2023年重庆市第八中学校自主招生数学试卷练习(一)

2023年重庆八中自主招生数学试卷练习（一）一．填空题（共10小题）

1．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是

．

2．如图，点M是线段AC的中点，点B在线段AC上，且AB＝6cm，BC＝2AB，则线段BM的长为．

3．已知a、b、c、d互不相等的四个整数，且（a﹣3）（b﹣3）（c﹣3）（d﹣3）＝25，则a+b+c+d＝．4．某文具店有5元一支和4元一支的钢笔，王老师带48元去买钢笔，钱正好全部用完，共有种购买方案．

5．如图，已知∠AOB＝2∠BOC，OD平分∠AOC，且∠BOD＝20°，则∠AOC的度数为°．

6．小金在放假期间去参观科技馆．已知小金家距科技馆的路程为31km，小金需要先在家附近乘坐公交车再步行至科技馆，小金步行的速度为4km/h，公交的速度是步行速度的10倍．若小金乘坐公交和步行的时间共需要1h，那么小金步行的路程为km．

7．已知一件标价为400元的上衣按八折销售，仍可获利50元，这件上衣的进价是元．

8．有5位教师和一群学生一起去公园，教师的全票票价是每人7元，学生票收半价．如果买门票共花费206.5元，那么学生有多少人？

设学生有x人，填写下表：

人数/人票价/元总票价/元

教师

学生

根据题意，得方程，所以学生有人．

9．一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完成任务．（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要天完成；

（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要天完成．

10．学校为美化春藤校园，计划购买梧桐树、香樟树、樱花树三种树苗，已知三种树苗单价之和为100元，计划购买三种树苗总量不超过148株；其中香樟树苗单价为30元，计划购进48株，樱花树苗至少购买25株，梧桐树苗数量不少于樱花树苗的2倍．小明在做预算时，误将梧桐树苗和樱花树苗的单价弄反了，结果实际购买三种树苗时的总价比预算多了112元，若三种树苗的单价均为整数，则学校实际购买这三种树苗最多需要花费元．

二．解答题（共14小题）

11．计算：+++…+．

12．计算：

（1）﹣3×2﹣（﹣8）；

（2）﹣9÷3×3﹣（﹣2）3．

13．计算：

（1）

（2）

14．计算：[（2x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）﹣2x（x﹣2y）]÷3x．

15．解方程：x﹣＝+1．（要求步骤完整）

16．元宵节前夕，某超市从厂家购进了甲、乙两种发光道具，甲种道具每件进价比乙种道具每件进价少2元．若购进甲种道具7件，乙种道具2件，需要76元．

（1）求甲、乙两种道具的每件进价分别是多少元？

（2）若该超市从厂家购进了甲乙两种道具共50件，在销售时，甲种道具的每件售价为10元，乙种道具的每件售价为15元，要使得这50件道具所获利润为160元，应购进乙道具多少件？

17．某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元．

（1）求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

18．研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育

的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段OA表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：

（1）图中m＝，n＝；

（2）求线段CD所在直线的函数表达式；

（3）乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？

19．已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝36，a3+b3+c3＝48．

（1）求的值；

（2）求a⋅b⋅c的值．

20．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

21．一座大山的高度是320米，某公园里有一座大山的模型，它的高度与大山高度的比是1：10，这座模型高多少米？（用比例解）

22．下表是某次篮球联赛积分的一部分

球队比赛现场胜场负场积分

前进1410424

光明149523

远大147721

卫星1441018

备注：总积分＝胜场积分+负场积分

（1）请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）；

（2）某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？

（3）若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值．

23．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“超极数”．

（1）请写出两个小于3000的“超极数”；；

（2）猜想任意一个“超极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“超极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．

24．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．

阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．

例：已知：，求代数式x2+的值．

解：因为，所以＝4即x+＝4，所以x2+﹣2＝16﹣2＝14．

根据材料回答问题（直接写出答案）：

（1），则x+＝．

（2）解分式方程组，解得方程组的解为．