a b ，由正数a 、b 满足1

a ＋

2b ＝1，则2b ＝1－1a ＝a －1a ，则2a －1＝b a ，2a －1＋1b －2＝b a ＋a

b

≥ 2

b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故2a －1＋1

b －2

的最小值为2． 10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920x

x 2＋3x ＋1 600(x ＞0)．在该月

内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)

[解析] 依题意得y ＝920

x ＋3＋

1 600x (x ∈N *)．

因为x ＋1 600

x

≥2

x ·1 600x

＝80，

当且仅当x ＝1 600

x ，即x ＝40时上式等号成立，

所以y max ＝

920

83

≈11.1(万件)． 所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．

B 组·素养提升

一、选择题

1．已知m ，n ∈R ，且m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( B ) A ．100

B ．50