苏教版七年级下数学知识点总结
苏教版七年级下册数学因式分解
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3、把下列各式分解因式
(1) - 2xy - y2 - x2 (2) -1 + p4 (3)x2 - 2xy + y2 + 2x - 2y + 1 (4)( a - b)2n - (b - a)2n+1
4, 把 a2 - 4ab +3 b2 + 2bc - c2 因式分解。
(二)因式分解的方法:
(1)、提取公因式法 (2)、运用公式法 (3)、分组分解法
(4)、求根法(十字相乘法)
(1)、提取公因式法:
如果多项式的各项有公因式,可以 把这个公因式提到括号外面,将多项式 写成乘积的形式。这种分解因式的方法 叫做提取公因式。
即: ma + mb + mc = m(a+b+c)
2、已知x = 0.67,y=0.33,求x2 +y2 + 2xy -x - y的值
三、小结
1、因式分解的定义: 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫
做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法:
(1)、提取公因式法 (2)、运用公式法 (3)、分组分解法 (4)、求根法(十字相乘法)
概念
因
式
分
解
方法
与整式乘法的关系: 相反变形
提取公因式法
公 平方差公式
完全平方公式
式 立方和(差)公式 十
字
x2+(a+b)x+ab
相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘
法 =(x+a)(x+b)
法
分组 分组后再提取公因式
分解 法
分组后再运用公式法 或再运用十字相乘法
苏教版七年级数学有理数知识点及习题
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根据有理数的定义,有理数可以进行如下的分类
正整数
整数 零
有理数
负整数
正分数 分数
负分数
正整数 正有理数
正分数 或 有理数 零
负整数 负有理数
负分数
无理数 问一问:是不是所有的数都是有理数呢? ※ 如果大正方形的边长为 a,那么 a2= 2.a 是有理数吗?
无理数定义 : 无限不循环小数叫做无理数.
3、用“<”或“>”填空:
(1) 12.3
12 ; (2) ( 2.75)
( 2.67) ;
(3)} 8
8;
(4) 0.4
( 0.4) .
五、有理数的加法与减法 1、有理数的加法 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,绝对值相等时,和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的 加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与 0 相加,仍得这个数.
(1) (-23)+(+ 58)+(- 17)
(2)(- 2.8)+(- 3.6)+(- 1.5)+3.6
(3) 1+ - 2 + - 5 + + 5
6
7
6
7
2、有理数的减法 如果某天最高气温是 5℃,最低气温是- 3℃,那么这天的日温差记作 [5-(- 3)]℃,怎样计算 [5-(- 3) ] 呢?
例 2 化简:-(+ 2),-(+ 2. 7),-(- 3),-(- 3). 4
练一练: 1.写出下列各数的相反数:
0,58,-4,3.14,- 2. 3
2.在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点: -4,0.5 ,3,-2.
3.填空: (1) ( 7) 是_____的相反数, ( 7) =_______; (2) ( 4) 是_____的相反数, ( 4) =______.
(完整版)苏教版初中数学知识点总结(适合打印)
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1.一般性质(角)⑴内角和:360°⑵顺次连结各边中点得平行四边形。⑶外角和:360°
推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定
3.三角形的主要线段
讨论:①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形
4.特殊三角形的判定与性质5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)⑵特殊三角形全等的判定:①一般方法②专用方法
⑵追及问题(同时出发):
若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则
⑶水中航行: ;
1.配料问题:溶质=溶液×浓度2.溶液=溶质+溶剂3.增长率问题:
4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。
5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。
二、实数的运算
运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的分配律)
运算顺序:A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
第二章 代数式
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。
6.三角形的面积⑴一般计算公式⑵性质:等底等高的三角形面积相等。
苏教版七年级数学下册 7.3 图形的平移 知识点
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7.3 图形的平移知识点一、平移的概念1、平移的定义:在平面内,把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置,这种图形的平行移动简称为平移。
2、平移的两个要素:(1)平移方向;(2)平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形,这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形,我们把互相重合的点称为对应点,互相重合的线段称为对应线段,互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定(1)要对一个图形进行平移,在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离,否则将无法实现平移,那么怎样确定这两点呢?A.若给出带箭头的线段:从箭尾到箭头的方向表示平移方向,而带箭头的线段的长度,表示平移距离,也有时另给平移距离的长度。
B.若给出由小正方形组成的方格纸:在方格中的平移,从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成(有特殊要求例外),而移动距离是由最终要达到的位置确定的。
C.具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向,线段PP’的长度为平移距离。
D.给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)(2)图形平移后,平移方向与平移距离的确定。
图形平移后,原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向,这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
例:如图为一只小兔,将图进行平移,得到的图形可能是下列选项中的()A.B.C.D.【分析】根据平移的性质,图形只是位置变化,其形状与方向不发生变化,进而得出即可.【解答】解:如图为一只小兔,将图进行平移,得到的图形可能是下列选项中的C.故选:C.【点评】此题主要考查了生活中的平移现象,正确根据平移的性质得出是解题关键.知识点二、平移的性质图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
平移后的图形与原图形①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等;②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等;③图形的形状与大小都不变(全等);④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
苏教版七年级下册数学[一元一次不等式组(基础) 知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式组(基础)知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念;2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴正确表示出解集;3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题,感受不等式组在实际生活中的作用.【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组.如2562010xx->⎧⎨-<⎩,7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组.要点诠释:(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上.(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数.要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.要点诠释:(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来,然后找出它们重叠的部分.(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分,也就是说有的不等式组可能出现无解的情况.2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集.(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集.要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为:审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答.要点诠释:(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系.(2)列不等式组解决实际问题时,求出不等式组的解集后,要结合问题的实际背景,从解集中联系实际找出符合题意的答案,比如求人数或物品的数目、产品的件数等,只能取非负整数.【典型例题】类型一、不等式组的概念1.某小区前坪有一块空地,现想建成一块面积大于48平方米,周长小于34米的矩形绿化草地,已知一边长为8米,设其邻边为x ,请你根据题意写出x 必须满足的不等式.【思路点拨】由题意知,x 必须满足两个条件①面积大于48平方米.②周长小于34米.故必须构建不等式组来体现其不等关系.【答案与解析】解:依题意得:8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是:当感知所求的量同时满足几个不等关系时,要建立不等式组,建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似.【第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三:【变式】直接写出解集:(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______; (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______; (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______;(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______. 【答案】(1)2x >;(2)3x <-;(3)32x -<<;(4)空集.类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①② (2)213(1)4x x x +>-≥-.【思路点拨】解不等式组时,要先分别求出不等式组中每个不等式的解集,然后画数轴,找它们解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集.【答案与解析】解:(1)解不等式①,得x <-2解不等式②,得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x <-2.其解集在数轴上表示如图所示.(2) 原不等式可变为:213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①② 解①得:4x <解②得:12x ≥- 故原不等式组的解集为142x -≤<.【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种:(1)数轴法:运用数轴法确定不等式组的解集,就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来,然后找出它们的公共部分,这个公共部分就是此不等式组的解集;如果没有公共部分,则这个不等式组无解,这种方法体现了数形结合的思想,既直观又明了,易于掌握.(2)口诀法:为了便于快速找出不等式组的解集,结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找,大大小小无解了.举一反三:【变式】(2015•江西样卷)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.【答案】 解:,∵解不等式①得:x≤1,解不等式②得:x >﹣2,∴不等式组的解集为:﹣2<x≤1.在数轴上表示不等式组的解集为:类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节,学校组织部分少先队员去植树.学校领到一批树苗,若每人植4棵树,还剩37棵;若每人植6棵树,则最后一人有树植,但不足3棵,这批树苗共有多少棵.【思路点拨】设有x 名学生,则由第一种植树法,知道一共有(4x +37)棵树; 第二种植树法中,前(x-1)名学生中共植6(x-1)棵树;最后一名学生植树的数量是:[(4x +37)- 6(x-1)]棵,这样,我们就探求到第一个不等量关系:最后一人有树植,说明第二种植树法中前(x-1)名学生植树的数量要比树木总数少,即(4x +37)>6(x-1);第二种植树法中,最后一名学生植树的数量不到3棵,也就是说[(4x +37)- 6(x-1)]<3,或者理解为:[(3x +8)- 5(x-1)]≤2,这样,我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此,不等式组即建立起来了,接下来就是解不等式组.【答案与解析】解:设有x 名学生,根据题意,得:4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩()()()()(), 不等式(1)的解集是:x <2121;不等式(2)的解集是:x >20,所以,不等式组的解集是:20<x <2121,因为x 是整数,所以,x=21,4×21+37=121(棵)答:这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系. 举一反三:【变式】一件商品的成本价是30元,若按原价的八八折销售,至少可获得10%的利润;若按原价的九折销售,可获得不足20%的利润,此商品原价在什么范围内?【答案】解:设这件商品原价为x 元,根据题意可得: 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得:37.540x ≤<答:此商品的原价在37.5元(包括37.5元)至40元范围内.4.(2015•桂林)“全民阅读”深入人心,好读书,读好书,让人终身受益.为满足同学们的读书需求,学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书.经了解,20本文学名著和40本动漫书共需1520元,20本文学名著比20本动漫书多440元(注:所采购的文学名著价格都一样,所采购的动漫书价格都一样).(1)求每本文学名著和动漫书各多少元?(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本,动漫书和文学名著总数不低于72本,总费用不超过2000元,请求出所有符合条件的购书方案.【思路点拨】(1)设每本文学名著x 元,动漫书y 元,根据题意列出方程组解答即可;(2)根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本,动漫书和文学名著总数不低于72本,总费用不超过2000元,列出不等式组,解答即可.【答案与解析】解:(1)设每本文学名著x 元,动漫书y 元, 可得:, 解得:,答:每本文学名著和动漫书各为40元和18元;(2)设学校要求购买文学名著x 本,动漫书为(x+20)本,根据题意可得:, 解得:,因为取整数,所以x 取26,27,28;方案一:文学名著26本,动漫书46本;方案二:文学名著27本,动漫书47本;方案三:文学名著28本,动漫书48本.【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用,不等式组的应用,关键是弄清题意,找出题目中的等量关系与不等关系,列出方程组与不等式组.【实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三:【变式】A 地果农收获荔枝30吨,香蕉13吨,现计划租用甲、乙两种货车共10辆,将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨,乙种货车可装荔枝香蕉各2吨.(1)若要安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来.(2)若甲种货车每辆要付运输费2000元,乙种货车每辆要付运输费1300元,那么选择哪种方案使运费最少?运费最少是多少?【答案】解:(1)设租甲种货车x 辆,则租乙种货车(10x -)辆,依题意得:42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩,解得57x ≤≤, 又x 为整数,所以5x =或6或7,∴有三种方案:方案1:租甲种货车5辆,乙种货车5辆;方案2:租甲种货车6辆,乙种货车4辆;方案3:租甲种货车7辆,乙种货车3辆.(2)运输费用:方案1:2000×5+1300×5=16500(元);方案2:2000×6+1300×4=17200(元);方案3:2000×7+1300×3=17900(元).∴方案1运费最少,应选方案1.。
苏教版七年级数学下册 7.2 探索平行线的性质 知识点

7.2 探索平行线的性质知识点知识点一、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.PS:只有当两直线平行时,才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.例:如图,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C的对应点为E.若∠CBD=35°,则∠ADE的度数为()A.15°B.20°C.25°D.30°【分析】根据折叠的性质和平行线的性质,可以得到∠ADB和∠EDB的度数,然后即可得到∠ADE的度数.【解答】解:由折叠的性质可得,∠CDB=∠EDB,∵AD∥BC,∠CBD=35°,∴∠CBD=∠ADB=35°,∵∠C=90°,∴∠CDB=55°,∴∠EDB=55°,∴∠ADE=∠EDB﹣∠ADB=55°﹣35°=20°,故选:B.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.知识点二、平行线的判定与性质的区别条件结论作用判定同位角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质. 例:下列说法中:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②同旁内角互补,两直线平行;③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离;④同一平面内两条不相交的直线一定平行.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】依据平行公理,平行线的判定,点到直线的距离的定义判定即可.【解答】解:①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;②同旁内角互补,两直线平行,故本选项正确;③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离,故本选项错误;④同一平面内两条不相交的直线一定平行,故本选项正确,综上所述,说法正确的有②④共2个.故选:B.【点评】本题考查了平行线的性质与判定,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等,熟记各性质是解题的关键.巩固练习一.选择题(共12小题)1.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在点C′,D′处,若∠AFE=68°,则∠C′EF等于()A.68°B.80°C.40°D.55°2.将一张长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形(△ABC),BC为折痕,若∠1=42°,则∠2的度数为()A.48°B.58°C.60°D.69°3.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=60°,则∠2的度数为()A.60°B.40°C.30°D.20°4.如图,AB∥CD,∠EGB=50°,∠CHF=()A.25°B.30°C.50°D.130°5.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E,若∠1=40°,则∠2的度数为()A.25°B.20°C.15°D.10°6.如图,已知直线AB∥CD,直线EF分别与AB、CD交于点M、N,点H在直线CD上,HG⊥EF于点G,过点作GP∥AB.则下列结论:①∠AMF与∠DNF是同旁内角;②∠PGM=∠DNF;③∠BMN+∠GHN=90°;④∠AMG+∠CHG=270°.其中正确结论的个数是()A.1个B.2 个C.3个D.4个7.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=120°,∠AOF的度数是()A.20°B.30°C.40°D.60°8.如图,l1∥l2,则∠1、∠2、∠3关系是()A.∠2>∠1+∠3 B.无法确定C.∠3=∠1﹣∠2 D.∠2=∠1+∠39.如图,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③AB∥CE且∠ADC=∠B;④AB∥CE且∠BCD=∠BAD;其中能推出BC∥AD的条件为()A.①②B.②④C.②③D.②③④10.如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=64°,则∠2=()A.116°B.122°C.128°D.142°11.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=130°,则∠2等于()A.30°B.25°C.35°D.40°12.如图,AD∥BC,∠D=∠ABC,点E是边DC上一点,连接AE交BC的延长线于点H.点F是边AB 上一点.使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分线EG交BH于点G,若∠DEH=100°,则∠BEG的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°二.填空题(共12小题)13.如图,已知a∥b,∠2=95°,∠3=140°,则∠1的度数为.14.一副三角板按如图所示放置,AB∥DC,则∠CAE的度数为.15.如图,点F在∠BAC的平分线AP上,点E在AB上,且EF∥AC,若∠BEF=40°,则∠AFE=°.16.如图,直线AB∥CD,∠A=60°,∠D=40°,则∠E=.17.如图,一束光线从点C出发,经过平面镜AB反射后,沿与AF平行的线段DE射出(此时∠1=∠2),若测得∠DCF=100°,则∠A=.18.将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置,如果∠CDE=42°,那么∠BAF的度数为.19.如图,若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=90°,则∠BFD=.20.如图,如果∠1=∠3,∠2=64°,那么∠4的度数为.21.如图,AB∥CD,∠A=50°,则∠1=.22.如图,已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B,过点B作BD⊥AM于点D,点E、F在DM 上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,则∠EBC的度数为.23.如图,已知AB∥DE,∠ABC=76°,∠CDE=150°,则∠BCD的度数为°.24.如图,已如长方形纸片ABCD,O是BC边上一点,P为CD中点,沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处,则∠OAB的度数是.三.解答题(共6小题)25.几何说理填空:如图,F是BC上一点,FG⊥AC于点G,H是AB上一点,HE⊥AC于点E,∠1=∠2,求证:DE∥BC.证明:连接EF∵FG⊥AC,HE⊥AC,∴∠FGC=∠HEC=90°().∴∥().∴∠3=∠().又∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4.即∠DEF=∠EFC∴DE∥BC().26.如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.27.如图,∠ABC=∠ADC,BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠1=∠2.问AB与CD,AD与BC平行吗?请说明理由.28.如图:已知,∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°.(1)求证:EF∥BH;(2)若BH平分∠EBO,EF⊥AO于F,∠HCO=64°,求∠CHO的度数.29.如图,直线AB∥CD,CD∥EF,且∠B=30°,∠C=125°,求∠CGB的度数.30.已知EM∥BN.(1)如图1,求∠E+∠A+∠B的大小,并说明理由.(2)如图2,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F.①若∠A=120°,∠AEM=140°,则∠EFD=.②试探究∠EFD与∠A的数量关系,并说明你的理由.(3)如图3,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,过点F作FG⊥BD交BN于点G,若4∠A=3∠EFG,求∠EFB的度数.一.选择题(共12小题)1.如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在点C′,D′处,若∠AFE=68°,则∠C′EF等于()A.68°B.80°C.40°D.55°【分析】根据平行线的性质,可以得到∠CEF的度数,然后根据折叠的性质,即可得到∠C′EF的度数,本题得以解决.【解答】解:∵∠AFE=68°,AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF=68°,由折叠的性质可得,∠CEF=∠C′EF,∴∠C′EF=68°,故选:A.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.2.将一张长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形(△ABC),BC为折痕,若∠1=42°,则∠2的度数为()A.48°B.58°C.60°D.69°【分析】根据平行线的性质,可以得到∠1=∠4,∠4=∠5,再根据∠1=42°和折叠的性质,即可得到∠2的度数,本题得以解决.【解答】解:如右图所示,∵长方形的两条长边平行,∠1=42°,∴∠1=∠4=42°,∠4=∠5,∴∠5=42°,由折叠的性质可知,∠2=∠3,∵∠2+∠3+∠5=180°,∴∠2=69°,故选:D.【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.3.如图,直线a∥b,直线l与a、b分别相交于A、B两点,过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=60°,则∠2的度数为()A.60°B.40°C.30°D.20°【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠2+90°=180°,由∠1=60°可求解∠2的度数.【解答】解:∵a∥b,∴∠1+∠2+∠BAC=180°,∵∠ABC=90°,∠1=60°,∴∠2=30°,故选:C.【点评】本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.4.如图,AB∥CD,∠EGB=50°,∠CHF=()A.25°B.30°C.50°D.130°【分析】根据平行线的性质可得∠EHD=∠EGB=50°,再利用对顶角的性质可求解.【解答】解:∵AB∥CD,∠EGB=50°,∴∠EHD=∠EGB=50°,∴∠CHF=∠EHD=50°.故选:C.【点评】本题主要考查平行线的性质,对顶角的性质,属于基础题.5.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC′D,C′D与AB交于点E,若∠1=40°,则∠2的度数为()A.25°B.20°C.15°D.10°【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB,∠1+∠CBD=90°,可求解∠CBD的度数,由平行线的性质可求解∠ABD的度数,结合折叠的性质可得∠2+∠ABD=∠CBD,进而可求解.【解答】解:在矩形ABCD中,∠C=90°,AB∥CD,∴∠1+∠CBD=90°,CD∥AB,∵∠1=40°,∴∠CBD=50°,∠ABD=∠1=40°,由折叠可知:∠2+∠ABD=∠CBD,∴∠2+∠ABD=50°,∴∠2=10°.故选:D.【点评】本题主要考查矩形的性质,平行线的性质,折叠与对称的性质,由折叠得∠2+∠ABD=∠CBD 是解题的关键.6.如图,已知直线AB∥CD,直线EF分别与AB、CD交于点M、N,点H在直线CD上,HG⊥EF于点G,过点作GP∥AB.则下列结论:①∠AMF与∠DNF是同旁内角;②∠PGM=∠DNF;③∠BMN+∠GHN=90°;④∠AMG+∠CHG=270°.其中正确结论的个数是()A.1个B.2 个C.3个D.4个【分析】由平行公理的推论可求AB∥CD∥GP,利用平行线的性质和三角形的外角性质依次判断可求解.【解答】解:∵∠AMF与∠DNF不是同旁内角,∴①错误;∵AB∥CD,GP∥AB,∴AB∥CD∥GP,∴∠PGM=∠CNM=∠DNF,∠BMN=∠HNG,∠AMN+∠HNG=180°,故②正确;∵HG⊥MN,∴∠HNG+∠GHN=90°,∴∠BMN+∠GHN=90°,故③正确;∵∠CHG=∠MNH+∠HGN,∴∠MNH=∠CHG﹣90°,∴∠AMN+∠HNG=∠AMN+∠CHG﹣90°=180°,∴∠AMG+∠CHG=270°,故④正确,故选:C.【点评】本题考查了平行线的性质,垂线的性质,同位角,内错角,同旁内角的定义,掌握平行公理的推论是本题的关键.7.如图,CD∥AB,点O在AB上,OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=120°,∠AOF的度数是()A.20°B.30°C.40°D.60°【分析】根据平行线的性质可得∠AOD=60°,易得∠DOB=120°,利用角平分线的性质可得∠DOE=60°,由角的和差易得结果.【解答】解:∵CD∥AB,∠D=120°,∴∠AOD+∠D=180°,∴∠AOD=60°,∠DOB=120°,∵OE平分∠BOD,∴∠DOE=60°,∵OF⊥OE,∴∠FOE=90°,∴∠DOF=90°﹣60°=30°,∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=60°﹣30°=30°.故选:B.【点评】此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质解答.8.如图,l1∥l2,则∠1、∠2、∠3关系是()A.∠2>∠1+∠3 B.无法确定C.∠3=∠1﹣∠2 D.∠2=∠1+∠3【分析】过∠2的顶点,作射线l,使l∥l1,利用平行线的性质得到∠1、∠2与∠α、∠β的关系,从而得出∠1、∠2、∠3关系.【解答】解:过∠2的顶点,作如图所示的射线l,使l∥l1,∵l1∥l2,l∥l1,∴l1∥l2∥l.∴∠1=∠α,∠2=∠β.∵∠α+∠β=∠2,∴∠1+∠3=∠2.故选:D.【点评】本题考查了平行线的性质,作l与l1平行并利用平行线的性质是解决本题的关键.9.如图,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠4;③AB∥CE且∠ADC=∠B;④AB∥CE且∠BCD=∠BAD;其中能推出BC∥AD的条件为()A.①②B.②④C.②③D.②③④【分析】根据平行线的判定条件,逐一判断,排除错误答案.【解答】解:①∵∠1=∠2,∴AB∥CD,不符合题意;②∵∠3=∠4,∴BC∥AD,符合题意;③∵AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∵∠ADC=∠B,∴∠ADC+∠BCD=180°,由同旁内角互补,两直线平行可得BC∥AD,故符合题意;④∵AB∥CE,∴∠B+∠BCD=180°,∵∠BCD=∠BAD,∴∠B+∠BAD=180°,由同旁内角互补,两直线平行可得BC∥AD,故符合题意;故能推出BC∥AD的条件为②③④.故选:D.【点评】此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握判定定理:同位角相等,两直线平行.内错角相等,两直线平行.同旁内角互补,两直线平行.10.如图,AC∥BD,AE平分∠BAC交BD于点E,若∠1=64°,则∠2=()A.116°B.122°C.128°D.142°【分析】根据邻补角定义可得∠3+∠4的度数,再根据角平分线定义可得∠4的度数,根据两直线平行同旁内角互补即可求出∠2的度数.【解答】解:∵∠1=64°,∴∠3+∠4=180°﹣64°=116°,∵AE平分∠BAC,∴∠3=∠4=116°÷2=58°,∵AC∥BD,∴∠2+∠4=180°,∴∠2=180°﹣58°=122°.故选:B.【点评】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质.11.如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=130°,则∠2等于()A.30°B.25°C.35°D.40°【分析】先根据平行线的性质求出∠GAB的度数,再根据邻补角的定义求出∠BAE的度数,最后根据∠1=∠2求出∠2即可.【解答】解:∵AB∥CD,∠3=130°,∴∠GAB=∠3=130°,∵∠BAE+∠GAB=180°,∴∠BAE=180°﹣∠GAB=180°﹣130°=50°,∵∠1=∠2,∴∠2∠BAE50°=25°.故选:B.【点评】本题主要考查了平行线的性质.解题的关键是掌握平行线的性质:两直线平行,同位角相等.12.如图,AD∥BC,∠D=∠ABC,点E是边DC上一点,连接AE交BC的延长线于点H.点F是边AB 上一点.使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分线EG交BH于点G,若∠DEH=100°,则∠BEG的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°【分析】AD∥BC,∠D=∠ABC,则AB∥CD,则∠AEF=180°﹣∠AED﹣∠BEG=180°﹣2β,在△AEF中,100°+2α+180°﹣2β=180°,故β﹣α=40°,即可求解.【解答】解:设FBE=∠FEB=α,则∠AFE=2α,∠FEH的角平分线为EG,设∠GEH=∠GEF=β,∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,而∠D=∠ABC,∴∠D+∠BAD=180°,∴AB∥CD,∠DEH=100°,则∠CEH=∠F AE=80°,∠AEF=180°﹣∠FEG﹣∠HEG=180°﹣2β,在△AEF中,在△AEF中,80°+2α+180﹣2β=180°故β﹣α=40°,而∠BEG=∠FEG﹣∠FEB=β﹣α=40°,故选:B.【点评】本题考查的是平行线的性质,涉及到角平行线、外角定理,本题关键是落脚于△AEF内角和为180°,即100°+2α+180°﹣2β=180°,题目难度较大.二.填空题(共12小题)13.如图,已知a∥b,∠2=95°,∠3=140°,则∠1的度数为125°.【分析】根据三角形的内角和外角的关系,可以求得∠5的度数,再根据平行线的性质,即可得到∠1的度数,本题得以解决.【解答】解:∵∠3=140°,∠3+∠4=180°,∴∠4=40°,∵∠2=95°,∠2=∠5+∠4,∴∠5=55°,∵a∥b,∴∠1+∠5=180°,∴∠1=125°,故答案为:125°.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.14.一副三角板按如图所示放置,AB∥DC,则∠CAE的度数为15°.【分析】根据题意和图形,利用平行线的性质,可以得到∠BAE的度数,再根据∠2=30°,即可得到∠CAE的度数.【解答】解:由图可知,∠1=45°,∠2=30°,∵AB∥DC,∴∠BAE=∠1=45°,∴∠CAE=∠BAE﹣∠2=45°﹣30°=15°,故答案为:15°.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.15.如图,点F在∠BAC的平分线AP上,点E在AB上,且EF∥AC,若∠BEF=40°,则∠AFE=20°.【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质,可以得到∠AFE的度数.【解答】解:∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP,∵EF∥AC,∴∠EF A=∠CAP,∴∠BAP=∠EF A,∵∠BEF=40°,∠BEF=∠BAP+∠EF A,∴∠BAP=∠EF A=20°,即∠AFE=20°,故答案为:20.【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.16.如图,直线AB∥CD,∠A=60°,∠D=40°,则∠E=20°.【分析】根据平行线的性质,可以得到∠1的度数,再根据∠1=∠E+∠D,即可得到∠E的度数.【解答】解:∵AB∥CD,∠A=60°,∴∠A=∠1=60°,∵∠1=∠E+∠D,∠D=40°,∴∠E=∠1﹣∠D=60°﹣40°=20°,故答案为:20°.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.17.如图,一束光线从点C出发,经过平面镜AB反射后,沿与AF平行的线段DE射出(此时∠1=∠2),若测得∠DCF=100°,则∠A=50°.【分析】由平行线的性质可得∠1=∠2=∠A,由外角的性质可求解.【解答】解:∵DE∥AF,∴∠2=∠A,∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠A,∵∠DCF=∠A+∠1=2∠A=100°,∴∠A=50°,故答案为:50°.【点评】本题考查了平行线的性质,掌握平行线的性质是本题的关键.18.将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置,如果∠CDE=42°,那么∠BAF的度数为12°.【分析】由DE∥AF得∠AFD=∠CDE=42°,再根据三角形的外角性质可得答案.【解答】解:由题意知DE∥AF,∠CDE=42°,∴∠AFD=∠CDE=42°,∵∠B=30°,∴∠BAF=∠AFD﹣∠B=42°﹣30°=12°,故答案为:12°.【点评】本题主要考查平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质.19.如图,若AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BED=90°,则∠BFD=45°.【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质,可以求得∠BFD的度数,本题得以解决.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠ABE=∠4,∠1=∠2,∵∠BED=90°,∠BED=∠4+∠EDC,∴∠ABE+∠EDC=90°,∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠1+∠3=45°,∵∠5=∠2+∠3,∴∠5=∠1+∠3=45°,即∠BFD=45°,故答案为:45°.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.20.如图,如果∠1=∠3,∠2=64°,那么∠4的度数为116°.【分析】根据∠1=∠3,可以得到AB∥CD,从而可以得到∠2=∠5,再根据∠5+∠4=180°,即可得到∠4的度数.【解答】解:∵∠1=∠3,∴AB∥CD,∴∠2=∠5,∵∠2=64°,∴∠5=64°,∵∠5+∠4=180°,∴∠4=116°,故答案为:116°.【点评】本题考查平行线的性质和判定,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.21.如图,AB∥CD,∠A=50°,则∠1=130°.【分析】由平行线的性质可得出∠2,根据对顶角相得出∠1.【解答】解:如图:∵AB∥CD,∴∠A+∠2=180°,∵∠A=50°,∴∠1=∠2=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°.故答案为:130°.【点评】本题考查了平行线的性质,解题的关键是能够根据两直线平行,同旁内角互补和对顶角相等进行分析解答.22.如图,已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B,过点B作BD⊥AM于点D,点E、F在DM 上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,则∠EBC的度数为105°.【分析】先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【解答】解:过点B作BG∥DM,如图:∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由(2)可得∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,设∠DBE=α,∠ABF=β,则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①由AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,②由①②联立方程组,解得α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.故答案为:105°.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用,解决问题的关键是作平行线构造内错角,运用等角的余角(补角)相等进行推导.余角和补角计算的应用,常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意方程思想的运用.23.如图,已知AB∥DE,∠ABC=76°,∠CDE=150°,则∠BCD的度数为46°.【分析】根据平行线的性质,可以求得∠BCF和∠DCF的度数,从而可以得到∠BCD的度数.【解答】解:过点C作CF∥AB,∵AB∥DE,∴AB∥DE∥CF,∴∠ABC=∠BCE,∠CDE+∠DCF=180°,∵∠ABC=76°,∠CDE=150°,∴∠BCF=76°,∠DCF=30°,∴∠BCD=46°,故答案为:46.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.24.如图,已如长方形纸片ABCD,O是BC边上一点,P为CD中点,沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处,则∠OAB的度数是30°.【分析】根据折叠,得出相等的线段和相等的角,根据中点得出DP AP,进而得出∠DAP=30°,再根据折叠对称,得出答案.【解答】解:由折叠得,∠BAO=∠OAP,AB=AP,∵长方形纸片ABCD,∴AB=CD,∠D=∠DAB=∠B=90°,∵P为CD中点,∴PC=PD CD AP,在Rt△ADP中,∠DAP=30°,∴∠OAB=∠OAP(90°﹣30°)=30°,故答案为:30°.【点评】考查矩形的性质,直角三角形的边角关系,折叠轴对称的性质等知识,根据折叠对称相等的角和线段,是解决问题的关键.三.解答题(共6小题)25.几何说理填空:如图,F是BC上一点,FG⊥AC于点G,H是AB上一点,HE⊥AC于点E,∠1=∠2,求证:DE∥BC.证明:连接EF∵FG⊥AC,HE⊥AC,∴∠FGC=∠HEC=90°(垂直的性质).∴FG∥HE(同位角相等,两直线平行).∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4.即∠DEF=∠EFC∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行).【分析】要证明DE∥FC,可证明∠DEF=∠EFC,由于∠1=∠2,可证明∠3=∠4,需证明EH∥FG,可通过垂直的性质得到.【解答】证明:连接EF∵FG⊥AC,HE⊥AC,∴∠FGC=∠HEC=90°(垂线的性质).∴FG∥HE(同位角相等,两直线平行).∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).又∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4.即∠DEF=∠EFC∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行).故答案为:垂线的性质;FG,HE,同位角相等,两直线平行;4,两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.【点评】本题考查了平行线的性质和判定,掌握平行线的性质和判定并学会分析是解决本题的关键.26.如图,∠1=∠BCE,∠2+∠3=180°.(1)判断AC与EF的位置关系,并说明理由;(2)若CA平分∠BCE,EF⊥AB于F,∠1=72°,求∠BAD的度数.【分析】(1)由∠1=∠BCE,可得到直线AD与EC平行,可得到∠2与∠4间关系,再由∠2+∠3=180°判断AC与EF的位置关系;(2)由(1)的结论及垂直可得到∠BAC的度数,再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数,利用角的和差关系可得结论.【解答】解:(1)AC∥EF.理由:∵∠1=∠BCE,∴AD∥CE.∴∠2=∠4.∵∠2+∠3=180°,∴∠4+∠3=180°.∴EF∥AC.(2)∵AD∥EC,CA平分∠BCE,∴∠ACD=∠4=∠2.∵∠1=72°,∴∠2=36°.∵EF∥AC,EF⊥AB于F,∴∠BAC=∠E=90°.∴∠BAD=∠BAC﹣∠2=54°.【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质等知识点,综合性较强,掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键.27.如图,∠ABC=∠ADC,BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠1=∠2.问AB与CD,AD与BC平行吗?请说明理由.【分析】先根据角平分线的定义得到∠2∠ABC,∠CDE∠ADC,由于∠ABC=∠ADC,则∠2=∠CDE,根据∠1=∠2,可得∠1=∠CDE,然后根据同旁内角互补,两直线平行得到AB∥CD,再根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ADC+∠A=180°,由于∠ABC=∠ADC,则∠ABC+∠A=180°,再根据同旁内角互补,两直线平行可判断AD∥BC.【解答】解:AB与CD,AD与BC平行.理由如下:∵BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,∴∠2∠ABC,∠CDE∠ADC,∵∠ABC=∠ADC,∴∠2=∠CDE,∵DE∥BF,∴∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠CDE,∴AB∥CD,∴∠ADC+∠A=180°,∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC+∠A=180°,∴AD∥BC.【点评】本题考查了平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补.28.如图:已知,∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°.(1)求证:EF∥BH;(2)若BH平分∠EBO,EF⊥AO于F,∠HCO=64°,求∠CHO的度数.【分析】(1)要证明EF∥BH,可通过∠E与∠EBH互补求得,利用平行线的性质说明∠EBH=∠CHB 可得结论.(2)要求∠CHO的度数,可通过平角和∠FHC求得,利用(1)的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可.【解答】证明:(1)∵∠HCO=∠EBC,∴EB∥HC.∴∠EBH=∠CHB.∵∠BHC+∠BEF=180°,∴∠EBH+∠BEF=180°.∴EF∥BH.(2)∵∠HCO=∠EBC,∴∠HCO=∠EBC=64°,∵BH平分∠EBO,∴∠EBH=∠CHB∠EBC=32°.∵EF⊥AO于F,EF∥BH,∴∠BHA=90°.∴∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°.∵∠CHO=180°﹣∠FHC=180°﹣122°=58°.【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点,理解题意学会分析是解决此类问题的关键.29.如图,直线AB∥CD,CD∥EF,且∠B=30°,∠C=125°,求∠CGB的度数.【分析】根据平行公理的推论可得直线AB∥CD∥EF,根据平行线的性质得出∠BGF=∠B=30°,∠C+∠CGF=180°,求出∠CGF=55°,即可得出答案.【解答】解:∵AB∥CD,CD∥EF,∴AB∥CD∥EF,∵∠B=30°,∠C=125°,∴∠BGF=∠B=30°,∠C+∠CGF=180°,∴∠CGF=55°,∴∠CGB=∠CGF﹣∠BGF=25°,【点评】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论,牢记“两直线平行,内错角相等”等平行线的性质是解题的关键.30.已知EM∥BN.(1)如图1,求∠E+∠A+∠B的大小,并说明理由.(2)如图2,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F.①若∠A=120°,∠AEM=140°,则∠EFD=60°.②试探究∠EFD与∠A的数量关系,并说明你的理由.(3)如图3,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,过点F作FG⊥BD交BN于点G,若4∠A=3∠EFG,求∠EFB的度数.【分析】(1)过A作AQ∥EM,判定AQ∥BN,根据平行线的性质可求解;(2)①由(1)的结论可求解∠ABN=100°,利用角平分线的定义可求∠DEF=70°,∠FBC=50°,再结合平行线段的性质可求解;②可采用①的解题方法换算求解;(3)设∠EFD=x,则∠A=2x,根据4∠A=3∠EFG列方程,解方程即可求解.【解答】解:(1)过A作AQ∥EM,∴∠E+∠EAQ=180°,∵EM∥BN,∴AQ∥BN,∴∠QAB+∠B=180°,∵∠EAB=∠EAQ+∠QAB,∴∠E+∠EAB+∠B=360°;(2)①由(1)知∠AEM+∠A+∠ABN=360°,∵∠A=120°,∠AEM=140°,∴∠ABN=100°,∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,∴∠DEF=70°,∠FBC=50°,∵EM∥BN,∴∠EDF=∠FBC=50°,∴∠EFD=180°﹣∠DEF﹣∠EDF=180°﹣70°﹣50°=60°,故答案为60°;②由(1)知∠AEM+∠A+∠ABN=360°,∴∠ABN=360°﹣∠AEM﹣∠A,∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F,∴∠DEF∠AEM,∠FBC∠ABN,∵EM∥BN,∴∠EDF=∠FBC∠ABN,∴∠EFD=180°﹣∠DEF﹣∠EDF=180°∠AEM∠ABN=180°(360°﹣∠A)∠A,即∠A=2∠EFD;(3)设∠EFD=x,则∠A=2x,由题意得4•2x=3(90+x),解得x=54°,答:∠EFB的度数为54°.【点评】本题主要考查平行线的性质与判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理,注意方程思想的应用.。
苏教版七年级数学下册知识点(详细全面精华)
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第七章图形的认识(二)一、直线被第三条直线所截形成8个角。
(3线8角)1.同位角:(在两条直线的同一旁,第三条直线的同一侧)在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如:∠1和∠5。
2.内错角:(在两条直线内部,位于第三条直线两侧)在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如:∠3和∠5。
3.同旁内角:(在两条直线内部,位于第三条直线同侧)在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如:∠3和∠6。
二、平行线及其判定(一) 平行线1.平行:两条直线不相交。
互相平行的两条直线,互为平行线。
a∥b(在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
)2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c(二)平行线的判定:1. 两条平行线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。
(同位角相等,两直线平行)2. 两条平行线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。
(内错角相等,两直线平行)3. 两条平行线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
(同旁内角互补,两直线平行)4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a∥b,a∥c,则 b ∥c 。
推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
三、平行线的性质(一)平行线的性质1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
(两直线平行,同位角相等)2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
(两直线平行,内错角相等)3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
(两直线平行,同旁内角相等)(二)命题、定理、证明1.命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。
2.命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
苏科版七年级数学全册知识点总结
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10、相反数:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数。
0的相反数是0.在数轴上互为相反数的两个数表示的点,分居在原点两侧,并且到原点的距离相等。
相反数等于本身的数只有0.在一个数前面添上“+”号还表示这个数,在一个数前面添上“—”号,就表示求这个数的相反数。
二、实数大小的比较11、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。
12、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。
三、实数的运算13、加法:(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(3)任何数与0相加仍得这个数。
14、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。
15、加减法运算统一为加法后,可以省略加号。
也可以使用加法交换律和结合律,任意交换加数的位置,任意把两个数相加,不过移动位置时一定要连同加数的符号一起移动。
16、乘法:(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法:(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何不等于0的数都等于0,(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)乘积为1的两个数互为倒数。
0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.有的面是平面、有的面是曲面。
我们知道,面与面相交成线,在棱柱与棱锥中,面与面的交线叫做棱。
(edge)其中,相邻两个侧面的交线叫做侧棱棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点(vertex)棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。
棱柱的侧棱长相等,棱柱的上下底面是相同的多边形,直棱柱的侧面都是长方形。
棱锥的侧面都是三角形图形都是由点(point)、线(line)、面(plane)构成。
苏教版初中几何知识点总结
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苏教版初中几何知识点总结几何是研究空间形状、位置、大小等性质的数学学科。
在初中阶段,学生学习到了很多几何知识,包括平面几何和立体几何。
本文将对初中几何知识点进行总结,希望能为学生的学习提供指导和帮助。
一、平面几何知识点总结1. 点、线、面在平面几何中,点、线、面是最基本的概念。
点是没有大小和形状的,只有位置的,用大写字母标示。
线是由无数个点连在一起形成,只有长度没有宽度。
面是由一条封闭曲线包围的区域,具有长、宽、没有厚度。
2. 角角是由两条射线共同端点组成的,角的度量单位是度。
根据角的大小可以分为锐角、钝角、直角、平角。
3. 直线、射线、线段直线是由无数个点连在一起构成的,没有始末点,永远延伸。
射线是有一个始点,永远延伸的直线。
线段是有一个始点和一个终点的部分直线。
4. 三角形三角形是由三条边和三个角组成的。
根据边和角的关系,可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
5. 四边形四边形是由四条边和四个角组成的。
根据边和角的关系,可以分为矩形、正方形、平行四边形、梯形。
6. 圆圆是平面上所有到一个定点距离都相等的点的集合。
圆的性质包括圆心、半径、直径、圆周、弧、扇形等。
7. 相似两个图形,如果一个是另一个的放大(或缩小)和旋转,我们就说这两个图形相似。
相似的图形有相似的形状,但是大小不同。
8. 合并集合中一个大集合,包含其他小的集合,同时和小集合不相等,称之为合并。
9. 切割把一个图形分成两个图形的操作称为切割。
切割的目的在于得到我们需要的图形的形状和大小。
10. 翻折图形绕着某点旋转一定的角度,就形成了一个新图形。
这个操作叫做翻折。
二、立体几何知识点总结1. 立体图形的认识立体图形是三维的图形,具有长、宽、高三个方向的尺寸。
常见的立体图形有棱柱、棱锥、球体、圆柱、圆锥等。
2. 棱柱和棱锥棱柱是底面为多边形,侧面为平行四边形的立体图形。
棱锥是底面为多边形,侧面为三角形的立体图形。
苏教版初一下册数学知识点
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苏教版初一下册数学知识点苏教版初一下册数学知识点概述一、数与代数1. 有理数- 有理数的概念- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 有理数的比较大小- 有理数的绝对值- 有理数的科学计数法2. 整式的运算- 单项式与多项式- 整式的加减运算- 整式的乘法运算- 整式的除法运算- 因式分解3. 线性方程与不等式- 一元一次方程的解法- 二元一次方程组的解法- 不等式及其解集- 一元一次不等式及其解集- 一元一次不等式的整数解二、几何1. 平面图形的认识- 平行线与垂线- 平行线的性质- 三角形的基本概念- 特殊三角形(等腰三角形、等边三角形) - 平行四边形的基本概念2. 图形的变换- 平移- 旋转- 轴对称3. 角与相交线- 角的度量与比较- 角的和差- 垂直与平行线的性质- 相交线的性质三、统计与概率1. 统计- 统计调查- 频数与频率- 统计图表(条形图、折线图、饼图)2. 概率- 随机事件- 概率的初步认识- 简单事件发生的可能性四、解题方法与技巧1. 解题策略- 分析问题- 寻找规律- 归纳总结2. 技巧应用- 代数运算技巧- 几何证明技巧- 不等式解题技巧以上是苏教版初一下册数学的主要知识点概述。
这些知识点构成了初中数学的基础,对于后续学习具有重要意义。
掌握这些知识点,需要通过大量的练习和应用来加深理解。
教师和学生都应该重视这些基础知识的学习,为以后的学习打下坚实的基础。
苏教版初一数学下册知识点总结
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苏教版初一数学下册知识点总结七年级数学公式大全1 每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数2 1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数3 速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度4 单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价5 工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率6 加数+加数=和和-一个加数=另一个加数7 被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数8 因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数9 被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数小学数学图形计算公式 1 正方形C周长 S面积 a边长周长=边长×4 C=4a面积=边长×边长S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 长方形C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7 梯形s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8 圆形S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径 10 圆锥体v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径体积=底面积×高÷3 总数÷总份数=平均数和差问题的公式(和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数和倍问题和÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数 (或者和-小数=大数) 差倍问题差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数 (或小数+差=大数) 植树问题七年级数学知识点总结统计科学记数法:一个大于10的数可以表示成A.10N的形式,其中1小于等于A小于10,N是正整数。
2024年苏教版七年级数学知识点总结
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2024年苏教版七年级数学知识点总结一、数与式1. 自然数、整数、有理数的认识和比较2. 分数的概念及其表示方法3. 数的运算:加法、减法、乘法、除法4. 整数的四则运算5. 分数的加减运算及混合运算6. 数的乘方和乘法运算律7. 简单的代数式二、比1. 比的定义和性质2. 比例和比例的性质3. 比例中的四则运算4. 百分数与百分数的运算5. 比例的应用三、形状与运动1. 平面图形:点、线、面、角的基本概念2. 直线与角3. 三角形和四边形的性质4. 平行线与它们的性质5. 梯形、菱形和平行四边形的性质6. 圆的基本性质四、数据和图表1. 数据收集与整理2. 图表的读取和分析3. 表格的制作和应用4. 统计的基本概念和统计图的绘制5. 常见统计图形的分析五、方程与不等式1. 一元一次方程与一元一次不等式2. 代数式与方程式的应用3. 做运算与解方程之间的关系六、正比例与反比例1. 直接比例与反比例2. 比例线性方程和反比例函数图形的认识3. 比例线性方程和反比例函数的应用七、整式的加减1. 代数式的加减法则和乘法法则2. 积的分配率和提公因式3. 化简代数式八、三角形的面积1. 三角形的面积及其性质2. 面积公式的推导和应用3. 相似三角形与面积的计算九、数与式的应用1. 问题的变式及解法2. 数与式的应用问题3. 代数方法解决应用问题十、数据和不等式1. 数据和不等式的综合应用2. 数据的分析、预测和预测误差3. 解决实际问题以上是____年苏教版七年级数学的主要知识点,总结如上,希望对您有所帮助。
苏教版七年级数学 第五章走进图形世界知识点与典题
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夯实基础融会贯通苏教版七年级数学精准训练提升能力第五章走进图形世界知识点与典题第一节丰富的图形世界一、知识点1、几何图形由点、线、面组成。
面与面相交得到线,线与线相交得到点。
2、棱柱、棱锥中,相邻两个面的交线叫做棱, (其中相邻两个侧面的交线叫侧棱),棱柱中的棱与棱的交点叫棱柱的顶点,棱锥的各侧棱的公共点叫棱锥的顶点.3、棱柱的侧棱长都相等,棱柱的上、下底面都是相同的多边形,直棱柱的侧面都是长方形,棱锥的侧面都是三角形。
4、七巧板的构成:它是用一个正方形分割成五个三角形、一个正方形形和一个平行四边形形。
二、典题1、如图,将下列图形与对应的图形名称用线连接起来:2、五棱柱有个面,条棱,有个顶点.六棱柱有个面,条棱,有个顶点.n棱柱有个面,条棱,有个顶点.3、一个棱锥有7个面,这是棱锥,它有个侧面.4、下图是图(1)的正方体切去一块,得到图(2)~(5)的几何体,①它们各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?②举例说明其他形状的几何体也切去一块,所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少.③若面数记为f,棱数记为e,顶点数记为v,则f+v-e满足什么关系?用其它的几何体验证上面的结论,还成立吗?5、如图,长方体ABCD-A′B′C′D′有个面,条棱,个顶点.与棱AB垂直相交的棱有条,与棱AB平行的棱有条.6、一个棱柱的底面是七边形,则它的侧面有个长方形,它一共有个面.7、有一个几何体,有9个面,16条棱,那么它有个顶点.第二节图形的运动一、知识点1、图形的运动主要有图形的平移、旋转、翻折。
2、如图所示:(1)将图形A平移到图形B;(2)将图形B沿图中虚线翻折到图形C;(3)将图形C沿其右下方的顶点旋转180°到图形D.二、典题1、下列现象中是平移的是()A.将一张纸沿它的中线折叠 B.飞蝶的快速转动 C.电梯的上下移动 D.翻开书中的每一页纸张2、如图,是由9个相同的小三角形组成的三角形(1)图形2绕它下面的顶点旋转180°度,可以变换到图形.(2)图形1沿它的下边缘线翻折可得到图形.(3)涂出图形1通过平移可以到达的三角形,这样的三角形共有个.(4)图形1通过可以变换到图形3.3、阅读下列材料:如图②,把△ABC沿直线平移线段BC的长度,可以变到△ECD 的位置;如图③,以BC为轴把△ABC翻折180°可以变到△DBC的位置;如图④,以点A为中心,把△ABC旋转1800,可以变到△AED的位置,像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的,这种只改变位置,不改变形状大小的图形变换,叫做三角形的全等变换.问:在图①中,可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE变到△ADF 的位置.ABCDAB CD////A B CD123456789第三节展开与折叠一、知识点1、将几何体展开成展开图,在几何体展开图中,能识别多个面在几何体中的对应位置。
苏教版1-6年级数学总复习基础知识点汇总(含目录)

苏教版1-6年级数学目录1年级上册一数一数二比一比三分一分四认位置五认数(一)六认识物体七分与合 8=4+4;8=3+5;8=2+6;8=1+7;8=8+0八加法和减法九统计十认数(二)十一认识钟表十二加法十三期末复习1年级下册一减法二认识图形三认数四加法和减法(一)五认识人民币六加法和减法(二)七统计八期末复习2年级上册一认识乘法二乘法口诀(一)* 快乐的对日活动三认识图形* 有趣的七巧板四认识除法五口诀求商(一)六厘米和米* 量一量七位置和方向八乘法口诀和口诀求商(二)* 算24点九时、分、秒十观察物体十一统计与可能性*田园风光十二期末复习2年级下册一有余数的除法二认数三分米和毫米四加法五认识方向* 测定方向六减法七认识角八乘法九统计* 你能跳多远十期末复习3年级上册1 除法○农村新貌2 认数3 千克和克○称一称4 加和减5 24小时记时法○周末一天的安排6 长方形和正方形○周长是多少7 乘法8 观察物体9 统计和可能性○摸牌和下棋10 认识分数11 整理与复习3年级下册1 除法2 年、月、日○生日快乐3 平移和旋转○美丽的花边4 乘法5 观察物体6 千米和吨○了解千米7 轴对称图形○奇妙的剪纸8 认识分数9 长方形和正方形的面积○我们的试验田10 统计○运动和身体的变化11 认识小数12 整理与复习4年级上册1 除法2 角○怎样滚得远3 混合运算4 平行和相交5 找规律6 观察物体7 运算率(加法和乘法的交换律和结合律)8 解决问题的策略9 统计与可能性○了解我们自己10 认数11 用计算器计算○一亿有多大12 整理与复习4年级下册1 乘法2 升和毫升○美妙的“杯琴”3 三角形4 混合运算5 平行四边形和梯形6 找规律7 运算率○我们去春游8 对称、平移和旋转○图案的欣赏和设计9 倍数和因数10 用计算器探索规律11 解决问题的策略12 统计○了解我们的生存空间13 用字母表示数14 整理和复习5年级上册1 认识负数○面积是多少2 多边形面积的计算○校园的绿化面积3 认识小数4 小数加法和减法5 找规律6 解决问题的策略7 小数乘法和除法(一)8 公顷和平方千米9 小数乘法和除法(二)10 统计○了解周围的家庭11 整理与复习5年级下册1 方程2 确定位置3 公倍数和公因数○数字与信息4 认识分数5 找规律6 分数的基本性质○球的反弹高度7 统计8 分数加法和减法○奇妙的图形密铺9 解决问题的策略10 圆○画出美丽的图案11 整理与复习6年级上册1.方程2.长方体和正方体*.表面积的变化3.分数乘法4.分数除法5.认识比*.大树有多高6.分数四则混合运算7.解决问题的策略8.可能性9.认识百分数*算出它们的普及率10.整理与复习6年级下册1 百分数的应用2 圆柱和圆锥○测量物体的体积3 比例○面积的变化4 确定位置○实际测量5 正比例和反比例6 解决问题的策略7 统计8 总复习数与代数空间与图形统计与可能性综合应用基础知识-《数与代数》(一)数的认识整数【正数、0、负数】1、一个物体也没有,用0表示。
苏教版七年级初一下册数学知识点总结归纳
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第七章平面图形的认识(二)一、平行线1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条线(a,b)被第三条(c)直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles) 如图:∠1与∠8,∠2与∠7,∠3与∠6,∠4与∠5均为同位角。
两条线(a,b)被第三条(c)直线所截,两个角分别在截线的两侧,且在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
如图:∠1与∠6,∠2与∠5均为同位角。
两条线(a,b)被第三条(c)直线所截,两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角(interior angles of thesame side)。
如图:∠1与∠5,∠2与∠6均为同位角。
2、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
3、平行线的判定(1)同位角相等,两直线平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
(4)平行于同一直线的两直线平行。
4、平移平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做图形的平移(translation),简称平移。
5、平移的性质经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等;平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化;(2)图形平移后,对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上)(3)多次平移相当于一次平移。
(4)多次对称后的图形等于平移后的图形。
(5)平移是由方向,距离决定的。
(6)经过平移,对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等。
二、三角形1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。
2、三角形的性质1)三角形的任意两边之和大于第三边(由此得三角形的两边的差一定小于第三边)2)三角形三个内角的和等于180度(在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度)(一个三角形的3个内角中最少有2个锐角)3)直角三角形的两个锐角互余4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和(三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角)5)等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一6)三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点7)三角形的外角和是360°8)等底等高的三角形面积相等9)三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
苏教版七年级数学十字相乘法
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十字相乘法教学目标:1.了解十字相乘法的依据2.掌握十字相乘法分解的多项式特征3、掌握十字相乘法的符号规律教学重难点:1.用十字相乘法分解二次项系数不为0的二次三项式2、分解形如x 2-- 5xy+6y 2新授课内容:【知识要点梳理】1.二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例如,322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中,如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式.在多项式37222+-ab b a 中,把ab 看作一个整体,即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于ab 的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x +y 看作一个整体,就是关于x +y 的二次三项式. 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax +b )(cx +d )多项式乘法法则.它的一般规律是:(1)对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2,如果能把常数项q 分解成两个因数a ,b 的积,并且a +b 为一次项系数p ,那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x 可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ,b ,c 都是整数且a ≠0)来说,如果存在四个整数2121,,,c c a a ,使a a a =⋅21,c c c =⋅21,且b c a c a =+1221,那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同. 用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如:)45)(2(86522-+=-+x x y xy x(使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数,在横向写出积的形式。
七年级苏教版数学复习要点考点专题四:立体图形及三视图(教师用,附答案分析)
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七年级苏教版数学复习要点考点专题四:立体图形及三视图知识点一常见立体图形1.立体图形与平面图形①有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形.②有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.3.常见立体图形的分类曲面体圆柱、圆锥、球体按是否有顶点是棱柱、棱锥、圆锥否圆柱、球体总结:在对几何体分类时首先确定分类的标准,分类标准不同,结果也就不同,不论选择哪种分类标准,都要做到不重、不漏.4、点、线、面、体体:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥都是几何体,几何体也称体.面:包围着体的是面.面有平面和曲面两种.线:面和面相交的地方形成线.点:线和线相交的地方是点.用运动的观点来看:点动成线、线动成面、面动成体.例1(中山区期末)三角形ABC绕BC旋转一周得到的几何体为()A.B.C.D.【解答】解:由图形的旋转性质,可知ABC旋转后的图形为C,故选:C.例2(邳州市期末)如图,在下列图形中,绕铅垂线旋转一周可得到如图所示几何体的是()A.B.C.D.【解答】解:A、是直角梯形绕高旋转形成的圆台,故A正确;B、是直角梯形绕底边的腰旋转形成的圆柱加圆锥,故B错误;C、绕直径旋转形成球,故C错误;D、绕直角边旋转形成圆锥,故D错误.故选:A.例3(皇姑区期末)下面是一个正方体,用一个平面去截这个正方体截面形状不可能为下图中的()A.B.C.D.【解答】解:无论如何去截,截面也不可能有弧度,因此截面不可能是圆.故选:D.知识点二几何体的表面展开图1.展开图:有些几何体的表面可以展开成平面图形,这个平面图形称为相应几何体的表面展开图.2.常见立体图形的平面展开图(1)圆柱的表面展开图是两个相同的圆面和一个长方形组成的;(2)圆锥的表面展开图是由一个圆面和一个扇形组成的;(3)棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一个长方形组成的,侧面展开图是一个长方形。
苏教版七年级数学重要知识点总结
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苏教版七年级数学重要知识点总结七年级数学知识点变量之间的关系一理论理解1、若Y随X的变化而变化,则X是自变量Y是因变量。
自变量是主动发生变化的量,因变量是随着自变量的变化而发生变化的量,数值保持不变的量叫做常量。
3、若等腰三角形顶角是y,底角是x,那么y与x的关系式为y=180-2x.2、能确定变量之间的关系式:相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)×高÷2④本息和=本金+利率×本金×时间。
⑤总价=单价×总量。
⑥平均速度=总路程÷总时间二、列表法:采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据,并按从小到大的顺序列出,再分别求出因变量的对应值。
列表法的特点是直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值,但缺点是具有局限性,只能表示因变量的一部分。
三.关系式法:关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
四、图像注意:a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标),特别是图像的起点、拐点、交点八、事物变化趋势的描述:对事物变化趋势的描述一般有两种:1.随着自变量x的逐渐增加(大),因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可:因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));2.随着自变量x的逐渐增加(大),因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可:因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).注意:如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大),因变量y逐渐增加(大)等等.九、估计(或者估算)对事物的估计(或者估算)有三种:1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如:自变量x 每增加一定量,因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;2.利用图象:首先根据若干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;3.利用关系式:首先求出关系式,然后直接代入求值即可.初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形。
苏教版初中数学知识点总结
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苏教版初中数学知识点总结一、数与代数1. 有理数- 有理数的概念与分类:整数、分数、正有理数、负有理数、零。
- 有理数的运算:加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。
- 有理数的性质:绝对值、相反数、倒数。
2. 整数- 整数的性质:奇数、偶数、质数、合数、因数、倍数。
- 整数的四则运算:加法交换律、结合律;减法的性质;乘法交换律、结合律、分配律。
3. 分数与小数- 分数的表示与性质:真分数、假分数、带分数、最简分数。
- 分数的运算:加减乘除、分数的化简与通分。
- 小数的表示与性质:小数点的位置、小数与分数的互化。
- 小数的运算:加减乘除、小数点的移动规律。
4. 代数式- 代数式的概念:单项式、多项式。
- 代数式的运算:合并同类项、分配律、因式分解。
- 代数式的化简:约分、通分、去括号。
5. 一元一次方程- 方程的概念:未知数、系数、常数项。
- 方程的解法:移项、合并同类项、系数化为1。
- 方程的应用:实际问题的建模与求解。
6. 二元一次方程组- 方程组的概念:联立方程、未知数的个数。
- 方程组的解法:代入法、消元法、图解法。
- 方程组的应用:解实际问题的多个条件。
7. 不等式与不等式组- 不等式的概念:大小关系、不等号。
- 不等式的解法:移项、合并同类项、不等式的性质。
- 不等式组的解集:联立不等式、求解集的公共部分。
8. 函数- 函数的概念:变量、函数关系、函数的图象。
- 函数的性质:定义域、值域、单调性、奇偶性。
- 线性函数与二次函数:表达式、图象、性质。
二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质。
- 角的概念与分类:邻角、对顶角、同位角、内错角。
- 三角形:分类、性质、内角和定理、外角定理。
- 四边形:分类、性质、对角线、特殊四边形(矩形、菱形、正方形、平行四边形、梯形)。
2. 圆的基本性质- 圆的定义:圆心、半径、直径、弦、弧、切线。
- 圆的性质:圆周角、圆心角、垂径定理、圆的对称性。
(完整版)苏教版七年级下册数学知识点总结
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第七章 平面图形的认识(二)一、知识点:1、“三线八角”① 如何由线找角:一看线,二看型。
同位角是“F ”型;内错角是“Z ”型;同旁内角是“U ”型。
② 如何由角找线:组成角的三条线中的公共直线就是截线。
2、平行公理:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行。
简述:平行于同一条直线的两条直线平行。
补充定理:如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线也平行。
简述:垂直于同一条直线的两条直线平行。
3、平行线的判定和性质: 判定定理 性质定理 条件结论 条件 结论 同位角相等两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补4、图形平移的性质:图形经过平移,连接各组对应点所得的线段互相平行(或在同一直线上)并且相等。
5、三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边。
若三角形的三边分别为a 、b 、c ,则b a c b a +<<-6、三角形中的主要线段:三角形的高、角平分线、中线。
注意:①三角形的高、角平分线、中线都是线段。
②高、角平分线、中线的应用。
7、三角形的内角和:三角形的3个内角的和等于180°;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
8、多边形的内角和:n 边形的内角和等于(n-2)•180°; 任意多边形的外角和等于360°。
第八章幂的运算幂(power)指乘方运算的结果。
a n指将a自乘n次(n个a相乘)。
把a n看作乘方的结果,叫做a的n次幂。
对于任意底数a,b,当m,n为正整数时,有:am•a n=a m+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)am÷a n=a m-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(am)n=a mn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ab)n=a n a n (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)a-n=1/a n (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|<10),这种记数法叫做科学记数法.复习知识点:1.乘方的概念:a中,a 叫做底数,求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
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第七章平面图形的认识(二)一、平行线1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条线〔a,b〕被第三条〔c〕直线所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles)如图:∠1与∠8,∠2与∠7,∠3与∠6,∠4与∠5均为同位角。
两条线〔a,b〕被第三条〔c〕直线所截,两个角分别在截线的两侧,且在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
如图:∠1与∠6,∠2与∠5均为同位角。
两条线〔a,b〕被第三条〔c〕直线所截,两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角〔interiorangles of thesame side〕。
如图:∠1与∠5,∠2与∠6均为同位角。
2、平行线的性质〔1〕两直线平行,同位角相等。
〔2〕两直线平行,内错角相等。
〔3〕两直线平行,同旁内角互补。
3、平行线的判定〔1〕同位角相等,两直线平行。
〔2〕内错角相等,两直线平行。
〔3〕同旁内角互补,两直线平行。
〔4〕平行于同一直线的两直线平行。
4、平移平移是指在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做图形的平移〔translation〕,简称平移。
5、平移的性质经过平移,对应线段平行〔或共线〕且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等;平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化;(2)图形平移后,对应点连成的线段平行且相等〔或在同一直线上〕(3)多次平移相当于一次平移。
(4)多次对称后的图形等于平移后的图形。
(5)平移是由方向,距离决定的。
(6)经过平移,对应线段平行〔或共线〕且相等,对应角相等,对应点所连接的线段平行且相等。
二、三角形1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。
2、三角形的性质1〕三角形的任意两边之和大于第三边〔由此得三角形的两边的差一定小于第三边〕2〕三角形三个内角的和等于180度〔在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度〕〔一个三角形的3个内角中最少有2个锐角〕3〕直角三角形的两个锐角互余4〕三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和〔三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角〕5〕等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一6〕三角形的三条角平分线交于一点,三条高线的所在直线交于一点,三条中线交于一点7〕三角形的外角和是360°8〕等底等高的三角形面积相等9〕三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
10)三角形具有稳定性。
3、三角形的分类1〕按边分①不等边三角形②等腰三角形〔含等腰直角三角形、等边三角形〕2)按角分①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形〔锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形〕4、三角形的有关定义1〕三角形的高:在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称为高。
三角形的三条高交于一点,这一点叫三角形的垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离相等2〕三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
〔也叫三角形的内角平分线。
〕三角形的三条角平分线都在三角形的内部,并交于一点,这一点叫三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等。
3〕三角形的中线:三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线在三角形的内部,并交于一点,这一点叫三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三、多边形1、多边形:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
按照不同的标准,多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。
2、n边形内角和为〔n-2〕*180°3、任意多边形的外角和为360°4、正n边形的一个外角为360°/n5、n边形具有不稳定性〔n>3〕第八章幂的运算幂〔power〕指乘方运算的结果。
ɑn指将ɑ自乘n次(n个ɑ相乘〕。
把ɑn看作乘方的结果,叫做ɑ的n次幂。
对于任意底数ɑ,b,当m,n为正整数时,有ɑm•ɑn=ɑm+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)ɑm÷ɑn=ɑm-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)(ɑm)n=ɑmn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)(ɑb)n=ɑnɑn (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)ɑ0=1(ɑ≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)ɑ-n=1/ɑn (ɑ≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|<10),这种记数法叫做科学记数法.第九章从面积到乘法公式一、单项式、多项式、整式1、代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。
单独一个数或者字母也是代数式。
2、单项式:由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式〔单独的一个数字或字母也是单项式〕。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
1)分母含有未知数的式子不属于单项式。
因为单项式属于整式,而分母含有未知数的式子是分式。
例如,1/x不是单项式。
2)单独的一个数字或字母也是单项式。
例如,1和x2y也是单项式。
如果一个单项式,只含有字母因数,如果是正数的单项式系数为1,如果是负数的单项式系数为-1.3)单项式书写规则:数与字母相乘时,数在字母前;乘号可以省略为点或不写;除法的式子可以写成分数式;带分数与字母相乘,带分数要化为假分数3、多项式:假设干个单项式的和组成的式子叫做多项式〔减法中有:减一个数等于加上它的相反数〕。
多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数。
4、整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。
单项式和多项式统称为整式。
5、同类项:所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。
6、合并同类项:多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项,合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
7、去、添括号法则1)括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
2)括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
〔改成与原来相反的符号)3)假设括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号4)遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.8、单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
9、单项式乘多项式,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
10、多项式乘多项式,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
二、乘法公式1、完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b22、平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b23、完全立方公式:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b34、立方和公式:a3+b3= (a+b)(a2+ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)三、因式分解1、公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
2、因式分解〔分解因式〕Factorization:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
3、因式分解的方法:⑴提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
⑵运用公式法:运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
⑶分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在各组之间进行.⑷十字相乘法:有些二次三项式,可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积,然后借助画十字交叉线的方法,把二次三项式进行因式分解,这种方法叫十字相乘法.4、因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。
5、通常,把一个多项式分解因式,应先提公因式,再应用公式法,或者其他方法。
进行多项式因式分解时,必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
第十章二元一次方程组1、含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。
2、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
4、代入消元法:把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再带入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
5、加减消元法:当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.6、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数;(2)找:找出能够表示题意两个相等关系;(3)列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;(4)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;(5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案.第十一章图形的全等1、能完全重合的图像叫做全等图形。
两个图形全等,它们的形状和大小都相同。
2、两个能重合的三角形叫全等三角形。
3、全等三角形的对应边相等,对应角相等。
4、三角形全等的判定:1〕三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
2〕有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3〕有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4〕有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5〕三条中线〔或高、角平分线〕分别对应相等的两个三角形全等。