一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理

一元二次方程的解法及韦达定理

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一、一元二次方程的解法：

例题1：

用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0

【一元二次方程的解法总结】

1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=

推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a≥0

②如果a为根式，注意化简。

例1：解方程：5x2=1

例2：解方程：x2=

4

例3：解方程：4x 2+12x+9=12

2、配方法：

对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.

两边同时除以a ，可以得到：

X 2+ b a x+ c a

=0 ②配方：

（x+ 2b

a ）2+c- 2()2

b a =0

③移项：

（x+ 2b

a ）2=2

()2b a -c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a

注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要

进一步化简。

例：

解方程：x 2+x=1

3、公式法：

对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：

X=-2b a

进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：

x1x2

注意点：

①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

②解题步骤要规范。

例:

解方程：x2+5x+2=0

除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法

对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。例1：

解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0

例2：

=

1

5、有理化方法：

对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

例：

=

4

6、主元法：

对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

例：解方程052422=+-++y x y x

除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？

二、判别式的运用：

我们知道：方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的解为：

x1x2

其中，我们把：∆=b2-4ac称之为判别式

(1)当∆>0的时候，方程有两个不同的实数根。

(2)当∆=0的时候，方程有两个相同的实数根。

(3)当∆<0的时候，方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。

判别式的运用：

（1）求方程系数的取值范围。

例：已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根，求a的取值范围。

（2）求最大值最小值的问题。

例1：求2

236

x y x x +=++的最大值和最小值。

例2：已知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。

三、韦达定理

对于方程ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的解为：

x 1=

2b a

-+，x 2=

2b a

-

那么就有：x 1+x 2=

b a -

,x 1x 2= c

a .

除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：

（1）|x 1-x 2|=

a

（2）11x +

21x =a b - (3) 11x 21

x =a c

注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。

下面给出公式（1）的推理：

|x

1-x 2===

=

a

韦达定理的应用：

1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。

例题1：

如果关于x的方程：

20a

x a

++=的一个根是1的值。

例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。

2、构造方程进行计算：

例题1：已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值

例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。

例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O，且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。

一元二次方程习题

1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。

【举一反三】

例题1：Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。

例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。