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2021年九年级中考数学第三轮压轴题：四边形的综合 专题复习(含答案)

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2021年人教版数学九年级中考三轮冲刺：四边形压轴

2021年人教版数学九年级中考三轮冲刺：四边形压轴

2021年人教版数学中考三轮冲刺：四边形压轴1．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．2．在▱ABCD中，点M为AB的中点．（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB与BC的数量关系；（2）如图2，若∠A为锐角，过点C作CE⊥AD于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，①求证：AB＝2BC；②若EA＝EC，求的值．3．如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，0），B（0，4）．（Ⅰ）点C的坐标是（，）；（Ⅱ）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y 轴于点F，求△OPF的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形O'F'D'E′与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出x的取值范围．4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．5．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是；位置关系是；（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．6．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ 交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）求DE的长；（3）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B'PM，连接AB'，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．7．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AB边上，且BC＝BE，连接EC、AC，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG分别交EC、DC于F、H两点．（1）如图1，若BC＝2，∠ECA＝15°，求线段EF的长．（2）如图2，延长AB到M，连接MF，使得∠BMF＝∠FBC，求证：BF+FM＝AC．（3）如图3，在（1）的条件下，点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，点P是线段AD的中点，连接AN，将△ADN绕点D逆时针旋转α°（0≤α≤360）到△A'DN'，连接PA'，NA'，当3NA'﹣PA'取最大值时，请直接写出△A'DH的面积．8．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG 绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D 逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．9．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．10．如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系；（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，DE＝2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围：．11．在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C、D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求线段PM的长度；（2）如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P'处，AB的中点为Q，直接写出P'Q的最小值．12．如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE＝，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）13．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD边于点E，连接BE．（1）如图1，求证：BD平分∠EBC；（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF＝2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段．14．如图①，在长方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．（2）当射线PE与边AB交于点Q时，①请直接写出AQ长的取值范围：；②是否存在这样的t的值，使得QE＝QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．15．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．参考答案1．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．2．解：（1）BC＝AB，理由如下：∵∠BMD＝3∠ADM，∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，∴∠A＝2∠ADM，∵∠A＝90°，∴∠ADM＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，∴AD＝BC，AM＝AB，∴BC＝AB；（2）①取CD的中点N，连接MN并延长交CE于F，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，M是AB中点，N是CD的中点，∴DN＝CN＝CD＝AB＝AM＝BM，CD∥AB，∴四边形AMND、四边形BCNM是平行四边形，∴MN∥AD∥BC，∴＝，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，∴EF＝CF，∵CE⊥AD于点E，∴MN⊥CE，∴MF是CE的垂直平分线，∴ME＝MC，∴∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，∵∠BME＝3∠AEM，∴∠BME＝3α，∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，∴∠BMC＝∠MCB＝α，∴BC＝BM＝AB，∴AB＝2BC；②如图：由①知：AB＝2BC，∴CD＝2AD设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE中，ED2+EC2＝CD2，∴x2+y2＝4（y﹣x）2，化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，解得x＝y或x＝y，∵DE＜AE，∴x＝y，∴＝，即＝．3．解：（Ⅰ）∵A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC＝OA＝3，BC∥OA，AB∥OC，∴点C的坐标为：（﹣3，4）；故答案为：﹣3，4；（Ⅱ）由旋转的性质，可得：OD＝OB＝4，OF＝OA＝3，∠ODF＝∠OBA，∠OFD＝∠OAB，∵∠BOD＝90°，∴S△DOF＝OD•OF＝×4×3＝6，DF＝＝＝5，∵AB∥OC，∴∠OBA＝∠BOC，∴∠ODF＝∠BOC，∵∠OFP＝∠DFO，∴△OFP∽△DFO，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△OPF＝S△DOF＝×6＝；（Ⅲ）如图，重叠部分为五边形时，F′必须位于点B上方，∵OF＝3，OB＝4，∴d＞1，当点C在D′F′上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线D′F′的解析式为y＝x+b，将C（﹣3，4）代入，得4＝×（﹣3）+b，解得：b＝，∴直线D′F′的解析式为y＝x+，令x＝0，得y＝，∴F′（0，），∴OF′＝，∴FF′＝OF′﹣OF＝﹣3＝，∴d＜，∴1＜d＜；∵＝sin∠F′OC＝，∴P′F′＝F′O＝（d+3），同理可得：P′O＝（d+3），∴S△F′P′O＝P′F′•P′O＝×（d+3）×（d+3）＝（d+3）2，∵＝cos∠D′F′O＝，BF′＝d﹣1，∴HF′＝（d﹣1），∵＝sin∠D′F′O＝，∴HB＝HF′＝×（d﹣1）＝（d﹣1），∴S△HBF′＝BF′•HB＝×（d﹣1）×（d﹣1）＝（d﹣1）2，∵OO′＝d，∴O′G＝OO′•sin∠BOC＝d，OG＝OO′•cos∠BOC＝d，∴S△OGO′＝O′G•OG＝×d×d＝d2，∴S＝S△F′P′O﹣S△HBF′﹣S△OGO′＝（d+3）2﹣（d﹣1）2﹣d2＝﹣d2+d+，∴S＝﹣d2+d+（1＜d＜）．4．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；（2）证明：由折叠性质可得，AB＝BG，∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴BG＝DC．（3）解：由折叠可知AB＝GB，由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，又∵∠C＝90°，AB＝CD，FD＝CF，∴GB＝2GF，BF+GF＝3GF，∵BF2＝BC2+CF2，∴（3GF）2＝64+GF2，∴GF＝2，∴CD＝2GF＝4．5．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，∵△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AQB+∠ABE＝90°，∴∠AQB+∠ADG＝90°，∵∠AQB＝∠DQH，∴∠DQH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，∴DG＝2BE，∵∠AKB+∠ABE＝90°，∴∠AKB+∠ADG＝90°，∵∠AKB＝∠DKH，∴∠DKH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG＝＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，由（2）知，△ABE∽△ADG，∴＝＝，即＝，∴DG＝4．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），解得：t＝2，即t＝2s时，△BPQ是直角三角形；（2）过P作PK∥BC交AC于K，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，AC＝AB＝6cm，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴PA＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）；（3）连接AM，AB′，如图2所示：∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3，此时MP平分∠AMB，则点P到AM、BM的距离相等，∴＝，又∵＝，∴＝＝，∴t＝（6﹣t），解得：t＝9﹣3，即当t为（9﹣3）s时，AB'的值最小，最小值为3﹣3．7．解：（1）如图1，过点F作FK⊥BC于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，CE＝BC＝2，∵∠ECA＝15°，∴∠BCA＝∠BCE+∠ECA＝60°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝90°，∴∠CBG＝90°﹣∠BCA＝30°，∵FK⊥BC，∴∠CKF＝∠BKF＝90°，∴CK＝FK•tan∠BCE＝FK•tan45°＝FK，BK＝＝＝FK，∵CK+BK＝BC，∴FK+FK＝2，∴FK＝3﹣，∴CF＝FK＝（3﹣）＝3﹣，∴EF＝CE﹣CF＝2﹣（3﹣）＝3﹣3．（2）如图2，延长MF交CD于T，过点T作TP⊥AB于P，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°，∴∠BMF＝∠CTF，∵∠BMF＝∠FBC，∴∠CTF＝∠FBC，∴∠TCF＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠TCF＝∠BCE，在△TCF和△BCF中，，∴△TCF≌△BCF（AAS），∴FT＝BF，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝90°，又∵∠BCG+∠ACD＝90°，∴∠FBC＝∠ACD，∵∠BMF＝∠FBC，∴∠BMF＝∠ACD，即∠TMP＝∠ACD，∵TP⊥AB，∴∠APT＝∠MPT＝90°＝∠BAD＝∠D，∴四边形APTD是矩形，∴AD＝PT，在△MTP和△CAD中，，∴△MTP≌△CAD（AAS），即FT+FM＝AC，∴BF+FM＝AC．（3）如图3，以D为圆心，DN、DA为半径作同心圆，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°，由（1）得：∠BCA＝60°，∴∠CAD＝∠BCA＝60°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝2•tan60°＝6，∵点N是线段DC的三等分点，且DN＜CN，∴DN＝CD＝×6＝2，∵3NA'﹣PA'＝（NA′﹣PA′），∴当3NA'﹣PA'取最大值时，NA′﹣PA′的值最大，∵DA′＝DA＝2，∴＝＝，∵＝＝，∴＝＝，又∵∠A′DN＝∠CDA′，∴△A′DN∽△CDA′，∴＝＝＝，∴A′C＝A′N，∴NA′﹣PA′＝A′C﹣PA′≤PC，当C、P、A′在同一直线上时，NA′﹣PA′的最大值为PC，此时3NA'﹣PA'取最大值，作A′T⊥CD的延长线于T，则A′T∥DP，∴＝＝，设A′T＝x，在Rt△CDP中，PC＝＝＝，∴＝＝，∴A′C＝x，CT＝2x，∴TD＝CT﹣CD＝2x﹣6，在Rt△A′DT中，A′T2+TD2＝A′D2，∴x2+（2x﹣6）2＝（2）2，解得：x＝，∴A′T＝，由（1）知：∠CBG＝30°，∴CH＝BC•tan∠CBG＝2×tan30°＝2，∴DH＝CD﹣CH＝6﹣2＝4，∴S△A′DH＝•DH•A′T＝×4×＝．8．解：（1）如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，即∠ADG＝∠CDE，∵DG＝DE，DA＝DC，∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，∴，＝＝，∴＝，∴△GDA∽△EDC，∴＝，即CE＝2AG，∵△GDA∽△EDC，∴∠ECD＝∠GAD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE；（3）①当点E在线段AG上时，如图3，在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，∴△DGP∽△EGD，∴＝，即，∴PD＝，PG＝，则AP＝＝＝，则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；②当点G在线段AE上时，如图4，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，同理得：PD＝，AP＝，由勾股定理得：PE＝＝，则AE＝AP+PE＝+＝；综上，AE的长为．9．解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°．∴∠BAE＝∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°，即∠EBD+∠BDG＝90°，∴∠BHD＝90°．∴BE⊥DG．又∵BE＝DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”．（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB＝CD，∴∠HBC+∠HCB＝90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴，，EG∥AB，GF∥DC，∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF．∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB ＝90°．∴△EFG是等腰直角三角形．（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则，由（2）可知．∴AB最小值为．10．解：（1）AG＝CE且AG⊥CE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠ADC＝∠GDE＝90°，AD＝CD，DG＝DE，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∵∠ADC＝∠GDE＝90°由旋转可知：AG⊥CE；故答案为：AG＝CE且AG⊥CE；（2）DM、CG的关系是：DM＝CG，且DM⊥CG，理由如下：如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接EH，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴∠GDE﹣∠CDE＝∠CDH﹣∠CDE，即∠CDG＝∠HDE，∵CD＝DH，GD＝DE，∴△DGC≌△DEH（SAS），∴CG＝EH，∵M是AE的中点，AD＝DH，∴DM是△AEH的中位线，∴DM∥EH，DM＝EH，∴DM＝CG，∵∠GDE＝∠CDH＝90°，∴△DGC绕点逆时针旋转90°到△DEH，∴CG⊥EH，∴DM⊥CG；（3）由（1）可知：直线AG⊥直线CE，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动，如图3，当P与F重合时，AP最小，此时A、P、F、G共线，Rt△AGD中，DG＝2，AD＝4，∴AG＝＝2，∴AP＝2﹣2；如图4，当P与F重合时，AP最大，同理得：AP＝2+2，∴AP的取值范围是：2﹣2≤AP≤2+2．故答案为：2﹣2≤AP≤2+2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，点M和点C重合，∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠DMN＝∠CBE，在△DMN和△CBE中，，∴△DMN≌△CBE（AAS），∴MN＝BE，∵AN＝4，∴DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，由勾股定理得：MN＝＝＝2，∴BE＝2，∵∠PBC＝∠CBE，∠CPB＝∠ECB＝90°，∴△PBC∽△CBE，∴＝，∴BP＝＝＝，在Rt△BPM中，由勾股定理得：PM＝＝＝；（2）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，∴∠EBC＝∠MNF，在△EBC和△MNF中，，∴△EBC≌△MNF（ASA），∴FM＝EC，∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB；（3）连接BD交AC于点O，如图3所示：则△BPN的直角顶点P在AC上运动，设点P与点C重合时，则点P′与点A重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，∵AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠BAO′＝45°，当点P在线段CO上运动时，过点P作PG⊥AD于点G，过点P′作P′H⊥AD交DA延长线于点H，连接PD，∵点P在AC上，∴BP＝PD，在△BPC和△DPC中，，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠CBP＝∠CDP，∵∠CDA＝∠MPB＝90°，∴∠PDN＝∠BMP，∵BC∥AD，∴∠BMP＝∠PND，∴∠PDN＝∠PND，∴PD＝PN，∴BP＝PN，∴∠PNB＝45°，∴∠PNP′＝90°，∴∠P′NH+∠PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，由翻折性质得：PN＝P′N，在△PGN和△NHP'中，，∴△PGN≌△NHP'（ASA），∴PG＝NH，GN＝P'H，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PAG＝45°，∴△AGP是等腰直角三角形，∴PG＝AG，∴GN＝AH，∴AH＝P'H，∴∠P'AH＝45°，∴∠P'AB＝45°，∴点P'在线段AO'上运动；过点Q作QK⊥AO'，垂足为K，则当P′与K重合时，P'Q最短，∵点Q为AD的中点，∴AQ＝3，在等腰Rt△AKQ中，KQ＝AQ＝×3＝，∴P'Q的最小值为．12．解：（1）如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝＝10，由翻折的性质可知，DA＝DF＝6，∴BF＝BD﹣DF＝10﹣6＝4．（2）如图②中，∵△EBF是等边三角形，∴EB＝EF，∠BEF＝60°，由翻折的性质可知，EA＝EF，∠AED＝∠FED，∴∠AED＝∠FED＝60°，设AE＝EF＝BE＝m，则AD＝AE＝m，∴AB＝2m，∴＝＝．（3）如图③中，过点F作FT⊥AB于T．设BT＝a．由翻折的性质可知，DE⊥AF，AE＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠EAD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，同法可证∠BAF＝∠BFT，∴tan∠BFT＝tan∠BAF＝tan∠ADE＝，∴FT＝3a，AT＝9a，∴AB＝10a，∴AE＝BE＝5a，AD＝3AE＝15a，∵S△ADE＝×15a×5a＝S，∴a2＝S，∴S△BCF＝×15a×a＝a2＝S．解法二：三角形ADF和三角形BCF加起来等于矩形面积的一半，四边形ADFE面积好求，先求出△AEF的面积，△AEF面积是△ABF的一半．13．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BO＝DO．又∵OE⊥BE，∴BE＝DE．∴∠EBD＝∠EDB．∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD．即BD平分∠EBC．（2）解：长度等于CD的线段有：AE、EO、FO、CF．理由：由（1）知：∠EBO＝∠FBO，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（ASA）．∴OE＝OF，BE＝BF．∵BF＝2AE，∴BE＝2AE．在Rt△ABE中，∵sin∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∵tan∠ABE＝，∴AE＝AB•tan30°＝AB．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD．∴AE＝CD．∵∠EBF＝90°﹣∠BAE＝60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EBF＝60°，∴∠EBO＝∠FBO＝∠EBF＝30°．∴∠ABO＝∠ABE+∠EBO＝60°，∴△ABO为等边三角形．∴∠BAO＝∠AOB＝60°，∴∠EAO＝∠EOA＝30°，∴AE＝OE．∵AD∥BC，∴∠OCF＝∠OAE＝30°．∵∠FOC＝∠EOA＝30°，∴∠OCF＝∠FOC．∴OF＝FC．∴OF＝FC＝OE＝AE＝CD．14．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠DPA＝∠PAB，由轴对称得：∠DPA＝∠EPA，∴∠EPA＝∠PAB，∴BP＝AB＝20，在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC＝＝＝16，∴PD＝4＝2t，∴t＝2；（2）①解法一：如图2，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，∴PH＝QG＝AD＝12，∵∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝PQ，∵PQ2＝PG2+QG2＝PG2+122＝144+PG2，∴AQ2＝144+PG2，∵AQ＝DG＝DP+PG，∴（DP+PG）2＝144+PG2，∵PD＝2t，∴（2t+PG）2＝144+PG2，解得：PG＝，∵AQ＝PD+PG＝2t+＝＝t+，∵t+＝（t﹣）2+2≥2＝12，∴AQ＝t+≥12，由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，∴12≤AQ≤20；解法二：由（1）可知：当t＝2时，Q与B重合，此时AQ＝AB＝20，如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ＝AD＝12，∴12≤AQ≤20，故答案为：12≤AQ≤20；②存在，分两种情况：当点E在矩形ABCD内部时，如图3，∵QE＝PQ﹣PE＝PQ﹣DP＝PQ﹣2t，∵QE＝QB，PQ＝AQ，∴QB＝AQ﹣2t，∵AQ+BQ＝AB＝20，∴AQ+AQ﹣2t＝20，∴AQ＝10+t，由①可知：AQ＝t+，∴t+＝10+t，解得：t＝3.6；当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，∵QE＝PE﹣PQ＝DP﹣PQ＝2t﹣PQ，∵QE＝QB，∴BQ＝2t﹣AQ，∴AB﹣AQ＝2t﹣AQ，∴AB＝2t，∴t＝＝10（此时P与C重合），综上，存在这样的t值，使得QE＝QB，t的值为3.6或10．15．解：（1）∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°，∴△BDB′是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积，∵BC＝AB′＝1，∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3，∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝；（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，∴△BDM≌△CDP，∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°，又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，∴∠DCN+∠DCP＝180°，∴N，C，P三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，即∠MDN＝∠PDN＝60°，∴△NMD≌△NPD（SAS），∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4．故△AMN的周长为4．。

【2021中考数学】四边形压轴题含答案

【2021中考数学】四边形压轴题含答案

2021年中考九年级数学：四边形压轴题1、解答下列各题（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且A D CED∠=∠+∠，求证：//AB CD；（2）如图2，在正方形ABCD中，8DF=．AB=，6BE=，4①试判断AEF∆的形状，并说明理由；②求AEF∆的面积．2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．（1）当MN∥AB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．3、如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF＝EF；（2）如图2，若∠BAC＝30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG 是菱形．4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．5、如图1，在ABCD中，以BC为边作等边BCP=．∆，交AD于点E，F，且AE DF （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，连接AP，AC，若1EF=，3BC=．①求证：AP PC⊥；②求AC的长．6、已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE＝，CE＝3，求∠AED的度数；（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求CN的长．7、如图1，在ABCD中，60ABC∠=︒，:7:8AB AD=，E为CD边上一点，8CE=，连接AE，BE，且AE AB=．（1）求证：EB平分AEC∠；（2）当:2:5CE ED=时，在AD上找一点P，使PB PE+的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点E作EF BE⊥交AD于点F，求DFDE的值．8、问题探究（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为______；（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．9、如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．10、在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．11、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．12、如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD 沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．13、如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．14、（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE＝AF （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线的时候，直接写出线段AF的长．参考答案1、解答下列各题（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且A D CED∠=∠+∠，求证：//AB CD；（2）如图2，在正方形ABCD中，8DF=．BE=，4AB=，6①试判断AEF∆的形状，并说明理由；②求AEF∆的面积．【解答】解：（1）延长AC至F，如图1，∠=∠+∠，∠=∠+∠，A D CEDFCD CED D∴∠=∠，FCD A∴；//AB CD（2）①如图2，延长AF交BC的延长线于点G，正方形ABCD中，8CF=，AB=，4∴==，DF CF4∠=∠=︒，AFD CFG∠=∠，D FCG90∴∆≅∆，()ADF GCF ASA∴=，AF FG8BE=，AB=，6∴，AE102810EG CE CG =+=+=，AE EG ∴=，EF AG ∴⊥，AEF ∴∆是直角三角形；②AEF ABE ADF CEF ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形11164868442222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯， 20=．2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，DC ＝5，BC ＝10，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN ∥AB 时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．【解答】解：（1）如图1，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点．则四边形ADGB 是平行四边形．∵MN ∥AB ，∴MN ∥DG ，∴BG ＝AD ＝3．∴GC＝10﹣3＝7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN＝t，CM＝10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴＝，即＝．解得，t＝；（2）分三种情况讨论：①当NC＝MC时，如图2，即t＝10﹣2t，解得：t＝；②当MN＝NC时，如图3，过N作NE⊥MC于E．由等腰三角形三线合一性质得EC＝MC＝（10﹣2t）＝5﹣t．在Rt△CEN中，cos C＝＝，又在Rt△DHC中，cos C＝＝，∴＝．解得：t＝；③当MC＝MN时，如图4，过M作MF⊥CN于F点，FC＝NC＝t．∵∠C＝∠C，∠MFC＝∠DHC＝90°，∴△MFC∽△DHC，∴＝，即＝，解得：t＝．综上所述，当t＝、t＝或t＝时，△MNC为等腰三角形．3、如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF＝EF；（2）如图2，若∠BAC＝30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG 是菱形．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E＝∠B＝90°，CE＝BC．∴∠D＝∠E，AD＝CE，∵∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴DF＝EF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝90°，∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠AEC＝∠B＝90°，CE＝BC，∵∠CAB＝30°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC，∵点G是AC的中点，∴CE＝AG＝EG＝AD，∴∠AEG＝∠EAG＝30°，∴∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠AEG，∴AD∥GE，∴四边形ADEG是菱形．4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．∵AF＝AG，∴∠AFG＝∠AGF，∵∠AGF＝∠OGL，∴∠OGL＝∠OLG，∴OG＝OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2OD，∴BF＝2OL，∴BF＝2OG．（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，∵∠DAK＝∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴＝，∵S1＝•OG•DK，S2＝•BF•AD，又∵BF＝2OG，＝，∴＝＝，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，∴＝＝．（4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k+2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka，∴k＝2a，∴AD＝2a，∴BE＝＝a，AB＝4a，∴tan∠BAE＝＝．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．∵AF＝AG，BF＝2OG，∴AF＝AG＝k，BF＝2a，∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴＝，即＝，∴＝，∴BE＝，由题意：10××2a×＝AD•（k﹣2a），∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka，∴k＝a，∴AD＝a，∴BE＝＝a，AB＝a，∴tan∠BAE＝＝，综上所述，tan∠BAE的值为或．5、如图1，在ABCD中，以BC为边作等边BCP=．∆，交AD于点E，F，且AE DF （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，连接AP，AC，若1EF=，3BC=．①求证：AP PC⊥；②求AC的长．【解答】证明：（1）BCP ∆是等边三角形，60PBC PCB P ∴∠=∠=︒=∠，PB PC =，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，//AD BC ，180A D ∠+∠=︒，60PEF PBC ∴∠=∠=︒，60PFE PBC ∠=∠=︒，PEF ∴∆是等边三角形，PE PF ∴=，PB PE PC PF ∴-=-，BE CF ∴=，又AB CD =，AE DF =，()ABE DCF SSS ∴∆≅∆，A D ∴∠=∠，180A D ∠+∠=︒，90A D ∴∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）①PEF ∆是等边三角形，1PE PF EF ∴===，PBC ∆是等边三角形，3PB BC PC ∴===，2BE CF ∴==，3AD BC ==，1EF =，AE DF =，1AE DF ∴==，2AF CF ∴==，1PF DF ==，又AFP CFD ∠=∠，()AFP CFD SAS ∴∆≅∆，90APC D ∴∠=∠=︒，AP PC ∴⊥；②AFP CFD ∆≅∆，AP CD ∴=，AB AP ∴=，又BC CP =，AC AC =，()APC ABC SSS ∴∆≅∆，30ACB ACP ∴∠=∠=︒，2AC AB ∴=，3BC =，AB ∴AC =6、已知：正方形ABCD ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D 处，使三角板绕点D 旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE 与AF 的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE ＝1，AE ＝，CE ＝3，求∠AED 的度数；（3）若BC ＝4，点M 是边AB 的中点，连结DM ，DM 与AC 交于点O ，当三角板的一边DF 与边DM 重合时（如图2），若OF ＝，求CN 的长．【分析】（1）由正方形与等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；（2）设DE＝k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；（3）由AB∥CD，得出＝＝＝，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到＝，求出DN即可【解答】解：（1）CE＝AF；证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD＝DE，CD＝CA，∠ADC＝∠EDF ＝90°∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF，（2）∵DE＝1，AE＝，CE＝3，∴EF＝，∴AE2+EF2＝AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠AEF＝90°∴∠AED＝∠AEF+DEF＝90°+45°＝135°；（3）∵M是AB中点，∴MA＝AB＝AD，∵AB∥CD，∴＝＝＝，在Rt△DAM中，DM＝＝＝2，∴DO＝，∵OF＝，∴DF＝，∵∠DFN＝∠DCO＝45°，∠FDN＝∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴＝，∴＝，∴DN＝，∴CN＝CD﹣DN＝4﹣＝7、如图1，在ABCD中，60CE=，连AB AD=，E为CD边上一点，8ABC∠=︒，:7:8接AE，BE，且AE AB=．（1）求证：EB 平分AEC ∠；（2）当:2:5CE ED =时，在AD 上找一点P ，使PB PE +的和最小，并求出最小值；（3）如图2，过点E 作EF BE ⊥交AD 于点F ，求DF DE的值．【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，ABE BEC ∴∠=∠，AB AE =，ABE AEB ∴∠=∠，BEC AEB ∴∠=∠，BE ∴平分AEC ∠．（2）解：如图1中，作的E 关于AD 的对称点M ，直线EM 交AD 于H ，交BC 的延长线于T ，连接BM ，PM ．四边形ABCD 是平行四边形，:7:8AB AD =，∴可以假设7AB CD k ==，8AD BC k ==，60ABC D ∠=∠=︒8EC =，90T EHD ∠=∠=︒，60D ECT ∠=∠=︒，cos604CT EC ∴=︒=，sin 60ET EC =︒=，78DE k ∴=-，1(78)2DH k =-，8)EH k =-，198(78)422AH k k k =--=+， 在Rt AHE ∆中，222AE AH EH =+，222949(4)8)]2k k k ∴=++-， 解得2k =或4，:2:5CE DE =，2k ∴=时，不符合题意舍弃，4k ∴=，32BC AD ∴==，EH EM ==，32436BT ∴=+=，TM ==BM ∴=，PE PM =，PB PE PB PM BM ∴+=+， 1221PB PE ∴+，PB PE ∴+的最小值为．（3）解：如图2中，过点E 作EH AD ⊥于H 交BC 的延长线于T ．由（2）可知，当4k =时，20DE =，10DH =，EH =4ET ==，36BT =． 90T EHF BEF ∠=∠=∠=︒，90BET FEH ∴∠+∠=︒，90FEH EFH ∠+∠=︒，BET EFH ∴∠=∠，BTE EHF ∴∆∆∽， ∴BT ET EH FH=，∴=， 103FH ∴=， 403DF FH DH ∴=+=， ∴4023203DF DE ==．当2k =时，6DE =，3DH -，EH =4CT =，ET =20BT ∴=，BTE EHF ∆∆∽， ∴BT ET EH FH=，∴=， 95FH ∴=，924355DF =+=， ∴244565DF DE ==， 综上所述，DF DE 的值为23或45．8、问题探究（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE+DF＝EF；（2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，延长CD至G，使得DG＝BE，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠AFG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，故答案为：BE+DF＝EF；（2）存在．在等边三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∴在△DCE中，DE＜DC+CE＝4+2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；（3）存在．如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF＝BC＝×4＝2，∴AC＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．9、如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴AB＝BC，BE＝BG，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBG﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBG，在△BAE和△BCG中，，∴△BAE≌△BCG（SAS）；（2）解：∵△BAE≌△BCG，∴AE＝CG，∵四边形ABCD正方形，∴AB＝AD＝CD＝8，∠D＝90°，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣5＝6，∴AE＝＝＝10，∴CG＝10；（3）解：①当CG＝FG时，如图1所示：∵△BAE≌△BCG，∴AE＝CG，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BE，∴AE＝BE，在Rt△ADE和Rt△BCE中，，∴Rt△ADE≌Rt△BCE（HL），∴DE＝CE＝DC＝；②当CF＝FG时，如图2所示：点E与点C重合，即正方形ABCD和正方形BEFG的一条边重合；③当CF＝CG时，如图3所示：点E与点D重合，DE＝5；∵点E与点D不重合，∴不存在这种情况；④CF＝CG，当点E在DC延长线上时DE＝CD+CE＝16；综上所述，当△CFG为等腰三角形时．10、在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△F AB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3，∴DF＝＝＝，∴AF＝＝2，∴BC＝AD＝AF+DF＝2＝3．（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AN+FD，∴NF＝AD＝BC，∵BC＝BF，∴NF＝BF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BF A，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解得y＝x．∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．∴＝．11、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x＜16且x≠10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．12、如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD 沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．【解答】解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°∴∠PMN＝∠PNM＝45°，延长AD分别交PM，PN于点G、H．过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm．∵MN＝8cm，∴MT＝6cm．因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况：（1）当C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2），如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x．∴y＝MC•EC＝x2（0≤x≤2）．（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6），如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．∵MC＝x，MF＝2，∴FC＝DG＝x﹣2，且DC＝2，∴y＝（MC+GD）•DC＝2x﹣2（2＜x≤6）．（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8），如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8﹣x，且DC＝2，∴y＝（MN+GH）•DC﹣CN×CQ＝﹣（8﹣x）2+12（6＜x≤8）．13、如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是DG＝BE；②直线DG与直线BE之间的位置关系是DG⊥BE；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．【解答】解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．14、（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE＝AF （2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线的时候，直接写出线段AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，根据勾股定理得，BC＝AB＝2，点D为BC的中点，∴AD＝BC＝，∵四边形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD＝，∵BE＝AB＝2，∴BE＝AF，故答案为BE＝AF；（2）无变化；如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，∴，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴，∴BE＝AF，∴线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝+，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．。

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，∵E是DC的中点，即DE＝CE，∴△DEG≌△CEB（AAS），∴DG＝BC．（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC，∵AB＝AD+BC，AF＝AD，∴BF＝BC＝DG，∴AB＝AG，∵∠BAG＝90°，∴∠AFD＝∠ABG＝45°，∴FD∥BG．（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，∵FD∥BG，∴AE⊥FD，∵△AFD为等腰直角三角形，∴FH＝HD．2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB，∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，∴DN＝EN，ON＝BE，设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，则有x2＝42+（8﹣x）2，解得x＝5，∴ON＝．3．（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH 上，且∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM 于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．（1）证明：如图1中，延长BH到M，使得HM＝FA，连接EM．∵∠F+∠EHG＝180°，∠EHG+∠EHM＝180°，∴∠F＝∠EHM，∵AE＝HE，FA＝HM，∴△EFA≌△EHM（SAS），∴EA＝EM，∠FEA＝∠HEM，∵∠EAB＝∠FEH，∴∠FEA+∠BEH＝∠HEM+∠BEH＝∠BEM＝∠FEH，∴∠AEB＝∠BEM，∵BE＝BE，EA＝EM，∴△AEB≌△MEB（SAS），∴AB＝BM，∵BM＝BH+HM＝BH+AF，∴AB＝AF+BH．（2）解：①如图2中，结论：NH＝FN．理由：∵NE平分∠FEH，∴∠FEN＝∠HEN，∵EF＝EH，EN＝EN，∴△ENF≌△ENH（SAS），∴NH＝FN．②∵△ENF≌△ENH，∴∠ENF＝∠ENH，∵∠ENM＝α，∴∠ENF＝∠ENH＝180°﹣α，∴∠MNH＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，∵∠FGH＝180°﹣2α，∴∠MNH＝∠FGH，∵∠MNH+∠FNH＝180°，∴∠FGH+∠FNH＝180°，∴F，G，H，N四点共圆，∵NH＝NF，∴＝，∴∠NGH＝∠NGF＝∠FGH＝90°﹣α．4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，∴△ANM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AM＝．（2）①如图2中，∵NA′∥AC，∴∠AMN＝∠NMA′，由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，∴∠MNA′＝∠A′MN，∴A′N＝A′M，∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，∴四边形AMA′N是平行四边形，∵MA＝MA′，∴四边形AMA′N是菱形．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，∵MA′∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CA′＝＝＝，∴AA′＝＝＝，∵四边形AMA′N是菱形，∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．∵NH∥AC，∴＝＝∴＝＝∴NH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，∴AM＝AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，∵CM∥NH，∴＝，∴＝，∴PC＝1．5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）如图1中，作AH⊥CD交CD的延长线于H．在Rt△ADH中，∵∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60°＝，DH＝AD•cos60°＝，∵DE＝EC＝，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE＝＝＝，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴＝，∴＝，∴EF＝．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的郯城县于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于M，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴＝，∵AD是定值，∴PA定值最大时，定值最大，观察图象可知，当点F与点M重合时，PA定值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AH＝，CH＝，∠H＝90°，∴AC＝＝＝，∴OM＝AC＝，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝＝，∴MK＝NQ＝﹣，在Rt△NDQ中，DN＝＝＝﹣，∴AN＝AD+DN＝+，∴的最大值＝＝+．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP，点E是线段AP上一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE．（1）求证：AD2＝AE•AP；（2）求证BE⊥AP；（3）直接写出的最小值．（1）证明：∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD，∴△ADE∽△APD，∴＝，∴AD2＝AE•AP（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°，∴AB2＝AE•AP，∴＝，∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB，∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP．（3）∵△ADE∽△APD，∴＝，∴＝，∵AD＝2，∴DE最小时，的值最小，如图，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，易知OE＝1，OD＝，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值为﹣1，∴的最小值＝．7．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC 的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．8．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，FMNG图 3EDCAB∴△GAB≌△CAE（SSS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，∴．9．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是 6 米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P 的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．10．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为90°；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为180°﹣2m°．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．11．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．12．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D 落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为18 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG 的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的长为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝7 时，两点停止运动；（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）①求S与t之间的函数关系式；②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∴BC+AD＝14cm，∴t＝14÷2＝7，故答案为7．（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24．当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24．②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为9．当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+24，∵﹣4＜0，∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，当6＜t≤7时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+24＝（t﹣5）2﹣1，t＝7时，△PBQ的面积最大，最大值为3，综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为9．14．综合实践：问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点．将△DCE以点D为旋转中心，顺时针方向旋转，当点E的对应点E'落在边AB上时，连接CE'．“兴趣小组”发现的结论是：①AE'＝C'E'；“卓越小组”发现的结论是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图2，连接CC'，若正方形ABCD的边长为2，求出CC'的长度．（2）请你帮助智慧小组写出线段CC'的长度．（直接写出结论即可）（1）证明：①∵△DE'C'由△DEC旋转得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵点E为BC中点，C'E'＝AE'＝CE，∴点E'为AB的中点．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如图2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，设NE′＝x，则AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵MN＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．15．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM＝DN．（1）如图甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①写出∠MDA＝90 °，AB的长是18 ．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF⊥AC于F，先补全图乙再证明AM+AN＝2AF．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案为：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，设MD＝x，则AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四边形AMDN的周长＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2AF．。

2021年九年级中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形 综合练习(含答案)

2021年九年级中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形 综合练习(含答案)

2021年中考数学第三轮解答题冲刺专题复习：四边形综合练习1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．8、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．10、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分时，直接写出x 的值．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.图1图2图3图4参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：四边形综合练习题1、如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm，3、如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．4、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若AB=2，求△AFD的面积．【解答】解：（1）∵AB与AG关于AE对称，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，∴AF=EF=DF，∵AE与AF关于AG对称，∴AE=AF，则AE=AF=EF，∴△AEF是等边三角形；（2）记AG、EF交点为H，∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，∴∠EAG=30°，AG⊥EF，∵AB与AG关于AE对称，∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°，∵AB=2，∴BE=1、DF=AF=AE=，则EH=AE=、AH=，∴S=××=．△ADF5、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．6、如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH=ED；（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？【解答】解：（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，∴△FEH≌△ECD，∴FH=ED；（2）设AE=a，则ED=FH=4﹣a，=AE•FH=a（4﹣a），∴S△AEF=﹣（a﹣2）2+2，∴当AE=2时，△AEF的面积最大．7、如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF．（1）求证：四边形EFNM是矩形；（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．【解答】解：（1）证明：过点E、F分别作AD、BC的垂线，垂足分别是G、H．∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB∴EG=ME，EG=EM′∴EG=ME=ME′=MM′同理可证：FH=NF=N′F=NN′∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，∴MM′=NN′∴ME=NF=EG=FH又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD∴四边形EFNM是矩形．（2）∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB=180°，∵，∠2=∠DAB∴∠3+∠2=90°在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，∴AB==5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，∴∠2=∠5由（1）知GE=NF在Rt△GEA和Rt△CNF中∴△GEA≌△CNF∴AG=CN在Rt△DME和Rt△DGE中∵DE=DE，ME=EG∴△DME≌△DGE∴DG=DM∴DM+CN=DG+AG=AB=5∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4．∵四边形EFNM是矩形．∴EF=MN=48、如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC边上的一点，且BP=2CP．（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）【解答】解：（1）依题意作出图形如图①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵点E是CD的中点，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；（3）∵BP=2CP，BC=，∴CP=，BP=，在Rt△CEP中，tan∠CEP==，∴∠CEP=30°，∴∠BEP=30°，∴∠AEP=90°，∵CD∥AB，∴∠F=∠CEP=30°，在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将△BPF绕点B顺时针旋转120°和△EPA重合，①沿PF折叠，②沿AE折叠．9、已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO ∴BM=CO，∵AO∥BM，∴四边形OCBM是平行四边形，∵∠BMO=90°，∴▱OCBM是矩形，∵∠ABP=90°，C是AO的中点，∴OC=BC，∴矩形OCBM是正方形．（2）连接AP、OB，∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，∴△APB∽△OBM，∴（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，∴易证：四边形DBMO是矩形，∴MO=2PO=BD，∴，∵AO=2BM=2，∴BM=，∴OE=，DE=，易证△ADB∽△ABE，∴AB2=AD•AE，∵AD=DO=DM=，∴AE=AD+DE=∴AB=，由勾股定理可知：BE=，易证：△PEO∽△PBM，∴=，∴PB=当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，∵MO=2PO，∴点P是OM的中点，设PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，∴A、O、P、B四点共圆，∴四边形AOPB是圆内接四边形，∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，∴=，解得：x=，∴BD=2x=2由勾股定理可知：AB=3，BM=310、如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．∵CD=BC，∴CE=CH\1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2如图2，连接AE，∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上．∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．11、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）【解答】解：（1）BG=EG，理由是：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形CFED是菱形，∴EF=CD，EF∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴∠A=∠GFE，∵∠AGB=∠FGE，∴△BAG≌△EFG，∴BG=EG；（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，由（1）知：△BAG≌△EFG，∴FG=AG=a，∵CD∥BH，∴∠HAD=∠ADC=60°，∵∠ADE=60°，∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴AD=AH=2a+b，∴==；②如图3，连接EC交DF于O，∵四边形CFED是菱形，∴EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，过H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=AD，∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=，∴AH=，∴==cosα．12、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．13、如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s 的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是cm；（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为6cm；（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，若双曲线y=过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k的值．【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OA=BC=16，∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，∴t=，此时，点Q的运动距离是×2=cm，故答案为，；（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，∴四边形APEB是矩形，∴PE=AB=6，BE=6，∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，根据勾股定理得，PQ=6，故答案为6；（3）设运动时间为t秒时，由运动知，AP=3t，CQ=2t，同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10cm，∴62+（16﹣5t）2=100，∴t=或t=；（4）k的值是不会变化，理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，∴C（6，0），A（0，16），∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①，设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②，联立①②解得，x=，y=，∴D（，），∴k=×=是定值．14、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，又∵∠B=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴=cos45°=，即CE=BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD=AD，∴=；（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，∴AE=（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，∵∠BEC=45°，∠A=90°，∴∠AEH=45°=∠AHE，∴AH=AE=（﹣1）a，设AP=x，则BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，∴∠APH+∠BPC=90°，∴∠CPH=90°；②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．15、如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）（1）当PQ⊥AB时，x= s ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．【解答】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，∴2x=2（2﹣2x），∴x=s．故答案为s．（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．y=（2﹣x+2tx×x=x2+x③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．y=（2﹣x+2）×[x﹣2（x﹣1）]=x2﹣3x+4；综上所述，y=．（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．则有：tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得x=．②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．此时tan ∠DEA=tan ∠QPB ， ∴=，解得x=，综上所述，当x=s 或时，直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分．16、在菱形ABCD 中，∠ABC =60°,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =2√3 ,BE =2√19 ,求四边形ADPE 的面积.【解析】 （1）① BP=CE 理由如下： 连接AC∵菱形ABCD ，∠ABC=60°图1图2图3图4∴△ABC是等边三角形∴AB=AC ∠BAC=60°∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE② CE⊥AD∵菱形对角线平分对角∴∠ABD=30°∵△ABP≌△ACE∴∠ACF=∠ABD=30°∴∠DCF=30°∴∠DCF＋∠ADC=90°∴∠CFD=90°∴CF⊥AD 即CE⊥AD（2）(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立，理由如下：连接AC∵菱形ABCD，∠ABC=60°∴△ABC和△ACD都是等边三角形∴AB=AC ∠BAD=120°∠BAP=120°＋∠DAP ∵△APE是等边三角形∴AP=AE ∠PAE=60°∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP∴∠BAP=∠CAE∴△ABP≌△ACE ∴BP=CE ∠ACE=∠ABD=30°∴∠DCE=30°∵∠ADC=60°∴∠DCE＋∠ADC=90°∴∠CHD=90°∴CE⊥AD∴(1)中的结论：BP=CE , CE⊥AD 仍然成立.(3) 连接AC交BD于点O , CE, 作EH⊥AP于H∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD BD平分∠ABC∵∠ABC=60°，AB=2√3∴∠ABO=30°∴AO=√3 BO=DO=3∴BD=6由(2)知CE⊥AD∵AD∥BC ∴CE⊥BC∵BE=2√19BC=AB=2√3∴CE=√(2√19)2－(2√3)2=8由(2)知BP=CE=8 ∴DP=2 ∴OP=5∴AP=√52＋(√3)2=2√7∵△APE是等边三角形，∴ PH=√7EH=√21∵S四ADPE=S△ADP+S△APE∴S四ADPE =12DP·AO+12AP·EH=12×2×√3 +12×2√7×√21=√3+7√3=8√3∴四边形ADPE的面积是8√3 .。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形专项(三)

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形专项(三)

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形选择专项（三）1．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是BA延长线上的一点，点M、N分别为边AB、BC上的点，且AM＝BN＝1，连接CM、ND，过点M作MF∥ND与∠EAD的平分线交于点F，连接CF分别与AD、ND交于点G、H，连接MH，则下列结论正确的有（）个①MC⊥ND；②sin∠MFC＝；③（BM+DG）2＝AM2+AG2；④S△HMF＝；A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为20，BD＝8，则tan∠HOD的值等于（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点D是边BC的中点，现将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，点D的坐标为（）A．（，）B．（﹣，﹣）C．（，﹣）D．（﹣，）5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF，AF与BE 交于点G，取BF中点H，连接GH，则下列结论：①AF＝BE；②BF＝2GH；③△ABG 与四边形EGFD面积相等，正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．87．下列说法正确的有（）①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；②邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是矩形；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤有一个内角是60°的平行四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°9．如图，在正方形ABCD中，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则的值是（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．411．如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（）A．8 B．10 C．12 D．1612．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等13．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于（）A．B．C．D．14．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（）A．21 B．22 C．23 D．2415．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 16．如图，某校区内有甲、乙两块大小一样的长方形地块，地块长30m，宽25m，现要在长方形地块内分别修筑如图所示的两条平行四边形小路（图中阴影部分），余下的部分绿化．现已知AB＝CD＝1m，EF＝GH＝1m，记甲、乙地块的绿化面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（）A．S1＜S2B．S1＝S2C．S1＞S2D．无法确定17．如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，1）、（1，2），则平行四边形ABCD的周长为（）A．B．6 C．8 D．1018．▱ABCD中，AC、BD交于点O，再添加一个条件，不一能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．AC平分∠BAD 19．平行四边形ABCD中，E点在BC上，P、Q两点在AD上，其位置如图所示．若PB 与AE相交于R点，QB与AE相交于S点，则下列三角形面积的大小关系，何者正确？（）A．△PBE＞△QBE，△PRE＞△QSE B．△PBE＜△QBE，△PRE＜△QSE C．△PBE＝△QBE，△PRE＞△QSE D．△PBE＝△QBE，△PRE＜△QSE 20．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．参考答案1．解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，∵AB＝BC，∴EH＝AB，∵EG⊥AF，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC；故②正确；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC ＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，∴AO＝PO＝AE，∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC≥OC﹣OP，∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣AE，∵在Rt△OPC中，OC＝＝，在Rt△ADE中，AE＝＝，∴PC的最小值为﹣，故④错误，故选：B．2．解：设DN交CM于O，在BC上截取BK，使得BK＝BM，连接MK，作MT⊥CF于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC，∠CBM＝∠CBM＝∠DCN＝90°，∵AM＝BN＝1，∴BM＝CN＝3，∴△CBM≌△DCN（SAS），∴∠MCB＝∠CDN，∵∠MCB+∠DCM＝90°，∴∠DCM+∠CDN＝90°，∴∠COD＝90°，∴CM⊥DN，故①正确，∵MF∥DN，∴MF⊥CM，∴∠FMC＝90°，∴∠AMF+∠CMB＝90°，∵∠CMB+∠MCB＝90°，∴∠AMF＝∠MCK，∵BM＝BK，∠MBK＝90°，∴∠BKM＝45°，∵AF平分∠EAD，∴∠EAF＝∠EAD＝45°，∴∠MAF＝∠CKM＝135°，∵AM＝CK，∴△AMF≌△KCM（ASA），∴MF＝MC＝＝5，∵∠FMC＝90°，∴∠MFC＝45°，∴sin∠MFC＝，故②正确，∵OH∥MF，∴∠OHC＝∠MFC＝45°，∴OH＝OC＝＝，∴CH＝OC＝，∵CF＝CM＝5，∴FH＝FC﹣CH＝，∵MT⊥CF，MF＝MC，∴TF＝TC，∴MT＝FC＝，∴S△FMH＝•FH•MT＝××＝，故④正确，∵△NCO∽△NDC，∴CN2＝NO•ND，∴ON＝，∴DH＝DN﹣ON﹣OH＝5﹣﹣＝，∵DG∥CN，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴AG＝4﹣＝，∴（BM+DG）2＝（3+）2＝AM2+AG2＝1+（）2＝，∴（BM+DG）2＝AM2+AG2，故③正确，故选：D．3．解：∵四边形ABCD是菱形，周长为20，∴AD＝5，OA＝OC，OB＝OD＝4，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴OA＝＝3，∵H为AD边中点，∴OH＝DH＝AH，∴∠HOD＝∠HDO，∴tan∠HOD＝tan∠HDO＝＝；故选：C．4．解：如图，连接OD，过点C作CH⊥OB于H，∵四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），∴OB＝6，OC＝BC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝6，∵点D是BC中点，∴OD⊥BC，BD＝3，∴OD＝BD＝3，∵CH⊥OB，∠COB＝60°，∴OH＝BH＝3，CH＝OH＝3，∴点C（3，﹣3），∵点D是BC中点，∴点D（，﹣），∵将菱形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，∴第1秒后，点D 1坐标为（0，﹣3），第2秒后，点D2坐标为（﹣，﹣），第3秒后，点D 3坐标为（﹣，），第4秒后，点D4坐标为（0，3），第5秒后，点D5坐标为（，），第6秒后，点D6坐标为（，﹣），…由上可知，点D的坐标每6个为一组依次循环着，∴2021÷6＝371…5，∴第2021秒时，点D的坐标为（，），故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，故①正确；∵△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H是BF的中点，∴BF＝2GH，故②正确；∵△BAE≌△ADF，∴S△ABG+S△AGE＝S△AGE+S四边形EGFD，∴△ABG与四边形EGFD面积相等，故③正确；故选：D．6．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，∴S△ABE＝×AB×a，S△CDE＝CD×b，∵a+b＝BF，AB＝CD，∴S△ABE+S△CDE＝（AB×a+CD×b）＝AB•BF，∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，∴S△ABE+S△CDE＝S平行四边形ABCD，∵S△ABE+S△CBE+S阴影＝S平行四边形ABCD，∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．故选：D．7．解；①对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，说法错误；②邻边相等的平行四边形是正方形，说法错误；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，说法正确；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，说法正确；⑤有一个内角是60°的平行四边形是菱形，说法错误．故选：B．8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝110°，∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°＝125°，故选：A．9．解：设AB＝2a，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝2a，∵E点为AD的中点，∴AE＝a，∴BE＝＝a，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，∵四边形AFGH为正方形，∴AH＝AF＝（﹣1）a，∴＝＝．故选：A．10．解∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故选：A．11．解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝BD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，∵FE⊥BD，∴FE∥AC，∵F为AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OA＝2EF＝8，∴OD＝＝＝6，∴BD＝2OD＝12，故选：C．12．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项错误，不符合题意；B．因为菱形的对角线互相垂直，所以B选项错误，不符合题意；C．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C选项正确，符合题意；D．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．13．解：如图，∵∠ADC＝∠HDF＝90°∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°∴△CDM≌△HDN（ASA）∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形∴四边形DNKM是菱形∴KM＝DM∵sinα＝sin∠DMC＝∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝∴CM＝∴tanα＝tan∠DMC＝＝故选：D．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵BG⊥AE，∴∠BGE＝90°，AG＝EG，∴EG＝＝＝2，∴AE＝2EG＝4，∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22，故选：B．15．解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故选：D．16．解：根据题意可知：中间部分甲图比乙图大，空白部分是大长方形﹣横向阴影﹣纵向阴影+中间重叠部分，所以S甲大于S乙．即图1中间长部分的平行四边形的面积＞图2中间重合部分的平行四边形的面积，∴S1＞S2．故选：C．17．解：∵点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∴AB＝＝，过C作CE⊥y轴于E，如图所示：∵点C的坐标为（1，2），∴CE＝1，OE＝2，∴BE＝1，∴BC＝＝，∴AB+BC＝+，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2+2故选：A．18．解：A、∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C符合题意；D、∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．19．解：①△PBE、△QBE如图所示：两个三角形有相同的底BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵平行线之间的距离处处相等，∴△PBE、△QBE有相等的高，∴△PBE的面积＝△QBE的面积；②∵△PBE的面积＝△QBE的面积，∴△PRE的面积+△BRE的面积＝△QSE的面积+△BSE的面积，由图可知：△BRE的面积＞△BSE的面积，∴△PRE的面积＜△QSE的面积．故选：D．20．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵两个正方形，∴AB∥EF，∴△ABC∽△FEC，∴，即，解得x＝，∴阴影部分面积为：S△ABC＝×1＝，故选：D．。

2021年九年级中考数学 三轮复习专题：正方形及四边形综合问题(含答案)

2021年九年级中考数学 三轮复习专题：正方形及四边形综合问题(含答案)

2021中考数学三轮复习专题：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 下列条件不能判断▱ABCD是正方形的是()A.∠ABC=90°且AB=ADB.AB=BC且AC⊥BDC.AC⊥BD且AC=BDD.AC=BD且AB=BC2. 下列说法错误的是()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形3. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE 绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.24. 如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，∠EAF=60°，则CF的长是()A.B.C.-1 D.5. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A 顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( )A. B. C.4 D.6. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()A. 2B. 3C. 2D. 17. （2020·温州）如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14 B．15 C．83D．658. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二、填空题9. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=.(结果保留根号)10. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.11. 以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是.12. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为.13. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．14. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．15. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．16. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G 重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．18. 如图，AB是☉O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交☉O于点C，过点C 作☉O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF.(2)连接AF并延长，交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形.19. （2020·河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为.连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当=60°时，△DEB′的形状为，连接BD，可求出BBCE′的值为；(2)当0°＜＜360°且≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点B′、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB E′的值.20. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．21. 在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM；(2)如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：△GEF是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB＝23，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.2021中考数学三轮复习专题：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1. 【答案】B[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD 可得是正方形，故此选项错误;B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.2. 【答案】B3. 【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE ≌△ABF ，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D .4. 【答案】C[解析]连接EF .∵AE=AF ，∠EAF=60°，∴△AEF 为等边三角形，∴AE=EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL)，∴BE=DF ，∴EC=CF .设CF=x ，则EC=x ，AE=EF==x ，BE=1-x.在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，∴1+(1-x )2=(x )2，解得x=-1(舍负).故选C .5. 【答案】B【解析】由旋转的性质得△ABF ≌△ADE ，∴BF=DE ，AF=AE ，又∵AH ⊥EF ，∴FH=EH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C=90°，∠EFC=∠EFC ，∴△FHG ∽△FCE ，∴FG FHFE FC=， ∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x ，则BF=DE=5-x ，FG=BG+BF=3+5-x =8-x ，CF=BC+BF=5+5-x =10-x ，EF=22EC CF +=，22(10)x x +-2222(10)210(10)x x xx x +-=-+-，解得：x =154.故选B.6. 【答案】B【解析】∵AB ＝2，∴BF ＝2，又∵BM ＝12BC ＝1，由勾股定理得FM ＝FB 2－BM 2＝ 3.7. 【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP ∽△CBQ ，所以CD DP CB BQ =，即2CD CD PECB CB PE-=-，解得：BC ＝2CD ，所以CQ ＝2CP ，则CP ＝5，CQ ＝10，由于PQ ∥AB ，所以∠CBA ＝∠BCQ ＝∠DCP ，则tan ∠BCQ ＝tan ∠DCP ＝tan ∠CBA ＝12，不妨设DP ＝x ，则DC ＝2x ，在R t △DCP 中，22(2)25x x +=，解得x 5∴DC ＝5，BC ＝5AB ＝10，△ABC 的斜边上的高＝25454AC BC AB ⋅⨯==,所以CR ＝14，所以因此本题选A ．8. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ 于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B 2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题9. 【答案】-1 [解析]∵四边形ABCD 为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到正方形FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上， ∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH 为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF -CD=-1.故答案为-1.10. 【答案】8[解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，则在△ACE和△F AB中，∵∴△ACE≌△F AB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.11. 【答案】30°或150°[解析]如图①，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠DEA=∠1=60°.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠2=90°.∴∠CDE=150°，DE=DC，∴∠3=(180°-150°)=15°.同理可求得∠4=15°.∴∠BEC=30°.如图②，∵△ADE是等边三角形，∴DE=DA，∠1=∠2=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠CDA=90°.∴DE=DC，∠3=30°，∴∠4=(180°-30°)=75°.同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°.故答案为30°或150°.12. 【答案】5[解析]∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，∴∠F AE=45°，又∵EF ⊥AC ， ∴∠AFE=90°，∴∠AEF=45°， ∴EF=AF=3，∵△EFC 的周长为12， ∴FC=12-3-EC=9-EC ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+FC 2， ∴EC 2=9+(9-EC )2， 解得EC=5.13. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图14. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.15. 【答案】55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO中，⎩⎨⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM 1＝15，∴FM ＝55.16. 【答案】4[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，∴EG===4，∴EH==4.三、解答题17. 【答案】【思维教练】求三条线段之间的关系，一般是线段的和差关系或线段平方的和差关系．由ABCD是正方形，BD是角平分线，可想到连接CG，易得CG＝AG，再由四边形CEGF是矩形可得AG2＝GE2＋GF2；(2)给出∠AGF＝105°，可得出∠AGB＝60°，再由∠ABG＝45°，可想到过点A作BG的垂线，交BG于点M，分别在两个直角三角形中得出BM和MG的长，相加即可得出BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；(1分)理由：连结CG，∵ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，(2分)∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠GFC＝90°，∴四边形CEGF是矩形，(3分)∴CF＝GE，在直角△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(4分)(2)过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，(6分)∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝66，(8分)∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.(10分)18. 【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO，∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即点E为线段DF的中点.①四边形ECFG为菱形时，CF=CE.∵CE=EF，∴CE=CF=EF.∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°. 故填30°.②四边形ECOG 为正方形时，△ECO 为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D +∠DCE ， ∴∠D=∠DCE=22.5°. 故填22.5°.19. 【答案】解： (1)(2)①两个结论仍成立.证明:连接BD.∵AB=AB′，∠BAB′=，∴∠AB′B=90°-2a，∵∠B′AD=a -90°，AD=AB′，∴∠AB′D=135-2a，∴∠EB′D=∠AB′D -∠AB′B=45°.∵DE ⊥BB′，∴∠EDB′=∠EB′D=45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴DB DE′∵四边形ABCD 为正方形，∴BD CD BDC=45°.∴DB DE ′=BDCD， ∵∠EDB ′=∠BDC ，∴∠EDB′+∠EDB=∠BDC+∠EDB ，即∠BDB′=∠CDE.∴△B′DB ∽△EDC ，∴2BB BD CE CD′； ②3或1.思路提示：分两种情况.情形一，如图，当点B′在BE 上时，由BB CE′BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m ，于是得到BE B E ′2=3m mm.情形二，如图，当点B′在BE 延长线上时，由BB CE′BB′=2m ，.∵CE ∥B′D ，CE=B′D ，∴，在等腰直角三角形DEB′中，斜边，∴B′E=DE=m 。

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形专项(一)

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形专项(一)

2021年九年级中考数学三轮综合复习专题：四边形专项（一）1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，H是AF的中点，CH＝3，那么CE的长是（）A．3 B．4 C．D．2．如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC＝2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP，交CB的延长线于Q．下列结论中：①∠PAO+∠PDO+∠APD＝90°；②AE＝EQ；③sin∠PAC＝；④S正方形ABCD ＝10S四边形OEPF，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，连接OE，若AB＝3，AC＝4，则tan ∠AOE的值为（）A．B．C．D．4．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），C（2，0）且∠AOC＝60°，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第2020秒时，菱形的对角线交点D的坐标为）A．（3，﹣）B．（﹣1，﹣）C．（）D．（）5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD 一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH ∥AB，且AH＝2HD，若S＝1，则S▱ABCD＝（）△HDPA．9 B．C．12 D．187．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q 随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝AD，则∠ACE 的度数为（）A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°10．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S＝24，则OH的长为（）菱形ABCDA．B．3 C．D．12．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和213．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．14．如图所示，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠C＝120°．若线段BC与CD的和为12，则四边形ABCD的面积可能是（）A．24B．30C．45 D．15．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．5 B．4 C．2D．316．某小区打算在一块长80m，宽7.5m的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计）．已知规划的倾斜式停车位每个车位长6m，宽2.5m，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于4.5m，那么最多可以设置停车位（）A．16 个B．15 个C．14 个D．13 个17．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC＝4，∠AOC＝60°且以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P．则点P 的坐标为（）A．（4，2）B．（6，2）C．（2，4）D．（2，6）18．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE，添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE C．DF＝EF D．∠BDC＝∠BAD 19．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，AC，BE交于点O，四边形OCDE是平行四边形，若△ABE的面积是5，四边形OCDE的面积是6，则△AOE的面积是（）A．2 B．2.5 C．3 D．420．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E，F是对角线AC的三等分点，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（）A．0 B．4 C．8 D．16参考答案1．解：连接AC，CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴AB＝BC＝1，CE＝EF，∠ACD＝∠GCF＝45°．∴∠ACF＝45°×2＝90°．∵H是AF的中点，CH＝3，∴AF＝2CH＝6．在Rt△ABC中，AC＝BC＝．在Rt△ACF中，CF＝＝．在Rt△ECF中，∵CE2+EF2＝CF2，CE＝EF，∴CE＝CF＝＝．故选：D．2．解：①∵∠POB＝∠PDO+∠OPD，∠POC＝∠PAO+∠APO，∠POB+∠POC＝∠BOC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO＝90°，∴∠PAO+∠APO+∠PDO＝90°，∴①正确；②连接AQ，∵QE⊥AP，∴∠QEP＝∠AEQ＝∠ABQ＝90°，∴A、Q、B、E四点共圆，∴∠AQE＝∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠QAE＝45°，∴AE＝EQ，∴②正确；③过P作AC的垂线于点G，设BP＝a，PC＝2a，∴BC＝3a，∴AP＝＝a，∴AC＝3a，∴AO＝BO＝a，∵BD⊥AC，PE⊥AC，∴BD∥PG，∴＝＝＝，∴PG＝×a＝a，∴sin∠PAC＝＝，∴③错误；④∵AD∥BC，∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，∴BE：DE＝1：3，CF：AF＝2：3，∴BE：ED＝1：1，OF：CF＝1：4，设设S △BEP ＝s ，则S △OEP ＝s ，S △BPO ＝2s ，S △POC ＝4s ，∴S △OPE ＝s ，∴S △BCO ＝2s +4s ＝6s ，∴S 四边OPEQ ＝s +s ＝s ，S 正方形ABCD ＝4s ×6＝24s ，∴④错误，综上①②正确，故选：B ．3．解：连接OD ，如图所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ＝CD ＝AB ＝3，∵O 是AC 的中点∴OD ⊥AC ，OA ＝OC ＝AC ＝2， 由勾股定理得，OD ＝＝＝，∵O 、E 分别是AC 、AD 的中点，∴OE 是△ACD 的中位线，∴OE ∥CD ，∴∠AOE ＝∠ACD ，∴tan ∠AOE ＝tan ∠ACD ＝＝， 故选：B ．4．解：连接AC 、OB 交于点D ，过A 作AE ⊥OC 于E ，如图所示： ∵C （2，0），∴OC ＝2，∵四边形OABC 是菱形，∴OA＝OC，AD＝CD，∵∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝OC＝2，∵AE⊥OC，∴OE＝OC＝1，∴AE＝＝＝，∴A（1，），∴D（，），∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，45°×8＝360°，∴转8秒回到原位置，∵2020÷8＝252.5（周），即菱形OABC旋转了252周半，此时位于第三象限，∴此时菱形的对角线交点的坐标为（﹣，﹣），故选：D．5．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．6．解：由题意可得，四边形HPFD是平行四边形，四边形AEPH、四边形PGCF均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形EBGP是平行四边形，∵S＝1，△HDP∴S▱HPDF＝2，∵AH＝2HD，∴S▱AEPH＝S▱PGFC＝4，∴S▱EBGP＝8，∴S▱ABCD＝2+4+4+8＝18，故选：D．7．解：连接AC，BD，∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵EF＝AC，EH＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH是菱形；（②错误）∵四边形EFGH是菱形，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD不一定是矩形；（③错误）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形．（④正确）∴正确的是①④．故选：B．8．解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意．D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意．故选：D．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∠DBC＝45°，∵BE＝AD，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：A．10．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，AB＝2，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是CD的中点，FC＝2BF，∴CE＝DE＝1，BF＝1，CF＝2，∴AB＝CF＝2，CE＝BF＝1，在△ABF和△FCE中，，∴△ABF≌△FCE（SAS），∴AF＝EF，∠BAF＝∠CFE，∵∠B＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CFE+∠AFB＝90°，∴∠AFE＝180°﹣（∠CFE+∠AFB）＝180°﹣9°＝90°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°，故选：B．11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，∵OA＝4，∴AC＝2OA＝8，＝24，∵S菱形ABCD∴8×BD＝24，解得：BD＝6，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∵DO＝BO，∴OH＝BD＝6＝3，故选：B．12．解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．13．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．14．解：过C作CH⊥AB于H，∵AB⊥AD，CD⊥AD，∴∠A＝∠ADC＝∠AHC＝90°，CD∥AB，∴四边形ADCH是矩形，四边形ABCD是直角梯形，∴∠DCH＝90°，CD＝AH，∵∠BCD＝120°，∴∠BCH＝30°，设BC＝x，则CD＝12﹣x，∴AH＝12﹣x，BH＝x，CH＝x，∴四边形ABCD的面积＝（CD+AB）•CH＝（12﹣x+12﹣x+x）×x，∴四边形ABCD的面积＝﹣（x﹣8）2+24，∴当x＝8时，四边形ABCD的面积有最大值24，即四边形ABCD的面积可能是24，故选：A．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，∵AE⊥BC，∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，∴＝＝，设BC＝x，则OB＝2x，在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，解得：x＝，∴BC＝，∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；故选：A．16．解：如图，根据题意可知：AB＝7.5，BC≥4.5，∴AC≤3，当AC＝3时，∵AD＝GF＝6，∴∠ADC＝30°，CD＝3，∴∠EFD＝∠ADC＝30°，∵DE＝2.5，∴DF＝5，设最多可以设置停车位x个，根据题意可得，∵S＝DF•AC＝5×3＝15，平行四边形ADFGS＝CD•AC＝，△ADC∴15x+2×≤80×3，解得x≤14.96，所以最多可以设置停车位14个．故选：C．17．解：延长BC交y轴于E，如图所示：则BE⊥y轴，∴∠OEC＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠COE＝30°，∴CE＝OC＝2，OE＝CE＝2，由题意得：OP平分∠AOC，∴∠AOP＝∠COP，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠COP＝∠CPO，∴PC＝OC＝4，∴PE＝PC+CE＝6，∴点P的坐标为（6，2）；故选：B．18．解：添加一个条件∠BDC＝∠BAD，使四边形AEBD是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠C，∴AD∥BE，∴∠ADF＝∠BEF，∵点F是AB的中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BEF中，，∴△ADF≌△BEF（AAS），∴AD＝BE，又∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∵∠BDC＝∠BAD，∠BAD＝∠C，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∵AD＝BC，AD＝BE，∴BD＝BE，∴四边形AEBD是菱形；故选：D．19．解：连接EC，如图：∵AE∥BC，∴△ABE和△ACE同底等高，∴S△ACE ＝S△ABE＝5．∵四边形OCDE是平行四边形，∴OE＝DC，OC＝DE．在△OCE和△DEC中，，∴△OCE≌△DEC（SSS）．∴S△OCE ＝S△DEC＝S四边形OCDE＝×6＝3，∴S△AOE ＝S△ACE﹣S△OCE＝5﹣3＝2．故选：A．20．解：作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且边长为，∴AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B．。

2021学年初中数学三年全国经典中考题15四边形解答题(含答案解析)

2021学年初中数学三年全国经典中考题15四边形解答题(含答案解析)

专题15四边形解答题学校:___________姓名：__________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．2．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．3．如图，在ABC中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE BF=，连接AE，CF．（1）求证：ADE≌CBF；（2）连接AF，CE，当BD平分ABC∠时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．4．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53︒，已知斜坡AB的坡度为1:2.4i=，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．（参考数据：sin534 5︒≈，cos533 5︒≈，tan534 3︒≈）5．如图，在平行四边形ABCD 中，∠D ＝60°，对角线AC ⊥BC ，⊙O 经过点A ，B ，与AC 交于点M ，连接AO 并延长与⊙O 交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，AB ＝EB ． （1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝，求AM 的长（结果保留π）．6．如图，过□ABCD 对角线AC 与BD 的交点E 作两条互相垂直的直线，分别交边AB 、BC ．CD 、DA 于点P 、M 、Q 、N ． （1）求证：PBE ≌QDE ；（2）顺次连接点P 、M 、Q 、N ，求证：四边形PMQN 是菱形．7．如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OA OC =，OB OD CD =+．图1 图2（1）过点A 作//AE DC 交BD 于点E ，求证：AE BE =； （2）如图2，将ABD △沿AB 翻折得到ABD '△． ①求证：//BD CD '；②若//AD BC '，求证：22CD OD BD =⋅．8．已知1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，以1O 为圆心，以12r r +的长为半径画弧，再以线段12O O 的中点P 为圆心，以1212O O 的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接1Q A ，2O A ，1O A 交1O 于点B ，过点B 作2O A 的平行线BC 交12O O 于点C ．（1）求证：BC 是2O 的切线；（2）若12r =，21r =，126O O =，求阴影部分的面积．9．如图，在ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ． （1）试证明DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AC ＝，求此时DE 的长．10．如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．（1）求证：AF EF =； （2）求MN NG +的最小值；（3）当点E 在AB 上运动时，CEF ∠的大小是否变化？为什么？ 11．若ABC 和AED 均为等腰三角形，且90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =．求证：①EB DC =，②EBG BFC ∠=∠．12．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB ∠与ECD ∠恰好为对顶角，90ABC CDE ∠=∠=︒，连接BD ，AB BD =，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2），小明经过探究，得到结论：BD DF ⊥．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD DF ⊥，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若6,9AB CE ==，求AD 的长． 13．问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，ABC 中，6AB =，4AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：__________________________________________； （2）AD 的取值范围是________________________； 方法运用：（3）如图2，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =． （4）如图3，在矩形ABCD 中，12AB BC =，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt BEF △，且12EF BE =，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：=EG CG ．14．已知：如图，在四边形ABCD 和Rt EBF △中，//AB CD ，CD AB >，点C 在EB 上，90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE cm ==，6BC BF cm ==，延长DC 交EF 于点M ，点P 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm s ；同时，点Q 从点M 出发，沿MF 方向匀速运动，速度为1cm s ，过点P 作GH AB ⊥于点H ，交CD 于点G ．设运动时间为()()05t s t <<．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN AF⊥于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为()2S cm，求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AFE∠的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15．如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．(1)求证:△AEH≌△AGH；(2)当AB=12，BE=4时：①求△DGH周长的最小值；②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出AHAF的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+83（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的34，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE ＝45°，求点P的坐标．17．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标； （3）连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．18．如图，二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ，垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1）求出二次函数24y ax bx =++和BC 所在直线的表达式；（2）在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标； （3）连接CP ，CD ，在动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P ，C ，F 为顶点的三角形与DCE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．参考答案1．见解析 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴∠B ＝∠DCE ， 在△ABC 和△DCE 中，∴△ABC ≌△DCE （SAS ）．由平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AB ＝CD ，由平行线的性质得出∠B ＝∠DCE ，由SAS 即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识； 【点评】熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．见解析 【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AB CF =，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC 是平行四边形，又根据等量代换可得BC AF =，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC 是矩形． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴//,,AB CD AB CD AD BC == ∴,BAE CFE ABE FCE ∠=∠∠=∠ ∵E 为BC 的中点 ∴EB EC =∴()ABE FCE AAS ≅ ∴AB CF = ∵//AB CF∴四边形ABFC 是平行四边形AF AD =BC AF ∴=∴平行四边形ABFC 是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟练运用各判定与性质是解题关键． 3．（1）见解析（2）菱形，见解析 【分析】（1）利用SAS 证明ADE ≌CBF 即可求解；（2）先证明四边形AFCE 是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,∠ADB=∠CBD ，又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°， ∴∠ADE=∠CBF 在△ADE 和△CBF 中AD BC ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF ； （2）四边形AFCE 是菱形 理由如下：如图，连接AF ，CE ， 由（1）得△ADE ≌△CBF ∴CF=AE, ∠E=∠F ∴AE ∥CF ∴AE CF∴四边形AFCE 是平行四边形当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD又∵AD∥CB，∴∠ADB=∠DBC∴∠ABD=∠ABD∴AD=AB=BC∴△ABC为等腰三角形由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF∴平行四边形AFCE是菱形【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理．4．大楼的高度CD为52米【分析】i 及勾股过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度1:2.4定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，AB=52，∵1:2.4 i=∴tan∠BAE=BEAE=12.4，∴AE=2.4BE，又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；在Rt△BCF中，tan∠CBF=CF BF，即：tan53°=CF BF=43∴CF=43BF=32，∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大楼的高度CD为52米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键．5．（1）见解析；（2）4 3π【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH ＝BC ＝∴OA ＝sin 60OH ︒＝4，∠AOM ＝2∠AOH ＝60°， ∴AM 的长度＝604180π⋅⨯＝43π． 【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由ASA 证△PBE ≌△QDE 即可；（2）由全等三角形的性质得出EP=EQ ，同理△BME ≌△DNE （ASA ），得出EM=EN ，证出四边形PMQN 是平行四边形，由对角线PQ ⊥MN ，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EB=ED ，AB ∥CD ，∴∠EBP=∠EDQ ，在△PBE 和△QDE 中，EBP EDQ EB EDBEP DEQ ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PBE ≌△QDE （ASA ）；（2）证明：如图所示：∵△PBE ≌△QDE ，∴EP=EQ ，同理：△BME ≌△DNE （ASA ），∴四边形PMQN 是平行四边形，∵PQ ⊥MN ，∴四边形PMQN 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（１）见解析；（２）①见解析；②见解析．【分析】（1）连接CE ，根据全等证得AE=CD ，进而AECD 为平行四边形，由=OB OD CD +进行等边代换，即可得到AE BE =；（2）①过A 作AE ∥CD 交BD 于E ，交BC 于F ，连接CE ，AE BE =，得ABE BAE ∠=∠，利用翻折的性质得到D BA BAE '∠=∠，即可证明；②证△BEF ≌△CDE ，从而得BFE CED ∠=∠，进而得∠CED=∠BCD ，且CDE BDC ∠=，得到△BCD ∽△CDE ，得CD DE BD CD=，即可证明． 【详解】解：（1）连接CE ，∵//AE DC ，∴OAE OCD ∠=∠，∵OAE OCD ∠=∠，OA OC =，AOE COD ∠=∠，∴△OAE ≌△OCD ，∴AE=CD ，∴四边形AECD 为平行四边形，∴AE=CD ，OE=OD ，∵==+B OB OD CD OE E +，∴AE BE =；（2）①过A 作AE ∥CD 交BD 于E ，交BC 于F ，连接CE ，由（1）得，AE BE =，∴ABE BAE ∠=∠，由翻折的性质得D BA ABE '∠=∠，∴D BA BAE '∠=∠，∴//BD AF '，∴//BD CD '；②∵//AD BC '，//BD AF '，∴四边形AFBD '为平行四边形，∴=D AFB '∠∠，'BD AF =，∴AF BD =，∵AE BE =，∴EF=DE ，∵四边形AECD 是平行四边形，∴CD=AE=BE ，∵AF ∥CD ，∴BEF CDE ∠=∠，∵EF=DE ，CD=BE ，BEF CDE ∠=∠，∴△BEF ≌△CDE （SAS ），∴BFE CED ∠=∠，∵BFE BCD ∠=∠，∴∠CED=∠BCD ，又∵∠BDC=∠CDE ，∴△BCD∽△CDE，∴CD DEBD CD=，即2CD BD DE=⨯，∵DE=2OD，∴22CD OD BD=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，考查等腰三角形的判定与性质综合，熟练掌握各图形的性质并灵活运用是解题的关键．8．（1）见解析；（2）2 3π【分析】（1）过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，根据作图过程可得AP=O1P=O2P，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明AO2⊥AO1，再根据BC∥AO2，证明四边形ABDO2为矩形，得到O2D=2r，点D在圆O2上，可得结论；（2）证明△AO1O2∽△BO1C，求出O1C，利用△BO1C的面积减去扇形BO1E的面积即可. 【详解】解：（1）由作图过程可得：AP=O1P=O2P=12O1O2，AO1=AB+BO1=12r r+，∴∠PAO1=PO1A，∠PAO2=∠PO2A，AB=2r，而∠PAO1+∠PO1A+∠PAO2+∠PO2A=180°，∴∠PAO1+∠PAO2=90°，即AO2⊥AO1，∵BC∥AO2，∴O1B⊥BC，即BC与圆O1相切，过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，可知四边形ABDO2为矩形，∴AB=O2D=2r，而圆O2的半径为2r，∴点D在圆O2上，即BC是2O的切线；（2）∵AO 2∥BC ，∴△AO 1O 2∽△BO 1C ， ∴11211AO O O BO O C=， ∵12r =，21r =，126O O =，即AO 1=12r r +=3，BO 1=2， ∴1362O C=， ∴O 1C=4，∵BO 1⊥BC ，∴cos ∠BO 1C=112142BO CO ==， ∴∠BO 1C=60°，∴=，∴S 阴影=1BO C S △-1BO E S 扇形=2160222360π⨯⨯⨯-=23π 【点睛】本题考查了尺规作图的原理，切线的判定和性质，矩形的判定和性质，扇形面积，相似三角形的判定和性质，等边对等角，知识点较多，解题的关键是根据作图过程得到相应的线段关系.9．（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AD，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）先利用勾股定理求出BD的长，证得Rt△CDE和Rt△ABD，利用对应边成比例即可求解．【详解】（1）证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴AD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，AC=，得AD=CD=∵⊙O的半径为5，∴AB=10，在Rt△ABD中，BD==，∵AB=BC，∴∠A =∠C ，在Rt △CDE 和Rt △ABD 中，∵∠DEC =∠ADB =90°，∠C =∠A ，∴Rt △CDE ∽Rt △ABD ，∴CD DEAB BD =，即10=， 解得：DE =3．【点睛】本题综合考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握和圆有关的各种性质定理，并且能够熟练运用． 10．（1）见解析；（2）12；（3）不变，理由见解析. 【分析】（1）连接CF ，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF 和CF=AF 即可得证； （2）连接AC ，根据菱形对称性得到AF+CF 最小值为AC ，再根据中位线的性质得到MN+NG 的最小值为AC 的一半，即可求解；（3）延长EF ，交DC 于H ，利用外角的性质证明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA ，再由AF=CF=EF ，得到∠AEF=∠EAF ，∠FEC=∠FCE ，从而推断出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF ，从而可求出∠ABF=∠CEF=30°，即可证明.【详解】解：（1）连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF=EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF=AF ，∴AF=EF ；（2）连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=1，即MN+NG的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD=∠CFD=12∠AFC，∵AF=CF=EF，∴∠AEF=∠EAF ，∠FEC=∠FCE ，∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF ，∴∠ABF=∠CEF ，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=∠CEF=30°，为定值.【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系．11．（1）四边形BEAC 是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得45BAE ∠=︒，45CBA ∠=︒，推出//BC EA ，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；（2）①利用“SAS ”证得AEB ADC △≌△，即可证明结论；②延长FG 至点H ，使GH FG =，证得EHG CFG ≌，推出BFC H CF EH ∠=∠=，，利用①的结论即可证明EBG BFC ∠=∠．【详解】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵EAD 为等腰三角形且90EAD ∠=︒，∴45E ∠=︒，∵B 是DE 的中点，∴AB DE ⊥，∴45BAE ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，∴45CBA ∠=︒，∴BAE CBA =∠∠，∴//BC EA ，又∵AB DE ⊥，∴90EBA BAC ∠=∠=︒．∴//BE AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵AED 和ABC 为等腰三角形，∴AE AD AB AC ==，，∵90EAD BAC ∠=∠=︒，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠，即EAB DAC ∠=∠，∴AEB ADC △≌△，∴EB DC =；②延长FG 至点H ，使GH FG =．∵G 是EC 中点，∴=EG CG ，又EGH FGC ∠=∠，∴EHG CFG ≌，∴BFC H CF EH ∠=∠=，，∵CF CD =，∴BE CF =，∴BE EH =，∴EBG H ∠=∠，∴EBG BFC ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键．12．（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）5 【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E ，再通过AB=BD 求出∠A=∠ADB ，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC ，由此得出∠E=∠FDE ，据此进一步得出∠ADB=∠FDE ，最终通过证明∠ADB +∠EDC=90°证明结论成立即可；（2）根据垂直的性质可以得出BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，从而可得BDC EDF ∠=∠，接着证明出A EDF ∠=∠，利用A E ∠=∠可知E EDF ∠=∠，从而推出=EF FD ，最后通过证明ECD CDF ∠=∠得出CF DF =，据此加以分析即可证明结论；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）得DG BD ⊥，故而92GD GC ==，在Rt GDB △中，利用勾股定理求出152GB =，由此得出159322CB =-=，紧接着，继续通过勾股定理求出AC ==ABC EDC ，再根据相似三角形性质得出39CD =，从而求出5CD =，最后进一步分析求解即可.【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A +∠ACB=∠E +∠ECD ，∵∠ACB=∠ECD ，∴∠A=∠E ，∵AB=BD ，∴∠A=∠ADB ，在Rt ECD △中，∵F 是斜边CE 的中点，∴FD=FE=FC ，∴∠E=∠FDE ，∵∠A=∠E ，∴∠ADB=∠FDE ，∵∠FDE +∠FDC=90°，∴∠ADB +∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD ⊥DF ，结论成立，故答案为：是；（2）结论成立，理由如下：∵BD DF ⊥，ED AD ⊥∴BDC CDF ∠+∠=90°，EDF CDF ∠+∠=90°，∴BDC EDF ∠=∠，∵AB BD =，∴A BDC ∠=∠．∴A EDF ∠=∠．又∵A E ∠=∠，∴E EDF ∠=∠．∴=EF FD ．又E ECD ∠+∠=90°，EDF FDC ∠+∠=90°，E EDF ∠=∠，∴ECD CDF ∠=∠，∴CF DF =．∴CF EF =．∴F 为CE 的中点；（3）如图，设G 为EC 的中点，连接GD ，由（1）可知DG BD ⊥，∴1922GD EC EG GC ====， 又∵6BD AB ==，在Rt GDB △中，152GB ==， ∴159322CB =-=，在Rt ABC 中，AC ==在ABC 与EDC △中，∵∠ABC=∠EDC ，∠ACB=∠ECD ，∴ABC EDC ，3CD=，∴CD =，∴55AD AC CD =+=+= 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.13．（1）SAS ；（2）15AD <<；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明BED CAD △≌△，从而可得证明全等的依据；（2）利用全等三角形的性质得到,AC BE =求解AE 的范围，从而可得答案；（3）延长AD 至点A '，使A D AD '=，证明ADC A DB '≌，利用全等三角形的性质与AE EF =，证明BFD A '∠=∠，得到BF A B '=，从而可得答案；（4）延长CG 至点H 使HG CG =，连接HF 、CE 、HE ，证明HGF CGD ≌，得到,HF CD HFG CDG =∠=∠，利用锐角三角函数证明EBF ADB ∠=∠，再证明EFH EBC ∽，利用相似三角形的性质可得CEH △是直角三角形，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，AD 是中线，,BD CD ∴=在ADC 与EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩().ADC EDB SAS ∴≌故答案为：SAS（2）,ADC EDB ≌4,AC BE ∴==6,AB =210,AE ∴＜＜2,AE AD =15,AD ∴＜＜故答案为：15AD <<（3）证明：延长AD 至点A '，使A D AD '=，∵AD 是ABC 的中线∴BD CD =在ADC 和A DB '中AD A D ADC A DB CD BD ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC A DB '≌，∴,CAD A AC A B ''∠=∠=，又∵AE EF =，∵CAD AFE ∠=∠，∴A AFE '∠=∠，又∵AFE BFD ∠=∠，∴BFD A '∠=∠∴BF A B '=，又∵A B AC '=∴BF AC =（4）证明：延长CG 至点H 使HG CG =，连接HF 、CE 、HE∵G 为FD 的中点∴FG DG =在HGF △和CGD △中HG CG HGF CGD FG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴HGF CGD ≌∴,HF CD HFG CDG =∠=∠在Rt BEF △中，∵12EF BE =， ∴1tan 2EBF ∠= 又矩形ABCD 中，12AB BC = ∴12AB AD =， ∴1tan 2ADB =∠， ∴EBF ADB ∠=∠，又//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴EBF ADB DBC ∠=∠=∠，又EFD ∠为BEF 的外角，∴EFD EBF BEF ∠=∠+∠，即90EFH HFD EBF ∠+∠=∠+︒，∵90ADB BDC ∠+∠=︒，∴EFH HFD EBF ADB BDC ∠+∠=∠+∠+∠，∴2EFH EBF ∠=∠，即EFH EBC ∠=∠，在EFH △和EBC 中，11,22EF HF BEBC == ∴EF HF BE BC=， 又EBC EFH ∠=∠，∴EFH EBC ∽，∴FEH BEC ∠=∠，∵HEC CEF BEF CEF ∠+∠=∠+∠，∴90HEC BEF ∠=∠=︒，∴CEH △是直角三角形，∵G 为CH 的中点， ∴12EG CH =， 即=EG CG ．【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．（1） t=32；（2）t=3;（3）S 与t 的函数关系式为2161572552S t t =-++；（4）存在，t=72, 【分析】（1）要使点M 在线段CQ 的垂直平分线上，只需证CM=MQ 即可；（2）由矩形性质得PH=QN ，由已知和AP=2t ，MQ=t ，解直角三角形推导出PH 、QN ，进而得关于t 的方程，解之即可；（3）分别用t 表示出梯形GHFM 的面积、△QHF 的面积、△CMQ 的面积，即可得到S 与t 的函数关系式；（4）延长AC 交EF 与T ，证得AT ⊥EF ，要使点P 在∠AFE 的平分线上，只需PT=PH ，分别用t 表示PT 、PH ，代入得关于t 的方程，解之即可．【详解】（1）当t =32时，点M 在线段CQ 的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM ∥BF ， ∴CM CE BF BE =即：268CM =， 解得：CM=32， 要使点M 在线段CQ 的垂直平分线上，只需QM=CM=32， ∴t=32； （2）如图，∵90ABC EBF ∠=∠=︒，8AB BE ==，6BC BF ==， ∴AC=10，EF=10，sin ∠PAH=35BC AC =，cos ∠PAH=45AB AC =，sin ∠EFB=45BE EF =， 在Rt △APH 中，AP=2t ，∴PH=AP ·sin ∠PAH=65t ， 在Rt △ECM 中，CE=2,CM=32,由勾股定理得：EM=52， 在Rt △QNF 中，QF=10-t-52=152t -，∴QN=QF ·sin ∠EFB=(152t -)×45=465t -， 四边形PQNH 为矩形，∴PH=QN ， ∴65t =465t -， 解得：t=3；（3）如图，过Q 作QN ⊥AF 于N ，由（2）中知QN=465t -，AH=AP ·cos ∠PAH=85t ， ∴BH=GC=8-85t ，∴GM=GC+CM=8319885225t t -+=-，HF=HB+BF=8145t -， ∴QHF CMQ GHFM S S S S =--梯形 =111()6(6)222GM HF HF QN CM QN +⨯--- =11988184134(14)6(14)(6)(66)2255255225t t t t t -+-⨯-----+ =2161572552t t -++， ∴S 与t 的函数关系式为：2161572552S t t =-++；（4）存在，t=72．证明：如图，延长AC 交EF 于T ，∵AB=BF,BC=BF, 90ABC EBF ∠=∠=︒，∴△ABC ≌△EBF ，∴∠BAC=∠BEF ，∵∠EFB+∠BEF=90º，∴∠BAC+∠EFB=90º，∴∠A TE=90º即PT ⊥EF ，要使点P 在AFE ∠的平分线上，只需PH=PT ，在Rt △ECM 中，CE=2,sin ∠BEF=35CT BF CE EF ==， CT=CE ·sin ∠BEF =65， PT=10+65-2t=5625t -，又PH=65t ， 65t =5625t -， 解得：t=72．【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型．15．（1）见解析；（2）①8；②存在，12或57【分析】（1）证明△ABE ≌△ACG 得到AE=AG ，再结合角平分线，即可利用SAS 证明△AEH ≌△AGH ；（2）①根据题意可得点E 和点G 关于AF 对称，从而连接ED ，与AF 交于点H ，连接HG ，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可；②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，∵BE=CG，AB=AC，∴△ABE≌△ACG，∴AE=AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAH=∠GAH，∵AH=AH，∴△AEH≌△AGH；（2）①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG，∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，∴点E和点G关于AF对称，∴此时△DGH的周长最小，过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，∴CM=12CD=6，∴=∵AB=12=BC，BE=4，∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，∴=，∴DH+HG+DG=8∴△DGH周长的最小值为8；②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N，可知S△AON：S四边形HNEF=1:3，即S△AON：S△AEC=1:4，∵O是AC中点，∴N为AE中点，此时ON∥EC，∴12 AN AO AHAE AC AF===，当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N，同理S△NOC：S四边形ONEA=1:3，∴S△NOC：S△AEC=1:4，∵O为AC中点，∴N为EC中点，则ON∥AE，∴AH EN AF EF=，∵BE=4，AB=12，∴EC=8，EN=4，过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P，∵∠BCD=120°，∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，∴CG=2CP ，∵CG=BE=4，∴CP=2，GP=∵AE=AG ，AF=AF ，∠EAF=∠GAF ，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF=FG ，设EF=FG=x ，则FC=8-x ，FP=10-x ，在△FGP 中，()(22210x x -+=， 解得：x=285， ∴EF=285， ∴452875AH EN AF EF ===，综上：存在直线OH ，AH AF 的值为12或57. 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题时要注意分情况讨论.16．（1）y ＝﹣13x 2+23x+83；（2）（34）或（134）或（34-）或（134-）；（3）点P 的坐标为（1，32）或（1，3）或（1，-3）． 【分析】 （1）根据平行四边形的性质及点A 坐标可得抛物线的对称轴为直线x=1，可得﹣2b a ＝1，把点A坐标代入抛物线不等式可得0＝4a﹣2b+83，解方程组求出a、b的值即可得答案；（2）根据抛物线对称轴方程及点A坐标可得点D坐标，根据△ADR的面积是平行四边形OABC的面积的34可得出点R的纵坐标，代入抛物线解析式可求出点R横坐标，即可得答案；（3）作△PEQ的外接圆R，根据圆周角定理可得∠PRE=90°，可得△PRE为等腰直角三角形，由在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°可得⊙R与直线MD相切，可得RQ⊥MD，根据对称轴可得点M坐标，即可得出DE、DE的长，根据勾股定理可求出DM 的长，设点P（1，2m），根据等腰直角三角形的性质可得PH＝HE＝HR＝m，即可得出R （1+m，m），利用S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE可求出m的值，即可得点P坐标；根据DE=ME 可得∠MDE=45°，可得点M符合题意，过点D作DF⊥DM交对称轴于F，可得∠FDE=45°，可得点F符合题意，根据DE=EF可求出点F坐标，综上即可得答案．【详解】（1）∵A（-2，0），四边形OABC是平行四边形，∴BC//OA，BC=OA=2，∵抛物线与y轴交于点B，∴抛物线的对称轴为直线x＝022+=1，则x＝﹣2ba＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+83②，联立①②得1284203baa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1323ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y＝﹣13x2+23x+83；（2）∵A（-2，0），抛物线对称轴为直线x＝1，∴点D（4，0）；∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34， ∴12×AD×|y R |＝34×OA×OB ，则12×6×|y R |＝34×2×83， 解得：y R ＝±34，当y=34时，212843333x x -++=，解得：11x =21x =∴R 1（1，34）或R 2（134）， 当y=-34时，212843333x x -++=-，解得：x 3=1，x 2=1∴R 3（1+，34-）或R 4（1-34-）综上所述：点R 的坐标为（，34）或（1，34）或（34-）或（134-）． （3）作△PEQ 的外接圆R ，过点R 作RH ⊥ME 于点H ，∵∠PQE ＝45°，∴∠PRE ＝90°，∵RP=RE ，∴△PRE 为等腰直角三角形，∵直线MD 上存在唯一的点Q ，∴⊙R 与直线MD 相切，∴RQ ⊥MD ，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴当x=1时y=128333-++=3，∴点M 坐标为（1，3），∵D （4，0），∴ME ＝3，ED ＝4﹣1＝3，∴MD设点P （1，2m ），则PH ＝HE ＝HR ＝m ，则圆R m ，则点R （1+m ，m ），∵S △MED ＝S △MRD +S △MRE +S △DRE ，即12×ME•ED ＝12×MD×RQ+12×ED•y R +12×ME•RH ，∴12×3×3＝12×m+12×4×m+12×3×m ， 解得m ＝34， ∴点P 坐标为（1，32），∵ME=MD=3，∴∠MDE=45°，∴点P 与点M 重合时，符合题意，即P （1，3），过点D 作DF ⊥MD ，交对称轴于F ，则∠FDE=45°，符合题意，∴EF=DE=3，∴点F 坐标为（1，-3），∴点P 坐标为（1，-3），综上所述：点P 的坐标为（1，32）或（1，3）或（1，-3）． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键．17．（1）y =-x 2＋3x ＋4，y =-x ＋4；（2）521,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，1684,525⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）运用待定系数法，利用A ，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式，利用B ，C 两点的坐标确定直线BC 的表达式；（2）先求得DE 的长，根据平行四边形的性质得到PF=DE ，点P 与点F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据其差等于DE 长构建一元二次方程求解； （3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在△PCF ∽△CDE 一种情况．△CDE 的三边均可求，（2）中已表示PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股定理表示出CF 的长，这样根据比例式列方程求解，从而可判断点P 是否存在，以及求解点P 的值．【详解】（1）由题意，将A(-1．0)，B(4．0)代入24y ax bx =++，得 4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式为234y x x =-++，当0x =时，y=4，∴点C 的坐标为(0，4)，又点B 的坐标为(4，0)，设线段BC 所在直线的表达式为y mx n =+，∴440n m n =⎧⎨+=⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 所在直线的表达式为4y x =-+；（2）∵DE ⊥x 轴，PF ⊥x 轴，∴DE ∥PF ，只要DE=PF ，此时四边形DEFP 即为平行四边形．由二次函数y=-2x +3x +4=(x -32) 2+254，得D 的坐标为(32，254)， 将32x =代入4y x =-+，即y=-32+4=52，得点E 的坐标为(32，52)， ∴DE=254-52=154， 设点P 的横坐标为t ，则P(t ，-t 2+3t+4)，F(t ，-t+4)，PF=-t 2+3t+4-(-t+4)=-t 2+4t ，由DE=PF ，得-t 2+4t=154， 解之，得t 1=32 (不合题意，舍去)，t 2=52， 当t=52时，-t 2+3t+4=-(52)2+3×52+4=214， ∴P 的坐标为(52，214)； （3）由（2）知，PF ∥DE ，∴∠CED=∠CFP ，又∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部，∴∠PCF≠∠DCE ，∴只有当∠PCF=∠CDE 时，△PCF ∽△CDE ，由D (32，254)，C(0，4)，E(32，52)，利用勾股定理，可得=DE=25515 424-=，由（2）以及勾股定理知，PF=-t2+4t，F(t，-t+4)，CF==，∵△PCF∽△CDE，∴PF CFCE DE=2154=，∵t≠0，∴154(4t-+)=3，∴t=165，当t=165时，-t2+3t+4=-(165)2+3×165+4=8425．∴点P的坐标是(165，8425)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是，学会用数形结合的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．18．（1）234y x x =-++，4y x =-+；（2）521,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点P 的坐标是1684,525⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将(1,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，解出a ，b 得值即可；求出C 点坐标，将C ，B 代入线段BC 所在直线的表达式y mx n =+，求解即可；（2）根据题意只要DE PF =，四边形DEFP 即为平行四边形，先求出点D 坐标，然后求出DE ，设点P 的横坐标为t ，则()2,34P t t t -++，(,4)F t t -+，得出24PF t t =-+，根据DE PF =，得21544t t -+=，求解即可； （3）由（2）知，CED CFP ∠=∠，根据PCF ∠与DCE ∠有共同的顶点C ，且PCF ∠在DCE ∠的内部，只有当PCF CDE ∠=∠时，PCF CDE ∆∆∽，利用勾股定理，可得CE ==25515424DE =-=，根据PF CF CE DE =，即243154t t -+=，解出t 值，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意，将(1,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++， 得4016440a b a b -+=⎧⎨++-⎩， 解得13a b =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的表达式234y x x =-++，当0x =时，4y =，得点(0,4)C ，又点(4,0)B ，设线段BC 所在直线的表达式y mx n =+，∴440n m n -⎧⎨+-⎩，解得14m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 所在直线的表达式4y x =-+；（2）∵DE x ⊥轴，PF x ⊥轴，。

2021年九年级中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合(含答案)

2021年九年级中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合(含答案)

2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．9、在四边形ABCD中，︒∠.B，对角线AC平分BADD∠180=∠+（1）如图1，若︒∠90=B，试探究边AD、AB与对角线AC=∠120DAB，且︒的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒B”去掉，（1）中的结论是否成立？∠90=请说明理由.（3）如图3，若︒DAB，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明∠90=理由.10、如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：；②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =C H13、已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且90∠=︒，延长AG，BG分别AGB与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE CF=；②求证：2=⋅.BE BC CE（2）如图2，在边BC上取一点E，满足2=⋅，连接AE交CM于点G，BE BC CE连接BG延长交CD于点F，求tan CBF∠的值.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为 cm （用含x 的代数式表示）；（2）当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；（3）当0＜x ＜2时，求y 关于x 的函数解析式；（4）直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，4=DM 时，求DH 的长.16、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若四边形ABCD 是正方形如图1：则有AC=BD ，AC ⊥BD ．旋转图1中的Rt △COD 到图2所示的位置，AC ′与BD ′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt △COD 至图3所示的位置，AC ′与BD ′又有什么关系？写出结论并证明．17、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m＞0，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求m，n的值；（2）在图2中，画出矩形ABCD，简要说明点C，D的位置是如何确定的，并直接用含m的代数式表示点C的坐标；（3）探究：当m为何值时，矩形ABCD的对角线AC的长度最短．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：四边形综合1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE=∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD，∵AD=CD，∴BC=AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵BE=BC∴∠BCE=∠BEC，∵∠CBE：∠BCE=2：3，∴∠CBE=180×=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE=45°，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形．2、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．3、如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴=，即=，解得：CD=，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD=，∴AB=AF+BF=+=6．4、给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；证明：（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE为等边三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．5、如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．【解答】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假设DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，即BF=，∴FO===，∴FG=2FO=．6、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴＝，且DE＝2∴EM＝7、如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为∠BAD+∠ACB=180°；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=，求PC的长．【解答】解：（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴===，∴=，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+﹣1=0，∴=（负根已经舍弃），∴=．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴==，∴=，即=∵CD=，∴PC=1．8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC 延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E 作EM ⊥DA 交DA 的延长线于M ，过E 作EN ⊥FC 交FC 的延长线于N ， 在△AME 与△CNE 中，，∴△AME ≌△CNE ，∴∠ADE=∠CFE ，在△ADE 与△CFE 中，， ∴△ADE ≌△CFE ，∴∠DEA=∠FEC ，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED ⊥EF ．9、在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180D B ，对角线AC 平分BAD ∠.（1）如图1，若︒=∠120DAB ，且︒=∠90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将（1）中的条件“︒=∠90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）如图3，若︒=∠90DAB ，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.解：（1）AB AD AC +=.证明如下： 在四边形ABCD 中，︒=∠+∠180B D ，︒=∠90B ，∴ ︒=∠90D .︒=∠120DAB ，AC 平分DAB ∠, ∴ 60=∠=∠BAC DAC ,︒=∠90B ,∴AC AB 21=,同理AC AD 21=. ∴AB AD AC +=.（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C 为顶点，AC 为一边作 60=∠ACE ， ACE ∠的另一边交AB 延长线于点E , 60=∠BAC ,∴AEC ∆为等边三角形， ∴CE AE AC ==，︒=∠+∠180B D ,︒=∠120DAB ,∴ 60=∠DCB , ∴BEC DAC ∆≅∆,∴BE AD =,∴AB AD AC +=.（3）AC AB AD 2=+.理由如下：过点C 作AC CE ⊥交AB 的延长线于点E ， ︒=∠+∠180B D ,︒=∠90DAB ,∴ 90=DCB , 90=∠ACE ,∴BCE DCA ∠=∠, 又AC 平分DAB ∠，∴ 45=∠CAB ,∴ 45=∠E . ∴CE AC =.又︒=∠+∠180B D ，CBE D ∠=∠,∴CBE CDA ∆≅∆,∴BE AD =,∴AE AB AD =+.在ACE Rt ∆中， 45=∠CAB ,∴AC cos ACAE 245==, ∴AC AB AD 2=+.10、如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．【答案】（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2． 理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上， ∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC 是矩形， ∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2， ∴AG 2=GF 2+GE 2．解得，[来源:学科网ZXXK] ∴， ∴BG=BN ÷cos30°=．11、如图1，菱形ABCD 的顶点A，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′6交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AEB ′＝∠AGD ′，∵∠EAB ′＝∠GAD ′，AB ′＝AD ′， ∴△AEB ′≌△AGD ′（AAS ）， ∴EB ′＝GD ′，AE ＝AG ， ∵AH ＝AH ，∠HAE ＝∠HAG ， ∴△AHE ≌△AHG （SAS ）， ∴EH ＝GH ，∵△EHB ′的周长为2，∴EH +EB ′+HB ′＝B ′H +HG +GD ′＝B ′D ′＝2， ∴AB ′＝AB ＝2， ∴菱形ABCD 的周长为8．12、已知正方形的对角线，相交于点．（1）如图1，，分别是，上的点，与的延长线相交于点．若，求证：；（2）如图2，是上的点，过点作，交线段于点，连结交于点，交于点．若，①求证：； ②当时，求的长．CD AB C A D B O E G OB C O C E DG F DF C ⊥E G OE =O H C B H C EH ⊥B OB E D H C E F C O G G OE =O DG C ∠O =∠O E 1AB =CH∴∠DOG=∠COE=90°∴∠OEC+∠OCE=90°∵DF⊥CE∴∠OEC+∠ODG=90°∴∠ODG=∠OCE∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1 ∴BH=1-x∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°∵EH⊥BC∴∠BEH=∠EBH=45°∴EH=BH=1-x∵∠ODG=∠OCE∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE ∴∠HDC=∠ECH∵EH⊥BC∴∠EHC=∠HCD=90° ∴△CHE ∽△DCH ∴∴HC 2=EH ·CD 得x 2+x-1=0 解得，（舍去） ∴13、已知正方形ABCD，点M 为边AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且90AGB ∠=︒，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F .①求证：BE CF =； ②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满足2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 延长交CD 于点F ，求tan CBF ∠的值.解答：(1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC ，90ABC BCF ∠∠°， 又90AGB ∠°，∴90BAE ABG ∠∠°，又90ABG CBF ∠∠°，∴BAE CBF ∠∠，∴ABE BCF △≌△(ASA)，∴BE CF .EH HCHC CD=1x =1x =②证明：∵90AGB ∠°，点M 为AB 中点，∴MG MA MB ，∴GAM AGM ∠∠，又∵CGE AGM ∠∠，从而CGE CGB ∠∠，又ECG GCB ∠∠，∴CGE CBG △∽△， ∴CE CGCGCB，即2CG BC CE ，由CFG GBMCGF ∠∠∠，得CFCG .由①知，BE CF ，∴BE CG ，∴2BE BC CE . (2)解：(方法一)延长AE ，DC 交于点N (如图1)，由于四边形ABCD 是正方形，所以AB CD ∥， ∴N EAB ∠∠，又CEN BEA ∠∠，∴CEN BEA △∽△， 故CE CNBEBA，即BE CN AB CE ，∵AB BC ，2BE BC CE ，∴CN BE ，由AB DN ∥知，CN CG CFAM GM MB， 又AM M B ，∴FC CN BE ，不妨假设正方形边长为1， 设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ， 解得1512x ，2512x (舍去)，∴512BEBC， 于是51tan 2FC BE CBFBC BC ∠,(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE x ，则由2BE BC CE ，得211x x ， 解得1512x ，2512x (舍去)，即512BE ， 作GN BC ∥交AB 于N (如图2)，则MNG MBC △∽△，∴12MN MB NGBC ， 设MN y ，则2GN y ，5GM y ，∵GN AN BEAB ，即121y，解得125y，∴12GM，从而GM MAMB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上，∴AGB △是直角三角形，且90AGB ∠°， 由(1)知BE CF ，于是51tan 2FC BE CBFBCBC∠.14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D 为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∵D为PQ中点，∴DQ=x，∴GP=2x，∴2x+x+2x=4，∴x=45；（3）如图②，当0＜x≤45时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，∴y=x2；如图③，当45＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=12AB=2，∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，∴y=S正方形DEFQ ﹣S△MNF=DQ2﹣12FM2，∴y=x2﹣12（5x﹣4）2=﹣232x2+20x﹣8，∴y=﹣232x2+20x﹣8；∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =12DQ 2，∴y=12（2﹣x ）2，∴y=12x 2﹣2x+2；（4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点， 即2x=2， ∴x=1，当Q 为BC 的中点时， PB=1， ∴AP=3， ∴2x=3，∴x=32，∴边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围为：1＜x ＜32．15、如图AM 是ABC ∆的中线，D 是线段AM 上一点（不与点A 重合），AB DE //交AC 于点F ，AM CE //，连结AE .（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形； （2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若AC BH ⊥，且AM BH =.当3=FH ，DM时，求DH的长.4【答案】：（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，∵CE//AM，∴∠ECD=∠ADB，又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≅△EDC，∴AB=ED，又∵AB//ED,∴四边形ABDE为平行四边形。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(三)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(三)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合（三）1．问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE ＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．2．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．3．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．4．在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD 的面积．5．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA ＝4，OC＝8．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．（1）求点E坐标．（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD 的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．6．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D 出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B；点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y（cm2），y与x的函数图象如图②所示，根据图象回答下列问题：（1）BD＝，a＝；（2）当x为何值时，以A、Q、C、P为顶点的图形面积为4cm2？（3）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有x的值：．7．在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A的路径运动，运动时间为t（秒）．以BE为边在矩形ABCD的内部作正方形BEHG．（1）如图，当四边形ABCD为正方形且点H在△ABC的内部，连结AH，CH，求证：AH＝CH；（2）经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有条；（3）当AB＝9，BC＝12时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．8．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为；（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．9．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．（1）在下列图形中：①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四边形”的是．（填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长．（3）如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和．10．▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．（1）如图1，连结DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连结DG，点H 为GD中点，连接AH，求证：4AH2+DF2＝2AF2；（2）如图2，连结BD，把△ABD沿直线BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝，EC＝2，求在平移过程中A'C+B'C的最小值．参考答案1．解：（1）∵AD是中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝NC，∴EG＝GC．2．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OE＝OG，∵∠GFE＝90°，∴OE＝OF；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE，证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH，又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝EH＝OE，∴OE＝CF+CH＝CF+AE．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3，∴DF＝＝＝，∴AF＝＝2，∴BC＝AD＝AF+DF＝2＝3．（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AN+FD，∴NF＝AD＝BC，∵BC＝BF，∴NF＝BF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解得y＝x．∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．∴＝．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠EAG＝∠FCG，又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，∴△CFG≌△AEG（AAS），∴FG＝EG；（2）（1）中结论依然成立．理由如下：如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，∴∠MAE＝∠AME＝45°，∴AE＝EM，又∵AE＝FC，∴EM＝CF，∵∠AEM＝∠ABC，∴ME∥CF，∴∠MEG＝∠GFC，又∵∠MGE＝∠FGC，∴△MEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG；（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，∴∠DAE＝∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF，由（2）知EG＝GF，∴DG⊥EF，∴DH是EF的中垂线，∴EH＝FH，∵BE＝12，BH＝5，∴EH＝＝＝13，∴FH＝13，设AE＝x，则CF＝x，∴AB＝CB＝12+x，∴CH＝7+x，∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，∴2x+7＝13，解得x＝3，∴AB＝15，∴正方形ABCD的面积为225．5．解：（1）如图1中，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，由翻折可知，∠BOC＝∠BOD，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°，∴OA2+AE2＝OE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴E（3，4）．（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．∵DG∥BC，∴∠DGB＝∠CBG，由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD，∴∠DGB＝∠DBG，∴DG ＝BD ＝BC ，∵DG ∥BC ，∴四边形BCGD 是平行四边形，∵BD ＝BC ，∴四边形BCGD 是菱形．（3）当点N 与G 重合，点M 与A 重合，四边形DM 1ON 1是平行四边形， ∵DH ＝＝，∴EH ＝＝＝， ∴AH ＝3+＝，∴D （，），N 1（，）， 当四边形ODN 1M 是平行四边形时，N 1（，）， 当四边形ODN 2M 2是平行四边形时，N 2（）， 当四边形ODM 1N 3是平行四边形时，N 3（（﹣，﹣）， 当四边形ODM 4N 4是平行四边形时，N 4（﹣，﹣）综上所述，满足条件的点N的坐标为N1（，），N2（，），N3（（﹣，﹣），N4（﹣，﹣）．6．解：（1）如图①中，连接AC交BD于点O．由题意：点N的实际意义表示x＝3时，点Q运动到点D，∴BD＝2×3＝6，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠ADB＝30°，OB＝OD＝3，∴OA＝OC＝，AB＝2AO＝2，∴S菱形ABCD＝×BD×AC＝×6×2＝6．∴a＝6，故答案为：6，6；（2）设x秒后P，Q相遇．则3x＝6，x＝2，∴M（2，0），∴直线EM的解析式为：y＝﹣3x+6，当y＝4时，x＝，∵N（3，3），F（6，6），∴直线NF的解析式为y＝x，当y＝4时，x＝4，综上所述，满足条件的x的值为s或4s；（3）a：当0≤x≤3时，PQ＝（6﹣3x）2，AQ2＝3+（3﹣2x）2，AP2＝3+（3﹣x）2，①当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2，（6﹣3x）2＝3+（3﹣x）2+3+（3﹣2x）2，解得x＝或（舍去），②当∠APQ＝90°时，AP2+PQ2＝AQ2，即3+（3﹣x）2+（6﹣3x）2＝3+（3﹣2x）2，解得x＝2或x＝3，③当∠AQP＝90°时，AP2＝PQ2+AQ2，即3+（3﹣x）2＝（6﹣3x）2+3+（3﹣2x）2，解得：x＝2（不合题意，舍去），x＝，b：3＜x≤6时，此时Q已经到达终点，所以，AQ2＝（2）2＝12，此时PQ2＝x2，AP2＝3+（x﹣3）2，此时，∠AQP＝30°，∴当∠APQ＝90°时，AQ2＝AP2+PQ2，即12＝x2+3+（x﹣3）2，解得：x＝3或0（舍去）当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2，即x2＝12+3+（x﹣3）2，解得：x＝4，综上所述，满足条件的x的值为或或3或4，故答案为：或或3或4．7．（1）证明：∵四边形ABCD、四边形BEHG是正方形，∴AB＝BC，BE＝BG＝EH＝GH，∠B＝∠BEH＝∠BGH＝90°，∴AB﹣BE＝BC﹣BG，∠AEH＝∠CGH＝90°，∴AE＝CG，在△AEH和△CGH中，，∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH；（2）解：连接BD交AC于O，如图1所示：作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分，即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条，故答案为：1；（3）解：分两种情况：①如图2所示：连接AH交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴△ABC的面积＝△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积＝△ACM的面积，∴BM＝CM＝BC＝6，由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GM＝6﹣t，∵△ABM的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，∴×6×9＝x（9﹣t）+t2+t（6﹣t），解得：t＝；②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠MCK＝∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝12，CD＝AB＝9，△ABC的面积＝△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ADM的面积＝△ACM的面积，∴DM＝CM＝CD＝，在△KCM和△ADM中，，∴△KCM≌△ADM（ASA），∴CK＝DA＝12，∴BK＝BC+CK＝24，由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GK＝24﹣t，∵△ABK的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，∴×24×9＝t（9﹣t）+t2+t（24﹣t），解得：t＝；综上所述，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，t的值为或．8．（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝OA •OC ＝×4×3＝6，∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示：∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），∴EM＝AH＝GN，在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点，∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，∴∠EAG＝90°，在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝＝＝10，∵I是EG的中点，∴AI＝EG＝×10＝5．9．解：（1）①等腰梯形对角线相等，但一条对角线的中点到另外两个顶点的距离的和大于另一条对角线，不符合题意；②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意；③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意；故答案为：②；（2）根据等距四边形的定义，当点F在AD上且BF⊥AD时，四边形BFDE是等距四边形，如图1，取BD的中点O，连接OF，OE，EF，∵BF⊥AD，BE⊥DC，∴∠BFD＝∠BED＝90°，∴OF＝OE＝BD，∴四边形BFDE是等距四边形，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，AD∥BC，∴∠C＝∠A＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ABF＝∠CBE＝30°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°，根据菱形的对称性得，BF＝BE，∴△BEF是等边三角形，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝2，根据勾股定理得，BF＝2，∴EF＝BF＝2，当点F在AB上且DF⊥AB时，四边形DFBE是等距四边形，如图1﹣1，连接BD，EF，交于点O，∵DF⊥AB，DE⊥CD，∴∠BFD＝∠BED＝90°，∵AB∥CD，∴∠FBE＝180°﹣∠BED＝90°，∴∠BFD＝∠BED＝∠FBE，∴四边形BFDE是矩形，∴BD＝EF，在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∴BD＝AB＝4，∴EF＝4；（3）过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图2，同（2）的方法得，四边形ADPF，四边形BEPD，四边形ECFP是等距四边形，过点A作AG ⊥BC于G，在Rt△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝2，根据勾股定理得，AG＝2，∴S△ABC＝BC•AG＝×4×2＝4，∴S△ABC ＝S△APB+S△BPC+S△APC＝4，∴（AB•PD+BC•PE+AC•PF）＝4，∵AB＝BC＝AC＝4，∴PD+PE+PF＝2∴四边形ADPF，四边形DBEP，四边形PEFC的周长的和为AB+BC+AC+2（PD+PE+PF）＝12+4．10．（1）证明：如图1中，延长AH交CD于T，连接EG，GF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AGH＝∠TDH，∵∠AHG＝∠THD，HG＝HD，∴△AHG≌△THD（ASA），∴AH＝TH，AG＝DT，∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∵AF⊥AG，∴∠EAD＝∠GAF．∴∠GAE＝∠FAD，∵AD＝AE，AF＝AG，∴△GAE≌△FAD（SAS），∴DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠GEF＝90°，∴EG2+EF2＝FG2＝2AF2，∵∠BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°，∴∠B＝∠EAF，∵∠B＝∠ADT，∴∠EAF＝∠ADT，∵AG＝AF，AG＝DT，∴AF＝DT，∵AE＝AD，∴△EAF≌△ADT（SAS），∴EF＝AT＝2AH，∴DF2+4AH2＝2AF2．（2）如图2中，∵A′B′＝CD，A′B′∥AB∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，∵A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′E≥CE，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，过点E作EH⊥BC于H，交AD于J，过点A作AT⊥BD于T，设DE交AA′于K，过点C作CR⊥AD于R．∵∠AEC＝∠EAR＝∠ARC＝90°，∴四边形AECR是矩形，∴AR＝EC＝2，设AE＝AD＝x，在Rt△CRD中，则有x2+（x﹣2）2＝10，解得x＝3或﹣1（舍弃），∴AD＝AE＝BC＝3，BE＝BC﹣EC＝1，过点B作BQ⊥DA交DA的延长线于Q，则AQ＝BE＝1，DQ＝AQ+AD＝4，BQ＝AE＝3，∴BD＝＝＝5，＝•BD•AT＝•AD•BQ，∵S△ABD∴AT＝，∵四边形ATDK是矩形，∴DK＝AT＝KD′＝，在Rt△ADK中，AK＝＝＝，∵S＝•AD•EJ＝•DE•AK，△ADE∴EJ＝，在Rt△DJD′中，DJ＝＝，∴AJ＝EH＝AD﹣DJ＝3﹣＝，∴CH＝EC﹣EH＝2﹣＝，∵EH＝EJ+JH＝+3＝，在Rt△CEH中，CE＝＝，∴A'C+B'C的最小值为．。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(四)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(四)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合（四）1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P在斜边AB上，点D、E、F分别是线段PA、PB、PC的中点，易知△DEF是直角三角形．“现把△DEF以点P为中心，顺时针旋转α，其中0°＜α＜360°．连接AD、BE、CF．（1）操作发现如图2，若点P是AB的中点，连接PF，可以发现＝，＝；（2）类比探究如图3，Rt△ABC中，CP⊥AB于点P，请判断与的大小，结合图2说明理由；（3）拓展提高在（2）的条件下，如果∠CAB＝30°，且AB＝4，在△DEF旋转的过程中，当以点C、D、F、P四点为顶点的四边形与以点B、E、F、P四点为顶点的四边形都是平行四边形时，直接写出线段AD、CF、BE的长．2．如图，四边形ABCO是菱形，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若点A的坐标为（﹣5，12），直线AC与y轴相交于点D，连接BD．（1）求菱形ABCO的边长；（2）证明△DCB为直角三角形；（3）直线BD上是否存在一点P使得△BCP的面积与△BCA的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上．点C的坐标为（4，2）．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．（1）①点B的坐标．②求菱形ABCD的面积；（2）当t＝3时，问线段AC上是否存在点E，使得PE+DE最小，如果存在，求出PE+DE 最小值；如果不存在，请说明理由；（3）若点P到AC的距离是1，则点P运动的时间t等于．4．如图，正方形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在y轴、x轴上，点B坐标为（﹣4，4），点D为x轴上任意一点，将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得对应线段为DE，作直线EC交y轴于点F．（1）如图（1），当点D为OC的中点时，求点E的坐标；（2）如图（2），当点D在边OC上任意移动时，猜想：点F的位置是否发生变化？若不变，求出点F的坐标，若改变，请说明理由；（3）如图（3），当点D在x轴的正半轴上移动时，请在图（3）画出图形（不保留作图痕迹），并直接回答点F的位置与（2）中猜想的结论是否一致．答：（填“一致”或“不一致”）．5．如图2，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小长方形，EF与GH交于点P，设BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m．（1）①用含a，b，m的式子表示GF的长为．②用含a，b的式子表示长方形EPHD的面积为．（2）已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，例如在图1△ABC中，∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2．请用上述知识解决下列问题：①写出a，b，m满足的等式．②若m＝1，求长方形EPHD的面积．③当m满足什么条件时，长方形EPHD的面积是一个常数？6．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F 处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．7．（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN 绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN 的周长．8．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C 作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：△DHC≌△CEB；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时，的值为 ．9．四边形ABCD 中，E 为边BC 上一点，F 为边CD 上一点，且∠AEF ＝90°． （1）如图1，若ABCD 为正方形，E 为BC 中点，求证：＝．（2）若ABCD 为平行四边形，∠AFE ＝∠ADC ， ①如图2，若∠AFE ＝60°，求的值．②如图3，若AB ＝BC ，EC ＝2CF ，直接写出cos ∠AFE 值为 ．10．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，BD ＝24，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60°得到 线段AM ，连接FM ．（1）线段AO 的长为 ；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM＝AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3，请直接写出△AEM的面积．参考答案1．解：（1）如图2中，连接PF，BE．∵∠ACB＝90°，AP＝PB，∴PC＝PA＝PB，∵∠DFE＝90°，PD＝PE，∴PF＝PD＝PE，∵∠APC＝∠DPF，∴∠APD＝∠CPF，∴△APD≌△CPF（SAS），∴AD＝CF，∴＝1，同法可证，△BPE≌△CPF，∴CF＝BE，∴＝1．故答案为1，1．（2）结论：＝．理由：如图3中，连接PF．∵PC⊥AB，PF⊥DE，∴∠APC＝∠DPF＝90°，∵△APC∽△DPF，∴＝，∴＝，∵∠APC＝∠DPF＝90°，∴∠APD＝∠CPF，∴＝，同法可证，△CPF∽△BPE，∴＝，∵∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴＝，∴＝．（2）如图4﹣1中，当PC∥DF时，∵∠CAB＝30°，∠APC＝90°，∴PC＝AC，∵DF＝AC，∴DF＝PC，∴四边形PCFD是平行四边形，∵∠EFD＝90°，∴EF⊥DF，∴EF⊥PC，∵PC⊥AB，∴PB∥EF，同法可证，BP＝EF＝BC，∴四边形PBEF是平行四边形，∴BE∥PF，∴∠BEP＝∠EPF＝90°，∵AB＝4，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，∵CP⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝90°，∠PCB＝30°，∴PB＝PB＝1，∵∠EPB＝∠DEF＝60°，∴BE＝PB•sin60°＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．如图4﹣2中，当点D落在AC上时，四边形CDPF是矩形，四边形PEBF是矩形，此时BE＝PF＝，由（2）可知，＝＝＝，∴CF＝，AD＝．综上所述，BE＝，CF＝，AD＝．2．解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，AM＝12，OM＝5，∴，（2）∵四边形ABCO为菱形，∴OC＝OA＝13，∴C（13，0），又∵AB∥OC，∴B（8，12），又∵A（﹣5，12），∴，∴点，∴，，因此，BD2+BC2＝DC2，所以△BCD为直角三角形；（3）延长BD交AO于点P，∵AO∥BC，∴S△BCP ＝S△BCA，∵A（﹣5，12），∴，由（2）知，联立得：，解得，所以点，作P关于点B的对称点P′，可根据中点得：∴，综上，点P为或．3．解：（1）①∵C（4，2），∠AOD＝90°，∴DC＝AD＝4，DO＝2，∴OA＝＝2，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝4．∴OB＝AB﹣OA＝2．∴B（2，0）．故答案为：（2，0）．②∵在菱形ABCD中，DC＝AB＝4，OD＝2，∴菱形ABCD的面积＝AB•OD＝4×2＝8．（2）如图1所示：在菱形ABCD中，点P关于AC的对称点为P'，AP'＝3，连接DP'交AC于点E，连接PE，∴PE+DE＝P'E+ED＝P'D．∵OA＝2，OD＝2，∴OP'＝1，在Rt△DOP'中，∵DO2+P'O2＝P'D2，∴．∴PE+DE的最小值为．（3）如图2所示：①当点P在AD上时，过点P作PE⊥AC，垂足为E．由菱形的性质可知：∠PAE＝∠DAB＝30°，∵PE＝1，∠PAE＝30°，∠PEA＝90°，∴AP＝2．∴t＝2．②当点P在DC上时，如图3所示：由菱形的性质可知：∠PCE＝∠DCB＝30°，∵PE＝1，∠PCE＝30°，∠PEC＝90°，∴CP＝2．∴AD+DP＝4+2＝6．∴t＝6．③如图4所示：当点P在BC上时．由菱形的性质可知：∠PCE＝∠DCB＝30°，∵PE＝1，∠PCE＝30°，∠PEC＝90°，∴CP＝2．∴AD+DC+CP＝4+4+2＝10．∴t＝10．④如图5所示；点P在AB上时．由菱形的性质可知：∠PAE＝∠DAB＝30°，∵PE＝1，∠PAE＝30°，∠PEA＝90°，∴AP＝2．∴AD+DC+BC+BP＝4+4+4+2＝14．∴t＝14．综上所述，当t＝2或t＝6或t＝10或t＝14时，点P到AC的距离是1．故答案为：2，6，10，14．4．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥OC于H．∵四边形OABC是正方形，B（﹣4，4），∴OA＝OC＝4，∵D是OC中点，∴CD＝OD＝2，∵∠EHD＝∠AOD＝∠ADE＝90°，∴∠EDH+∠ADO＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠EDH＝∠DAO，∵DE＝DA，∴△DHE≌△AOD（AAS），∴EH＝OD＝2，DH＝OA＝4，∴OH＝DH+OD＝6，∴E（﹣6，2）．（2）点F的位置不变化．理由如下：∵△DHE≌△AOD，∴DH＝OA，EH＝OD，∵OA＝OC，∴DH＝CO，∴CH＝OD＝EH，∵∠EHC＝90°，∴∠ECH＝∠OCF＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴OF＝OC＝4，∴F（0，﹣4）．（3）一致．理由如下：过点E作EH⊥OC于H，同法可证△DHE≌△AOD，∴DH＝OA，EH＝OD，∵OA＝OC，∴DH＝CO，∴CH＝OD＝EH，∵∠EHC＝90°，∴∠ECH＝∠OCF＝45°，∵∠COF＝90°，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴OF＝OC＝4，∴F（0，﹣4）．故答案为一致．5．解：（1）①∵BF长为a，BG长为b，△GBF的周长为m，∴GF＝m﹣a﹣b，故答案为：m﹣a﹣b；②∵正方形ABCD边长为1，∴AB＝BC＝1，∵BF长为a，BG长为b，∴AG＝1﹣b，FC＝1﹣a，∴EP＝AG＝1﹣b，PH＝FC﹣1﹣a，∴长方形EPHD的面积为：（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab，故答案为：1﹣a﹣b+ab；（2）①∵△ABC中，∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2．∴在△GBF中，GF＝m﹣a﹣b，∴（m﹣a﹣b）2＝a2+b2，化简得，m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0，故答案为：m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0；②∵BF长为a，BG长为b，∴AG＝1﹣b，FC＝1﹣a，在Rt△GBF中，GF2＝BF2+BG2＝a2+b2，∵△GBF的周长为m＝1，∴BF+BG+GF＝a+b+＝1，即＝1﹣a﹣b，两边平方得，a2+b2＝12﹣2（a+b）+（a+b）2，整理得，1﹣2a﹣2b+2ab＝0，∴a+b﹣ab＝，∴长方形EPHD的面积为：PH•EP＝FC•AG＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab＝1﹣＝；③由①得：m2﹣2ma﹣2mb+2ab＝0，∴ab＝ma+mb﹣m2，∴长方形EPHD的面积为：PH•EP＝FC•AG＝（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣a﹣b+ab＝1﹣a﹣b+ma+mb﹣m2＝1+（m﹣1）a+（m﹣1）b﹣m2，所以要使长方形EPHD的面积是一个常数，只要m＝1．6．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．7．解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝，∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN，∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．8．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH ＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG ：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．9．（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴，∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，∴CF＝a，DF＝CD﹣CF＝a，∴．（2）①在AD上截取DM＝DF，连接MF．∵∠ADC＝60°，∴△DMF是等边三角形，∴DF＝MF，∠DMF＝∠DFM＝60°，∴∠AMF＝120°，∵四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC，∴∠ECF＝120°，∴∠AMF＝∠ECF，∵∠AFE＝60°，∴∠AFM+∠EFC＝60°，∵∠EFC+∠FEC＝60°，∴∠AFM＝∠FEC，∴△AMF∽△FCE，∴，∵∠AFE＝60°，∠AEF＝90°，∴，∴．②如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，则∠FTD＝∠FDT，∴180°﹣∠FTD＝180°﹣∠D，∴∠ATF＝∠C，又∵∠TAF+∠D＝∠AFE+∠CFE，且∠D＝∠AFE，∴∠TAF＝∠CFE，∴△FCE∽△ATF，∴，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x+2，∴DH＝DT＝，且，由cos∠AFE＝cos∠D，得，解得x＝6，∴cos∠AFE＝．故答案为：．10．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝12，在Rt△AOB中，AB＝13，根据勾股定理得，AO＝＝＝5，故答案为5；（2）由旋转知，AM＝AF，∠MAF＝60°，∴△AMF是等边三角形，∴∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC＝180°﹣∠AFM＝120°，∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∴OA＝OC＝AC，在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠AFO＝∠AFC＝60°，在Rt△AOF中，sin∠AFO＝，AF＝＝＝OA＝AC，∴AM＝AC；（3）①当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，△AMF是等边三角形，∵△AFM的周长为3，∴AF＝，在Rt△AOF中，根据勾股定理得，OF＝＝2，∴BF＝OB﹣OF＝12﹣2＝10，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝13，∠BAE＝60°，由（1）知，AM＝AF，∠FAM＝60°，∴∠BAE＝∠EAM，∴∠EAM＝∠BAF，∴△AEM≌△ABF（SAS），∴EM＝BF＝10，∠AEM＝∠ABF，过点M作MN⊥AE于N，∴∠MNE＝∠AOB＝90°，∴△MNE∽△AOB，∴，∴，∴MN＝，∴S＝AE•MN＝×13×＝25，△AEM②当点F在OD上时，同①的方法得，MN＝，S＝AE•MN＝×13×＝35，△AEM即：△AEM的面积为25或35．。

中考数学专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案

中考数学专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案

中考专题复习——与四边形有关的综合题集(含压轴题)带答案一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD 一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•D G，其中正确结论的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD 中，BC=AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH （3）OH=AE （4）BC ﹣BF=EH其中正确命题的序号（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（3）6．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC 于M 点，PN ∥BC 交CD 于N 点，连接MN ，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于G，交CD于H．在下列结论中：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤S△HCF=S△ADH，其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF =S△AEF，其中正确的结论有（）个．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．如图，正方形ABCD 的边CD 与正方形CGFE 的边CE 重合，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于H ，连接OH 、FH 、EG 与FH 交于M ，对于下面四个结论：①GH ⊥BE ；②HO BG ；③点H 不在正方形CGFE 的外接圆上；④△GBE ∽△GMF ． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个评卷人 得 分二．填空题（共7小题）10．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③点B 到直线AE 的距离为；④S △APD +S △APB =1+；⑤S 正方形ABCD =4+．其中正确结论的序号是 ．11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE=BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ．（把你认为正确的说法的序号都填上）12．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ，CE=2，连接CF ，以下结论：①△ABF ≌△CBF ；②点E 到AB 的距离是2；③tan ∠DCF=；④△ABF 的面积为．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．13．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC ．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论：①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC ；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是 ．14．如图，在矩形ABCD 中，AD=AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论： ①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ，其中正确的有 ．15．如图所示，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连结AE，CE．延长CE到F，连结BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F 到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的是．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AB=5cm．点P从点A出发沿AC以1.5cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q 从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC﹣CB﹣BQ于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0），则当t=秒时，四边形BQDE为直角梯形．评卷人得分三．解答题（共34小题）17．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6．点P在边AC上运动，过点P作PD ⊥AB于点D，以AP、AD为邻边作▱PADE．设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）．（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求x的值．（3）求y与x之间的函数关系式．（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．19．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N 分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM 和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC=60°点M、N 分别是边BC、边CD上的动点，且MB=NC．连接AM、AN、MN．MN交AC于点P．（1）△AMN是什么特殊的三角形？说明理由．并求其面积最小值；（2）求点P到直线CD距离的最大值；（3）如图2，已知MB=NC=1，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AE、AF的长；若不存在，请说明理由．21．如图①，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α度后得到正方形AB'C'D'（0°＜α＜90°），C'D'与直线CD相交于点E，C'B'与直线CD相交于点F．问题发现：（1）试猜想∠EAF=；三角形EC'F的周长．问题探究：如图②，连接B'D'分别交AE，AF于P，Q两点．（2）在旋转过程中，若D'P=a，QB'=b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．（3）在旋转过程中△APQ的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=6cm，AE=DE=3cm，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥CD？（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PBCQ ：S四边形PQDE=22：5？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使A，P，Q三点在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．23．已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC 于点N（点N在点M的左侧）．（1）当BM的长为10时，求证：BD⊥DM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BN=x，BM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN是等腰三角形，求BN的长．24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．25．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．26．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG ≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．27．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE ：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．28．如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．29．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C 重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．30．已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为（直接写出答案）．31．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD 上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M 作MG⊥EM，交直线BC于点G．（1）若M为边AD中点，求证△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．32．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC 的长度．33．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF ：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．34．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．35．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．36．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．（1）AM=，AP=．（用含t的代数式表示）（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=．37．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．38．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B 点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？39．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M 作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．40．如图（1），E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．（1）求证：FG=BE；（2）连接CF，如图（2），求证：CF平分∠DCG；（3）当=时，求sin∠CFE的值．41．如图，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；（3）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）42．如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形B点正好落在CD上的点E 处，连结BE．（1）求证：∠BAE=2∠CBE；（2）如图2，连BG交AE于M，点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论；（3）若AB=5，BC=3，直接写出BG的长．43．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．44．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A 出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形．（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD=PD）？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．46．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，E为AB的中点，连接CE，BD，过点E作FE⊥CE于点E，交AD于点F，连接CF，已知2AD=AB=BC．（1）求证：CE=BD；（2）若AB=4，求AF的长度；（3）求sin∠EFC的值．47．如图①，在长方形ABCD中，AB=DC=3cm，BC=5cm，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=cm．（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP，请说明理由；（3）如图②，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样a的值，使得△ABP与△PCQ全等？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．48．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并△AOE说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．49．如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图（2），若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（0≤t＜2），连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求t的值；（3）如图（3），若点Q在对角线AC上，CQ=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t 秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的结果．50．如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．四边形综合题集参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S=S四边形BCDG，易求后者的面积；四边形CMGN③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED ≌△DFB ，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG +∠DBF=∠BDG +∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD +∠BCD=180°，∴点B 、C 、D 、G 四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM ⊥GB 于M ，CN ⊥GD 于N （如图1），则△CBM ≌△CDN （AAS ），∴S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S △CMG ，∵∠CGM=60°，∴GM=CG ，CM=CG ，∴S 四边形CMGN =2S △CMG =2××CG ×CG=CG 2，故本选项错误；③过点F 作FP ∥AE 交DE 于P 点（如图2），∵AF=2FD ，∴FP ：AE=DF ：DA=1：3，∵AE=DF ，AB=AD ，∴BE=2AE ，∴FP ：BE=FP ：2AE=1：6，∵FP ∥AE ，∴PF ∥BE ，∴FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；④当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，△ABD ，△BDC 为等边三角形，∵点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选：B．【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF =2S△ABE，其中结论正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF 和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴CE=CF，故①正确；∵∠BAE=∠DAF，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°，∴∠AEB=75°，故②正确；设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，∴AG≠2GC，③错误；∵CG=x，AG=x，∴AC=x∴AB=AC•=x，∴BE=x﹣x=x，∴BE+DF=（﹣1）x，∴BE+DF≠EF，故④错误；∵S△CEF=x2，S△ABE=×BE×AB=x×x=x2，∴2S△ABE ═S△CEF，故⑤正确．综上所述，正确的有3个，故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S△ACF=1；④CE=AF；⑤EG2=FG•DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①②、证明△ABH≌△ADF，得AF=AH，再得AC平分∠FAH，则AM既是中线，又是高线，得AC⊥FH，证明BH=HM=MF=FD，则FH=2BH；所以①②都正确；≠1，错误；③可以直接求出FC的长，计算S△ACF④根据正方形边长为2，分别计算CE和AF的长得结论正确；还可以利用图2证明△ADF≌△CDN得：CN=AF，由CE=CN=AF；⑤利用相似先得出EG2=FG•CG，再根据同角的三角函数列式计算CG的长为1，则DG=CG，所以⑤也正确．【解答】解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD=∠CAF=22.5°，∵BH=DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH=AF，∠BAH=∠FAD=22.5°，∴∠HAC=∠FAC，∴HM=FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF=FM，∴FH=2DF=2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM=45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴AC=2，MC=DF=2﹣2，∴FC=2﹣DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，S△AFC=CF•AD≠1，所以选项③不正确；④AF===2，∵△ADF∽△CEF，∴，∴，∴CE=，∴CE=AF，故选项④正确；⑤延长CE和AD交于N，如图2，∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，∴CE=EN，∵EG∥DN，∴CG=DG，在Rt△FEC中，EG⊥FC，∴EG2=FG•CG，∴EG2=FG•DG，故选项⑤正确；本题正确的结论有4个，故选：C．【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、相似三角形、全等三角形的性质和判定；求边时可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角函数列式计算；同时运用了勾股定理求线段的长，勾股定理在正方形中运用得比较多．4．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（ ）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ．A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF ；②AE ⊥BF ；△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF=QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解；根据AA 可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF=BE ，在△ABE 和△BCF 中，，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE=∠CBF ，AE=BF ，故①正确；又∵∠BAE +∠BEA=90°，∴∠CBF +∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；根据题意得，FP=FC ，∠PFB=∠BFC ，∠FPB=90°∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴∠ABF=∠PFB ，∴QF=QB ，令PF=k （k ＞0），则PB=2k在Rt △BPQ 中，设QB=x ，∴x 2=（x ﹣k ）2+4k 2，∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确； ∵∠BGE=∠BCF ，∠GBE=∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE=BC ，BF=BC ， ∴BE ：BF=1：，∴△BGE 的面积：△BCF 的面积=1：5，∴S 四边形ECFG =4S △BGE ，故④错误．故选：B．【点评】本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．5．如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE 于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2EH（3）OH=AE （4）BC﹣BF=EH其中正确命题的序号（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（1）（3）【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=AB=CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5°，∠AEB=67.5°，得到（1）正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=﹣1，得到2HE≠1，所以（2）不正确；（3）通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到（3）正确；（4）由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到（4）不正确．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∠ADC=∠BCD=90°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AH⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AH，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AEH=∠AEB，所以（1）结论正确；（2）设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=DE﹣DH=﹣1，∴2HE=2（﹣1）=4﹣2≠1，所以（2）结论不正确；（3）∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°，∴∠OAH=∠OHA=22.5°，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE=OA，∴OH=AE，所以（3）正确；（4）∵AH=DH，CD=CE，在△AFH与△CHE中，，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH，在Rt△ABE与Rt△AHE中，，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB﹣AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，所以（2）不正确，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C 两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC 于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个。

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形(Word版含答案)

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形(Word版含答案)

2021年浙江省中考数学三轮复习冲刺压轴题最后猜想：四边形1.（1）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD ，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点H ，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断符合题意吗？请说明理由．（2）问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C′落在AD上时，已知DE=a ，CD=b ，CF=c ，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．（3）问题应用：如图③，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4．将平行四边形ABCD沿对角线AC 翻折得到△ACE ，AE交BC于点F ．若点F为BC的中点，则平行四边形ABCD的面积为________．2.（1）（探究证明）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH ，EF分别交AD、BC于点E、F ，GH分别交AB、DC于点G、H ，求证：EFGH =ABAD；（2）（结论应用）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；（3）（拓展运用）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG ，若AB＝2，BC＝3，EF＝2√103，请求BP的长．3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B ，C重合），连接MP ，PF⊥MP交CD于点F ．点B ，B'关于MP对称，点C ，C′关于PF对称，连接B'C ．（1）求证：△PFC∽△MPB ．（2）①当BP＝2时，B'C'＝________；②求B'C的最小值．（3）是否存在点P ，使点B'，C′重合？若存在，请求出此时M ，F的距离；若不存在，请说明理由．4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2．（1）求BC，AC，AB的长．（2）求y关于x的函数表达式．（3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.5.如图1，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，点D在AC上.（1）求证：ADCD =ABBC（2）如图2，已知AE为BC边的中线，且AE=BE.在射线BD上取一点A'使AE=A'E，A'E交AC于点F，过点A'作AB的垂线，交BA的延长线于点G，连接EG交BD于点H，连接CH.①求证：四边形AGA′F为矩形；②若tanC=34，△BGH的面积为S，请求出△CEH的面积（用含S的代数式表示）.6.△ABC为等边三角形，AB=8,AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一点，AE=2√3．以AE为边作等边三角形AEF，连接CE,N为CE的中点．（1）如图1，当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M，连接MN，①求证：ME=MF；②求线段MN的长；（2）将图1中的△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，点M为线段EF的中点，连接BE,MN,DM，①如图2，当α=90°时，请直接写出DMBE的值；②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan∠DAN的值．7.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN ，AC ，MN与边AD交于点E ．（1）求证：AM=AN（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=√2AB⋅AE；（3）MN交AC点O ，若CMBM =k，则OMON=________（直接写答案、用含k的代数式表示）．8.综合与探究问题情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，点D是射线BC上一动点，连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE ，连接DE ，CE ．（1）探究发现如图1，BD＝CE ，BD⊥CE ，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；（3）探究拓广当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD ，DC ，AD之间的数量关系．9.综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF ，连接CF ，点H为CF的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．（1）应用探究：勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：为定值，请你直接写出其值________．发现若连接BE ，在旋转Rt△AEF的过程中，BECF10.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG//DF交DC于点G，交AC于点M．过点G作GN⊥DF于点N．（1）求证：四边形NEMG为矩形；（2）若AB=26,GN=8,sin∠CAB=513，求线段AC的长．11.已知：正方形ABCD的边长为4，E是边CB上的一个动点，过点D作DF⊥DE，交BA的延长线于点F，EF交对角线AC于点M，DE交AC于点N．（1）求证：CE=AF；（2）求证：FM=EM；（3）随着点E在边CB上的运动，NA⋅MC的值是否变化？若不变，请求出NA⋅MC的值；若变化，请说明理由．12.如图，在折纸游戏中，正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P .（1）求证：∠EBF=45° .（2）如图，过点P作MN//BC，交BF于点Q .①若BM=5，且MP⋅PN=10，求正方形折纸的面积.②若QP=12BC，求AMBM的值.13.如图（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC,AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD,AB上，GF⊥AE .求证：AE=FG；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB=k（k为常数）.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG,EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k=34，若tan∠CGP=43,GF=2√5，求CP的长.14.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________；（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.15.如图，过正方形ABCD的顶点A作AP⊥AQ，将∠PAQ绕点A旋转，AP交射线CB交于点E，AQ交射线CD交于点F，连接EF，M为EF的中点，连接BM．（1）求证：AE=AF；（2）写出CF与BM的数量关系，并说明理由；（3）若BC=4，BE=2，直接写出BM的长．16.在矩形ABCD中，AB=2BC，点E是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE= 2CF，连接EF交AC于点G．（1）tan∠CAB=________；（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，①求证：EG=FG；②求证：CG=√5BE；4（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H，①EG=FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论：②当CF=1，BF=2时，请直接写出GH的长．17.（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：FG=AE；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，BCAB =23将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，若BEBF =34，GF=2√10，求CP的长．18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD=12AB．（1）请写出完整的证明过程．（2）结论应用：如图②，BE、CF是锐角△ABC的两条高，M、N分别是BC、EF的中点，判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若EF=6,BC=24，则MN的长为________．19.如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF=GC，以DC、CF为邻边作▱DCFE，连接CE．（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．（2）在（1）条件下，连接DF，若BC=√3，求DF的长．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标是(8,6)，点M为OA边上的一动点（不与点O、A重合），连接CM，过点M作直线l⊥CM，交AB于点D，在直线l上取一点E（点E在点M右侧），使得CMME =43，过点E作EF//AO，交BO于点F，连接BE，设OM=m(0<m<8)．（1）填空：点E的坐标为________（用含m的代数式表示）；（2）判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由；（3）①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；②在x轴正半轴上存在点G，使得△GEF是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点G的坐标（用含m的代数式表示）．21.已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，AC＝BC ，AF＝EF ，连接BE ，点Q为线段BE的中点．（1）如图1，当点E在线段AC上，点F在线段AB上时，连接CQ ，若AC＝8，EF＝2 √2，求线段CQ的长度．（2）如图2，B、A、E三点不在同一条直线上，连接CE ，且点F正好落在线段CE上时，连接CQ、FQ ，求证：CQ＝FQ ．（3）如图3，AC＝8，AE＝4 √2，以BE为斜边，在BE的右侧作等腰Rt△BEP ，在边CB上取一点M ，使得MB＝2，连接PM、PQ ，当PM的长最大时，请直接写出此时PQ2的值．22.请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为________；②当BE=________时，四边形CDBE为正方形.（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形（3）拓展延伸：如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.23.探索与应用：如图（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形ABEB′是菱形.（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B 恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由. （3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点B′处，点A落在纸片ABCD外部点A′处，A′B′与AD交于点M，且A′M＝B′M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.24.定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如，在ΔABC中，∠A=100°，∠B=60°，∠C=20°，满足∠A−∠B=2∠C，所以ΔABC是关于∠C的“差倍角三角形”.（1）若等腰ΔABC是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角∠A的度数；（2）如图1，ΔABC中，AB=3，AC=8，BC=9，小明发现这个ΔABC是关于∠C的“差倍角三角形”.他的证明方法如下：证明：在BC上取点D，使得BD=1，连结AD，（请你完成接下去的证明）（3）如图2，五边形ABCDE内接于圆，连结AC，AD与BE相交于点F，G，AB=BC=DE，ΔABE是关于∠AEB的“差倍角三角形”.①求证：四边形CDEF是平行四边形；②若BF=1，设AB=x，y=S四边形CDEFSΔAEG，求y关于x的函数关系式.25.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA＝8，OC＝10，将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α（0＜α＜180°）得到矩形ODEF.（1）当点E恰好落在y轴上时，如图1，求点E的坐标.（2）连接AC，当点D恰好落在对角线AC上时，如图2，连接EC，EO，①求证：△ECD≌△ODC；②求点E的坐标.（3）在旋转过程中，点M是直线OD与直线BC的交点，点N是直线EF与直线BC的交点，若BM＝1BN，请直接写出点N的坐标.226.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为边BC，AC上的点，连接DE，过D作DF ⊥DE交AC边于点F（F不与点C重合），点G为射线DF上一点，连接EG，使∠BAC＝∠DEG＝α.（1）连接CG，求证：△DEF∽△CGF；（2）当α＝45°时，请探究AE，BD与CG三者满足的数量关系，并证明；CD，AC＝10，请直（3）如图2，点M，N分别为EG和AC的中点，连接MN.若tanα＝2，BD＝13接写出MN的最小值.27.如图（1）问题发现如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.CD⊥AB于点D，则CD的长为________；（2）问题探究如图2，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N分别在BD，BC上，求CM＋MN的最小值；（3）问题解决有一度假山庄，它的平面图为矩形ABCD，现在山庄管理人员想在山庄内找到一点G（点G不在AB、BC、AD上）与CD共同构成一个三角形的绿化区，并且度假山庄大门E到点G的距离与到拐角B的距离相等，如图3，经过测量得知AB＝30m，BC＝40m，BE＝10m，请问绿化区△GCD的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.28.如图，平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，B点坐标是（3，3√3）.点E从点A出发，沿AO向点O运动，速度为每秒√3个单位长度，同时点F从点A出发，沿AB向点B运动，速度为每秒1个单位长度，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动.将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为G点，设运动时间为t秒.（1）当点G落在线段OB上时，t＝________；当点G落在线段CB上时，t＝________；（2）在整个运动过程中，求△EFG与△ABO重叠部分的面积S与t的函数表达式，并写出t的取值范围；（3）当点G落在线段BC上时，是否在x轴上存在点N，直线EF上存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.29.正方形ABCD的边长是5，点M是直线AD上一点，连接BM，将线段BM绕点M逆时针旋转90°得到线段ME，在直线AB上取点F，使AF=AM，且点F与点E在AD同侧，连接EF，DF.（1）如图1，当点M在DA延长线上时，求证：△ADF≌△ABM；（2）如图2，当点M在线段AD上时，四边形DFEM是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，线段AM与线段AD有什么数量关系时，四边形DFEM的面积最大？并求出这个面积的最大值.30.如图1，正方形ABCD的边长为5，点E为正方形CD边上一动点，过点B作BP⊥AE于点P ，将△APB绕点A逆时针旋转90°得△AP′D，延长BP交P′D于点F ，连结CP．（1）判断四边形的AP′FP的形状，并说明理由；（2）若DF=1，求S△CPB；（3）如图2，若点E恰好为CD的中点时，请判断CP与DF的数量关系，请说明理由．31.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，点A(1,0)，点C(0,2)，点O(0,0)，把矩形OABC绕点O 顺时针旋转135°，得到矩形ODEF，点A ，B ，C的对应点分别为D ，E ，F ．DE交y轴于点M ．（1）如图①，求∠FOM的大小及OM的长；（2）将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O′D′E′F′，点O ，D ，E ，F的对应点分别为O′,D′,E′,F′，设OO′=t(0<t≤2)．①如图②，直线D′E′与x轴交于点N ，若CN//BO，求t的值；②若矩形O′D′E′F′与矩形OABC重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）．32.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A ，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2√3)，将矩形OABC绕点A顺时针旋转α，得到矩形O1AB1C1，点O ，B ，C的对应点分别为O1,B1,C1．（1）如图①，当α=45°时，O1C1与AB相交于点E ，求点E的坐标；（2）如图②，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；（3）连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标（直接写出结果即可）．33.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(9，0)、B(9，12)，点M、N分别是线段OB、AB上的个单位、2个单位，作MH⊥OA于H.现点M、N分别从点O、A同时出发，动点，速度分别是每秒53当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．34.如图所示，BA⊥x轴于点A ，点B的坐标为（﹣1，2），将△OAB沿x轴负方向平移3个单位，平移后的图形为△EDC ．（1）直接写出点C和点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点A出发，沿“AB→BC→CD”移动，移动到点D停止．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①当t为何值时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②用含t的式子表示点P在运动过程中的坐标（写出过程）；③当5秒＜t＜7秒时，四边形ABCP的面积为4，求点P的坐标．35.如图（1），在平面直角坐标系中，点A ，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD ，连接AC ，BD ，构成平行四边形ABDC ．（1）请写出点C的坐标为________，点D的坐标为________，S四边形ABDC________；（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC ，求出点Q的坐标；（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO ，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．答案1. （1）解：小华的判断是正确的．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠HEF=∠EFC．由折叠，得∠HFE=∠EFC，∴∠HFE=∠HEF∴HE=HF∴△EFH是等腰三角形（2）解：a2+b2=c2．在矩形ABCD中，∠D=90°，由折叠，得∠D′=∠D=90°，D′E=DE=a，C′D′=CD=b，C′F=CF=c，由问题呈现，得C′E=C′F=c．在Rt△C′D′E中，D′E2+C′D′2=C′E2，∴a2+b2=c2．（3）3√72. （1）证明：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP 于T．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴APBQ =ABBC,∴EFGH =ABAD.（2）解：如图②中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝√BC2+CD2=√32+22=√13, ∵D，B关于EF对称，∴BD⊥EF，∴EFBD =ABAD,∴√13=23,∴EF＝2√133.（3）解：如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴2√103DG = 23,∴DG＝√10，∴AG＝√DG2−AD2=√10−9＝1，由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x ＝ 53，∴DE ＝EG ＝ 53 ， ∵FH ⊥EG ，∴∠FHG ＝∠HGP ＝∠GPF ＝90°， ∴四边形HGPF 是矩形， ∴FH ＝PG ＝CD ＝2，∴EH ＝ √FF 2−FH 2=(2√103)=23，∴GH ＝FP ＝CF ＝EG ﹣EH ＝ 53﹣ 23 ＝1，∵PF ∥EG ，EA ∥FB ， ∴∠AEG ＝∠JPF ， ∵∠A ＝∠FJP ＝90°， ∴△AEG ∽△JFP ， ∴ AE FJ=AG PJ =EG FP，∴43FJ=1PJ =531 ，∴FJ ＝ 45 ，PJ ＝ 35 ，∴BJ ＝BC ﹣FJ ﹣CF ＝3﹣ 45 ﹣1＝ 65 ，在Rt △BJP 中，BP ＝ √BJ 2+PJ 2=√(35)2+(65)2=3√55 ．3. （1）证明：∵PF ⊥MP ， ∴∠FPC+∠MPB ＝90°， ∵∠PMB+∠MPB ＝90°， ∴∠FPC ＝∠PMB ， ∵∠FCP ＝∠B ， ∴△PFC ∽△MPB ；（2）解：①1 ②如图2，连接MB'，CM ， ∵M 为AB 的中点， ∴MB ＝MB'＝2， ∴MB'+ CB'≥CM ， ∴当点B'在线段CM 上时，CB'有最小值， ∵CM ＝ √BC 2+BM 2=√25+4=√29 ， ∴CB'的最小值＝ √29 ﹣2；（3）解：存在，理由如下：如图4，设B'，C'重合点为N ，连接PN ，MN ，NF ，∵点B ，N 关于MP 对称，点C ，N 关于PF 对称，∴BP ＝PN ，PC ＝PN ，MN ＝BM ＝2，FN ＝CF ，∠B ＝∠MNP ＝90°，∠C ＝∠PNF ＝90°， ∴点M ，点N ，点F 三点共线，PB ＝PC ＝PN ＝ 52 ， ∵∠MPF ＝90°，∴∠MPB+∠FPC ＝90°=∠MPB+∠BMP ， ∴∠BMP ＝∠FPC ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BMP ∽△CPF ， ∴ BPCF =BM CP， ∴CF ＝ 52×522=258，∴MF ＝MN+NF ＝2+ 258 ＝418．4. （1）解：设AC=x ，则BC=x-2，AB=x+2，由勾股定理，得 (x −2)2+x 2=(x +2)2 ，解得 x =8 ，或 x =0 （舍去）， ∴BC=6，AC=8，AB=10.（2）解：设AN=a ，则BM=3a ， y =kx +b ，∵ED 为△ABC 的中位线，∴ED= AB 2=5由题意，得 {x =0y =5,{x =10−4a y =0,{x =5−ay =2 ， 把 {x =0y =5,{x =10−4a y =0,{x =5−ay =2 代入 y =kx +b ， 得 {b =5k(10−4a)+b k(5−a)+b =2=0 ，解得 {a =57b =5k =−710 ，∴ y =−710x +5（3）解：① 1)当PQ ⊥BC 时，四边形ADPQ 为平行四边形，则DP=AQ ， y =a +x ，即 −710x +5=57+x ， 解得 x =300119 ；2)当PQ⊥AC时，四边形PQBE为平行四边形，则PE=BQ，5−y=10−a−x，即5−(−710x+5)=10−57−x，解得x=650119；3)当PQ⊥AB时（如图1），作DH⊥AB于H，则AH=a+x−y=165，即57+x−(−710x+5)=165，解得x=524119.∴当x=300119,650119,524119时，PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直.(3）②如图2，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB= 3×45=125，AH= 57+x−125=y+ADcosA=y+4×45，把y=−710x+5，代入，得5 7+x−125=−710x+5+4×45，解得x=692119.（3）②如图3，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB= 3×45=125，AH= 57+x+125=y+ADcosA=y+4×45，把y=−710x+5，代入，得5 7+x+125=−710x+5+4×45，解得x=3561195. （1）证明：方法1.过点D作DM∥AB交BC于点M.则△ABC∽△DMC，∠1=∠2，ADCD =BMCM∴DMCM=ABBC∵BD为∠ABC的平分线∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3∴DM=BM∴ADCD =BMCM=DMCM=ABBC即ADCD=ABBC方法2.过点C作CM∥AB交BD的延长线于点M，通过相似可证. 方法3.过点D作BA，BC的垂线，通过两个等高三角形面积比可证.（2）解：①证明：由题意知，AE=BE=CE∴∠3=∠4，∠BAC=90°即AC⊥AB又∠1=∠3，A′G=AB∴∠1=∠4，AG∥AC∴A′E∥AB∴四边形AGA′F为平行四边形∵A′G⊥AB∴▱AGA′F为矩形②解：由题意，在Rt△ABC中，可设AB=3t，AC=4t，则BC=5t∴EF=32t,A′E=52t,∴AG=A′F=52t−32t=t在△BEG中由（1）可得: EHGH =BEBG=52t3t+t=58∵AE为BC边的中线，∴S△CEH=S△BEH∴S△CEHS△BEH=S△BEHS△BGH=EHGH=58∴S△CEH=5S△BGH=5S6. （1）解：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠CAD= 12CAB=30°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴∠EAM=∠FAM=30°，∴ME=MF．②∵AE=AF，EM=MF，∴AM⊥EF，∵AM=AE•cos30°=2 √3×√32=3，∵等边三角形中AC=AB=8，∴CM=AC-AM=5，∵EM=MF= √3，∴CE= √CM2+ME2=√52+(√3)2=2√7，∵CN=NE，∴MN= 12EC= √7．（2）①√32；②7√397. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠CAD=45°=∠ACB,∠BAD=90°=∠CDA=∠B，∴∠BAM+∠MAD=90°,∵∠MAN=90°，∴∠MAD+∠DAN=90°,∴∠BAM=∠DAN，∵AD=AB,∠ABC=∠ADN=90°，∴△ABM≅△ADN(ASA)∴AM=AN；（2）证明：∵AM=AN,∠MAN=90°∴∠MNA=45°，∵∠CAD=2∠NAD=45°,∴∠NAD=22.5°，∴∠CAM=∠MAN−∠CAD−∠NAD=22.5°，∴∠CAM=∠NAD,∠ACB=∠MNA=45°，∴△AMC~△AEN，∴AMAE =ACAN,∴AM⋅AN=AC⋅AE，∵AN=AM,AC=√2AB，∴AM2=√2AB⋅AE；（3）kk+28. （1）解：由题意得，∠BAC=∠DAE=90°∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE∴AD=AE又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∴∠ECD=90°，BD⊥CE．（2）解：由（1）得：△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°∵CD=13BC，BD＝2DC，即BD=23BC,∴BD=CE=23BC，∵AD=AE∴DE=√AD2+AE2=√2AD∴∠B=∠ACB=45°∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°∴CD2+CE2=DE2，即(13BC)2+(23BC)2=2AD2，∴AD=√106BC；（3）解：如图，过点A作AM⊥BC交BC于点M∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴BM=CM=12BC∴AM=BM=CM=12BC∴AM=12BC=12(BD−CD)，DM=CM+CD=12BC+CD=12(BD+CD)∵AM2+DM2=AD2∴[12(BD−CD)]2+[12(BD+CD)]2=AD2∴BD2+CD2=2AD2．9. （1）解：结论：△DHE是等腰直角三角形．理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，∵点H是CF的中点，∴DH＝DH＝HF＝12CF，∵∠CEF＝90°，CH＝HF，∴EH＝CH＝HF＝12CF，∴DH＝HE，∵DH＝CH＝HE，∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形．（2）解：如图3中，结论成立．理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°∴A，F，A共线，∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，∴△BCH≌△DCH（SAS），∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，∴EF∥GH∥BC，∴BGEG =CHHF，∵CH＝HF，∴GB＝GE，∵HG⊥BE，∴HB＝HE，∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD，∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH，∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB，∵∠HEB+∠AEH＝180°，∴∠ADH+∠AEH＝180°，∴∠DHE+∠DAE＝180°，∵∠DAE＝90°，∴∠DHE＝90°，∴△DHE是等腰直角三角形．（3）√2210. （1）解：∵DE⊥AC，GN⊥DF，∴∠GNE=∠MEN=90°，∵BG//DF，∴∠MGN+∠GNE=180°，∴∠MGN=90°，∴四边形NEMG是矩形．（2）解：∵四边形NEMG是矩形，GN=8，∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，∵sin∠CAB= 513，AB=26，∴MB= AB⋅sin∠CAB=10，∴AM=√AB2−MB2=24，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠CAB=∠ACD ，在△ABM 和△CDE 中， {∠BMA =∠DEC∠CAB =∠ACD AB =CD，∴△ABM ≌△CDE ，∴CE=AM=24，∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．11. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ DC =DA,∠DCE =∠DAF =90° ，又∵ ∠CDE +∠ADE =90°,∠ADF +∠ADE =90° ， ∴ ∠CDE =∠ADF ，∴ △ECD ≅△FAD (ASA)∴ CE =AF ．（2）解：作 EI//AB ，交 AC 于点I ，连接 DM ，∵ △ECD ≅△FAD ，DF ⊥DE ，∴DF=DE ，∠FDE=90°，则 △FDE 为等腰直角三角形．∵AC 为正方形对角线，∠IEC=∠B=90°， ∴ ∠EIC =∠ECI =45° ，∴ CE =IE ，又∵ FA =CE ，∴ FA =EI ，∵ EI//FA ，∴ ∠IEM =∠AFM ， ∠EIM =∠FAM ， ∴ △FAM ≌△EM(ASA) ，∴ FM =ME ．（3）解：不变由（1），（2）可知△FDE为等腰直角三角形，FM=EM，∴DM⊥FE，∠MDE=∠MDF=45°，∵∠DNA=45°+∠CDN=∠MDE+∠CDN=∠MDC，又∵∠DAN=∠DCM=45°，∴△AND∽△CDM．∴ANCD =ADCM．∴NA⋅MC=AD⋅CD=4×4=16．12. （1）证明：∵正方形ABCD沿着BE，BF将BC，AB翻折，使A，C两点恰好落在点P . ∴△ABF≌△PBF，△BPE≌△BCE，∴AE=A′E，BE=B′E，∠PBF =12∠ABP，∠PBE =12∠PBC，∴∠EBF=∠PBF+∠PBE= 12(∠ABP+∠CBP)=12∠CBA=45∘（2）解：①由折叠的性质可得∠BPE=∠C=90°，∴∠MPB+∠NPE=90°，∵MN//BC，正方形ABCD∴四边形MBCN为矩形，∴∠PMB=∠ENP=90°，BM=CN=5；∴∠MPB+∠MBP=90°，∴∠NPE=∠MBP，∴△MBP∽△NPE，∴PMNE =BMPN，∴PM·PN=BM·NE∵BM=5，且MP⋅PN=10，∴NE=2，∴CE=PE=3，∴PN=√PE2−NE2=√32−22=√5，∴PM=2√5∴MN=AD=3√5正方形折纸的面积= AD2=45；②由折叠可知∠AFB=∠BPE，AF=PF，∵AD//MN∴∠AFB=∠FQP，∴∠BPE=∠FQP，∴PF=QP=12BC=AF，∴AF=FD=12BC，设EC=x，则DE= DC-x =BC-x；PE=x，∵在直角三角形DEF中，EF2=DF2+DE2∴(12BC+x)2=(12BC)2+(BC−x)2，∴x=13BC，∴PE=CE=13BC，∴EF=56BC，∵AD//MN∴△MBP∽△NPE，∴PNDF =PEEF=25，∵AF=FD=12BC，∴PN=15BC，∴MQ=MN-PQ-PN=BC-12BC-15BC=310BC，∵AD//MN∴△MBQ∽△ABF，∴BMAB =MQAF=310BC12BC=35，∴AMBM =2313. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，∴∠QAO+∠OAD＝90°，∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∴∠QAO＝∠ADO，∴△ABE≅△DAQ(ASA)，∴AE＝DQ，∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴GF＝DQ，∵AE＝DQ，∴AE＝FG；（2）解：结论：GFAE=k .理由如下：如图2中，过G作GM⊥AB于M，∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∼△GMF，∴GFAE =GMAB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GFAE =ADAB=BCAB=k（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M.∵ FB//GC ， FE//GP ，∴∠CGP ＝∠BFE ，∴ tan ∠CGP =tan ∠BFE =43=BE BF ，∴设 BE =4k ， BF =3k ，则 EF =AF =5k ， AB =BF +AF =3k +5k =8k ，∵ FG AE=34 ， FG =2√5 ， ∴ AE =8√53 ，∴ (4k)2+(8k)2=(8√53)2 ， ∴ k =23 或 k =−23 （不合题意，舍去），∴ BE =83 ， BF =2 ， EF =AF =103 ， AB =163 ，∵ BC AB =k =34 ， ∴BC ＝4，∴ CE =BC −BE =4−83=43 ， AD =PE =BC =4 ，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB ＝∠EPM ，∴ △FEB ∼△EPM ，∴EF PE =BF ME =BE MP ， ∴ 1034=2ME =83MP ，∴解之得： ME =125， MP =165 ， ∴ CM =EM −CE =125−43=1615 ， ∴ CP =√CM 2+PM 2=√(1615)2+(165)2=16√101514. （1）DH=HF（2）解： DH =HF 仍然成立，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， FG ⊥BC ， ∠ECF =90° ，∴ ∠CGF =∠ECF =∠EBC =90°∴ ∠FCG +∠BCE =90° ，∵ ∠BCE +∠CEB =90° ，∴ ∠FCG =∠CEB ，∴ ΔFCG ∼ΔCEB ，∴ GF BC =FC CE =n ，∴四边形ABCD 是矩形， AB =nAD ，∴CD BC =n ， ∴ GF BC=CD BC ， ∴ GF =CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴ CD ⊥BC ，∵ FG ⊥BC ，∴ CD//FG ，∴ ∠HDC =∠HFG ， ∠HCD =∠HGF ，在 ΔHCD 和 ΔHGF 中，{∠HDC =∠HFGCD =GF∠HCD =∠HGF， ∴ ΔHCD ≌ΔHGF(ASA) ，∴ DH =HF（3）解：如图所示，延长FC 交AD 于R ，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，∠RDC=90°，RD//CH，∵AB=nAD，CF=nCE，∴n=ABAD =43，∴CE=43CF，分两种情况：①当AR=13AD时，∵AD=3，∴AR=1，DR=2，在RtΔCDR中，由勾股定理得：CR=√DR2+CD2=√22+42=2√5，∵RD//CH，DH=DF，∴RC=CF=2√5，∴CE=34×2√5=32√5，②当DR=13AD时，同理可得：DR=1，DC=√17，CF=RC=√17，CE=3√174，由勾股定理得：EF=√CF2+CE2=(√4)=5√174，综上所说，若射线FC过AD的三等分点，AD=3，AB=4，则线段EF的长为5√52或5√17415. （1）解：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠ACB=∠ADF=90°,BC=DC 又AP⊥AQ∴∠EAF=90°∴∠EAB=∠FAD=90°−∠BAF,∠ABE=180°−90°=90°∴∠ABE=∠ADF∴△ABE≌△ADF(ASA)∴AE=AF（2）解：CF=√2BM，理由如下；过点F作FG//BM交BC于G，如图则EBBG =EMMF∵M为EF中点∴EM=MF∴EB=BG∵△ABE≌△ADF∴EB=DF∴BG=DF又BC=DC∴CG=CF∴FG=√CG2+CF2=√2CF ∵EM=MF,EB=BG∴BM=12FG=√22CF∴CF=√2BM（3）解：①当点E在线段CB的延长线上时由（2）知，BG=BE=2∴CG=CF=2∴√2BM=CF=2∴BM=√2②当点E在线段CB上时过点F作FG//BM交BC于G，如下图所示同理可得BG=BE=2∴CG=CF=BC+BG=6∴√2BM=CF=6∴BM=3√2综上所述，BM的长为√2或3√216. （1）12（2）解：①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠AEH＝90°．∴EH∥BF，∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，在Rt△ABC和Rt△AEH中，∵AB＝2BC，∴tan∠CAB＝BCAB ＝EHAE＝12，∴AE＝2EH，∵AE＝2CF，∴EH＝CF，∴△EHG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG．②证明：设EH＝x，则AE＝2x，Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝√AE2+EH2＝√5x，∵EH∥BF，∴ AH HC ＝ AE EB ，∴ √5x HC ＝ 2x EB ， ∴CH ＝ √52BE ， ∵△EHG ≌△FCG ，∴HG ＝CG ，∴CG ＝ √54BE ．（3）解：①成立；过点E 作EI ∥BC 交AC 于点I ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠AEI ＝∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝CD ，在Rt △AEI 和Rt △ABC 中，∠ABC ＝∠AEI ＝90°，AB ＝2BC ， ∴tan ∠IAE ＝IE AE =BC AB =12 ， ∴AE ＝2IE ，∵AE ＝2CF ，∴IE ＝CF ，∵EI ∥BC ，∴∠EIG ＝∠FCG ，∠IEG ＝∠CFG ，在△EIG 和△FCG 中，{∠EIG =∠FCGEI =CF∠IEG =∠CFG， ∴△EIG ≌△FCG （ASA ），∴EG ＝FG ；②解：过点F 作FP ∥AB 交AC 于P ，如图3所示：则FP ∥CD ，∠CFP ＝∠ABC ＝90°，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝CFPF ＝tan∠CAB＝BCAB=12，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝√AB2+BC2＝√62+32＝3 √5，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴PCAC =CFBC=13，∴PC＝13AC＝√5，PA＝AC﹣PC＝2 √5，∴AG＝PG＝12PA＝√5，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴PHCH =PFCD=26=13，∴PH＝14PC＝√54，∴GH＝PG+PH＝√5+√54＝5√54．17. （1）解：如图（1），∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．∵四边形ABCD是正方形，AE⊥DQ，AE⊥GF，∴DG∥QF，DQ∥GF，∴四边形DQFG是平行四边形，∴DQ=GF，∴FG=AE；（2）GFAE =23．理由：如图（2）中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴GF：AE＝GM：AB，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴GF：AE＝AD：AB，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∴GF：AE＝BC：AB，∵BCAB =23，∴GFAE =23．（3）解：如图（3）中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由BE ：BF ＝3：4 ，设BE ＝3k ，BF ＝4k ，则EF ＝AF ＝5k ， ∵ GF AE =23 ， GF =2√10 ， ∴AE ＝ 3√10 ，在直角三角形ABE 中，根据勾股定理，得 BE 2+AB 2=AE 2 ， ∴ (3k)2+(9k)2=(3√10)2∴k ＝1或﹣1（舍去），∴BE ＝3，AB ＝9，∵BC ：AB ＝2：3，∴BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，AD ＝PE ＝BC ＝6，∵∠EBF ＝∠FEP ＝∠PME ＝90°，∴∠FEB+∠PEM ＝90°，∠PEM+∠EPM ＝90°， ∴∠FEB ＝∠EPM ，∴△FBE ∽△EMP ，∴ FB EM=FE EP =BE PM ， ∴ 4EM =56=3PM ，∴EM ＝ 245 ，PM ＝ 185 ，∴CM ＝EM ﹣EC ＝ 245 ﹣3＝ 95 ，∴PC ＝ √CM 2+PM 2=√(95)2+(185)2 = 95√5 ． 18. （1）证明：取 BC 中点为E ，连接 DE ．∵CD是斜边AB上的中线∴BD=12AB，又∵BE=12BC∴DE为Rt△ABC中位线∴DE//AC,DE=12AC∵∠ACB=90°，∴DE⊥BC∴DE垂直平分BC∴CD=BD∴CD=12AB（2）MN垂直平分EF证明：连接MF,ME∵BE、CF是锐角△ABC两条高∴BE⊥AC，CF⊥AB∴∠BEC=90°，∠CFB=90°∴在Rt△BEC中，M为BC中点，EM=12BC在Rt△CFB中，FM=12BC，∴MF=ME，又∵N为EF中点，∴MN为EF中垂线．（3）3√1519. （1）解：四边形CEDG是菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，∴GB=GC=GD，∵CF=GC，∴GB=GC=GD=CF，∵四边形DCFE是菱形，∴CD=CF=DE，DE//CG，∴DE=GC，∴四边形CEDG是平行四边形，∵GD=GC，∴四边形CEDG是菱形（2）解：∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，∴△CDG是等边三角形，∴CD=BG，GCD=∠DGC=60°，∴∠DCF=∠BGC=120°，∴△BGC≌△DCF(SAS)，∴DF=BC=√3．20.（1）（m+ 92，34m）（2）解：设直线BO的解析式为：y=kx，把点B的坐标是(8,6)，代入上式可得：6=8k，解得：k= 34，∴直线BO的解析式为：y= 34x，∵点E的坐标为（m+ 92，34m），EF//AO，∴点F的坐标为（m，34m），∴EF= m+ 92-m= 92，即：线段EF的长度不会随点M的位置的变化而变化（3）解：①连接CE，过点E作EQ⊥BC于点Q，∵点E的坐标为（m+ 92，34m），∴EQ=6- 34m，∵OC=6，OM=m，∴CM= √36+m2，∵OCMN =OMNE=CMME=43，∴ME= 34CM= 34√36+m2，∴四边形BCME的面积= 12CM⋅ME+12BC⋅QE= 38m2−3m+752= 38(m−4)2+632，即：当m=4时，四边形BCME的面积最小值为：632；②（a）当点G为顶角顶点时，如图，则G(m+92+m2,0)，即：G(m+94,0)，（b）当点E为顶角顶点时，如图，则EG=EF= 92，EH= 34m，GH= √(92)2−(34m)2=34√36−m2，∴G(m+92+34√36−m2,0)或G(m+92−34√36−m2,0)，综上所述：G的坐标可以是：G(m+94,0)或G(m+92+34√36−m2,0)或G(m+92−34√36−m2,0)．21. （1）解：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AEF ，∠ACB=∠AFE=90°，∴AC=BC=8，AF=EF=2√2，∴AB=√AC2+BC2=√2AC=8√2，AE=√2EF=4，∴CE=AC-AE=8-4=4，∴BE=√CE2+BC2=4√5，∵Q是线段BE的中点，∴CQ=12BE=2√5；（2）证明：如图，延长FQ至K,使KQ= FQ，连接KB,延长FC至G点，∵Q为BE的中点，∴FQ=KQ，在△EFQ与△BKQ中，{FQ= KQ∠FQE=∠KQBEQ=BQ)，∴△EFQ≌△BKQ (SAS)，∴EF= BK，∠FEQ =∠KBQ，∴AF= BK, EF ∥BK，∴∠KBC=∠BCG，∴∠ACB=90°,∴∠FCA+∠BCG = 180°-∠ACB=90°，∵∠FAC+∠FCA=∠AFE=90°,∴∠BCG =∠FAC，又∠KBC =∠BCG，∴∠FAC=∠KBC，在△AFC与△BKC中，{AF= BK∠FAC=∠KBCAC= BC)，∴△AFC≌△BKC（SAS），∴CF= CK，∠FCA=∠KCB，∴∠FCK =∠FCA+∠ACK =∠KCB+∠ACK = 90°，∴△FCK为等腰直角三角形，又Q为FK中点，∴CQ=FQ；（3）680+128√171722. （1）45°；2√2（2）证明：①∠CBE=∠A，理由如下：由旋转的性质得：∠BCE=∠ACD，∵BC=2AC，CE=2CD，∴BCAC =CECD=2，∴ΔBCE∽ΔACD，∴∠CBE=∠A；②∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，由①得：ΔBCE∽ΔACD，∴∠BEC=∠ADC=90°，又∵∠DCE=90°，∴四边形CDBE是矩形；（3）解：在点D的运动过程中，若ΔBCD恰好为等腰三角形，存在两种情况：①当CD=BD时，则∠DCB=∠DBC，∵∠DBC+∠A=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A=∠ACD，∴CD=AD，∴CD=BD=AD，AB，∴AD=12∵AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴AD=√5；②当BD=BC=4时，AD=AB−BD=2√5−4；综上所述：若ΔBCD恰好为等腰三角形，此时AD的长为√5或2√5−4 23. （1）解：由平行四边形的性质可知AD//BC，∴∠AB′E=∠CEB′，由翻折可知∠AB′E=∠ABE，∴∠CEB′=∠ABE，。

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题1、如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．3、在⊥ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知⊥A=60°；（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，⊥CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当⊥CPE ⊥⊥CPB 时，⊥ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？4、已知：如图9，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E 、F ．(1)求证：EF=AE–BE ；(2)连接BF ，如果BF AF ADDF，求证：EF=EP ．5、如图，在⊥ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.7、如图1，2,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD (或延长线)于E ，作PF ⊥DC (或延长线)于F ，作射线BP 交EF 于G .（1）在图1中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =x ，求y 关于x 的函数表达式．（2）结论GB ⊥EF 对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．8、在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．9、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，OP 交AC 于点Q ． （1）求证：⊥APQ ⊥⊥CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒． ①当t 为何值时，DP ⊥AC ？图 1PD CBA A BCDP图 2②设S⊥APQ+S⊥DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．10、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，⊥AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11、分别以□ABCD （CDA ∠≠90°） 的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ADF .（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF与EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DO ﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与⊥ABD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）． （1）求点N 落在BD 上时t 的值；（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围；（3）当点P 在折线AD ﹣DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN 平分⊥BCD 面积时t 的值．ABCDGF E图1ABCDGFE图213、菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，4AC BD ==,动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PP ′⊥AB 于点P ′，四边形PFBG 关于BD 对称。

2021年中考数学第三轮冲刺复习：四边形 压轴题综合训练

2021年中考数学第三轮冲刺复习：四边形 压轴题综合训练

2021年中考数学第三轮冲刺复习：四边形压轴题综合训练1、如图，已知在四边形A BCD 中，点E在A D 上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC 的度数．2、如图，在正方形A BCD 中，点E，F 分别是边A D，BC 的中点，连接D F，过点E作E H⊥DF，垂足为H，EH 的延长线交D C 于点G．（1）猜想D G 与C F 的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作M N∥CD，分别交AD，BC 于点M，N，若正方形A BCD 的边长为10，点P是M N 上一点，求△PDC 周长的最小值．3、如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.图1 图24、如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ，连接BE 、DF ，设EDF α∠=，EBF β∠=，BGk BC=．（1）求证：AE BF =； （2）求证：tan tan k αβ=⋅；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．5、性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，120ACB ∠=︒，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 ． 理解运用（1）若顶角为120︒的等腰三角形的周长为8+，则它的面积为 ；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF EG EH==．①求证：EFG EHG FGH∠+∠=∠；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若120EF=，直接写FGH∠=︒，10出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．6、如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）7、已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．（1）请你猜想AF与DM的数量关系是．（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM到点N，使MN＝DM，连接CN）②求证：AF⊥DM；③若旋转角α＝45°，且∠EDM＝2∠MDC，求的值．（可不写过程，直接写出结果）8、已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF 于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．9、如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D 重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.10、如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE CF=，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90︒得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，3QC=，请直接写出线段BP的长．AB DE=，111、如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，4AD=，连接AC，动点E从点O 出发沿O C→以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，ADE∆的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将EFG∆沿EF 翻折，得到EFH∆．（1）求证：DEF∆是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，EFG∆的面积为S，求S关于时间t的关系式．12、背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG =ABAD=23，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．13、如图1,在ABCD中,DH AB于点,H CD的垂直平分线交CD于点E,交AB 于点F ,6,4AB DH ==，:1:5BF FA =．(1)如图2,作FG AD ⊥于点G ,交DH 于点M ,将DGM ∆沿DC 方向平移,得到CG M ''∆，连接M B '． ①求四边形BHMM '的面积；②直线EF 上有一动点N ,求DNM ∆周长的最小值．(2)如图3．延长CB 交EF 于点Q ．过点Q 作OK AB ∥,过CD 边上的动点P 作PK EF ∥,并与QK 交于点K ,将PKQ ∆沿直线PQ 翻折,使点K 的对应点K '恰好落在直线AB 上,求线段CP 的长．。

2021年九年级中考数学第三轮冲刺解答题：四边形 专题复习(含答案)

2021年九年级中考数学第三轮冲刺解答题：四边形 专题复习(含答案)

2021年中考数学第三轮冲刺解答题：四边形专题复习1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．（注：＝＝）2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．3、如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．4、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．5、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．7、（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD 于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．8、如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．9、如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．10、在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．11、根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S，四边形EFCD的面1积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．12、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．（1）如图①，求证：MA＝MN；（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．13、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF ∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．14、如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．参考答案2021年中考数学第三轮冲刺解答题：四边形专题复习1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．（注：＝＝）【解答】解：在Rt△ABD中∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，∴tan∠ABD＝，∴＝，∴AB＝3，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，∴AC＝＝3，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴＝，设DE＝x，则BE＝3x，∴BD＝DE+BE＝（+3）x，∴＝，∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝2，∴DE＝2×，∴DE＝3﹣，∴BE＝（3﹣）＝3﹣3．2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．3、如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝．4、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．5、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，证明：AB＝FB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；（2）解：∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，在△EFM和△GFM中，∴△EFM≌△GFM（SAS），∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，在△EFH和△GFN中，，∴△EFH≌△GFN（ASA），∴HF＝NF，∵tan∠MEN＝＝，∴GF＝EF＝3HF＝3NF，∴GH＝2HF，作NP∥GF交EM于P，则△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，∴＝，＝＝，∴PN＝HF，∴＝＝＝＝；（3）EM的长不可能为，理由：假设EM的长为，∵点E是AB边上一点，且∠EDG＝∠ADC＝90°，∴点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，∴GM＝，在Rt△BEM中，EM是斜边，∴BM＜，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴CM＞，∴CM＞GM，∴点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，∴假设错误，即：EM的长不可能为．7、（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为 1 ；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD 于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：结论：＝1．理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．∵FB∥GC，FE∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴K＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．8、如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，∴∠FBA+∠CBG＝90，∴∠GCB＝∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）；（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，设AB＝CD＝BC＝2a，∵点E是AB的中点，∴EA＝EB＝AB＝a，∴CE＝a，在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，∴BG＝a，∴CG＝＝a，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠CBF，∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°，∴△CQD≌△BGC（AAS），∴CQ＝BG＝a，∴GQ＝CG﹣CQ＝a＝CQ，∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°，∴△DGQ≌△CDQ（SAS），∴CD＝GD；（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H，S＝•DQ＝CH•DG，△CDG∴CH＝＝a，在Rt△CHD中，CD＝2a，∴DH＝＝a，∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，∴∠MDH＝∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴，∴HM＝a，在Rt△CHG中，CG＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，∴∠QGH＝∠HCG，∴△QGH∽△GCH，∴，∴HN＝＝a，∴MN＝HM﹣HN＝a，∴＝9、如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N（1）求证：MN＝MC；（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．【解答】解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，∴ME＝BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME＝MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∵∠FME＝90°，∴∠CME＝∠FMN，∴△MFN≌△MEC（ASA），∴MN＝MC；（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，∴＝＝＝，∴AF＝2.4，CE＝2.4，∵△MFN≌△MEC，∴FN＝EC＝2.4，∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，∴AN＝4BN；（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGC∽△NGB，∴＝，∴CG•NG＝BG•MG＝．10、在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，∴BE＝BG，AE＝CG，∠BHE＝∠BGH＝90°，∴∠AEH＝∠CGH＝90°，∵EH＝HG，∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH．②如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分．∵EH∥BM，∴＝，∴＝，∴t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，∵EH∥BK，∴＝，∴＝，∴t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN ＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，∵EF∥AB，∴＝，∴＝，∴EF＝（16﹣t），∵EH∥CN，∴＝，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11、根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题）③两个大小不同的正方形相似．（真命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，＝＝．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S，四边形EFCD的面1积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．∵∠BCD＝∠B1C1D1，且＝，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，∵＝＝，∴＝，∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，∴△ABD∽△A1B1D1，∴＝，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，∴，＝＝＝，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．（3）如图2中，∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．∴＝，∵EF＝OE+OF，∴＝，∵EF∥AB∥CD，∴＝，＝＝，∴+＝+，∴＝，∵AD＝DE+AE，∴＝，∴2AE＝DE+AE，∴AE＝DE，∴＝1．12、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．（1）如图①，求证：MA＝MN；（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，∵MF⊥AB，MG⊥BC，∴MF＝MG，∵∠ABC＝90°，∴四边形FBGM是正方形，∴∠FMG＝90°，∴∠FMN+∠NMG＝90°，∵MN⊥AM，∴∠AMF+∠FMN＝90°，∴∠AMF＝∠NMG，在△AMF和△NMG中，，∴△AMF≌△NMG（ASA），∴MA＝MN；（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，∴∠MAN＝45°，∵∠DBC＝45°，∴∠MAN＝∠DBC，∴Rt△AMN∽Rt△BCD，∴＝（）2，在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，∴BD＝6，∵，∴＝，解得：AN＝2，∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，∴∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠ABN，∵∠PAO＝∠NAB，∴△PAO∽△NAB，∴＝，即：＝，解得：OP＝，∴PM＝OM+OP＝+＝；（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：∴∠AFM＝90°，∴∠FAM+∠AMF＝90°，∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°，∴∠AMF+∠HMN＝90°，∴∠FAM＝∠HMN，∵NH⊥BD，∴∠AFM＝∠MHN＝90°，在△AFM和△MHN中，，∴△AFM≌△MHN（AAS），∴AF＝MH，在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，∴AF＝BD＝×6＝3，∴MH＝3，∵AM＝2，∴MN＝2，∴HN＝＝＝，∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，∴△HMN的面积为3．13、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF ∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCO，∵∠DOC＝∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），∵PB＝t，PE⊥AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE＝EC，∴t＝8﹣t，∴t＝4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）四边形OPEG＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．∵S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴∠EOC+∠QOC＝90°，∵∠QOC+∠QOG＝90°，∴∠EOC＝∠QOG，∴tan∠EOC＝tan∠QOG，∴＝，∴＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）∴当t＝秒时，OE⊥OQ．14、如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB’中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时，易证四边形ABP’为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s．（2）如图3﹣1中，∵∠PAM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB’M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB’＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠PAB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B’AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠PAB＝∠PAB’＝90°﹣x，∴∠DAB’＝∠PAB’﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB’＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．。

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》(三)及答案

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》(三)及答案

备战2021年九年级中考复习数学高分冲刺训练——几何综合：《四边形综合》（三）1．从▱ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN作垂线AA'，BB'，CC'，DD'，垂足是点A'，B'，C'，D'．求证：AA'+CC'＝BB'+DD'．（2）如图（2），将直线MN向上平移，使得点A在直线一侧，点B，C，D三点在直线的另一侧，这时，从点A，B，C，D向直线MN作垂线，垂足分别为点A'，B'，C′，D'，那么垂线段AA'，BB'，CC'，DD'之间存在什么关系？（3）如图（3），再将直线MN向上平行移动，使两侧各有两个顶点，从点A，B，C，D 向直线MN作的垂线段AA'，BB'，CC'，DD'，它们之间又有什么关系？根据图（2）、图（3）写出你的猜想，并加以证明．2．在平面直角坐标系xOy中，边长为的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动，顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；（3）在运动的过程中，若点B与点O重合时，点P到y轴的距离是，若点A与点O重合时，点P到y轴的距离是．由此可见，点A、B在坐标轴的正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O）时，点P到y轴的距离h的取值范围是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P沿边AB从点A向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设点P、Q移动的时间为ts．问：（1）当t为何值时△PBQ的面积等于8cm2？（2）当t为何值时△DPQ是直角三角形？（3）是否存在t的值，使△DPQ的面积最小，若存在，求此时t的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．4．如图1，正方形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，点P在AB上，EF⊥PD于Q．（1）求证：EF＝PD；（2）如图2，点M在EF上，且QM＝QD，连接BM，N为BM的中点，求证：QC＝CN；（3）在（2）的条件下，若CD＝QC，CF＝，AE＝3，求CN的长．5．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4），动点M从点O出发，以每秒一个单位长度的速度，沿OA向终点A移动，点N从点B 出发沿BC向终点C以同样的速度移动，过点N作NP⊥BC交AC于P，连接MP．（1）当动点运动了xs时，求P点的坐标（用含x的代数式表示）；（2）求△MP A面积的最大值，并求此时的x值；（3）当x为何值时，△MP A是一个等腰三角形？6．点E，F分别在边CB，DC的延长线上，且BE＝CF．在（2）的基础上，连接AE，EF，分别取AE，EF，FD，AD的中点M，N，P，Q，请判断四边形MNPQ的形状，并写出证明．7．感知：如图①，直线l经过正方形ACDE顶点C，且正方形ACDE在直线l的上方，作AB⊥l于点B，DF⊥l于点F，求证：△ABC≌△CFD应用1：如图②，将图1中的正方形ACDE绕点C顺时针旋转使直线l与边DE相交，作AB⊥于点B，DF⊥l于点F，若AB＝6，DF＝3.2，求BF的长；应用2：如图③，l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条平行线上，连结BD，则BD与l2相交所成锐角α的正切值为．8．探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE+BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：证明：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABG＝∠D＝90°，∴△ADE≌△ABG．∴AG＝AE，∠1＝∠2；∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°．即GAF＝∠．又AG＝AE，AF＝AF，∴△GAF≌．∴FG＝EF，∵FG＝FB+BG，又BG＝DE，∴DE+BF＝EF．变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：．9．如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，D为AB上一点，AD＝2，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图②，△ABC是等边三角形，若BD为理想对角线，四边形ABCD为理想四边形．请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图③，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．10．综合与实践操作发现：如图1和图2，已知点P为正方形ABCD的边AD和CD上的一个动点（点A，D，C除外），作射线BP，作AE⊥BP于点E，CF⊥BP于点F，DG⊥BP于点G．（1）如图1，当点P在CD上（点C，D除外）运动时，求证：AE＝CF+DG；（2）如图2，当点P在AD上（点A，D除外）运动时，请直接写出线段AE，CF，DG 之间的数量关系；拓广探索：（3）在（1）的条件下，找出与DG相等的线段，并说明理由；（4）如图3，若点P为矩形ABCD的边CD上一点，作射线BP，作AE⊥BP于点E，CF⊥BP于点F，DG⊥BP于点G．若CD＝2BE＝6，EG＝4，则DG＝．参考答案1．（1）证明：如图（1），连接AC，BD相交于点O，作OO1⊥MN于点O1，∵AA'⊥MN，CC'⊥MN，∴AA'∥CC'，∵O是AC的中点，∴AA'+CC'＝2OO1，同理，BB'+DD'＝2OO1，∴AA'+CC'＝BB'+DD'；（2）解：如图（2），连接AC'，连接AC，BD交于点O，过点O作OG⊥MN，垂足为G，延长OG交AC'的连线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是线段AC的中点也是线段BD的中点．∵CC'⊥MN，∴OH是△ACC'的中位线，∴OH＝OG+GH＝CC'．同理，GH＝AA'，∴OG＝（CC'﹣AA'），即2OG＝CC'﹣AA'．∵DD'⊥MN，BB'⊥MN，∴DD'∥BB'，∴OG是梯形DD'B'B的中位线，∴DD'+BB'＝2OG，∴CC'﹣AA'＝BB'+DD'；（3）解：如图（3），连接AC，BD交于点O，连接DB'，AC'，过点O作OG⊥MN，G 为垂足，延长OG交DB'于点K，交AC'于点H，∵CC'⊥MN，O是AC的中点，OH⊥MN，∴OH是△ACC'的中位线，∴OH＝OG+GH＝CC'．同理，GH＝AA'，OK＝BB'，GK＝OG+OK＝DD'，∴OG＝CC'﹣GH＝CC'﹣AA'，即2OG＝CC'﹣AA'．同理，2OG＝DD'﹣BB'，∴CC'﹣AA'＝DD'﹣BB'．2．解：（1）∵∠BP A＝90°，P A＝PB，∴∠P AB＝45°，∵∠BAO＝45°，∴∠P AO＝90°，∴四边形OAPB是正方形，∵AB＝，由勾股定理得：P A＝PB＝1∴P点的坐标为：（1，1）．（2）证明：如图，作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，∵∠BPE+∠EP A＝90°，∠EPB+∠FPB＝90°，∴∠FPB＝∠EP A，在△PBF和△P AE中，，∴△PBF≌△P AE（AAS），∴PE＝PF，∴点P在∠AOB的平分线上．（3）解：当点B与点O重合时，点A与点O重合时，点P到y轴的距离最小，d＝×＝，当OA＝OB时，点P到y轴的距离最大，d＝PB＝1，∵点A，B都不与原点重合，∴＜d≤1，故答案为：，，．3．解：（1）由题意得AP＝t，QB＝2t，PB＝6﹣t．∵△PBQ的面积等于8cm2，∴×（6﹣t）×2t＝8，∴解得t＝2或t＝4，又∵0≤t≤6，∴当t＝2s或t＝4s时，△PBQ的面积等于8cm2．（2）当t＝0时，点P，Q分别与点A，B重合，此时，∠DPQ＝∠DAB＝90°，△DPQ是直角三角形；当PQ⊥DQ时，∠PQB＝∠QDC，∠B＝∠C，∴△BPQ∽△CQD，∴＝，即＝，∴2t2﹣15t+18＝0，解得：t＝或6，故当t＝时，△PQD是直角三角形；当t＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时∠PQD＝∠BCD＝90°，即△PQD是直角三角形．综上所述，当t的值为0秒或秒或6秒时，△DPQ是直角三角形；（3）存在t的值，使△DPQ的面积最小．由题意得AP＝t，QB＝2t，PB＝6﹣t，∴S△DPQ＝S﹣S△APD﹣S△BPQ梯形ABQD＝（2t+12）×6﹣×12×t﹣×（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+36＝（t﹣3）2+27，又∵0≤t≤6，∴当t＝3时，S△DPQ有最小值27．4．（1）证明：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝AB，∵EH⊥BC，∴∠EHB＝∠EHF＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝AD，∠AEH＝∠DEH＝90°，∴∠HEF+∠FED＝90°，∵EF⊥PD，∴∠EQD＝90°，∴∠QED+∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠HEF，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△ADP≌△HEF（ASA），∴DP＝EF．（2）证明：如图2中，连接QN，延长QN到K，使得NK＝QN，连接BK，CK．∵BN＝NM，∠BNK＝∠MNQ，NK＝NQ，∴△BNK≌△MNQ（SAS），∴BK＝QM，∠BKN＝∠NQM，∴BK∥QF，∴∠CBK＝∠BFQ，∵QD＝QM，∴DQ＝BK，∵EF⊥PD，四边形ABCD是正方形，∴∠DQF＝∠DCF＝90°，∴∠CFQ+∠CDQ＝180°，∵∠CFQ+∠BFQ＝180°，∴∠CDQ＝∠BFQ＝∠CBK，∵BC＝DC，∴△BCK≌△DCQ（SAS），∴CQ＝CK，∠BCK＝∠DCQ，∴∠QCK＝∠DCB＝90°，∵QN＝NK，∴CN⊥QK，CN＝QN＝NK，∴△CNQ是等腰直角三角形，∴CQ＝CN．（3）解：如图3中，过点C作CJ⊥PD于J交AD于K．∵CQ＝CD，CJ⊥DQ，∴QJ＝JD，∵EF⊥PD，CK⊥PD，∴CK∥EF，∵QJ＝JD，∴EK＝DK，∵EK∥CF，EF∥CK，∴四边形EFCK是平行四边形，∴CF＝EK＝DK＝，∴ED＝EK+DK＝5，∵AE＝3，∴AD＝CD＝CQ＝8，∵QC＝CN，∴CN＝4．5．解：（1）动点运动x秒后，则BN＝x，则PG＝x，CN＝3﹣x，∵∠ACB＝∠PCN，∠ABC＝∠PNC＝90°，∴△CPN∽△CAB，∴＝，又CN＝3﹣x，AB＝4，BC＝3，∴PN＝（3﹣x），则PG＝NG﹣NP＝4﹣（3﹣x）＝x，∴P点的坐标为（3﹣x，x）；（2）设△MP A的面积为S，在△MP A中，MA＝3﹣x，MA边上的高为x，其中，0≤x＜3，∴S＝（3﹣x）×x＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∴S的最大值为，此时x＝；（3）要使得△MP A为等腰三角形，①AP＝PM，使得AG＝MG即可，MG＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，AG＝x，解得x＝1，②AM＝AP，则AM＝3﹣x，AP＝x，解得x＝，③PM＝AM，则AM＝3﹣x，PM＝，解得x＝，综上所述，当x＝1或或时，△MP A为等腰三角形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BE＝CF，∴BC﹣BE＝DC﹣CF，即CE＝DF，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠DAF+∠DF A＝90°，∴∠CDE+∠DF A＝90°，∴∠DGF＝90°，∴AF⊥DE；（2）（1）中的结论成立，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC＝CB，又∵BE＝CF，∴DC+CF＝CB+BE，即DF＝CE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE，∴∠F＝∠E，∵∠E+∠EDF＝90°，∴∠F+∠EDF＝90°，∴∠DGF＝90°，∴AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．证明：如图，设PN，AF交于点O，PQ交DE于点G，AF，DE交于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴PQ、MN分别是△ADF、△AEF的中位线，∴PQ＝MN＝AF，PQ∥NM∥AF；同理MQ＝PN＝DE，MQ∥PN∥DE，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AF＝DE，∴PN＝MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠DHF＝90°，∴∠POH＝∠PGH＝90°，∴四边形MNPQ是正方形．7．感知：证明：如图①，∵AB⊥l，DF⊥l，∴∠ABC＝∠CFD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵四边形ACDE是正方形，∴∠ACD＝90°＝∠ACB+∠DCF，AC＝CD，∴∠BAC＝∠DCF，在△ABC和△CFD中，∵，∴△ABC≌△CFD（AAS）；应用1：解：如图②，∵AB⊥l，DF⊥l，∴∠ABC＝∠CFD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∵四边形ACDE是正方形，∴∠ACD＝90°＝∠ACB+∠DCF，AC＝CD，∴∠BAC＝∠DCF，在△ABC和△CFD中，∵，∴△ABC≌△CFD（AAS），∴CF＝AB＝6，DF＝BC＝3.2，∴BF＝CF﹣BC＝6﹣3.2＝2.8；应用2：解：如图③，过B作BG⊥l1于G，交l2于E，过D作DH⊥l1于H，∵l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等，∴设每相邻的两条平行直线间的距离为h，则DH＝h，BG＝2h，同理得△BGA≌△AHD（AAS），∴BG＝AH＝2h，AG＝DH＝h，∴DE＝GH＝h+2h＝3h，Rt△BED中，tan∠BDE＝tanα＝＝＝．故答案为：．8．解：（1）根据图形可知，∠GAF＝∠EAF，根据三角形全等的条件可知，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的对应高相等可知AM＝AB；（2）证明：如图②，延长CE，作∠4＝∠1，∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为BC，DC边上的点，且∠EAF＝∠DAB，∴∠1+∠2＝∠3+∠5，∠2+∠3＝∠1+∠5，∵∠4＝∠1，∴∠2+∠3＝∠4+∠5，∴∠GAE＝∠F AE，在△AGB和△AFD中，，∴△AGB≌△AFD（ASA），∴AG＝AF，BG＝DF，在△AGE和△AEF中，，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∴DE+BF＝EF，∵全等三角形的对应高相等，∴AM＝AB；（3）如图③，当∠ABQ＝∠ADF时，△ABQ≌△ADF，∴BQ＝DF，可得DF+BE＝EF，∴当∠B+∠D＝180°时，可使得DF+BE＝EF．9．（1）证明：如图1中，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵EC＝EB，∴DE＝EC＝EB，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD，∴CD＝DE＝EC，∴△CDE是等边三角形，∵∠A＝60°，∴四边形ADEC为理想四边形；（2）解：如图②中，作等腰三角形ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，∠DCB＝∠DOB＝60°，满足条件．（3）解：①如图③﹣1中，当∠CDB＝90°时，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝60°，BC＝3，∴BD＝BC sin6°＝，∠CBD＝30°，∵△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝，∠ABD＝60°，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝如图③﹣2中，当∠CBD＝90°时，同法可得AC＝＝＝3综上所述，AC的值为或3．②如图④中，结论：x2+xy+y2＝z2理由：以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDB＝∠CDA，∵ED＝CD，BD＝AD，∴△EDB≌△CDA（SAS），∴AC＝BE＝z，∵∠ECD＝∠DCB＝60°，CD＝CE＝x，∴∠ECF＝60°，∠CEF＝30°，∴CF＝EC＝x．EF＝CF＝x．在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（x）2+（y+x）2，整理得：x2+xy+y2＝z2．10．解：（1）证明：如图1，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，则∠CHD＝∠AEB＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CPF，∵AE⊥BP，CF⊥BP，DG⊥BP，∴∠AEB＝∠CFP＝∠DGF＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝∠CPF+∠DCH＝90°，∴∠BAE＝∠DCH．在△ABE和△CDH中，，∴△ABE≌△CDH（AAS），∴AE＝CH．∵∠CHD＝∠HFG＝∠DGF＝90°，∴四边形HFGD为矩形．∴HF＝DG，∴AE＝CH＝CF+HF＝CF+DG．（2）线段AE，CF，DG之间的数量关系是CF＝AE+DG．如图2，过点D作DH⊥CF交CF于点F，∵∠DHF＝∠HFG＝∠DGF＝90°，∴四边形HFGD为矩形．∴HF＝DG，同（1）可证得△ABE≌△CDH（AAS），∴AE＝CH，∴CF＝FH+CH＝DG+AE．（3）与DG相等的线段是EF．理由如下：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AE⊥BP，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF．BE＝CF，∴AE＝BF＝BE+EF＝CF+EF．由（1）得，AE＝CF+DG．∴DG＝EF．（4）如图3，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，∵∠CHD＝∠HFG＝∠DGF＝90°，∴四边形HFGD为矩形．∴HF＝DG，DH＝FG，∵AB＝CD＝2BE＝6，∴BE＝3，∴∠BAE＝30°，∴AE＝＝3，同（1）可得∠ABE＝∠CDH，∵∠AEB＝∠CHD＝90°，AB＝CD，∴△ABE≌△CDH（AAS），∴BE＝DH，AE＝CH＝3，∴BE＝FG，∴EG＝BF＝4，∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝30°，∴CF＝BF tan30°＝4×＝4，∴HF＝DG＝CH﹣CF＝3﹣4．故答案为：3﹣4．。

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：四边形的动点问题(Word版含答案)

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：四边形的动点问题(Word版含答案)

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：四边形的动点问题1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2 √5，AB＝4 √5，DM⊥AC于点M ，在对角线AC上取一点N ，使得2CN＝3AM ，连接DN并延长交BC于点E ，F是AB上一点，连接EF ，MF ．当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N ．（1）求AM ，CE的长．（2）若EF∥AC ，记EP＝x ，AQ＝y ．①求y关于x的函数表达式．②连接PQ ，当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．（3）在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v1，记点P的运动速度为v2，求v1v2的值．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点B的坐标是(8,6)，点M为OA边上的一动点（不与点O、A重合），连接CM，过点M作直线l⊥CM，交AB于点D，在直线l上取一点E（点E在点M右侧），使得CMME =43，过点E作EF//AO，交BO于点F，连接BE，设OM=m(0<m<8)．（1）填空：点E的坐标为________（用含m的代数式表示）；（2）判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由；（3）①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；②在x轴正半轴上存在点G，使得△GEF是等腰三角形，请直接写出3个符合条件的点G的坐标（用含m的代数式表示）．3.如图，在矩形ABCD中，点O是边AD的中点，点E是边BC上的一个动点，延长EO到F，使得OE=OF .（1）当点E运动到什么位置时，四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）（2）若矩形ABCD的周长为20，求四边形AEDF的面积的最大值；（3）若AB=m，且存在点E，使四边形AEDF能成为一个矩形，求BC的取值范围.4.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A ，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2√3)，将矩形OABC绕点A顺时针旋转α，得到矩形O1AB1C1，点O ，B ，C的对应点分别为O1,B1,C1．（1）如图①，当α=45°时，O1C1与AB相交于点E ，求点E的坐标；（2）如图②，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；（3）连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标（直接写出结果即可）．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB //OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动;动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动.M，N同时出发，设运动时间为t秒.（1）在t＝3时，M点坐标________，N点坐标________;（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值;若不能，说明理由.6.如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是，6）.（52（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，△FMN为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标.7.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=8．（1）如图1，点P从点D开始沿D→A以每秒1个单位的速度移动，同时另一个点Q从点B开始在线段BC上以每秒3个单位的速度往返移动．设P，Q运动时间为t秒，当0<t≤8时，是否存在这样的时刻，四边形DCQP为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，点A与点E重合，展平后折痕为MF，一动点N从点D出发，沿D→A→B→C→D，以每秒1个单位的速度移动一周，设N运动的时间为x秒，请直接写出当△MFN为直角三角形时x的值．8.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延点也长，交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F．设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t=2时，FQ=________；（2）当t为何值时，△AOP是等腰三角形?（3）设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP?若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．9.如图在△ABC中，CD⊥AB ，AB = 6，AD = 2，CD = 4，点E为边BC的中点．动点P从点A 出发，以5cm/s的速度沿边AB向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q ，连结PE ，以PE、PQ为边作平行四边形PQFE ．设点P的运动时间为t（s）．（1）sin∠APQ=________．（2）用含t的代数式表示线段CQ的长度．（3）当∠EPQ为锐角时，求t的取值范围．（4）当△ABC的角平分线CM恰好可以将平行四边形PQFE的面积等分时，求t的值．10.如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD向点D运动；点Q从点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE于CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t（s），（1）求∠PBE的度数；（2）当t为何值时，△PQF是以PF为腰的等腰三角形？（3）试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值.11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B 移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.设运动时间为t秒.（1）当t＝2时，△DPQ的面积为________cm2；（2）在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值；（4）运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个交点时，直接写出t的取值范围.12.如图①，四边形OABC是一张放在平面中的矩形纸片，OA=10,OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）AE=________，BE=________；（2）求CD的长；（3）如图②，若AD上有一动点P（不与A,D重合）自A点沿AD向终点D匀速运动，运动的速度为每秒√5个单位长度，设运动的时间为t秒，连结PE，设w=PE2，①直接写出w与时间t之间的函数关系式；②当以点P,D,E为顶点的三角形为等腰三角形时，求时间t的值．13.如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC，以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点P运动的时间为t（秒）.（1）求点N落在BD上时t的值；（2）当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围________；（3）当直线DN平分△BCD面积时求出t的值.14.如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣2，2）.点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴正方向运动，过点Q作直线l垂直x轴.当点P到达点O时，点Q也停止运动.连接BP，作PD⊥BP交直线l于点D.连结BD交y轴于点E，连接PE.设点P的运动时间为t（s）.（1）①点D的坐标为________（用含t的代数式表示）.②当0＜t≤2时，∠PED的大小范围是________.（2）当0＜t＜2时，△POE的周长C是否随t的变化而变化？若变化，求出C关于t的关系式；若不变，求出C的值.（3）当t＝________秒时，△PBE为等腰三角形（直接给出答案）.15.如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点.（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM.请说明理由；（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD 是等腰三角形时，求AP的长.16.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC ，交OC于点F ．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0<t<5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB？（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使得S四边形EFDP:S菱形ABCD=21:48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）连接FP ，是否存在某一时刻t ，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．17.如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE 于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0）（1）用含t的代数式表示QF的长；（2）当点M落到CD边上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD 的边平行时t的值．18.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3．动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、Q的运动时间为t秒（1）当t＝2秒时，求tan∠QPA的值；（2）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM＝2AM时，求t的值；（3）连结CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）直接写出∠OAB的角平分线经过△CQP边上中点时的t值．19.如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD 向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．（1）求正方形PCEF的面积（用含t的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF的面积为25 cm2时t的值；（2）设△DEF的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并求当t为何值时？△DEF的面积取得最小值，这个最小值是多少？（3）求当t为何值时？△DEF为等腰三角形．20.如图，BD是▱ABCD的对角线，AB=7，BD=4√2，∠ABD=45°，动点P、Q分别从A、D同时出发，点P沿折线AB−BC向终点C运动，在AB上的速度为每秒7个单位，在BC 上的速度为每秒5个单位，点Q以每秒2√2个单位的速度沿DB向终点B运动．连结PQ，以DQ、PQ为边作▱DEPQ，设点P的运动时间为t(s)(t>0)．（1）当点P在边AB上时，用含t的代数式表示点P到BD的距离．（2）当点E落在边CD上时，求t的值．（3）设▱DEPQ与▱ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）连结EQ，直接写出直线EQ与直线BD所夹锐角的正切值．21.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t.（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM.（2）在整个运动过程中，①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形.②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长.22.如图①，在矩形ABCD中，已知BC=8cm，点G为BC边上一点，满足BG=AB=6cm，动点E以1cm／s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F。

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2021年中考数学第三轮压轴题：四边形的综合专题复习1、如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．2、如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM= AN．(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND；AD，求tan∠ABM的值．(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=143、如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．4、如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．6、已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．8、如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．9、如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．10、已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF 于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．11、问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．12、在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．13、已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．14、综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D．解决向题（1）在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB ≠BC ），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ； 拓展应用（4）在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB ′D 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 ．15、在矩形ABCD 中，12AB =，P 是边AB 上一点，把PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE CG ⊥，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F .(1)如图1，若点E 是AD 的中点，求证:AEB DEC ∆∆≌；(2) 如图2，①求证: BP BF =；②当AD 25=，且AE DE <时，求cos PCB ∠的值；③当BP 9=时，求BE EF 的值.参考答案1、如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF=∠EBF，∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，∴△AFD≌△BFE，∴AD=EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵BD=AD，∴四边形AEBD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCB，∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，∴tan∠ABE==3，∵BF=，∴EF=，∴DE=3，∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．2、如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM= AN．(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND；(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=14AD，求tan∠ABM的值．【答案】解：(1)∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90∘∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL)．(2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90∘；∠DAN+∠ADN=90∘∴∠DAM=∠AND∴ND//AM∴△DNT∽△AMT∴AMDN =DTAT∵AT=14AD，∴AMDN=13∵Rt△ABM∴tan∠ABM=AMBM =AMDN=13．3、如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∵DP=CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD=PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD=∠BQC，∵∠APD+∠APB=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP，∴四边形ABQP是菱形．4、如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．（1）求证：AE=C′E．（2）求∠FBB'的度数．（3）已知AB=2，求BF的长．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，∴AE=C′E；（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，∴∠AB′B=60°，∴∠FBB′=150°；（3）解：由AB=2，得到B′B=B′F=2，∠B′BF=15°，过B作BH⊥BF，在Rt△BB′H中，cos15°=，即BH=2×=，则BF=2BH=+．5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AB=3，AC=BC=3，=3×=9．∴S平行四边形BCFD6、已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC =AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴OA=OC，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△AOD和△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA），∴AD=CE，∵CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形，又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD=AD，∴四边形AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，∴AC⊥ED，在Rt△AOD中，tan∠DAO=，设OD=3x，OA=4x，则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：，解得：x=1，∴OD=3，∵O，D分别是AC，AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴BC=2OD=6．8、如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB=CF．（2）连接AC．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AB=CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF=AC，∴BD=BF．9、如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= 3．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴=，GE∥AB，∴==，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=cos45°=、=cos45°=，∴==，∴△ACG∽△BCE，∴==，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴==，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由=得=，∴AH=a，则DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴=得=，解得：a=3，即BC=3，故答案为：3．10、已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF 于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE；（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，∵△ADE≌△BFE，∴BF=AD=BC，∴BN=HC，由（1）的方法可知，△AEK≌△BFN，∴AK=BN，∴HC=2AK；（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，∵点G是边BC中点，∴CG=CF，∵GM∥DF，∴△CMG∽△CHF，∴==，∵AD∥FC，∴△AHD∽△GHF，∴===，∴=，∵AK∥HC，GM∥DF，∴△AHK∽△HGM，∴==，∴=，即HD=4HK，∴n=4．11、问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【解答】解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．12、在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴=，∴tan∠DBF′==，当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意，当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=BD，∴∠DBF′=30°，∴tan∠DBF′=13、已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM=EM．理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME．（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM=EM．理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME．（3）如图3中，作MR⊥DE于R．在Rt△CDE中，DE==12，∵DM=NE，DM⊥ME，∴MR=⊥DE，MR=DE=6，DR=RE=6，在Rt△FMR中，FM===如图4中，作MR⊥DE于R．在Rt△MRF中，FM==，故满足条件的MF的值为或．、14、综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D．解决向题（1）在图1中，①B′D和AC的位置关系为平行；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1 ；拓展应用（4）在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12 ．【解答】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为BD′∥AC，菱形；（2）①选择②证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′=∠ACB，∴∠DAC=∠ACB′，∴AE=CE，∴△AEC是等腰三角形；∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．②选择①证明如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∵B′C=BC，∴B′C=AD，∴B′E=DE，∴∠CB′D=∠ADB′，∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD∴∠ADB′=∠DAC，∴B′D∥AC．（3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；∵∠AB′D+∠ADB′=90°，∴y﹣30°+y=90°，②当矩形的长宽之比为：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；（4）∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四边形ACB′D是等腰梯形，∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，∵△AB′D是直角三角形，当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，设∠ADB′=∠CB′D=y，∴∠AB′D=y﹣30°，解得y=60°，∴∠AB′D=y﹣30°=30°，∵AB′=AB=4，∴AD=×4=4，∴BC=4，当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四边形ACB′D是等腰梯形，∵∠ADB′=90°，∴四边形ACB′D是矩形，∴∠ACB′=90°，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=6；当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，∵∠B=30°，AB′=4，∴∠AB′C=30°，∴AE=4，BE′=2AE=8，∴AE=EC=4，∴CB′=12，当∠AB′D=90°时，如图6，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四边形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四边形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB ÷=8；∴已知当BC 的长为4或6或8或12时，△AB ′D 是直角三角形． 故答案为：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；15、在矩形ABCD 中，12AB =，P 是边AB 上一点，把PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE CG ⊥，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F .(1)如图1，若点E 是AD 的中点，求证:AEB DEC ∆∆≌；(2) 如图2，①求证: BP BF =；②当AD 25=，且AE DE <时，求cos PCB ∠的值；③当BP 9=时，求BE EF 的值.(1)证明：在矩形ABCD 中，90,A D AB DC ∠=∠==,如图1，又AE DE =，图1ABE DCE ∆≅∆,(2)如图2，图2 ①在矩形ABCD 中，90ABC ∠=, BPC ∆沿PC 折叠得到GPC ∆ 90PGC PBC ∴∠=∠=,BPC GPC ∠=∠ BE CG ⊥//BE PG ∴,GPF PFB ∴∠=∠BPF BFP ∴∠=∠BP BF ∴=②当25AD =时，90BEC ∠=90AEB CED ∴∠+∠=,90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD ∴=∴设AE x =，则25DE x =-， 122512xx -∴=，解得19x =，216x =AE DE <9,16AE DE ∴==,20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =，BP BF PG ∴==,//BE PG ,ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG ∴=设BP BF PG y ===， 152025yy -∴=253y ∴= 则253BP =在Rt PBC ∆中，3PC =,cos 10BC PCB PC ∠===③若9BP =,解法一：连接GF ，（如图3）90GEF BAE ∠=∠=,//,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形 BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形 //BP GF ∴,GFE ABE ∴∠=∠,GEF EAB ∴∆∆∽EF AB GF BE∴= 129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二：如图2，90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CE BP CB∴= 又90BEC A ∠=∠=,由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠, AEB EBC ∴∆∆∽AB CE BE CB∴= AE EF BE BP ∴= 129108BE EF AE BP ∴==⨯= 解法三：（如图4）过点F 作FH BC ⊥，垂足为H BPFPFEG S BF BF S EF PG BE∆==+四边形 图4 1212BFC BEC S BF EF BC EF BE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EF BE ∴= 129108BE EF ∴=⨯=。

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