中考数学知识点过关培优训练卷：全等三角形的性质与判定(附解析)

合集下载

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形(含答案)中考专题复：全等三角形知识点总结：一、全等图形和全等三角形1.全等图形：两个图形完全相同即为全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等。

3.全等三角形：对应边和对应角分别相等的三角形为全等三角形。

全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线也相等。

全等三角形的周长和面积也相等。

注意：周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。

二、全等三角形的判定1.一般三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“BBB”）。

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“BAB”）。

两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“AAS”）。

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“ASA”）。

2.直角三角形全等的判定：利用一般三角形全等的判定可以证明直角三角形全等。

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。

注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

三、全等三角形的性质1.对应角相等，对应边相等。

2.对应边上的高相等。

3.对应角的平分线相等。

4.对应中线相等。

5.面积相等。

6.周长相等。

四、角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

五、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

综合复：例 1.如图，A、F、E、B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。

求证：△ACF≅△BDE。

删除明显有问题的段落）题目中给出了AE=BF，AC=BD，以及两个直角三角形△ACF和△BDE。

中考数学复习----《全等三角形之性质与判定》知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----《全等三角形之性质与判定》知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

其中重合的点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”符号表示。

注意：在书写全等三角形时，对应点写在对应的位置。

2.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

3.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

练习题1、（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE 【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．2、（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．3、（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D 【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．4、（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是.（只写一个）【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD（SAS），∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．5、（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．6、（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．7、（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．8、（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝90°B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDE ≌△CDF，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故选：C．9、（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt △OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO 的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．10、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为．【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，∵BD＝BC＝3，AC＝BC，∴BD＝AC，AD＝3﹣3．∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵BD＝BC，∴∠DCE＝∠CDB，∴∠CED＝∠CDB，∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，∴∠CDE＝∠B＝45°．∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，∴∠ACD＝∠EDB．在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（SAS）．∴BE＝AD＝3﹣3．故答案为：3﹣3．。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

第四讲培优全等三角形的性质及判定

第三讲全等三角形的性质及判定【知识要点】1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

2、三角形全等的判定方法：①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL（直角三角形）不要自己造三角形全等方法，一般三角形只有SSS、SAS、ASA、AAS、别无他法，特别在运用SAS时，一定记住是两边夹角，而如果是两边及一边对角，则两个三角形不一定全等，更没有“角角角”。

3、HL只适合直角三角形，不适合一般三角形。

【例题解析】例1 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．(SSS，角平分线的性质，辅助线)例2 ．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD 与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（SAS）（2）求∠BFD的度数．2.已知：如图Rt△ABC与Rt△DCE都是等腰直角三角形，求证：△ACE≌△BCD变式如上图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．求证：△ACE≌△BCD（SAS）例3已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF (ASA)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE=BF． (ASA)例4.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE ( AAS )同类练习1.如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：AB=FC．2. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由（AAS）【拓展训练】1.如图△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。

在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。

本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。

2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。

3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。

4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。

即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。

二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。

即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。

4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。

即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。

三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。

证明∠B = ∠E, AC = DF。

中考数学提分专项全等三角形的性质和判定练习(含答案)

2020年中考数学提分专项全等三角形的性质和判定（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC ．∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论，其中一定正确的是（）：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ； ③△BDA ≌△CEA ； ④△BOE ≌△COD ； ⑤△ACE ≌△BCE ； A ．①②③B ．②③④C ．①③⑤D ．①③④3.下列说法中不正确的是（）A.全等三角形的对应高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等4.在△ABC 和中，已知，，在下列说法中，错误的是（）Ａ．如果增加条件，那么（）Ｂ．如果增加条件，那么（）Ｃ．如果增加条件，那么（）Ｄ．如果增加条件，那么（）A B C 111△1A A ∠=∠11AB A B =11AC A C =111ABC A B C △≌△SAS 11BC B C =111ABC A B C △≌△SAS 1B B ∠=∠111ABC A B C △≌△ASA 1C C ∠=∠111ABC A B C △≌△AASB5.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ≌△ACD ；③BE+DC=DE ；④222BE DC DE +=，其中正确的有( )个A.1B.2C.3D.46.如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（）A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD7.在△ABC 和△DEF 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定这两个三角形全等，还需要条件（） A ．AB=EDB ．AB=FDC ．AC=FDD ．∠A=∠F8.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A’O’B’=∠AOB 的依据是（）A．SAS B ．SSS C ．ASA D ．AAS9.如图，在△PAB 中，PA=PB ，M 、N 、K 分别是边PA、PB 、AB 上的点，且AM=BK ，BN=AK ，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（） A.44° B.66° C.88° D.92°10.如图，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( )A. AB ∥CDB. AD ∥BCC. ∠A=∠CD. ∠ABC=∠CDAAB CD二、填空题（共有8道小题）11.如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=12.如图，E 在BC 边上，AD=AB ，AE=AC ，DE=BC ，若∠1=25°，则∠3= 度．13.如图，已知点B 、C 、F 、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）14.如图，AB=CD ，DE=AF ，CF=BE ，∠AFB=80°，∠CDE=60°，那么∠ABC 等于．15.如图，直线 EF 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A 、C 到直线 EF 的距离分别是AE=1 ,CF=2 ,则EF 长16.如图，在△ABC 和△ADC 中，已知AD=AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需要再添加一个条件（填上一个合适的即可）D A C D17.如图，若AO=DO ，只需补充就可以根据SAS 判定△AOB ≌△DOC.18.如图，点B、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DF ，BE ＝ CF ，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF 。

2020届中考数学培优复习题：全等三角形性质判定【含答案】

2020届中考数学培优复习题：全等三角形性质判定一、单选题（共有9道小题）1.如图，在△PAB 中，PA=PB ，M 、N 、K 分别是边PA 、PB 、AB 上的点，且AM=BK ，BN=AK ，若∠MKN=44°，则∠P 的度数为（） A.44° B.66° C.88° D.92°2.如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．＋a c B ．＋b c C ．－＋a b c D ．＋－a b c3.下列结论错误的是( )A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等D ．两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等 4.如果两个三角形全等,则不正确的是（）A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等5.如图，△ABC ≌△DEF ，BE=4，AE=1，则DE 的长是（） A.5 B.4 C.3 D.26.下列说法中不正确的是（）A.全等三角形的对应高相等B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等7.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF 8.下列条件中，不能判定三角形全等的是（）A.三条边对应相等B.两边和一角对应相等N K A B M AE CDFBA BDEFC.两角的其中一角的对边对应相等D.两角和它们的夹边对应相等9.如图，△ABC 的周长为26，点D,E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P.若BC=10，则PQ 的长为（）A.23 B.25C.3D.4 二、填空题（共有5道小题）10.如图，已知△ABC 中AB=AC ，∠BAC =90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：①AE=CF ②∠APE=∠CPF③△EPF 是等腰直角三角形 ④EF=AP ⑤当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时12ABC AEPFS S ∆=四边形上述结论中始终正确的序号有 11.如图，已知BC =EC ，∠BCE =∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为______．(答案不唯一，只需填一个)12.如图，已知点B 、C 、F 、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）13.如图，△ABC ≌△DEF ，则EF=Q P D B CAA FBC EA E 12F EB ACD14.如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，4＝AB ，则阴影部分的面积是．F AC BDE三、作图题（共有1道小题） 15.如图，已知△ABC 中AB=AC（1）作图：在AC 上有一点D ，延长BD ，并在BD 的延长线上取点E ，使AE=AB ，连AE ，作∠EAC 的平分线AF ，AF 交DE 于点F （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）条件下，连接CF ，求证：∠E=∠ACF四、解答题（共有6道小题）16.如图,点C ,F 在线段BE 上,BF =EC ,∠1=∠2.请你添加一个条件,使△ABC ≌△DEF ,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)17.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED ≌△AFD ，B A D 12CA EDBF需添加一个条件是：_______________，并给予证明.18.如图，已知∠CAB=∠DBA ，∠CBD=∠DAC 。

中考数学专题练习全等三角形的判定与性质（含解析）

中考数学专题练习全等三角形的判定与性质（含解析）2019中考数学专题练习-全等三角形的判定与性质（含解析）一、单选题1.如图：在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH∠AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：∠∠AED=∠CED；∠OE=OD；∠∠BEH∠∠HDF；∠BC﹣CF=2EH；∠AB=FH．其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个 D.2个2.如图，在等腰Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：∠∠DFE是等腰直角三角形；∠四边形CDFE不可能为正方形；∠∠CDE与∠DAF不可能全等；∠四边形CDFE的面积保持不变；∠∠CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A.∠∠∠B.∠∠∠C.∠∠∠D.∠∠∠3.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE∠CE，AD∠CE于点D，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，则BE=（）A.1 cmB.0.8 cmC.4.2 cmD.1.5 cm4.如图，在∠ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE 的交点，则BF的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.9c m5.如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC∠CD，则不正确的结论是（）A.AC=BC+CEB.∠A=∠2C.∠ABC∠∠CEDD.∠A 与∠D互余6.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF,则下列结论：∠∠1=∠2；∠BE=CF；∠CD=DN；∠∠ACN∠∠ABM，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个 D.1个7.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（）A.60°B.50°C.45°D.3 0°8.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出∠APC∠∠APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出∠APC∠∠APD的是（）A.BC=BDB.AC=ADC.∠ACB=∠ADBD.∠CAB=∠DAB9.下列判断不正确的是（）A.形状相同的图形是全等图形B.能够完全重合的两个三角形全等C.全等图形的形状和大小都相同D.全等三角形的对应角相等10.如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．下列结论不正确的是（）A.∠BAD=∠CAEB.∠ABD∠∠ACEC.AB=BCD.BD=CE11.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等12.如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt∠ABC和Rt∠AED叠放在一起，BC交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB=30°，以下三个结论：∠AF∠BC；∠∠ADG∠∠ACF；∠O为BC的中点；∠AG=BG．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.413.如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∠EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（）A.5.5B.4C.4.5D.314.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC∠AB于点C且AC=BCC.取AB中点C，连接PCD.过点P作PC∠AB，垂足为C二、填空题15.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：∠EM=FN，∠CD=DN，∠∠FAN=∠EAM．∠∠ACN∠∠ABM．其中正确的有________．16.如图，已知∠ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA的度数为________°．17.如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则BD＝CE．请说明理由：解：∠∠1＝∠2∠∠1＋∠BAC＝∠2＋________．即________＝∠DAB．在∠ABD和∠ACE中，∠B＝________(已知)∠AB＝________(已知)∠EAC＝________(已证)∠∠ABD∠∠ACE(________)∠BD＝CE(________)18.如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC= ，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF 时，AE+AF=________.19.如图，以Rt∠ABC的斜边AB为一边在∠ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________.20.如图，在等腰直角∠ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．有下列结论：∠∠DEO=45°；∠∠AOD∠∠COE；∠S四边形CDOE=S∠ABC；∠OD2=OP?OC．其中正确的结论序号为________．（把你认为正确的都写上）21.如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点E，F分别在边OA，OB上，如果要得到OE=OF，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为________∠∠OCE=∠OCF；∠∠OEC=∠OFC；∠EC=FC；∠EF∠OC．三、解答题22.如图，已知PB∠AB , PC∠AC，且PB =PC，D 是AP上的一点，求证：．23.已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.24.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG∠EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．25.已知如图，D、E分别在AB和AC上，CD、BE交于O，AD=AE，BD=CE．求证：OB=OC．26.如图，∠ABC中，∠ACB=90°，延长AC到D，使得CD=CB，过点D作DE∠AB于点E，交BC于F．求证：AB=DF．27.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且EA∠AF．求证：DE＝BF．28.如图，在∠ABF与∠CDE中，AB=CD，BF=DE，点A，E，F，C在同一条直线上，AE=CF，求证：AB∠CD．29.已知：如图，AD=BC，AB=DC，求证：∠A=∠C．答案解析部分一、单选题1.如图：在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH∠AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，有下列结论：∠∠AED=∠CED；∠OE=OD；∠∠BEH∠∠HDF；∠BC﹣CF=2EH；∠AB=FH．其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】；解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∠BC，∠∠ADE=∠CED，∠∠BAD的平分线交BC于点E，∠∠BAE=∠DAH=45°，∠∠ABE和∠ADH是等腰直角三角形，∠AE=AB，AD=AH，∠AD=AB=AH，∠AD=AE，AB=AH=DH=DC，∠∠ADE=∠AED，∠∠AED=∠CED，∠∠正确；∠∠DAH=∠ADH=45°，∠∠ADE=∠AED=67.5°，∠∠BAE=45°，∠∠AHB=∠ABH=67.5°，∠∠OHE=67.5°，∠∠OHE=∠AED，∠OE=OH，同理：OD=OH，∠OE=OD，∠∠正确；∠∠ABH=∠AHB=67.5°，∠∠HBE=∠FHD，在∠BEH和∠HDF中，，∠∠BEH∠∠HDF（ASA），∠∠正确；BC﹣CF=2HE正确，过H作HK∠BC于K，可知KC=BC，HK=KE，由上知HE=EC，∠BC=KE十Ec，又KE=HK=FC，HE=EC，故BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE∠∠正确；∠不正确；故选：B．【分析】先证明∠ABE和∠ADH等腰直角三角形，得出AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出∠ADE=∠AED，即可得出∠正确；先证出OE=OH，同理：OD=OH，得出OE=OD，∠正确；由ASA证出∠BEH∠∠HDF，得出∠正确；过H作HK∠BC于K，可知KC=BC，HK=KE，得出BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE，得出∠正确．2.如图，在等腰Rt∠AB C中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：∠∠DFE是等腰直角三角形；∠四边形CDFE不可能为正方形；∠∠CDE与∠DAF不可能全等；∠四边形CDFE的面积保持不变；∠∠CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A.∠∠∠B.∠∠∠C.∠∠∠D.∠∠∠【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接CF；∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∠AD=CE，∠∠ADF∠∠CEF；∠EF=DF，∠CFE=∠AFD；∠∠AFD+∠CFD=90°，∠∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∠∠EDF是等腰直角三角形．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∠∠ADF∠∠CEF，∠S∠CEF=S∠ADF∠S四边形CEFD=S∠AFC．由于∠DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF∠AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∠DE=DF=4；当∠CEF面积最大时，此时∠DEF的面积最小．此时S∠CEF=S四边形CEFD﹣S∠DEF=S∠AFC﹣S∠DEF=16﹣8=8．则结论正确的是∠∠∠．故选D【分析】作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证∠CFE和∠ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以∠DEF是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；∠DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，∠CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去∠DEF的最小面积．3.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE∠CE，AD∠CE于点D，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，则BE=（）A.1 cmB.0.8 cmC.4.2 cmD.1.5 cm【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】根据BE∠CE，AD∠CE得∠E=∠ADC，则∠CAD+∠ACD=90°，再由∠ACB=90°，得∠BCE+∠ACD=90°，则∠BCE=∠CAD，从而证出∠BCE∠∠CAD，进而得出BE的长．【解答】∠AD∠CE，∠∠E=∠ADC=90°，即∠CAD+∠ACD=90°，∠∠ACB=90°，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠∠BCE=∠CAD，又∠AC=BC，∠∠BCE∠∠CAD（AAS），∠CE=AD，BE=CD，∠AD=2.5cm，DE=1.7cm，∠BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．4.如图，在∠ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE 的交点，则BF的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】∠F是高AD和BE的交点，∠∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∠∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∠∠AFE=∠BFD，∠∠CAD=∠FBD，∠∠ADB=90°，∠ABC=45°，∠∠BAD=45°=∠ABD。

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

《全等三角形全等三角形》》培优专题培优专题训练训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等.经典例题如图所示，ABC DEF ???，30A ∠=°，50B ∠=°，2BF =.求DFE ∠的度数与EC的长.解题策略在ABC ?中，+180A B ACB ∠∠+∠=°(三角形内角和为180°).因为30A ∠=°，50B ∠=°(已知)，所以1803050100ACB ∠=°-°-°=°因为ABC DEF ???(已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等)BC EF =(全等三角形对应边相等)，因此100DFE ∠=°，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-==画龙点睛1.在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2.在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1.如图，若ABC ADE ???，则这对全等三角形的对应边是;对应角是.2.如图，若ABD ACD ???，试说明AD 与BC 的位置关系.3.如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4.如图，ABE ?和ACD ?是ABC ?分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是.2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ???;(2)BOE COD ???.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ???( ASA).(2)由AOE AOD ???，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=°-∠，180CDO ADO ∠=°-∠，所以BEO CDO ∠=∠.在AOE ?和AOD ?中，因为BEO CDO ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以BOE COD ???(ASA).画龙点睛1.判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了.2.要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ???的是().(A) CB CD =(B)BAC DAC ∠=∠(C)BCA DCA∠=∠(D)90B D ∠=∠=°2.如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3.如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4.如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ?的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

中考数学全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质及判定一■知识讲解1.全等三角形的概念及性质(1)全等形的概念：两个能够完全重合的图形叫做全等形。

(2)全等形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

(3)全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

如果A ABC能与村BC全等，记作A ABC 0 A A，BC。

(4)全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(5)表示方法：符号“0”读作“全等于"，如△ ABC和^DEF全等，记作△ ABC/△ DEF, 如图，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE、BC和EF, AC和DF是对应边，/A和N D、/B和N E、/C和N F是对应角。

(6)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2.三角形全等的判定(1)边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写成，边边边”或“SSS”。

①书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并用大括号将它们括起来，如：^ AB = A B在A ABC和A ABC中，［AC = AC ,A A ABC 0 A ABC (SSS) BC = BC(2)边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

(3)角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。

(4)角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边” 和“AAS”。

(5)直角三角形全等的条件:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ HL”。

3、要点补充要点1用“SAS”判断两个三角形全等的条件是两条边以及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两对应边的夹角而不是其中一边的对角。

用'ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用'AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边。

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

专题06 全等三角形的判定与性质1. 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3. 三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4. 全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5. 全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC ≌△ADC ，得BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，求出S △ABC ＝AB •BC ＝6，即可得四边形ABCD 的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝90°＝∠D ，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC （AAS ）；（2）解：由（1）知：△ABC ≌△ADC ，∴BC ＝CD ＝3，S △ABC ＝S △ADC ，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×4×3＝6，∴S △ADC ＝6，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝12，答：四边形ABCD 的面积是12．5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD ＝AB ，DE ∥AB ，∠DCE ＝∠A ．求证：DE ＝BC ．【分析】利用平行线的性质得∠EDC ＝∠B ，再利用ASA 证明△CDE ≌△ABC ，可得结论．【解答】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ，在△CDE 和△ABC 中，，∴△CDE ≌△ABC （ASA ），∴DE ＝BC ．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC 于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，＝BC•DE＝×5×4＝10，∴S△BCD∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S＝123，则BC＝，BF＝．△ABC【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S＝12，△ABC∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG．。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判断（习题）例题示范例 1：已知：如图， C 为 AB 中点， CD=BE，CD∥BE．求证：△ ACD≌△ CBE．A【思路剖析】① 读题标明：DA CB EDCB E② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，此中一定有一组边相等．由已知得， CD=BE；依据条件 C 为 AB 中点，得 AC=CB；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件 CD∥BE，得∠ ACD=∠B．发现两边及其夹角相等，所以由SAS可证两三角形全等．【过程书写】先准备不可以直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图∵C为 AB中点∴ AC=CB∵CD∥BE∴∠ ACD=∠B在△ ACD和△ CBE中AC= CB（已证）ACD= B （已证）CD = BE（已知）∴△ ACD≌△ CBE（SAS）稳固练习1.如图，△ ABC≌△ AED，有以下结论：①AC=AE；②∠ DAB=∠EAB；③ED=BC；④∠ EAB=∠DAC．此中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个EA A1F EB C2BD C D第1 题图第2 题图2.如图， B， C， F，E 在同向来线上，∠ 1=∠2，BF=EC，要使△ABC≌△ DEF，还需要增添一组条件，这个条件能够是，原因是；这个条件也能够是，原因是；这个条件还能够是，原因是．3.如图， D 是线段 AB 的中点，∠ C=∠E，∠ B=∠A，找出图中的一对全等三角形是，原因是．A C AGD FE CHB E B D第3 题图第4 题图4.如图， AB=AD，∠ BAE=∠DAC，要使△ ABC≌△ ADE，还需要增添一组条件，这个条件能够是，原因是；这个条件也能够是，原因是；这个条件还能够是，原因是．5.如图，将两根钢条 AA' ，BB' 的中点连在一同，使 AA' ，BB' 能够绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个丈量工具，A'B'的长等于内槽宽 AB．此中判断△ OAB≌△OA'B' 的原因是（）A． SAS B．ASA C．SSS D．AASAAOB'B A'BC DFE第5 题图第6题图6.要丈量河两岸相对的两点A，B 的距离，先在AB 的垂线BF上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如下图），能够说明△ EDC≌△ ABC，得ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB 的长．判断△ EDC≌△ABC最适合的原因是（）A． SAS B．ASA C．SSS D．AAA7.已知：如图， M 是AB 的中点，∠ 1=∠2，∠ C=∠D．求证：△ AMC≌△ BMD．C D【思路剖析】① 读题标明：② 梳理思路：要证全等，需要由已知得：依据条件所以，由【过程书写】证明：如图12A M B组条件，此中一定有一组相等．=，=．，得=．可证两三角形全等．8. 已知：如图，点 B， F， C， E 在同一条直线上，且 BC=EF，AB∥DE，AB=DE．A求证：△ ABC≌△ DEF．【思路剖析】B F① 读题标明：② 梳理思路：要证全等，需要组条件，此中一定有一组由已知得：=，=依据条件，得=所以，由可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图CED相等．．．思虑小结1.两个三角形全等的判断有，， _，，此中 AAA，SSA不可以证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图， A，B 两点分别位于一个池塘的两头，小明想用绳索丈量A，B 间的距离，但绳索不够长，一个叔叔帮他出了这样一个想法：先在地上取一个能够直接抵达 A 点和 B 点的点 C，连结 AC 并延伸到 D，使 CD=CA；连结 BC并延伸到 E，使CE=CB，连结 DE 并丈量出它的长度， DE 的长度就是 A，B 间的距离．你能说明此中的道理吗A ECB D【参照答案】稳固练习1. B2.AC=DF，SAS；∠ B=∠ E， ASA；∠ A=∠D，AAS3.△BCD≌△ AED，AAS4.AC=AE，SAS；∠ B=∠ D，ASA；∠ C=∠E，AAS5. A6. B7.①略②3，边∠1，∠ 2；∠ C，∠ DM 是 AB的中点， AM，BMAAS【过程书写】证明：如图，∵M 是 AB的中点∴AM=BM在△ AMC 和△ BMD中 C= D （已知）1 = 2（已知）AM = BM （已证）∴△ AMC≌△ BMD（AAS）8.①略②3，边BC，EF， AB，DEAB∥DE，∠ B，∠E SAS【过程书写】证明：如图，∵AB∥ DE∴∠ B=∠E在△ ABC和△ DEF中AB = DE （已知）B = E（已证）BC= EF（已知）∴△ ABC≌△ DEF（SAS）思虑小结1.SAS，SSS，ASA，AASAAA 反例：大小三角板SSA反例：作图略2.证明：如图，在△ ABC和△ DEC中AC = DC （已知）ACB= DCE（对顶角相等）BC= EC（已知）∴△ ABC≌△ DEC（ SAS）∴AB=DE（全等三角形对应边相等）即DE的长度就是 A，B 间的距离。

初一数学：全等三角形的性质和判定(含解析)

B′ 、 C′ 对应．
注意：寻找全等三角形的对应角、对应边的一般规律是：
⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两
C
C'
个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上．
⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对 A
B A'
∴ AC − BC = DB − BC （等量减等量差相等），即 AB = CD ， CE ∥ BF （内错角相等，两直线平行）． ∵ AD = AC + BD − BC ， ∴ 2AC = AD + BC = 8+ 2= 10 ， ∴ AC = 5 ．
板块二全等三角形的常用判定方法
知识导航
三角形全等的判定： 1．如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 SSS． 2．如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 SAS． 3．如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 ASA． 4．如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 AAS． 5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为 HL．
注：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．
为了理解记忆三角形全等的判定条件，现归纳如下表：
已知条件三边
是否全等是
图形（或反例）
形式结论 SSS
两边及夹角
是
SAS
两边一角
两边及对非直角
否
无
两边及对直角
是
HL

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形一、选择题1.下列说法中正确的有( )①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等图形；②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；③所有的正方形是全等图形；④全等图形的面积一定相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于( )A.30°B. 50°C.60°D.100°3.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( )A.BC＝EC，∠B＝∠EB.BC＝EC，AC＝DCC.BC＝DC，∠A＝∠DD.∠B＝∠E，∠A＝∠D4.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为( )m.A.400B.600C.500D.7005.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，)，3则点C 的坐标为( ) A.(﹣，1) B.(﹣1，) C.(，1) D.(﹣，﹣1)33336.如图所示小明设计了一种测零件内径AB 的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC ＝AB ，AO 、BO 、CO 、DO 应满足下列的哪个条件？( )A.AO ＝COB.BO ＝DOC.AC ＝BDD.AO ＝CO 且BO ＝DO7.如图(1)，已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合.将△ACB 绕点C 按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C 交直线AD 于点E ，A′B′分别交直线AD 、AC 于点F 、G ，则在图(2)中，全等三角形共有( )A.5对B.4对C.3对D.2对8.如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD ＝BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE ＝BA.下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④AC＝2CD.其中正确的有( ) 个.A.1B.2C.3D.4二、填空题9.如图，△ABC≌△ADE，则，AB = ，∠E=∠ .若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .10.在△ABC和△FED中，BE＝FC，∠A＝∠D.当添加条件时(只需填写一个你认为正确的条件)，就可得到△ABC≌△DFE，依据是 .11.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠ABC＝___.12.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 .13.如图，旗杆AC与旗杆BD相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM.已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，则这个人运动到点M所用时间是s.14.如图，AC＝AE，AD＝AB，∠ACB＝∠DAB＝90°，∠BAE＝35°，AE∥CB，AC，DE 交于点F.(1)∠DAC＝；(2)猜想线段AF与BC的数量关系是 .三、解答题15.如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC，(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝ °.16.如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB是直角，AC＝BC，把一个45°角的顶点放在C处，两边分别与AB交于E，F两点．(1)将所得△ACE以C为中心，按逆时针方向旋转到△BCG，试求证：△EFC≌△GFC；(2)若AB＝10，AE∶BF＝3∶4，求EF的长．17.如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.(1)求证：△ADF≌△CBE；(2)求正方形ABCD的面积；(3)如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.18.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8.点P从A点出发沿A－C－B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B－C－A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l 于E，QF⊥l于F.问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．参考答案1.C2.D3.C4.C5.A6.D7.B8.C.9.答案为：AD， C， 80°.10.答案为：∠B＝∠DEC，AAS11.答案为：45°.12.答案为：SSS.13.答案为：3.14.答案为：35°；BC＝2AF；15.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF(SAS)；(2)∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠CAF＝∠BAE＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝75°，16.解：(1)由旋转知：△BCG≌△ACE.∴CG＝CE，∠BCG＝∠ACE.∵∠ACE＋∠BCF＝45°，∴∠BCG＋∠BCF＝45°，即∠GCF＝∠ECF＝45°，而CF为公共边，∴△EFC≌△GFC(SAS)；(2)连接FG.由△BCG≌△ACE 知：∠CBG＝∠A＝45°，∴∠GBF＝∠CBG＋∠CBF＝90°，由△EFC≌△GFC 知：EF ＝GF.设BG ＝AE ＝3x ，BF ＝4x ，则在Rt△GBF 中，GF ＝5x ，∴EF＝GF ＝5x ，∴AB＝3x ＋5x ＋4x ＝10，∴AB＝，56∴EF＝5x ＝.　25617. (1)证明：在Rt△AFD 和Rt△CEB 中，∵AD＝BC ，AF ＝CE ，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；(2)∵∠ABH＋∠CBE＝90°，∠ABH＋∠BAH＝90°，∴∠CBE＝∠BAH，又∵AB＝BC ，∠AHB＝∠CEB＝90°，∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF ＝4××2×1＋1×1＝5；12(3)由(1)知，△AFD≌△CEB，故h 1＝h 3.由(2)知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S 正方形ABCD ＝4S △ABH ＋S 正方形HEGF ＝4×(h 1＋h 2)·h 1＋h ＝2h ＋2h 1h 2＋h .12221218.解：设运动时间为t 秒时，△PEC 与△QFC 全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6－t，CQ＝8－3t，∴6－t＝8－3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6－t＝3t－8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC上(未到终点)，此时不存在；理由是：14÷3×1＜6，Q在AC上时(未到终点)，P应也在AC上；④当Q到A点(和A重合)，P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t－6，∴t－6＝6，∴t＝12.∵t＜14，∴t＝12符合题意．。

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形一、单选题（本大题共10小题）1. （浙江省金华市2022年中考数学真题）如图，与相交于点O ，AC BD ，不添加辅助线，判定的依据是（）,OA OD OB OC ==ABO DCO △≌△A ．B ．C ．D ．SSS SAS AAS HL2. （山东省东营市2020年中考数学试题）如图，直线相交于点射线平分AB CD 、,O OM 若，则等于（）,BOD ∠42AOC ∠=︒AOM ∠A ．B ．C ．D ．159 161 169 1383. （辽宁省大连市2022年中考数学真题）如图，平行线，被直线所截，AB CD EF 平分，若，则EGF ∠的度数是（）FG EFD ∠70EFD ∠=︒A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒4. （江苏省扬州市2022年中考数学真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的ABC ∆是（）A ．B ．C ．D ．,,AB BC CA ,,AB BC B ∠,,AB AC B ∠,,∠∠A B BC5. （天津市2022年中考数学真题）如图，△OAB 的顶点O (0，0)，顶点A ，B 分别在第一、四象限，且AB ⊥x 轴，若AB =6，OA =OB =5，则点A 的坐标是（）A ．B ．C ．D ．(5,4)(3,4)(5,3)(4,3)6. （四川省南充市2022年中考数学真题）如图，在中，的平分Rt ABC 90,C BAC ∠=︒∠线交于点D ，DE //AB ，交于点E ，于点F ，，则下列结BC AC DF AB ⊥5,3DE DF ==论错误的是（）A ．B ．C ．D ．1BF =3DC =5AE =9AC =7. （云南省2022年中考数学真题）如图，OB 平分∠AOC ，D 、E 、F 分别是射线OA 、射线OB 、射线OC 上的点，D 、E 、F 与O 点都不重合，连接ED 、EF 若添加下列条件中的某一个．就能使DOE FOE ，你认为要添加的那个条件是（）≅A ．OD =OEB ．OE =OFC ．∠ODE =∠OED D ．∠ODE =∠OFE8. （湖南省益阳市2022年中考数学真题）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，以点A 为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB ，AC 于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线AE ，交BD 于点I ，连接CI ，以下说法错误的是（）A ．I 到AB ，AC 边的距离相等B ．CI 平分∠ACBC ．I 是△ABC 的内心D ．I 到A ，B ，C 三点的距离相等9. （湖北省宜昌市2022年中考数学真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，ABC B C 大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交12BC M N MN AC D 于点，连接．若，，，则的周长为（）BC E BD 7AB =12AC =6BC =ABD △A ．25B ．22C ．19D ．1810. （四川省遂宁市2022年中考数学真题）如图，正方形ABCD 与正方形BEFG 有公共顶点B ，连接EC 、GA ，交于点O ，GA 与BC 交于点P ，连接OD 、OB ，则下列结论一定正确的是（）①EC ⊥AG ；②△OBP ∽△CAP ；③OB 平分∠CBG ；④∠AOD =45°；A ．①③B ．①②③C ．②③D ．①②④二、填空题（本大题共10小题）11. （湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市2022年中考数学真题）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，且AB =DE ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ．12. （黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校2022年中考数学真题）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，AC=6，BC=8，CD= ．13. （黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，，请你添加一个条件，使．OA OC AOB COD ≌14. （湖南省株洲市2022年中考数学真题）如图所示，点在一块直角三角板上O ABC （其中），于点，于点，若，则30ABC ∠=︒OM AB ⊥M ON BC ⊥N OM ON = 度．ABO ∠=15. （湖南省衡阳市2022年中考数学真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，ABC A B 大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连12AB M N MN CB D 接．若，，则的周长为．AD 8AC =15BC =ACD △16. （浙江省丽水市2022年中考数学真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是，则A 点的坐标是．(17. （北京市2022年中考数学真题）如图，在中，平分若ABC ∆AD ,.BAC DE AB ∠⊥则．2,1,AC DE ==ACD S ∆=18. （四川省遂宁市2021年中考真题数学试卷）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，直线DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AC 于点D ，则△ABD 的周长是．19. （湖南省郴州市2022年中考数学真题）如图．在ABC 中，90C ∠=︒，．以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AB ，AC 于D ，E 两点；AC BC =分别以点D ，E 为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P ；作射12DE BAC ∠线AP 交BC 于点F ，过点F 作，垂足用G ．若，则的周长等FG AB ⊥8cm AB =BFG 于 cm ．20. （湖北省荆州市2022年中考数学真题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若，则113CE AE ==CD ＝．三、解答题（本大题共11小题）21. （湖南省益阳市2022年中考数学真题）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，CD ∥AB ，DE ⊥AC 于点E ，且CE ＝AB ．求证：△CED ≌△ABC ．22. （2022年西藏中考数学真题试卷）如图，已知AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ．求证：△ABD ≌△ACD ．23. （吉林省2022年中考数学真题）如图，，．求证：AB AC =BAD CAD ∠=∠．BD CD =24. （湖南省衡阳市2022年中考数学真题）如图，在中，，、是ABC AB AC =D E 边上的点，且，求证：．BC BD CE =AD AE =25. （2022年四川省乐山市中考数学真题）如图，B 是线段AC 的中点，，求证：．,AD BE BD CE ∥∥ABD BCE △≌△26. （陕西省2022年中考数学真题（A 卷））如图，已知,,ABC CA CB ACD =∠△是ABC 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP AB ∥．（保留作图痕迹，不写作法）27. （陕西省2022年中考数学真题（A 卷））如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．28. （湖南省长沙市2022年中考数学真题）如图，AC 平分，BAD CB AB CD AD ∠⊥⊥，，垂足分别为B ，D ．(1)求证：；ABC ADC △△≌(2)若，求四边形ABCD 的面积．43AB CD ==，29. （江苏省无锡市2022年中考数学真题）如图，△ABC 为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC 右上方确定点D ，使∠DAC ＝∠ACB ，且；（不写作法，保留作图痕迹）CD AD ⊥(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD 的面积为 60B ∠=2AB =3BC =．（如需画草图，请使用试卷中的图2）30. （重庆市2022年中考数学真题（A 卷））在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积ABCD E AD BCE ABCD 之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然E BC 后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．E BC EF F 在和中，BAE EFB △∵，EF BC ⊥∴．90EFB ∠=︒又，90A ∠=︒∴ ①∵，AD BC ∥∴ ②又 ③∴．()BAE EFB AAS △≌△同理可得 ④∴．111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S =+=+=△△△矩形矩形矩形31. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年中考数学真题）已知是的角CD ABC 平分线，点E ，F 分别在边，上，，，与的面积之AC BC AD m =BD n =ADE BDF 和为S ．(1)填空：当，，时，90ACB ∠=︒DE AC ⊥DF BC ⊥①如图1，若，，；45B ∠=︒m =n =S =②如图2，若，，；60B ∠=︒m =n =S =(2)如图3，当时，探究S 与m 、n 的数量关系，并说明理由：90ACB EDF ∠=∠=︒(3)如图4，当，，，时，请直接写出S 的大小．60ACB ∠=︒120EDF ∠=︒6m =4n =参考答案1. 【答案】B【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．OA OD =OB OC =AOB COD ∠=∠【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，，OA OD AOB CODOB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，故B 正确．()SAS ABO DCO ≌△△故选：B ．2. 【答案】A【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC ，再求出∠BOD=180°-∠AOD ，最后根据角平分线平分角即可求解．【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，又∵OM 是∠BOD 的角平分线，∴∠DOM=∠BOD=21°，12∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．故选：A ．3. 【答案】A【分析】先根据角平分线的性质可得∠GFD ＝35︒，再由平行线的性质可得∠EGF ＝∠GFD ＝35︒．【详解】解：∵∠EFD ＝70︒，且FG 平分∠EFD∴∠GFD ＝12∠EFD ＝35︒∵AB ∥CD∴∠EGF ＝∠GFD ＝35︒故选A4. 【答案】C【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ．根据SSS 一定符合要求；,,AB BC CA B. ．根据SAS 一定符合要求；,,AB BC B ∠C. ．不一定符合要求；,,AB AC B ∠D. ．根据ASA 一定符合要求．,,∠∠A B BC 故选：C ．5. 【答案】D【分析】利用HL 证明△ACO ≌△BCO ，利用勾股定理得到OC =4，即可求解．【详解】解：∵AB ⊥x 轴，∴∠ACO =∠BCO =90°，∵OA =OB ，OC =OC ，∴△ACO ≌△BCO (HL )，∴AC =BC =AB =3，12∵OA =5，∴OC 4，=∴点A 的坐标是（4，3），故选：D ．6. 【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD =DF =3，故B 正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE =DE =5，故C 正确；由此判断D 正确；再证明△BDF ≌△DEC ，求出BF =CD =3，故A 错误．【详解】解：在中，的平分线交于点D ，，Rt ABC 90,C BAC ∠=︒∠BC DF AB ⊥∴CD =DF =3，故B 正确；∵DE =5，∴CE =4，∵DE //AB ，∴∠ADE =∠DAF ，∵∠CAD =∠BAD ，∴∠CAD =∠ADE ，∴AE =DE =5，故C 正确；∴AC =AE +CE =9，故D 正确；∵∠B =∠CDE ，∠BFD =∠C =90°，CD =DF ，∴△BDF ≌△DEC ，∴BF =CD =3，故A 错误；故选：A ．7. 【答案】D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中，DOE FOE OE OE ODE OFE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．8. 【答案】D【分析】根据作图先判断AE 平分∠BAC ，再由三角形内心的性质解答即可．【详解】解：A .由作图可知，AE 是∠BAC 的平分线，∴I 到AB ，AC 边的距离相等，故选项正确，不符合题意；B .∵BD 平分∠ABC ，三角形三条角平分线交于一点，∴CI 平分∠ACB ，故选项正确，不符合题意；C .由上可知，I 是△ABC 的内心，故选项正确，不符合题意，D .∵I 是△ABC 的内心，∴I 到AB ，AC ，BC 的距离相等，不是到A ，B ，C 三点的距离相等，故选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．9. 【答案】C【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD＝AB ＋AD ＋CD＝AB ＋AC＝19．故选：C10. 【答案】D【分析】由四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，可得△ABG ≌△CBE （SAS ），即得∠BAG =∠BCE ，即可证明∠POC =90°，可判断①正确；取AC 的中点K ，可得AK =CK =OK =BK ，即可得∠BOA =∠BCA ，从而△OBP ∽△CAP ，判断②正确，由∠AOC =∠ADC =90°，可得A 、O 、C 、D 四点共圆，而AD =CD ，故∠AOD =∠DOC =45°，判断④正确，不能证明OB 平分∠CBG ，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴AB =BC ，BG =BE ，∠ABC =90°=∠GBE ，∴∠ABC +∠CBG =∠GBE +∠CBG ，即∠ABG =∠EBC ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴∠BAG =∠BCE ，∵∠BAG +∠APB =90°，∴∠BCE +∠APB =90°，∴∠BCE +∠OPC =90°，∴∠POC =90°，∴EC ⊥AG ，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK=CK=OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK=CK=BK，∴AK=CK=OK=BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA=∠BCA，∵∠BPO=∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC=∠ADC=90°，∴∠AOC+∠ADC=180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD=CD，∴∠AOD=∠DOC=45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．11. 【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可．【详解】解：添加BE=CF∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AB =DE ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故答案为：AB =DE （答案不唯一）．12. 【答案】3．【详解】试题分析：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴，10==∵AD 平分∠CAB ，∴CD=DE ，∴S △ABC =AC•CD+AB•DE=AC•BC ，121212即×6•CD+×10•CD=×6×8，121212解得CD=3．考点：1．角平分线的性质，2．勾股定理13. 【答案】OB =OD （答案不唯一）【分析】根据SAS 添加OB =OD 即可【详解】解：添加OB =OD ，在△AOB 和△COD 中，，AO CO AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴（SAS ）AOB COD ≌故答案为OB =OD （答案不唯一）14. 【答案】15【分析】根据，，判断OB 是的角平分线，即可求解．ON BC ⊥OM AB ⊥OM ON =ABC ∠【详解】解：由题意，，，，ON BC ⊥OM AB ⊥OM ON =即点O 到BC 、AB 的距离相等，∴ OB 是的角平分线，ABC ∠∵ ，30ABC ∠=︒∴．1152ABO ABC ∠=∠=︒故答案为：15．15. 【答案】23【分析】由作图可得：MN 是AB 的垂直平分线，可得,DA DB =再利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：由作图可得：MN 是AB 的垂直平分线，,DA DB ∴=，， 8AC =15BC =81523,ACD C AC CD AD AC CD BD AC BC \=++=++=+=+= 故答案为：2316. 【答案】)3A -【分析】如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作轴于N ，连接AN x ⊥AO ，BO ，证明可得三点共线，可得关于O 对称，从而可得,BOE AON Ð=Ð,,A O B ,A B 答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作轴于N ，连接AN x ⊥AO ，BO ，三个正六边形，O 为原点，∴,120,BM MO OH AH BMO OHA \===Ð=Ð=°,BMO OHA \ ≌,OB OA \=()11209030,18012030,2MOE BMO MOB \Ð=°-°=°Ð=Ð=°-°=° 60,90,BOE BEO \Ð=°Ð=°同理：120303060,906030,AON OAN Ð=°-°-°=°Ð=°-°=°,BOE AON \Ð=Ð三点共线，,,A O B ∴关于O 对称，,A B ∴)3.A \-故答案为：)3.A -17. 【答案】1【分析】作于点F ，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解DF AC ⊥1DF DE ==即可．【详解】解：如图，作于点F ，DF AC ⊥∵平分，，，AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥∴，1DF DE ==∴．1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=故答案为：1．18. 【答案】12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．DB DC =【详解】解：∵直线DE 垂直平分BC ，∴，DB DC =∴△ABD 的周长，5712AB AD BD AB AD DC AB AC =++=++=+=+=故答案为：12．19. 【答案】8【分析】由角平分线的性质，得到CF GF =，然后求出BFG 的周长即可．【详解】解：根据题意，在ABC 中，90C ∠=︒，，AC BC =由角平分线的性质，得CF GF =，∴BFG 的周长为：；()8BG BF FG AB AG BC AB AC BC AB ++=-+=-+==故答案为：820. 【答案】【分析】先求解AE ，AC ，再连结BE ，证明,,AE BE AD BD == 利用勾股定理求解BC ，AB ，从而可得答案．【详解】解： 113CE AE ==，3,4,AE AC \==如图，连结,BE由作图可得：MN 是AB 的垂直平分线，3,,AE BE AD BD \===90,ACB ∠=︒BC \=AB \=12BD AB \=故答案为：21. 【答案】见解析【分析】由垂直的定义可知，∠DEC ＝∠B ＝90°，由平行线的性质可得，∠A ＝∠DCE ，进而由ASA 可得结论．【详解】证明：∵DE ⊥AC ，∠B ＝90°，∴∠DEC ＝∠B ＝90°，∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，，DCE A CE AB DEC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△CED ≌△ABC （ASA ）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．22. 【答案】见解析【分析】根据角的平分线的定义得出∠BAD ＝∠CAD ，再利用SAS 即可证明△ABD ≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SAS ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的定义，熟练掌握判定定理是解题的关键．23. 【答案】证明见解析【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的SAS ABD ACD ≅ 性质即可得．【详解】证明：在和中，，ABD △ACD △AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴≅ ．BD CD ∴=24. 【答案】见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得B C ∠=∠SAS ABD ACE △≌△．AD AE =【详解】证明：∵，AB AC =∴，B C ∠=∠在和中，ABD △ACE，AB AC B CBD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴，()ABD ACE SAS △≌△∴．AD AE =25. 【答案】证明过程见详解【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证．【详解】证明∵B 是AC 中点，∴AB =BC ，∵AD BE ∥，∴∠A =∠EBC ，∵，BD EC ∥∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，，A EBCAB BCDBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△BCE (ASA)．26. 【答案】见解析【分析】作ACD ∠的角平分线即可．【详解】解：如图，射线CP即为所求作．27. 【答案】证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．28. 【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，,CAB CAD B D ∠=∠∠=∠利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出4,3AB AD BC CD ====，再根据四边形ABCD 的面积求解即可．ABC ACD S S ，ABC ACD S S =+ (1)AC 平分， BAD CB AB CD AD ∠⊥⊥，，，,CAB CAD B D ∴∠=∠∠=∠，AC AC = ；()ABC ADC AAS ∴≅ (2)，，ABC ADC ≅ △△4,3AB CD ==，4,3AB AD BC CD ∴====，90B D ∠=∠=︒ ，11114364362222ABC ACD S AB BC S AD CD ∴=⋅⋅=⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯= ，四边形ABCD 的面积．∴6612ABC ACD S S =+=+= 29. 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作∠DAC ＝∠ACB ，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D ；CD AD ⊥（2）由题意可知四边形ABCD 是梯形，利用直角三角形的性质求出AE 、BE 、CE 、AD 的长，求出梯形的面积即可．(1)解：如图，∴点D 为所求点．(2)解：过点A 作AE 垂直于BC ，垂足为E ，∵，，60B ∠=︒90AEB =︒∠∴，906030BAE ∠=︒-︒=︒∵，2AB =∴，，112BE AB ==2CE BC BE =-=∴AE ==∵∠DAC ＝∠ACB ，∴，四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥∴，90D ECD ∠=∠=︒∴四边形AECD 是矩形，∴，2CE AD ==∴四边形ABCD 的面积为，()()112322AD BC AE +⋅=⨯+=故答案为：30. 【答案】、、、A EFB ∠=∠AEB FBE ∠=∠BE EB =()EDC CFE AAS △≌△【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS 证得，E BC EF F BAE EFB △≌△，利用全等三角形的面积相等即可求解．EDCCFE △≌△【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）．E BC EF F 如图所示，在和中，BAE EFB △∵，EF BC ⊥∴．90EFB ∠=︒又，90A ∠=︒∴①EFB A ∠=∠∵，AD BC ∥∴②AEB FBE ∠=∠又③BE EB =∴．()BAE EFB AAS △≌△同理可得④()EDCCFE AAS △≌△∴．111222BCE EFB EFC ABFE EFCD ABCD S S S S S S =+=+=△△△矩形矩形矩形故答案为：、、、A EFB ∠=∠AEB FBE ∠=∠BE EB =()EDC CFE AAS △≌△31. 【答案】(1)①25；②4；(2)S =12mn(3)S =【分析】（1）①先证四边形DECF 为正方形，再证△ABC 为等腰直角三角形，根据CD 平分∠ACB ，得出CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5，DF =BD sin45°=5，AE =AD cos45°=5即可；②先证四边形DECF 为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A =90°-∠B =30°，利用30°直角三角形先证求出DE =，利用三角函数求出AE =ADcos 30°1122AD =⨯==6，DF =DE =BF =DF tan30°=2，BD =DF ÷sin60°=4即可；（2）过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，先证四边形DGCH 为正方形，再证△DFG ≌△DEH （ASA ）与△DBG ≌△DIH （SAS ），然后证明∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°即可；（3）过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，先证明△DQF ≌△DPE ，△DBQ ≌△DRP ，再证△DBF ≌△DRE ，求出∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°即可．(1)解：①∵，，，是的角平分线，90ACB ∠=︒DE AC ⊥DF BC ⊥CD ABC ∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵，45B ∠=︒∴∠A =90°-∠B =45°=∠B ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,∵m =∴BD =n =∴BF =BDcos 45°=5，DF =BDsin 45°=5，AE =ADcos 45°=5，ED =DF =5，∴S = ；1155552522ADE BDF S S ∆+=⨯⨯+⨯⨯=故答案为25；②∵，，，是的角平分线，90ACB ∠=︒DE AC ⊥DF BC ⊥CD ABC ∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，∵，60B ∠=︒∴∠A =90°-∠B =30°，∴DE =，AE =AD cos30°=6，DF =DE =1122AD =⨯=∵∠BDF =90°-∠B =30°，∴BF =DF tan30°=2，∴BD =DF ÷sin60°=4，∴BD =n =4，∴S =116222ADE BDF S S ∆+=⨯+⨯⨯=故答案为：4；(2)解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，∴∠DHC =∠DGC =∠GCH =90°，∴四边形DGCH 为矩形，∵是的角平分线，DH ⊥AC ，DG ⊥BC ，CD ABC ∴DG =DH ，∴四边形DGCH 为正方形，∴∠GDH =90°，∵，90EDF ∠=︒∴∠FDG +∠GDE =∠GDE +∠EDH =90°，∴∠FDG =∠EDH ，在△DFG 和△DEH 中，，FDG EDH DG DH DGF DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DFG ≌△DEH （ASA ）∴FG =EH ，在△DBG 和△DIH 中，，DG DH DGB DHI BG IH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBG ≌△DIH （SAS ），∴∠B =∠DIH ，DB =DI =n ，∵∠DIH +∠A =∠B +∠A =90°，∴∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°，∴S △ADI =，1122AD DI mn ⋅=∴S =；12ADE BDF ADE HDI ADI S S S S S mn ∆∆∆+=+==(3)过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，∵是的角平分线，DP ⊥AC ，DQ ⊥BC ，CD ABC ∴DP =DQ ，∵∠ACB=60°∴∠QDP =120°，∵，120EDF ∠=︒∴∠FDQ +∠FDP =∠FDP +∠EDP =120°，∴∠FDQ =∠EDP，在△DFQ 和△DEP 中，，FDQ EDP DQ DP DQF DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DFQ ≌△DEP （ASA ）∴DF =DE ，∠QDF =∠PDE ，在△DBQ 和△DRP 中，，DQ DP DQB DPR BQ RP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBQ ≌△DRP （SAS ），∴∠BDQ =∠RDP ，DB =DR ，∴∠BDF =∠BDQ +∠FDQ =∠RDP +∠EDP =∠RDE ，∵DB =DE ，DB =DR ，∴△DBF ≌△DRE ，∴∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°，∴S =S △ADR=111sin 6064222AS DR AD DR ⋅=︒⨯=⨯=。

全等三角形的性质及判定

A B D C E初二数学培优卷：全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的面积相等．3、全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS”(5) “斜边、直角边”或“HL”课堂基础检测1、1．已知四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AE ⊥BC 于点E ，AE=10，AB=AD ．则四边形ABCD 的面积为_________．2. 如图在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm 则DEB ∆的周长是（）A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm图1 图2 图33、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为_____________4．（2012•绥化）如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE=8，BF=5，则EF 的长为 _________ ．5．（2012•临沂）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm ，则AE= _________ cm ．图4 图5 图66．（2011•牡丹江）如图，△ABC 的高BD 、CE 相交于点0．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE ．你所添加的条件是 _________ ．例题精析例1、如图，AD 和BC 交于O 点，OA=OD ，OC=OB ，点E 、F 在CB 上，且CE=BF变式训练1：如图，AD 和BC 交于O 点，OA=OD ，∠C=∠B ，点E 、F 在CB 上，且CE=BF求证：（1）DE=AF（2）DE ∥AF对应训练：1．如图，已知△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，求证：AD=CE ．2、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E 点，求证：CE=DE例2．已知如图，E 、F 在BD 上，且AB=CD ，BF=DE ，AE=CF ，求证：AC 与BD 互相平分．例3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC=BE ，AE=BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．A B CD E F O A B CD E F O A B C D E12变式训练1．如图，已知在正方形ABCD中，E为DC的中点，连接BE，作CF⊥BE于P，交AD于F 点，求证：F是AD的中点．2．、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC=∠BDE．3．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．（I）求证：AE=EF；（Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．例4：辅助线作法：1、倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。

中考数学培优(含解析)之全等三角形

全等三角形聚焦考点☆温习理解1、全等三角形的对应边相等，对应角相等2、全等三角形的判定方法有：(1)、三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS(2)、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成边角边或SAS (3)、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA (4)、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成角角边或AAS(5)、对于直角三角形，除了上述四种判定方法外，还有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即简写为斜边直角边或HL名师点睛☆典例分类※考向一：全等三角形的判定与性质的综合运用典例1：（2018·恩施）如图7，点 B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交 BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分．※考向二：平移、旋转、翻折中的全等变换典例2：(2018·荆门)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连接AD ，CD ． (1)求证：△ADE ≌△CDB ；(2)若BCAC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．典例3：（2017·莱芜）已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE ，DB ，试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；BDC E A（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．※考向三：与中点或角平分线相关全等问题典例4：(2017.重庆)在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED 并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．课时作业☆能力提升一、单选题1．（2018·巴中）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙2．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1.则DE的长是( )A．32B．2C.D3．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )A．a＋c B．b＋c C．a－b＋cD．a＋b－c4．（2016•达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为（）A 48+183B 24+93 C48 D 245．（2018·安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB ＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD6．(2017兰州)如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝( )A B 1 C D7．（2017鄂州）如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）A．127B．247C．487D．507二、填空题8．（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．9．（2017•泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．O DCEBA10．（2017无锡）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于三、解答题11．（2018·泰州）如图，∠A =∠D =90°，AC =DB ，AC 、DB 相交于点O .求证：OB =OC.12． (2018•桂林)如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ． (1)求证△ABC ≌△DEF ；(2)若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数．13．（2017十堰）已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，∠BAO ＝90°，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．（1）如图1，若点B 在OP 上，则 ①AC OE （填“＜”，“＝”或“＞”）；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是；（2）将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式．14．.(2017阜新)在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE ＝EG，∠AEF＝∠BEG．（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；（2）如图2，当∠ABC＝120°时，求证：AB＝BE＋BF；（3）如图3，当∠ABC＝90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)15．(2018泰安)如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E,，F是AD的中点，FG⊥BC，于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.16．（2017•成都A 卷）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD=21∠BAC=60°，于是32==ABBDAB BC ；迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①证明△CEF 是等边三角形； ②若AE=5，CE=2，求BF 的长．全等三角形聚焦考点☆温习理解1、全等三角形的对应边相等，对应角相等2、全等三角形的判定方法有：(1)、三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS(2)、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成边角边或SAS (3)、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA (4)、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成角角边或AAS(5)、对于直角三角形，除了上述四种判定方法外，还有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即简写为斜边直角边或HL名师点睛☆典例分类※考向一：全等三角形的判定与性质的综合运用典例1：（2018·恩施）如图7，点 B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交 BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分．【分析】先根据已知条件证明△ACB ≌ △DFE 得出AB ＝DE ．然后证明四边形ABDE 是平行四边形，即可证明AD 与BE 互相平分．【解答】证明：连接 BD ，AE ． ∵AB ∥ED ， ∴∠ABC ＝∠DEF ． ∵AC ∥FD ， ∴∠ACB ＝∠DFE ． ∵ FB ＝CE ， ∴BC ＝EF ．在△ACB 和 △DFE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.,,DFE ACB EF BC DEF ABC∴△ACB ≌ △DFE (ASA )． ∴ AB ＝DE ．∵AB ∥ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形． ∴AD 与BE 互相平分．※考向二：平移、旋转、翻折中的全等变换典例2：(2018·荆门)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边△BDE ，连接AD ，CD ． (1)求证：△ADE ≌△CDB ；(2)若BCAC 边上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，并求出这个最小值．【分析】(1)利用“SAS ”证明；(2)根据两点之间线段最短,作点B 关于AC 的对称点B′，连接EB′交AC 于点H 构建“直线同侧两点和一线”的模型求解．【解答】解：(1)证明：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AB 边的中点， ∴BC ＝EA ，∠ABC ＝60°． ∵△DEB 是等边三角形， ∴DB ＝DE ，∠DEB ＝∠DBE ＝60°． ∴∠DEA ＝∠DBC ＝120° ∴△ADE ≌△CDB ．(2)解：作点B 关于AC 的对称点B′，连接EB′交AC 于点H ，则点H 即为所求．连接CE ，则△CBE 是等边三角形．∴CE ＝CB ＝CB′．∴∠BEB′＝90°．∴BH ＋EH 的最小值＝EB′3．BDC E A典例3：（2017·莱芜）已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE ，DB ，试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt △BCD ≌Rt △ACE ，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△EBD ≌△ADF ，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】解：（1）AE=DB ，AE ⊥DB ，证明：∵△ABC 与△DEC 是等腰直角三角形， ∴AC=BC ，EC=DC ，在Rt △BCD 和Rt △ACE 中， AB BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △BCD ≌Rt △ACE ， ∴AE=BD ，∠AEC=∠BDC ， ∵∠BCD=90°， ∴∠DHE=90°， ∴AE ⊥DB ；B′BDC E AH（2）DE=AF ，DE ⊥AF ，证明：设DE 与AF 交于N ，由题意得，BE=AD ，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC ， ∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC ， ∴∠EBD=∠ADF ，在△EBD 和△ADF 中， BE AD EBD ADF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBD ≌△ADF ， ∴DE=AF ，∠E=∠FAD ， ∵∠E=45°，∠EDC=45°， ∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE ⊥AF ．※考向三：与中点或角平分线相关全等问题典例4：(2017.重庆)在△ABC 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC ．（1）如图1，若AB ＝，BC ＝5，求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．【分析】（1）先由AM＝BM＝ABcos45°＝3可得CM＝2，再由勾股定理可得AC的长；（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，证△BMD≌△AMC得AC＝BD，再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠E．【答案】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴AM＝BM＝ABcos45°＝2＝3，则CM＝BC﹣BM＝5﹣2＝2，∴AC（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC＝BD，又CE＝AC，因此BD＝CE，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG ≌△CFE ，故BG ＝CE ，∠G ＝∠E ，所以BD ＝CE ＝BG ，因此∠BDG ＝∠G ＝∠E ．课时作业☆能力提升一、单选题1．（2018·巴中）下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【分析】由全等三角形判定即可求解【解答】解对于甲，a 是50°角的邻边，题图中a 是50°角的对边，对应关系不对，∴甲不能和题图全等；对于乙根据SAS 可证两三角形全等，对于丙，根据AAS 可证两三角形全等. 故答案：B2． (2018·临沂)如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D ，E .AD ＝3，BE ＝1.则DE 的长是( )A ．32B ．2C .D 【分析】全等三角形的判定及运用.【解答】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠DAC ＋∠DCA =90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB ＋∠DCA =90°，∴∠DCA =∠ECB ，∵AC =CB ，∴△ACD ≌△CBE ，∴AD =CE =3，CD =BE =1，∴DE =CE －CD =3－1=2. 故答案：D ．3．(2018·南京)如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ，E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c【分析】利用三角形全等判定即可求解【解答】解：由AB ⊥CD ，BF ⊥AD 可得∠A ＋∠B ＝90°，∠A ＋∠D ＝90°，则∠B ＝∠D ，结合已知AB ＝CD ，∠CED ＝∠BFA ＝90°，则△ABF ≌△CDE ，所以AF ＝CE ＝a ，BF ＝DE ＝b ，所以AD ＝a ＋b －c ，故选D 故答案：D4．（2016•达州）如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为（） A 48+183 B 24+93 C 48 D 24【分析】考查三角形全等判定及性质，由勾股定理通过计算可得．【解答】解：连PQ ，∵∠BAC=60°,AB=AC,由旋转可得AP=PQ=6, ∠PAQ=60°,∴⊿APQ 是等边三角形，∴PQ=AP=6，在⊿APC 和⊿ABQ 中，AB=AC, ∠CAP=∠BAQ,AP=PQ ，∴⊿APC ≌⊿ABQ, ∴PC=QB=10，在⊿BPQ 中，∵222222222,10,6,8BQ PQ PB BQ PQ PB =+∴===,则⊿BPQ 为直角三角形，∠PBQ=90°, ∴39246232186212+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆APQ BPQ APBQ S S S故答案：B5．（2018·安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB ＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】考查翻折全等变换．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA可证明△ABE≌△ACD；B、如添加AD＝AE，利用SAS可证明△ABE≌△AC D．C、如添加BD＝CE，由等量关系可得AD＝AE，利用SAS可证明△ABE≌△ACD；D、如添加BE＝CD，因为SSA，不一定能证明△ABE≌△ACD；故答案：D．6．(2017兰州)如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝( )AB1 CD【分析】作G′I ⊥CD 于I ，G′R ⊥BC 于R ，E′H ⊥BC 交BC 的延长线于H ．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC 上，再证明CH ＝HE′即可解决问题．【解答】解：作G′I ⊥CD 于I ，G′R ⊥BC 于R ，E′H ⊥BC 交BC 的延长线于H ．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′＝∠IGR ＝90°，∴∠DG′I ＝∠RG′F′，在△G′ID 和△G′RF 中，G D G F DG I RG F G I G R ''=⎧⎪'''∠=∠⎨⎪''=⎩，∴△G′ID ≌△G′RF ，∴∠G′ID ＝∠G′RF′＝90°，∴点F 在线段BC 上，在Rt △E′F′H 中，∵E′F′＝2，∠E′F′H ＝30°，∴E′H ＝12E′F′＝1，F′H ＝易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′＝E′H ，RG′RC ＝F′H ，∴CH ＝RF′＝E′H ，∴CE′∵RG′＝HF′CG′RG′，∴CE′＋CG′故答案:A ．7．（2017鄂州）如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°．若CD ＝4，则△ABE 的面积为（）A ．127B ．247C ．487D ．507【分析】如图取CD 的中点F ，连接BF 延长BF 交AD 的延长线于G ，作FH ⊥AB 于H ，EK ⊥AB 于K ．作BT ⊥AD 于T ．由△BCF ≌△GDF ，推出BC ＝DG ，BF ＝FG ，由△FBC ≌△FBH ，△FAH ≌△FAD ，推出BC ＝BH ，AD ＝AB ，由题意AD ＝DC ＝4，设BC ＝TD ＝BH ＝x ，在Rt △ABT中，∵AB2＝BT2＋AT2，可得（x＋4）2＝42＋（4－x）2，推出x＝1，推出BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，设AK＝EK＝y，DE＝z，根据AE2＝AK2＋EK2＝AD2＋DE2，BE2＝BK2＋KE2＝BC2＋EC2，可得42＋z2＝y2①，（5－y）2＋y2＝12＋（4－z）2②，由此求出y即可解决问题．【解答】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．∵BC∥AG，∴∠BCF＝∠FDG，∵∠BFC＝∠DFG，FC＝DF，∴△BCF≌△GDF，∴BC＝DG，BF＝FG，∵AB＝BC＋AD，AG＝AD＋DG＝AD＋BC，∴AB＝AG，∵BF＝FG，∴BF⊥BG，∠ABF＝∠G＝∠CBF，∵FH⊥BA，FC⊥BC，∴FH＝FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH ≌△FAD，∴BC＝BH，AD＝AB，由题意AD＝DC＝4，设BC＝TD＝BH＝x，在Rt△ABT中，∵AB2＝BT2＋AT2，∴（x＋4）2＝42＋（4－x）2，∴x＝1，∴BC＝BH＝TD＝1，AB＝5，设AK＝EK＝y，DE＝z，∵AE2＝AK2＋EK2＝AD2＋DE2，BE2＝BK2＋KE2＝BC2＋EC2，∴42＋z2＝y2①，（5－y）2＋y2＝12＋（4－z）2②由①②可得y＝207，∴S△ABE＝12×5×205077＝，故答案：D二、填空题8．（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【分析】三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E ABC DE AB EDF A ∴△ABC ≌△DEF ，同理，BC=EF 或AC=DF 也可求证△ABC ≌△DEF ．故答案:AB=DE 或BC=EF 或AC=DF 均可．9．（2017•泸州）在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O ．若OD=2cm ，OE=4cm ，则线段AO 的长度为 cm ．O DCEBA【分析】连接AO 并延长，交BC 于H ，根据勾股定理求出DE ，根据三角形中位线定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出OH ，根据重心的性质答案．【解答】解：连接AO 并延长，交BC 于H ，由勾股定理得，DE=5222=-OD OE ， ∵BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，∴BC=2DE=54，O 是△ABC 的重心， ∴AH 是中线，又BD ⊥CE ，∴OH=5221=BC ，∵O 是△ABC 的重心，∴AO=2OH=54，O DCHEBA故答案：54．10．（2017无锡）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE 是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝52，∵12•BC•AH＝12•AB•AC，∴AH＝125，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO＝12•BD•AH，∴OB＝125，∴BE＝2OB＝245，在Rt△BCE中，EC 75，三、解答题11．（2018·泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O.求证：OB=OC.【分析】结合题中已知条件，要证OB=OC，可以考虑证∠OBC=∠OCB，这个条件可以通过证明Rt△ABC≌Rt△DCB而得到；也可以考虑证明△ABO≌△DCO，差一对相等的边，也可以通过证明Rt△ABC≌Rt△DCB而得到．【解答】解：证明：法一：∵∠A=∠D=90°，AC=DB，BC=CB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．法二：∵∠A=∠D=90°，AC=DB，BC=CB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴AB=DC，又∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO≌△DCO（AAS），∴BO=CO．12．(2018•桂林)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．(1)求证△ABC≌△DEF；(2)若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数．【分析】(1)首先由AD ＝CF ，证得AC ＝DF ，再用“SSS”证得△ABC ≌△DEF ；(2)根据三角形内角和定理，求得∠ACB 的度数，再根据全等三角形的性质，求得∠F 的度数．【解答】解：(1)证明：∵AD ＝CF ，∴AD ＋DC ＝DC ＋CF ，即AC ＝DF ．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,DF AC EF BC DE AB ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．（2）∵∠A ＝55°，∠B ＝88°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝180°―55°―88°＝37°． ∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠F ＝∠ACB ＝37°．13．（2017十堰）已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，∠BAO ＝90°，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．（1）如图1，若点B 在OP 上，则 ①AC OE （填“＜”，“＝”或“＞”）；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是；（2）将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式．【分析】（1）①如图1，证明AC＝OC和OC＝OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2＋CO2＝CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD＝∠AOB，同理得：∠EFO＝∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE＝AC，AO＝EF，根据勾股定理得：AC2＋OC2＝FO2＋OE2＝EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD＝OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2＝2CD2，等量代换可得结论(OC－OE)2＝(OC－AC)2＝2CD2，开方后是：OC－AC．【解答】解：（1）①AC＝OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO＝90°，∴∠ABO＝∠AOB＝45°，∵OP⊥MN，∴∠COP＝90°，∴∠AOC＝45°，∵AC∥OP，∴∠CAO＝∠AOB＝45°，∠ACO＝∠POE＝90°，∴AC＝OC，连接AD，∵BD＝OD，∴AD＝OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO＝45°，∴AC＝OD，∴∠DEO＝45°，∴CD＝DE，∴OC＝OE，∴AC＝OE；②在Rt△CDO中，∵CD2＝OC2＋OD2，∴CD2＝AC2＋OC2；故答案为：AC2＋CO2＝CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB＝AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO＝90°，∵∠CDE＝90°，∴∠ADO＝∠CDE，∴∠ADO－∠CDO＝∠CDE－∠CDO，即∠ADC＝∠EDO，∵∠ADO＝∠ACO＝90°，∴∠ADO ＋∠ACO＝180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD＝∠AOB，同理得：∠EFO＝∠EDO，∴∠EFO＝∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴∠DCO＝45°，∴△COF 和△CDE是等腰直角三角形，∴OC＝OF，∵∠ACO＝∠EOF＝90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE ＝AC，AO＝EF，∴AC2＋OC2＝FO2＋OE2＝EF2，Rt △DEF 中，EF ＞DE ＝DC ，∴AC 2＋OC 2＞DC 2，所以（1）中的结论②不成立；（3）如图3，结论：OC －CACD ，理由是：连接AD ，则AD ＝OD ，同理：∠ADC ＝∠EDO ，∵∠CAB ＋∠CAO ＝∠CAO ＋∠AOC ＝90°，∴∠CAB ＝∠AOC ，∵∠DAB ＝∠AOD ＝45°，∴∠DAB －∠CAB ＝∠AOD －∠AOC ，即∠DAC ＝∠DOE ，∴△ACD ≌△OED ，∴AC ＝OE ，CD ＝DE ，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CE 2＝2CD 2，∴(OC －OE)2＝(OC －AC)2＝2CD 2，∴OC －AC，故答案为：OC －AC．14．.(2017阜新)在菱形ABCD 中，点E 为对角线BD 上一点，点F ，G 在直线BC 上，且BE ＝EG ，∠AEF ＝∠BEG ．（1）如图1，求证：△ABE ≌△FGE ；（2）如图2，当∠ABC ＝120°时，求证：AB ＝BE ＋BF ；（3）如图3，当∠ABC ＝90°，点F 在线段BC 上时，线段AB ，BE ，BF 的数量关系如何？(请直接写出你猜想的结论)【分析】（1）先判断出∠AEB ＝∠FEG ，即可得出结论；（2）先判断出BE ＝BG ，再借助（1）△ABE ≌△FGE ，即可得出结论；（3）先判断出∠AEB ＝∠FEG ，进而判断出△ABE ≌△FGE(ASA)，再得出BGBE ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵BE ＝EG ，∴∠CBD ＝∠BGE ，∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，在△ABE 和△FGE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FGE ABE EG BE FEG AEB ，∴△ABE ≌△FGE(ASA)；（2）∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝60°，∵BE ＝EG ，∴△BEG 是等边三角形，∴BE ＝BG ，由（1）知，△ABE ≌△FGE ，∴AB ＝FG ＝BF ＋BG ＝BF ＋BE ；（3）结论：AB ＋BFBE ．理由：∵∠ABC ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∵BE ＝EG ，∴∠G ＝∠CBE ＝45°＝∠ABD ，∵∠AEF ＝∠BEG ，∴∠AEB ＝∠FEG ，在△ABE 和△FGE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠G ABE EG BE FEG AEB ，∴△ABE ≌△FGE(ASA)，∴AB ＝FG ，∵AB ＝BC ＝BF ＋FC ，FG ＝CF ＋CG ，∴BF ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝AB ＋BF ，∵∠CBG ＝∠G ＝45°，∴∠BEG ＝90°，∴BG，∴AB ＋BF．15．(2018泰安)如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，DE ⊥AC 于点E,，F 是AD 的中点，FG ⊥BC ，于点G ，与DE 交于点H ，若FG=AF ，AG 平分∠CAB ，连接GE ，GD.（1）求证：△ECG ≌△GHD ；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由.【分析】（1）由条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED ，由F 是AD 的中点，FG ∥AE ，即可得到FG 是线段ED 的垂直平分线，进而得到GE=GD ，∠CGE=∠GDE ，利用AAS 即可判定△ECG ≌△GHD ；（2）过点G 作GP ⊥AB 于P ，判定△CAG ≌△PAG ，可得AC=AP ，由（1）可得EG=DG ，即可得到Rt △ECG ≌Rt △GPD ，依据EC=PD ，即可得出AD=AP+PD=AC+EC ；（3）由∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD ，故AE=AF=FG ，再根据四边形AECF 是平行四边形，即可得到四边形AEGF 是菱形．【解答】解：（1）∵AF=FG ，∴∠FAG=∠FGA ．∵AG 平分∠CAB ，∴∠CAG=∠FGA ，∴∠CAG=∠FGA ，∴AC ∥FG ．∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE ．∵FG ⊥BC ，∴DE ∥BC ，∴AC ⊥BC ，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED ．∵F 是AD 的中点，FG ∥AE ，∴H 是ED 的中点，∴FG 是线段ED 的垂直平分线，∴GE=GD ，∠GDE=∠GED ，∴∠CGE=∠GDE ，∴△ECG ≌△GHD ；（2）过点G 作GP ⊥AB 于P ，∴GC=GP ，而AG=AG ，∴△CAG ≌△PAG ，∴AC=AP ，由（1）可得EG=DG ，∴Rt △ECG ≌Rt △GPD ，∴EC=PD ，∴AD=AP+PD=AC+EC ；（3）四边形AEGF 是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD ，∴AE=AF=FG ，由（1）得AE ∥FG ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴四边形AEGF 是菱形．16．（2017•成都A 卷）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD=21∠BAC=60°，于是32==ABBD AB BC ；迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF 的长．【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE ，即可根据SAS 解决问题； ②结论：CD=3AD+BD ．由△DAB ≌△EAC ，可知BD=CE ，在Rt △ADH 中，DH=AD•cos30°=23AD ，由AD=AE ，AH ⊥DE ，推出DH=HE ，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD ，即可解决问题；拓展延伸：①如图3中，作BH ⊥AE 于H ，连接BE ．由BC=BE=BD=BA ，FE=FC ，推出A 、D 、E 、C 四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC 是等边三角形； ②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt △BHF 中，由∠BFH=30°，可得BFHF =cos30°，由此即可解决问题．【解答】迁移应用：①证明：如图②∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE ，在△DAE 和△EAC 中，,DA EA DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△DAB ≌△EAC ， ②解：结论：CD=3AD+BD ．理由：如图2﹣1中，作AH ⊥CD 于H ．∵△DAB ≌△EAC ，∴BD=CE ，在Rt △ADH 中，DH=AD•cos30°=23AD ， ∵AD=AE ，AH ⊥DE ，∴DH=HE ，∵CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD ．拓展延伸：①证明：如图3中，作BH ⊥AE 于H ，连接BE ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA=BD=BC ，∵E 、C 关于BM 对称，∴BC=BE=BD=BA ，FE=FC ，∴A 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°， ∴∠FEC=60°，∴△EFC 是等边三角形，②解：∵AE=5，EC=EF=2，∴AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt △BHF 中，∵∠BFH=30°， ∴BFHF =cos30°，∴BF=33235.4=．。

2024年中考数学复习-全等三角形性质判定考点培优练习

全等三角形性质判定考点培优练习考点直击1.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，因此，全等三角形的对应边相等、对应角相等.2. 三角形全等的判定方法有:SAS、ASA、AAS、SSS.直角三角形全等的判定除以上的方法还有 HL.常见的两个错误的方法是SSA、AAA.3.利用全等三角形解决问题，关键在于从较复杂的图形中找到基本的全等三角形，下列一组的图形都是由基本的三角形经过变换或组合而形成的，其中有公共边、公共角的一些基本图形.4.①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变.例题精讲例1 (大连中考)如图1、图2、图3,点E,D 分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形 ABCMN 中以C 点为顶点的相邻两边上的点，且. BE=CD,DB 交AE 于点 P.(1) 图1中,∠APD 的度数为 .(2) 图 2 中,∠APD 的度数为 ;图 3 中,∠APD 的度数为(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到正 n边形的情况?若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由.举一反三1 (南宁中考)如图，点B，F，C，E在同一直线上，并且. BF=小CE,∠B=∠E.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≅△DEF..你添加的条件是 .(2)添加了条件后，证明. △ABC≅△DEF.举一反三2 (北海中考)如图，已知( CA=CD,∠1=∠2.(1)请你添加一个条件使△ABC≅△DEC,，你添加的条件是；(2)添加条件后，请证明。

△ABC≅△DEC.举一反三3(台州中考)CD 是经过∠BCA顶点 C 的一条直线，CA=；CB. E,F 是直线CD 上的两点,且∠BEC=∠CFA=α.(1) 若直线CD 经过, ∠BCA的内部，且E，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1,若∠BCA=90°,α=90°,,则BE CF,EF |BE—AF|(均填“>”“<”或“=”);②如图 2,若( 0°<∠BCA<180°,，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.(2) 如图 3,若直线CD 经过∠BCA的外部，α=∠BCA,,请提出 EF,BE,AF 三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).例2 (河南中考)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.(1)【操作发现】如图2，固定△ABC,使△DEC绕点C旋转，当点 D 恰好落在AB 边上时，①线段 DE 与AC 的位置关系是 ;②设△BDC的面积为S₁,△AEC的面积为S₂,则S₁与S₂的数量关系是 .(2)【猜想论证】当△DEC绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中 BC,CE 边上的高,请你证明小明的猜想.(3)【拓展探究】已知∠ABC=60°,点 D 是∠ABC平分线上一点，BD=CD=4,DE‖AB交BC 于点E(如图4).若在射线 BA 上存在点F,使S DCF=S BDE,请直接写出相应的 BF的长.举一反三4 (哈尔滨中考)已知：在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 E,且 AC⊥BD,作 BF⊥CD,垂足为点 F,BF 与 AC 相交于点G,∠BGE=∠ADE.(1) 如图1,求证:AD=CD;(2)如图2,BH 是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍.举一反三5 (长春中考)【感知】如图1,AD 平分∠BAC.∠B+∠C=180°,∠B=90°.【易知】DB=DC.【探究】如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证:DB=DC.【应用】如图3,四边形ABCD 中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC=a,则AB-AC= (用含a 的代数式表示)例3 (沈阳中考)将两个全等的直角三角形ABC 和DBE按如图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,,点 E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点 F.(1) 求证: AF+EF=DE.(2)若将图1中的△DBE绕点B 按顺时针方向旋转角α，且( 0°<α<60°,其他条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立.(3)若将图1中的. △DBE绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且( 60°<β<180°,其他条件不变，如图3.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF 与DE 之间的关系，并说明理由.举一反三6 (西藏中考)已知：如图，点A，E，B，D在一条直线上，并且AC=DF,AE=DB,∠A=∠D.求证：∠C=∠F.举一反三7 (济宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB.(1) 在BC边上找一点P,使BP=BA,分别过点 B,P 作AC 的垂线BD,PE,垂足分别为 D,E;(2) 在四条线段AD，BD，DE，PE中，某些线段之间存在一定的数量关系.请你写出一个等式表示这个数量关系(等式中含有其中的 2 条或3条线段)，并说明等式成立的理由.举一反三8 (黑龙江中考)在△ABC 中,∠ACB=2∠B,如图 1,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.(1) 如图2,当∠C≠90°,AD 为∠BAC的角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?不需要证明，请直接写出你的猜想.(2)如图3,当AD 为△ABC 的外角平分线时,线段AB,AC,CD 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.过关检测基础夯实1.(海南中考)已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 ( )A. 72°B. 60°C. 58°D. 50°2.(厦门中考)如图,点 E,F 在线段 BC 上,△ABF 与△DCE 全等,点 A 与点 D,点B 与点 C 是对应顶点,AF 与 DE 交于点M,则∠DCE= ( )A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB3.(柳州中考)如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N 的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出线段的长度.A. POB. PQC. MOD. MQ4.(成都中考)如图,△ABC≌△A'B'C',其中,∠A = 36°,∠C′ = 24°, 则∠B =5.(齐齐哈尔中考)如图，已知在△ABC 和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点 B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).6.(黑龙江中考)如图,在 Rt△ABC 和Rt△EDF中,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ,使Rt△ABC 和 Rt△EDF全等.7.(永州中考)现有A，B两个大型储油罐，它们相距2km，计划修建一条笔直的输油管道，使得 A，B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5k m，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有种.8.(柳州中考)如图,已知OC 平分∠MON,点 A,B 分别在射线 OM,ON 上,且OA=OB.求证:△AOC≌△BOC.能力拓展9.(兴安盟中考)如图,已知AB=AC,点D,E 分别在线段AB,AC 上,BE 与CD 相交于点 O，添加下列条件仍不能判定△ABE ≌△ACD 的是 ( )A.∠B=∠CB. AE=ADC. BD=CED. BE=CD10.(温州中考)如图,AC,BD 是矩形ABCD的对角线,过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有 ( )A. 1 个B.2个C. 3个D.4个11.(鄂州中考)如图,在△AOB 和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°.连接AC,BD交于点M,连接OM.有下列结论：①∠AMB=36°;② AC=BD;③OM 平分∠AOD;④MO平分∠AMD.其中正确的有 ( )A. 4个B. 3个C.2个D.1个12.(江西中考)如图,AC 平分∠DCB,CB=CD,DA 的延长线交 BC 于点 E,若∠EAC = 49°, 则∠BAE 的度数为13.(湘潭中考)如图,点 P 是∠AOC 的角平分线上一点,PD⊥OA,垂足为点 D,且PD═3,点 M 是射线OC 上一动点,则PM 的最小值为 .14.(南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,△ABC≌△BAD.求证：(1)OA=OB;(2)AB∥CD.15.(益阳中考)已知,如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB = 70°,∠D = 110°,求证:△ABC≌△EAD.16.(金华中考)如图,已知点B,F,C,E在同一直线上,AB⊥BE,垂足为 B,DE⊥BE,垂足为 E,且AB=DE.请你添加一个条件，使AC=DF(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明.添加的条件是 .17.(广州中考)如图, AB=AD,∠BAC=∠DAC = 25°,∠D = 80°.求∠BCA 的度数.综合创新18.如图,△ABC 中,BD平分∠ABC,AD 垂直于 BD,△BCD 的面积为 45,△ADC 的面积为 20, 则△ABD 的面积等于 .19.(南宁中考)如图,在△ABC 中,D 是 BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出.(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.20.(宜宾中考)如图,在△ABC 中,点 D 是边BC 的中点,连接 AD 并延长到点 E,使DE=AD,连接CE.(1) 求证:△ABD≌△ECD;(2) 若△ABD 的面积为 5,求△ACE 的面积.21.如图,△ABC是等边三角形,D,E 分别是BC,AC 上的点,CD=AE.求∠APB的度数.【例题精讲】1.(1) 60°(2) 90° 108°(3)能.如图,点 E,D分别是正n边形ABCM…中以C点为顶点的相邻两边上的点，且 BE=CD,BD 与AE 交于点P,则∠APD 的度数为(n−2)180∘n.解析:(1) 题图 1中,∵△ABC 是等边三角形,∴AB= BC,∠ABE =∠BCD =60°.∵BE = CD,∴△ABE ≌△BCD.∴∠BAE = ∠CBD. ∴∠APD =∠ABP +∠BAE =∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°.(2) 题图 2 中,同理可证△ABE≌△BCD,∴∠AEB+∠DBC=180°—90°=90°,∴∠APD=∠BPE= 180°−90°=90°.题图 3 中，同理可证△ABE≌△BCD,∴∠AEB+∠DBC=180°--108°=72°.∴∠APD=∠BPE=180°- (∠AEB + ∠DBC) = 180°- 72°=108°.2. (1) ① DE∥AC ②S₁=S₂ (2)证明：∵ABC 和DEC 是两个完全相同的三角形纸片,∴BC=CE,AC=CD,∵∠ACN+∠BCN = 90°,∠DCM+∠BCN =180°-90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∵在△ACN和△DCM中{∠ACN=∠DCM,∠CMD=∠N=90∘,AC=CD.∴△ACN ≌△DCM(AAS).∴ AN =DM,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S₁=S₂. (3)4√33或8√33解析:(1) ①∵△DEC 绕点C 旋转,点 D恰好落在 AB 边上, ∴ AC = CD. ∵∠BAC=90°−∠B=90°−30°=60°,∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD=60°.又∵∠CDE=∠BAC=60°,∴∠ACD=∠CDE,∴DE ∥AC.②∵∠B = 30°, ∠C=90∘,∴CD=AC=12AB.∴BD=AD =AC.根据等边三角形的性质,△ACD 的边 AC, AD 上的高相等,∴△BDC的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S₁=S₂.(3) 如图,过点 D 作 DF₁∥BE 交BA于点 F₁.易证四边形 BEDF₁是菱形,∴BE=DF₁,且BE,DF₁上的高相等,此时S DCF1=S BDE.过点 D 作 DF₂⊥BD交 BA 于点 F₂,∵∠ABC=60°,F₁D∥BE,∴∠F₂F₁D=∠ABC=60°.∵BF₁= DF1,∠F1BD=12∠ABC=30∘,∠F₂DB=90°,∴∠F₁DF₂=∠ABC=60°.∴△DF₁F₂是等边三角形.∴DF₁=DF₂.∵BD=CD,∠ABC=60°,点 D 是∠ABC 平分线上一点, ∴∠DBC = ∠DCB=12×60∘=30∘,∵DF1BC,∴∠CDF₁= 180°−∠BCD=180°−30°=150°.∴∠CDF₂=360°−150°−60°=150°,∴∠CDF₁=∠CDF₂,,在△CDF₁和△CDF₂中, ∴{DF1=DF2,∠CDF1=∠CDF2,CD=CD,∴△CDF₁≌△CDF₂(SAS).∴点F₂也是所求的点,∵∠ABC=60°,点 D 是∠ABC平分线上一点,DE∥AB,∴∠DBC= ∠BDE=∠ABD=12×60∘=30∘又∵BD=4,∴BE=12×4÷cos30∘=2÷√32=4√33.∴BF1=4√33,BF2=BF1+F1F2=4√33+4√33=8√33,∴BF的长为4√33或8√33.3.(1) 证明:如图 1,连接 BF.∵△ABC≌△DBE(已知),∴BC = BE, AC = DE.∵∠ACB = ∠DEB = 90°, ∴∠BCF =∠BEF=90°.在 Rt△BFC 和Rt△BFE中,BF=FF,∴Rt△BFC≌Rt△BFE(HL).∴CF=EF.又∵AF+CF=AC,∴AF+EF=DE.(2) 如图 2,结论 AF+EF = DE 仍然成立.(3) 不成立,AF=DE+EF 理由:连接BF,如图 3.∵△ABC ≌△DBE, ∴ BC = BE.∵∠ACB=∠DEB =90°,∴△BCF 和△BEF 是直角三角形,在 Rt△BCF 和Rt△BEF 中,{BC=BE,∴△BCF ≌△BEF(HL),∴CF =EF.∵△ABC≌△DBE,∴AC=DE,∴AF=AC+FC=DE+EF.【举一反三】1.(1)∠A=∠D (2) 证明:∵BF=CE,∴BF+FC=EC+FC,即 BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ∴{∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS).2.(1) CB=CE (2) 证明:∵∠1=∠2,∴∠1 + ∠ACE = ∠2 + ∠ACE, 即∠ACB =∠ECD.在△ABC 和△DEC中,△DEC(SAS).3.(1) ① = = ②α+∠BCA=180°证明:在△BCE 中,∠CBE +∠BCE = 180°−∠BEC=180°−α.∵∠BCA=180°-α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.又∵∠ACF + ∠BCE = ∠BCA,∴∠CBE = ∠ACF.又∵ BC = CA,∠BEC = ∠CFA,∴△BCE ≌△CAF(AAS).∴BE=CF,CE=AF,又∵EF=CF-CE,∴EF=|BE--AF|. (2) EF=BE+AF解析:(1) ①∵∠BCA=90°,α=90°,∴∠BCE + ∠CBE = 90°, ∠BCE +∠ACF = 90°, ∴∠CBE = ∠ACF,∵CA = CB, ∠BEC = ∠CFA;∴△BCE ≌△CAF (AAS), ∴ BE =CF,EF=|CF--CE|=|BE--AF|.(2) ∵∠BEC=∠CFA=α,α=∠BCA,∠BCA + ∠BCE + ∠ACF = 180°,∠CFA + ∠CAF + ∠ACF = 180°,∴∠BCE = ∠CAF, 又∵ BC = CA,∴△BCE≌△CAF(AAS).∴BE=CF,EC=FA,∴EF=EC+CF=BE+AF.4.(1) 证明:∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,∴∠ADE=∠CGF.∵AC⊥BD,BF ⊥ CD, ∴∠ADE + ∠DAE =∠CGF +∠GCF,∴∠DAE =∠GCF,∴AD= CD; (2) △ACD,△ABE,△BCE,△BHG解析:(2)设DE=a,则AE=2DE=2a, EG=DE=a.∴S ADE=12AE⋅DE=12⋅2a⋅a=a2,∵BH 是△ABE 的中线,∴AH=HE=a.∵AD=CD,AC⊥BD, ∴CE = AE = 2a,则 S△ADC = 12AC⋅DE=12⋅(2a+2a)⋅a=2a2=2S△ADE; 在△ADE 和△BGE 中,∴{∠AED=∠BEG,DE=GE=∠BGE,∴ADE≅BGE(ASA).∴BE =AE = 2a.。

中考数学知识点过关培优训练卷：全等三角形的性质与判定(附解析)

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考数学复习----《全等三角形之性质与判定》知识点总结与专项练习题(含答案解)

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

第四讲培优 全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

中考数学提分专项 全等三角形的性质和判定练习(含答案)

2020届中考数学培优复习题：全等三角形性质判定【含答案】

中考数学专题练习全等三角形的判定与性质（含解析）

人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)

中考数学全等三角形的性质及判定

专题06 全等三角形的性质与判定篇(解析版)

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

初一数学：全等三角形的性质和判定(含解析)

2023年九年级中考数学专题培优训练： 全等三角形【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形【含答案】

全等三角形的性质及判定

中考数学培优(含解析)之全等三角形

2024年中考数学复习-全等三角形性质判定考点培优练习

第四讲培优全等三角形的性质及判定

中考数学提分专项全等三角形的性质和判定练习(含答案)

2023年九年级中考数学专题培优训练：全等三角形【含答案】