一元二次方程的解法及韦达定理
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
1元二次方程的解法
1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。
求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。
二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。
若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。
若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。
三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。
举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。
数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。
人教版21章一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意：〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型：(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式；(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式： 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕；〔2〕求出b2 4ac的值；并判断方程根的情况；〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点：〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点：找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底；(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4) “解〞就是求出所列方程的解；(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式：增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-本钱价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数：设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题：传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者：第一轮后：共(1+x)个第二轮后：共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后：共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后：共(1+x) “个［注意：上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为：a (1+X) n个］知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八 几何类题：①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形 的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一 边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】单循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场；双循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场；注：双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有：n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示：二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性：①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
一元二次方程、韦达定理
一元二次方程及韦达定理一、 求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程 一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。
二、 一元二次方程求根的几种办法：1. 十字相乘法：2. 配方法：3. 公式法：4. 猜根+结合韦达定理。
三、 韦达定理1、 韦达定理应用的前提是方程有实根！2、 韦达定理的正向运用： )0(02≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。
3、 若两个实数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =⋅21， 则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。
4、 可以通过韦达定理来判断两个根的符号：1） 通过21x x ⋅来判断两根同号还是异号；2） 通过21x x +来判断两根的正负。
基本题型解法及易错点一、 求解一元二次方程的根：02=++c bx ax1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0；2. 有根的判断标准是：042≥-=ac b ∆；所以，0<ac 时，一定有两个根；3. 十字相乘法：1） 整数的分解；2） 分数变整数。
4. 求根公式法：运算∆的时候，数字较大时，先不单独运算，提取公因式优先。
5. 猜根+韦达定理：根据题目数字关系，猜测其中的根，根据韦达定理得出另一根。
6. 多参数的，可以看成是其中一个的二次方程。
二、 韦达定理的整体应用1. 如果是含参的一元二次方程，未告知具体根，在使用韦达定理前，一定验证0≥∆。
2. 已知两个实数的和、积关系，求两个实数：1） 通过和、积关系逆推出是一个一元二次方程的根；2） 有两种情况。
3. 已知21,x x 是方程两根，求解有关21,x x 的式子的值：不单独求21,x x ，整体进行代换。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22， 于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114， 于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法复习：一元二次方程：20ax bx c ++=，2b x a-=根的判别式24b ac -240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；240b ac -=，方程有两个相等的实数根（或方程有一个实数根）； 240b ac -<，方程没有实数根。
韦达定理：如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为1x ，2x 则有：12b x x a+=-，12cx x a⋅=韦达定理的推广：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③22121212()()4x x x x x x -=+-；④12||x x -=一元二次函数2y ax bx c =++，2224()()24b ac b y a x a x h k a a-=++=-+ 其中：2b h a =-， 244ac b k a-=，一元二次函数的图像是抛物线，抛物线的顶点坐标是(,)h k ，抛物线的对称轴是直线x h =；当0a >，开口向上，()min y k f h ==；当0a <，开口向上，()max y k f h == 一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＜0(a≠0)的解集的确定受a 的符号、b2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． 两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系题型分类题型一：一元二次不等式的解法 例1、 解下列不等式（1）23280x x --+≥； （2）2410x x --+>； （3）28116x x -≥； （4）22430x x ++<；总结：首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看∆，利用求根公式求解方程的根，然后写出解集。
一元二次方程的解法(十字交叉法)及韦达定理
2
bx c 0 ( a 0 ) 中的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数之间的关
系（韦达定理）
重点：1.掌握用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程
2
重点难点
2.一元二次方程 ax
2
bx c 0 ( a 0 ) 的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数
之间的关系（韦达定理）及运用 学习过程： 一、课前检测 分解因式① x 7 x 12 =
2
。② m 2 m 15 =
2
二 、合作探究： 3． 活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如 x ( p q ) x pq 的二次三项式怎样分
2
解因式，从而理解怎样解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程
③
3 x1 x1 x 2 3 x 2
④ x1 x 2
2 2
四、达标检测： （1）方程 x x 6 0 的根是
2
（2）方程 x x 6 0 的解是
2
（3）若 x1 , x 2 是方程 x 3 x 5 =0 的两个根 x1 x 2
2
， x1 . x 2
班级姓名组长批改一元二次方程的解法十字交叉法及韦达定理审核人学习目标bxax的和积与它的系数之间的关系韦达定理重点难点重点
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案 授课时间： 课 题 月 日 班级 姓名 主备人 组长批改 审核人
一元二次方程的解法（十字交叉 法）及韦达定理
2
1． 学习用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程 2． 掌 握 由 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式 推 出 一 元 二 次 方 程 学习目标
一元二次方程解法公式法,因式分解法,韦达定理
一元二次方程解法2知识点一：公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝a ac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，代入公式求出方程的根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．1：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4； (2)x (x ＋8)＝16；(3)x 2－35x ＝2； (4)4x 2－1＝0；(5)x 2＝7x ；(6)3x 2＋1＝23x ； (7)12x 2＋7x ＋1＝0．2．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．3．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．4．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝05. 证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．知识点二：因式分解法 只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．例.用因式分解法解方程2x 2－8x ＝0 ②（x+3）(x+2)=0 ③x(x-1)=0 ④x 2-2x-3=0 3x(x+1)+4(x+1)=02．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； （3） x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6) (x －1)2－4(x －1)－21＝0．知识点三：根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3.若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 4. 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值。
解一元二次方程-公式法、因式分解、韦达定理
解一元二次方程-公式法、因式分解、韦达定理课前热身1、公式法解下列方程:（1）；（2）；2、因式分解解下列方程：（1）；（2）；（3）；3．关于方程式 49x2﹣98x﹣1=0 的解，下列叙述何者正确（ ）A．无解B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根遗漏分析学科原因： 1、对一元二次方程的公式法和因式分解法没有掌握； 2、对一元二次方程根与系数的关系没理解.知识精讲知识点一、公式法 式子 b2-4ac 的值有以下三种情况：1（1）b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根，x1= - b b2 4ac - b -,x2=b2 4ac;2a2a（2）b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根，x1=x2= - b 2a（3）b2-4ac<0，方程无实数根。
一般地，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“△ ”表示b b2 4acx它，即△ =b2-4ac。
当△ ≥0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为2a的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式。
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式 ax2 bx c 0a 0 ，确定 a，b，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况：若>0，则方程有两个不同的实数根；若=0，则方程有两个相同的实数根；若<0，则方程没有实数根.③在的前提下，把 a、b、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。
例 1、用公式法解方程： 2 x2+4 3 x+6 2 =02变式 1、小明同学用配方法推导关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式时，对于 b2 ﹣4ac＞0 的情况，他是这样做的：小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是．知识点二、因式分解法 方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是 0。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
_八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理
利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n+=的形式；④当0n≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．一般一元二次方程的解法及韦达定理知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲内容分析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式x =，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 填空：（1）221_______(____)2x x x -+=-；（2）221_______(_____)25x x -+=-； （3）22_______(____)bx x x a-+=-；（4）22224_______(2_____)b x x a-+=-．【例2】 如果24x ax ++是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ．2-C ．2或2-D ．都不对【例3】 若0m <且2x =时，等式2270x mx m -+-=成立，则m 值为________．【例4】 如果一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________．【例5】 解下列方程(配方法)：（1）2340x x +-=； （2）20.040.410x x ++=；（3）22240x mx m ++=； （4）20(0)ax bx c a ++=≠．例题解析【例6】 解下列方程（求根公式法）：（1）22(1)x x =-； （2）20.20.11x x -=；（3）21)0x x +++=； （4）22220x mx m n -+-=．【例7】 解下列关于x 的方程（用适当的方法）： （1）20(0)mx nx p m --=≠； （2）(5)(3)(6)145x x x x --++=．【例8】 用指定的方法解下列方程： （1）2123x x -=（配方法）；（2）()232175x -=（开平方）；（3）2(1(1x x -=+（因式分解）； （4）231270x x ++=（公式法）．【例9】 已知：202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式22102191x x x -++的值等于零．【例11】 的例题：解方程2||20x x --=解：当0x ≥时，原方程化为220x x --=，解得：1221x x ==-，（舍） 当0x <时，原方程化为220x x +-=，解得：1221x x =-=，（舍） ∴原方程的根是1222x x ==-， 请参照例题解方程2|1|10x x ---=．【例12】 解下列关于x 的方程方程：（1）22(2)(3)0kx k x k +-+-=； （2）(5)(3)(2)(4)49x x x x -++-+=；（3）2222(3)230x a b x a ab b +--+-=．【例13】 已知：2212231447y x x y x x =-+=++，，求x 为何值时，12y y =．【例14】解关于x的一元二次方程24(3)x x mx-=-，其中m是满足不等式310 320mm+>⎧⎨->⎩的整数．【例15】求关于x的方程：225582220x y xy y x+++-+=的实数解．【例16】已知152a b c+-=--，求a b c++的值．【例17】已知a b c，，是有理数，试证明关于x的方程：x2-2ax+a2-b2-c2+2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x的方程：224(1)3240x m x m m k--+-+=，当m取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k的值或者是k的取值范围．韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a -+=≠的两个根,由解方程中的公式法得, 12x x ==． 那么可推得1212b cx x x x a a+=-⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．【例19】 若方程2(1)0x m x m -++=有解，利用适当的方法解这两个根，分别是___________________________；若这两个根互为相反数则m 的值是_______________；若两个根互为倒数，则m 的值是_______________．【例20】 如果1x ，2x 是方程22360x x +-=的两个根，那么12x x +=_____________；12x x ⋅=_______________．【例21】 若方程：2980kx x -+=的一个根为1，则k =________；另一个根为________．【例22】．【例23】已知1122-+-、是关于x 的方程210(0)ax bx a ++=≠的两根，求b 的值．例题解析知识精讲模块二：韦达定理【例24】 已知12x x ，是方程2133022x x --=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x -；（3）2212x x +；（4）12||x x -．【例25】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x -+=两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】 已知方程：240x x a -+=的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】 已知2212510520.1m m n n mn n m--=+-=≠+，，求的值．【例28】 已知αβ，是方程：2240x x --=的两根，求代数式3+8+6αβ的值．【习题1】完成下列填空：（1）22_____(__) x x-+=-；（2）2(2_____)______________1y-=+；（3）223_______93(____)x x++=+．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程232x x=，用____________法解比较好，其根为______________；（2）对方程2(21)4x-=，用____________法解比较好，其根为______________；（3）对方程22360x x--=，用___________法解比较好，其根为_______________．【习题3】已知2+20x ax a+-=的两根互为倒数，则a的值为________．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）20(0)ax bx a-=≠（因式分解）；（2）2249610()x a a a-+-=为已知数（直接开平方）；（3）25690x x+-=（配方法）；（4）2340x--=（求根公式）．随堂检测【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）21x x -=； （2）22(23)3(23)0x x ---=；（3）2320x -+=； （4）2(35)5(35)40x x +-++=．【习题6】 解关于x 方程：（1）2221x ax a -+=； （2）20x px q -+=．【习题7】 如果2296(1)5x n x n -+++是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】 用配方法说明：不论x 为何值，代数式257x x -+的值总大于0，再求出当x 为何值时，代数式257x x -+有最小值，最小值是多少？【习题9】 已知关于x 的方程2(1)(21)30()m x m x m m -+-+-=为实数有两根12x x ，，其中1200x x ><，且12||||x x >，求m 的取值范围．【习题10】 解方程||3||20x x x -+=．【习题11】 已知关于x 的方程2(1)0k x px k --+=有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】 已知实数a b ≠，且满足2(1)33(1)a a +=-+，23(1)3(1)b b +=-+，求【作业1】 已知代数式239x x m -+是一个完全平方式，则m =_____________．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程20x =，有两个根；（2）方程24x x =两边同除以x ，解得方程的解为4x =；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2x x -=-无解； （4）对于方程22(1)(3)x x -=+，因为无论x 取何值，1x -和3x +都不可能相等，所 以方程无解．【作业3】 如果12x x ，是方程25750x x -+=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +； （2）2212x x +．【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1）249x =；（2）23210x x -=；（3）22350x x --=；（4）2(4)5(4)x x -=-；（5）23420x x --=；（6）2(1)5(1)40y y -+-+=．课后作业【作业5】 用适当的方法解下列方程：（1）224(2)(31)0x x ---=；（2）2(31)3(31)20x x ---+=；（320-=；（4）212205250x x --=．【作业6】 用适当的方法解下列关于x 方程：（1）22+21()x ax a a +=为已知常数；（2）2220()x ax a a +-=为已知常数；（3）22320()x xb b b --+=为已知常数．【作业7】 若2+317=0x x αβ-，是方程的两个根，求2+2ααβ-的值．【作业8】 已知关于x 的方程2(1)31(1)x m mx x mx -+=+-（）（）有一个根是0，求另一个根及m 的值．【作业9】 已知22620(0)mm mn n n n --=≠，求的值．【作业10】 解关于x 的方程25||30x x --=．【作业11】 已知方程22120x x --=的两根是αβ，，设1=+C αβ，222=+C αβ，．．．，=+n n n C αβ（n 是正整数）．（1） 求3C 的值；（2） 求证：11=2C 12n n n C C +-+ ．。
一元二次不等式及其解法
b b 4ac x ; 2a
2
b 4ac b2 , 顶点 坐标 2a 4a
b x 2a
一元二次不等式
定义：只含有一个未知数，未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一般形式： ax bx c 0 或 ax bx c （ 0 a 0)
a 0 1 a 3 (3a 1)(a 1) 0
例、若函数 f ( x) kx 2 6kx (k 8) 的定义
域为R，求实数k的取值范围。
解：显然k=0时满足，而k<0时不满足，
k 0 0 k 1 2 36k 4k (k 8) 0
对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，
(1)当a＞0时，x1＞x2， 不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}. (2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解. (3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.
综上所述，原不等式的解集为： a＞0时，{x|－2a＜x＜a} a＝0时，∅ a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
2 2
一元二次不等式 的解集： 所有满足不等式的自变量x的取值集合。
问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司.
x 5x 0
2
不等式的解集
x 0 x 5
一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式:，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b 叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。
二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据:平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，,，当b〈0时，方程没有实数根。
三种类型:（1）的解是；(2）的解是;(3)的解是。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数; （3）把原方程变为的形式.（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时,用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式(2）先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式;（4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
一元二次方程根的判别式.韦达定理
新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
一元二次方程的解法与韦达定理练习题
一元二次方程的解法与韦达定理【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法？2.还记得如何用配方法解方程吗？配方时需要注意些什么？3.韦达定理是什么？你能推导吗？使用韦达定理的前提条件是什么？【典型例题】例1 （1）一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____.（2）将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是_________.例2 用配方法解下列方程(1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)036412=+-x x 例3 用公式法解下列各方程(1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x例4 用因式分解法解下列方程(1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x例5 用适当方法解方程：(1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2=-+y(4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x （5）)3(215)3(2+-=+x x（6）01242=-+x x （7）0)12(532=++x x根与系数关系式一、填空题与选择题：1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、3 C 、6 D 、94、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( )A.11B.17C.17或19D.19 二、解答题：5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x（3）)31)(31(1221x x x x ++6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.7、m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；8、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。
一元二次方程总复习知识点梳理(学生)
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程的解法情况总结
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法和分解法)一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式：ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)[有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线，即b²-4ac≥0] .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)²=n(n≥0)的方程，其解为x=m±配方法:1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式(此一元二次方程满足有实根)2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4.等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6.左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法：1.化方程为一般式：ax²+bx+c=0 （a≠0）2.确定判别式，计算Δ（=b²-4ac）；3.若Δ>0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ<0，该方程在实数域内无实数根因式分解法：因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0；2. 将方程左边分解为两个一次式的积；3. 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的解法及韦达定理
一元二次方程的解法及韦达定理
编号：撰
写人：审核：
一、一元二次方程的解法：
例题1：
用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0
【一元二次方程的解法总结】
1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。
方程的解为x=
推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点：①二次项的系数为1，且a≥0
②如果a为根式，注意化简。
例1：解方程：5x2=1
例2：解方程：x2=
4
例3：解方程：4x 2+12x+9=12
2、配方法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
步骤：①把二次项的系数化为1.
两边同时除以a ，可以得到：
X 2+ b a x+ c a
=0 ②配方：
（x+ 2b
a ）2+c- 2()2
b a =0
③移项：
（x+ 2b
a ）2=2
()2b a -c ④用直接法求出方程的解。
X=-2b a
注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要
进一步化简。
例：
解方程：x 2+x=1
3、公式法：
对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法，我们可以得到方程的解为：
X=-2b a
进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：
x1x2
注意点：
①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
②解题步骤要规范。
例:
解方程：x2+5x+2=0
除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法
对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。
例1：
解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0
例2：
=
1
5、有理化方法：
对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。
例：
=
4
6、主元法：
对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
例：解方程052422=+-++y x y x
除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？
二、判别式的运用：
我们知道：方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：
x1x2
其中，我们把：∆=b2-4ac称之为判别式
(1)当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。
(2)当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。
(3)当∆<0的时候，方程没有实数根。
没有实数根与没有根是两个不同的概念。
判别式的运用：
（1）求方程系数的取值范围。
例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。
（2）求最大值最小值的问题。
例1：求2
236
x y x x +=++的最大值和最小值。
例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。
三、韦达定理
对于方程ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的解为：
x 1=
2b a
-+，x 2=
2b a
-
那么就有：x 1+x 2=
b a -
,x 1x 2= c
a .
除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：
（1）|x 1-x 2|=
a
（2）11x +
21x =a b - (3) 11x 21
x =a c
注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。
下面给出公式（1）的推理：
|x
1-x 2===
=
a
韦达定理的应用：
1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。
例题1：
如果关于x的方程：
20a
x a
++=的一个根是1的值。
例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。
2、构造方程进行计算：
例题1：已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。
求|a-b|的值
例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。
例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。
一元二次方程习题
1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。
【举一反三】
例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。
例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。
2、解方程：
（1）x2-2=-2x；
（2）x（x-3）+x-3=0；（3）4x2+12x+9=81．
其中a为方程x2+3x+2=0的一个根．
【举一反三】
例题1：设a,b 分别是方程x 2
+3x+1=0的两个根，求：
(1)a 2+b 2+ab 的值；（2）求a 3+b 3的值
例题2：已知：
5a 2+12a-1=0,b 2-12b-5=0,且：ab ≠1，求：
2255ab ab b
b ++的值。
4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。
【举一反三】
例题1：已知关于x的方程x2-2（k-3）
x+k2-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
y＝
例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）
没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
例题3：已知a>0,b>0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。
5、若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。
6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x
=-2，
1
x
=1，（a，m，b均为常数，a≠0），解方程方2
程a（x+m+2）2+b=0。
7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，
解方程（x-c）（x-d）+x=0。
8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为；
（Ⅲ）解这个方程，得；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了个人．。