996年考研数学二试题及答案
2016-2019年全国硕士研究生入学考试数学(数二)真题及答案解析精编
（B）1
（C）2
（D）3
【解析】由于 AX 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 R( A) 2可得R( A) 2 3，
故R( A*) 0.
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A | 4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
数学二（3）
2
(9)
lim
x0
(x
2
x
)
x
______
.
【答案】 4e2
2
【解析】 lim( x 2x ) x
lim 2( x2x 1)
ex0
x
2 lim ( x 2x 1)
e x0 x x
y '(t) x '(t)
t 3 2
sin t 1 cos t
t 3 2
1
则曲线在 t 3 对应点处的切线方程为 y 1 (x 3 1)
2
2
令x 0得 y 3 2 2
(11)设函数 f (u) 可导， z yf ( y2 ) ，则 2x z y z =__________.
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 的（
）
（A）充分非必要条件
（B）充分必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
考研数二真题及解析
Born to win
(4) 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上 f ′′( x) > 0 ,则 f ′(1)、f ′(0)、f (1) − f (0) 或 f (0) − f (1) 的大小 顺序是 (A) f ′(1) > f ′(0) > f (1) − f (0) (C) f (1) − f (0) > f ′(1) > f ′(0) (5) 设 f ( x) 可导, = F ( x) (A) f (0) = 0 (C) f (0) + f ′(0) = 0 (B) f ′(1) > f (1) − f (0) > f ′(0) (D) f ′(1) > f (0) − f (1) > f ′(0) ( ) ( )
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y ( x) ,可用特征方程法求解：即 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0 中的 P( x) 、 Q( x) 均是常数,方程
变为 y′′ + py′ + qy = 0 ,在复数域内解出两个特征根 r1 , r2 ； 0 .其特征方程写为 r + pr + q =
Born to win
1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) 设 y = cos( x ) sin
2 2
1 ,则 y′ = ＿＿＿＿＿＿. x
(2) 微分方程 y′′ + y = −2 x 的通解为＿＿＿＿＿＿.
ϕ ( x)
f ( x)
2023年考研数学二真题及答案-完整版
且喜平常度，切忌神慌乱。
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2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小 【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--， 则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（ ）。
考研真题《数学二》2023年考试真题与参考答案
考研真题：2023年《数学二》考试真题与参考答案一、选择题1〜10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1-*="+［）的斜渐近线为（）A.》=x+e Q.y=x-\~-,eC J=x D.*=x-L.e答案：B"+L],则答案解析：由已知y^xlnhm—=hmm e+ X X-k —]=lne=l, x-ljlimy-x=lim xln|e+^—XToo XToo =lim x In X—00=lim x InX—00fe+^-lne=lim x In1+ 'Too1e(x-l)_X=lim」l1e(x-1)e所以斜渐近线为—4.故选B.,102.函数/(%)=UW的一个原函数为()・|^(x+l)cosx,x>0A.心=^/1+x2-x)x<0 (x+l)cosx-sin x,x>0 InB.心=In^/1+x2-x^-l,x<0 (x+l)cosx-sinx,x>0C.心=In+必_x)(x+l)sinx+cosx9x>0x<0D.心=In^/1+x2+1,x V0 (x+l)sinx+cosx,x>0答案：D答案解析：由已知lim/(x)=lim/(x)=/(O)=l,即/(x)连续.x—>0+xt O所以歹⑴在x=O处连续且可导，排除A, C.又x>0时，[(x+l)cosx-sinx]r=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+l)sinx,排除B.故选D.3.设数列{》〃},{*〃}满足,^n+i=sin x n,y n+i=—y n,当〃t oo时().A.x〃是灯的高阶无穷小B.儿是％的高阶无穷小C・x〃是儿的等价无穷小 D.x〃是儿的同阶但非等价无穷小答案：B答案解析：在［yl中，sinx>—x,从而Xk2J71n+12=sin%>f.又片+i7112儿从而1以+i<，以=兀以<.£匕4%71所以=0.故选B.I00”4.若y,r+ay f+by-。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编33(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编33(题后含答案及解析) 题型有：1.jpg />∫0xf(t)dt=0。
1．求导数f’(x)；正确答案：为了求f’(x)，将f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0两边同乘(x+1)，得(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0，两边对x求导，得f’(x)+(x+1)f”(x)+f(x)+(x+1)f’(x)－f(x)=0，即(x+1)f”(x)+(x+2)f’(x)=0。
上述方程为二阶可降阶微分方程，令u=f’(x)，化为(x+1)u’+(x+2)u=0，即即ln|u|=－(x+ln(x+1))+C1，所以再以x=0代入原方程f’(0)+f(0)－∫00f(t)dt=f’(0)+f(0)=0，由f(0)=1，有f’(0)=－1，于是C=－1，f’(x)=－涉及知识点：常微分方程2．证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。
正确答案：方法一：用积分证。
f(x)=f(0)+∫0xf’(t)dt=1－∫0xdt。
而0≤∫0xdt≤∫0xe－tdt=－e－t|0x=1－e－x，两边同乘以(－1)，得：e－x－1≤－∫0xdt ≤0，即e－t≤f(x)=1－∫0xdt≤1。
方法二：用微分学方法证。
因f(0)=1，f’(x)＜0，即f(x)单调递减，所以当x≥0时f(x)≤1。
要证f(x)≥e－x，可转化为证明f(x)－e－x≥0，令φ(x)=f(x)－e－x，则φ(0)=1－1=0，且φ’(x)=f’(x)+e－x≥f’(x)+=0(x≥0)，所以，当x≥0时φ(x)≥0，即f(x)≥e－x。
结合两个不等式，推知当x≥0时，e－x≤f(x)≤1。
证毕。
涉及知识点：常微分方程3．利用代换y=u／cosx将方程y”cosx－2y’sinx+3ysinx=ex化简，并求出原方程的通解。
正确答案：方法一：由y=u／cosx=usecx，有y’=u’secx+usecxtanx，y”=u”secx+2u’secxtanx+u(secxtan2x+sec3x)，代入原方程y”cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得u”+4u=ex。
考研数学二(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（综合）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1991年)曲线y＝A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选D．2．(1993年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时g(χ)是g(χ)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选B．3．(1998年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选D．4．(1997年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫ab(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．2，S1表示y＝f(χ)和χ－a，χ－b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积，由图1．2可知．S2＜S1＜S3．故应选B．5．(1997年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ)知，f(χ)为偶函数，而由在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0知在(－∞，0)内，y＝f(χ)的图形下凹单调增，则f(χ)如图1．3可知，在(0，＋∞)内，f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0，则应选C．6．(2006年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△χ为自变量χ在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ2，在(0，＋∞)上，f′(χ)＝2χ＞0，f〞(χ)－2＞0，以χ0＝1，则dy＝2△χ，△y－f(1＋△χ)－f(1)＝(1＋△Aχ)2－12＝2△χ＋(△χ)2 由于Aχ＞0，则0＜dy＜△y，从而B、C、D均不正确，故应选A．7．(2006年)设f(χ)是奇函数，除χ＝0外处处连续，χ＝0是其第一类间断点，则∫0χ(f)dt是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在χ＝0间断的奇函数D．在χ＝0间断的偶函数正确答案：B解析：令f(χ)＝sgn(χ)＝，显然f(χ)满足原题设条件，而显然A、C、D均不正确，故应选B．8．(2005年)设函数u(χ，y)＝φ(χ＋y)＋φ(χ－y)＋(t)dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(χ)＝χ2，ψ(χ)≡0 则u(χ，y)＝(χ＋y)2＋(χ－y)2＋2χ2＋2y2．显然，由此可知，选项A、C、D均不正确，故应选B．9．(2005年)设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ≥0，y≥0}，f(χ)为D 上的正值连续函数，a、b为常数，则A．abπ．B．π．C．(a＋b)π．D．正确答案：D解析：令f(χ)≡1，显然f(χ)满足原题设条件，则显然，选项A、B、C均不正确，故应选D．10．(2002年)设函数f(χ)连续，则下列函数中必是偶函数的是A．∫0χf(t2)dt．B．∫0χf2(t)dt．C．∫0χt[f(t)－f(－t)]dt．D．∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt．正确答案：D解析：取f(χ)≡1，则∫0χf(t2)dt＝∫0χdt＝χ，∫0χf2(t)dt＝χ，则A、B均不正确．若另取f(χ)＝χ，则∫0χt(t)－f(－t)]dt＝∫0χ2t2dt＝χ3，从而C也不正确，故应选D．11．(1996年)设函数f(χ)在区间(－δ，δ)内有定义，若当χ∈(－δ，δ)时，恒有｜f(χ)｜≤χ2，则χ＝0必是f(χ)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f′(0)＝0．D．可导的点，且f′(0)≠0．正确答案：C解析：令f(χ)＝χ3，显然χ∈(－δ，δ)时，｜f(χ)｜＝｜χ3｜≤χ2，且f′(χ)＝3χ2，f′(0)＝0，则A、B、D均不正确，故应选C．12．(1990年)已知f(χ)在χ＝0某邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处f(χ)A．不可导．B．可导且f′(χ)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当χ→0时，1－cosχ～χ2，所以令f(χ)＝χ2，则f(χ)符合原题设条件．而f(χ)在χ＝0处可导，取极小值，f′(0)＝0，则A、B、C均不正确，故应选D．13．(2001年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)＝－(χ－a)2在χ＝a取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－(χ－a)2的拐点，则A、C、D均不正确，故应选B．14．(1999年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是f(χ)的原函数，则A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ＋1．显然f(χ)是偶函数，周期函数，但F(χ)不是奇函数，也不是周期函数，则B、C均不正确．若令f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2，则f(χ)单调增，但F(χ)不单调增，因此，D也不正确，故应选A．15．(1996年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χf′(χ)＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．16．(1996年)设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt，且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)＝0，f′(0)≠0．取f(χ)＝χ则F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)tdt ＝．F′(χ)＝χ3．由χ→0时，F′(χ与χk是同阶无穷小，知k＝3，从而，A、B、D均不正确，故应选C．17．(1987年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于A．f′(a)B．2f′(a)C．0D．f′(2a)正确答案：B解析：令f(χ)＝χ，则但f′(χ)＝1，从而f′(a)＝f′(2a)＝1，则A、C、D均不正确，故应选B．18．(1991年)若连续函数f(χ)满足关系式f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2 则f(χ)等于A．eχln2B．e2χln2C．eχ＋ln2D．e2χ＋ln2正确答案：B解析：由f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2知f(0)＝ln2 (1) f′(χ)＝2f(χ) (2) 显然C、D选项不符合(1)式，A选项不符合(2)式，故应选B．19．(1995年)设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则A．φ[f(χ)]必有间断点．B．[φ(χ)]2必有间断点．C．f[φ(χ)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令φ(χ)＝，f(χ)＝χ2＋1 显然f(χ)和φ(χ)符合原题条件，而φ(χ)]＝1，φ2(χ)＝1，f[φ(χ)]＝2均无间断点，则A、B、C均不正确，故应选D．20．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(χ)＝χ3，显然f(χ)符合原题条件．而在(－∞，0)内，f′(χ)＝3χ2＞0，f〞(χ)＝6χ＜0．则A、B、D均不正确，故应选C．21．(1996年)设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0，则下列选项正确的是A．f′(χ0)是f′(χ)的极大值．B．f(χ0)是f(χ)的极大值．C．f(χ0)是f(χ)的极小值．D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：D解析：由题设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0．可令f(χ)＝(χ－χ0)3 显然此f(χ)符合原题条件，而f′(χ)＝3(χ－χ0)2 显然f′(χ0)是f′(χ)极小值而不是极大值，则A不正确，又f(χ0)＝0，而在χ0任何邻域内f(χ)可正也可负，从而f(χ0)不是f(χ)的极值点，因此B和C也不正确，故应选D．22．(1998年)设f(χ)连续，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝A．χf(χ2)B．－χf(χ2)C．2χf(χ2)D．－2χf(χ2)正确答案：A解析：令f(χ)≡1，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝∫0χtdt＝χ显然B、C、D均不正确，故应选A．23．(1994年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫a χf(t)dt＋∫bχdt＝0在开区间(a，b)内的根有A．0个．B．1个．C．2个．D．无穷多个．正确答案：B解析：由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫aχf(t)dt＋∫bχdt＝0。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023全国硕士研究生招生考试数学试题(数学二)真题解析
2023 考研数学二真题及解析一、选择题：1~10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（ ）. （A ）ey x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex xx →∞=−故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续 因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小 【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +< 利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ） 【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A ）00a b <>， （B ）00a b >>， （C ）00a b =>， （D ）00a b =<， 【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin ax y x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（ ） （A ）()f x 连续，(0)f ′不存在 （B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续 （C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在 （D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续 【答案】（C ） 【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−， 利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在 ，选（C ） 【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（ ）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（ ） （A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ） 【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ） 【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++−=+− ()22231237222x x x x x + =+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（ ）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k − （D ）158k【答案】（D ） 【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可 即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出， 又可21,ββ线性表出的向量。
1990-2016考研数学二历年真题
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设，，.当时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）.（B）.（C）.（D）.（2）已知函数则的一个原函数是（A）（B）（C）（D）（3）反常积分，的敛散性为（A）收敛，收敛.（B）收敛，发散.（C）收敛，收敛.（D）收敛，发散.（4）设函数在内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数有2个极值点，曲线有2个拐点.（B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点.（C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点.（D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点.（5）设函数具有二阶连续导数，且，若两条曲线在点处具有公切线，且在该点处曲线的曲率大于曲线的曲率，则在的某个领域内，有（A）（B）（C）（D）（6）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（7）设，是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（A）与相似（B）与相似（C）与相似（D）与相似（8）设二次型的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）（B）（C）（D）与二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9）曲线的斜渐近线方程为____________.（10）极限____________.（11）以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.（12）已知函数在上连续，且，则当时，____________.（13）已知动点在曲线上运动，记坐标原点与点间的距离为.若点的横坐标时间的变化率为常数，则当点运动到点时，对时间的变化率是（14）设矩阵与等价，则解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）设函数，求并求的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值.（18）（本题满分10分）设是由直线，，围成的有界区域，计算二重积分（19）（本题满分10分）已知，是二阶微分方程的解，若，，求，并写出该微分方程的通解。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围图形面积可表示为A．一∫02x(x 一1)(2一x)dxB．∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12x(x一1)(2一x)dxC．一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD．∫02x(x一1)(2一x)dx正确答案：C解析：y=x(x一1)(2一x)与x轴的交点为x=0，x=1，x=2，因此该曲线与x 轴围成的面积为∫02|x(x一1)(2一x)|dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx所以应选(C)．2．设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．∫abπ[2m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB．∫abπ[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC．∫abπ[m一f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD．∫abπ[m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx正确答案：B解析：V =π∫ab(m 一g(x))2dx 一π∫ab(m一f(x))2dx=π∫ab[2m 一g(x)一f (x)][ f(x)一g(x)]dx所以应选(B)．3．设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．记S1=∫abf(x) dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)，则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S3＜S1C．S3＜S1＜S2D．S2＜S1＜S3正确答案：D解析：由题设条件对f(x)的图形进行分析，易知在x轴上方、单调下降且向上凹的如图2．17，S2表示长方形ABCE的面积，S3等于梯形ABCD的面积，S1等于曲边梯形ABCD的面积，从而有S2＜S1＜S3．4．设F(x)=∫xx+2πesint sintdt，则F(x)A．为正常数．B．为负常数．C．恒为零．D．不为常数．正确答案：A解析：F(0)=∫02πesintsintdt=一∫02πesintdcost=一esintcost|02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesint cos2tdt＞0．填空题5．∫一11=________．正确答案：2．解析：6．由曲线y=x+x=2及y=2所围图形的面积S=________．正确答案：解析：由图2．15可知所求面积为7．=________．正确答案：解析：将根式里面配方得8．=________．正确答案：9．=________．正确答案：一cotx .lnsinx 一cotx一x+C．解析：=一∫ln sinxdcotx=一cotx．ln sinx+∫cot2xdx=一cotx ．ln sinx+(csc2x 一1)dx=一cotx ．ln sinx一cotx一x+C．10．设f(x)连续，则∫0xtf(x2一t2)dt=________．正确答案：xf(x2)．解析：令x2一t2=u，则原式=f(u)du =xf(x2)．11．=________．正确答案：解析：12．函数y=上的平均值为________．正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且对任意x1，x2，当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)，则A．对任意x，f’(x)＞0．B．对任意x，f’(一x)≤0．C．函数f(一x)单调增加．D．函数一f(一x)单调增加．正确答案：D解析：由于对任意的x1，x2，当x1＞x2时一x1＜一x2，则有f(一x1)＜f(一x2)，即一f(一x1)＞一f(一x2)，也就是说，当x1＞x2时，一f(一x1)＞一f(一x2)，故一f(一x)单调增．2．设函数f(x)在[0，1]上f”(x)＞0，则f’(1)、f’(0)、f(1)一f(0)或f(0) 一f(1)的大小顺序是A．f’(1)＞f’(0)＞f(1)一f(0)B．f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)C．f(1)一f’(0)＞f’(1)＞f’(0)D．f’(1)＞f(0)一f(1)＞f’(0)正确答案：B解析：由于f”(x)＞0 x∈[0，1]则f’(x)单调增，又f(1)一f(0)=f’(c) c∈(0，1)从而f’(1)＞f’(c)＞f’(0)即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0).3．设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)．若F(x)在x=0处可导，则必有A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)+f(0)=0D．f(0) 一f’(0)=0正确答案：A解析：由于F(x)=f(x)+f(x)|sinx|，而f(x)可导，则F(x)在x=0可导等价于f(x)|sinx|在x=0可导，令φ(x)=f(x)|sinx|则要使F(x)在x=0可导，当且仅当f(0)=一f(0)，即f(0)=0．4．设当x→0时，ex一(ax2+ bx +1)是比x2高阶的无穷小，则A．a =，b =1B．a =1，b = 1C．a =，b =一1D．a =一1，b = 1正确答案：A解析：由泰勒公式可知则a=，b=1．5．设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x2，则x=0必是f(x)的A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f’(0)=0．D．可导的点，且f’(0)≠0．正确答案：C解析：由|f(x)|≤x2知，f(0)=0．故应选(C)．6．设f(x)处处可导，则A．B．C．D．正确答案：D解析：直接法，由于f’(x)=+∞，则存在M＞0，及x0＞0，当x＞x0时，f(x)＞M，于是当x＞x0时有f(x) 一f(x0)=f’(ξ)(x一x0)M(x一x0)即f(x)＞f(x0)+M(x一x0)→+∞(x→+∞)则f(x)=+∞，故应选(D)．7．在区间(一∞，+∞)内，方程一cosx=0A．无实根．B．有且仅有一个实根．C．有且仅有两个实根．D．有无穷多个实根．正确答案：C解析：令f(x) =一cosx，显然，f(x)是偶函数．所以，只要考虑f(x)=0在(0，+∞)上的实根情况，当x≥0时则f(x)在(0，)上严格单调增，因此f(x)=0在(0，)上有唯一实根，而当x≥时，f(x)＞0，故在(0，+∞)上方程f(x)=0有且仅有唯一实根，由对称性可知，f(x)=0在(一∞，+∞)上有且仅有两个实根．8．已知y=f(x)对一切的x满足xf”(x)+3x[f’(x)]2= 1一e一x，若f’(x0)=0(x0≠0)，则A．f(x0)是f(x)的极大值．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f’(x0)=0知x=x0为f(x)的驻点，将x=x0代入xf’(x)+3x[f’(x)]2=1一e一x得x0f’(x0)=1一e一x0f”(x0)=＞0所以x=x0为f(x)的极小值点．9．函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|的不可导点的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由导数定义知|x|在x=0不可导，而x|x|在x=0可导，而f(x)=(x2—x 一2)|x3一x|= (x一2)(x+1)|x||x一1||x+1|，则f(x)在x=0和x=1不可导，则应选(C)．10．设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时，必有A．(x一a)[f(x)一f(a)]≥0B．(x一a)[f(x)一f(a)]≤0C．D．正确答案：C解析：由于f(x)在x=a取得极大值，则存在δ＞0，使得当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)≤f(a)即f(x)一f(a)≤0从而有又因为f(x)在x=a连续，则所以应选(C)．填空题11．设y=cos(x2)sin2则y’=________．正确答案：一2xsin(x2)sin2cos(x2)．解析：12．曲线在t=2处的切线方程为________．正确答案：3x一y一7=0．解析：当t=2时x=5，y=8．则所求切线方程为y一8=3(x一5)，即3x一y 一7=0．13．曲线y=x2的渐近线方程为________．正确答案：y=0．解析：由于=0，原曲线仅有一条水平渐近线y=0．14．设y=则y’|x=0=________．正确答案：解析：15．设y=则y”|t=0=________．正确答案：解析：16．=________．正确答案：解析：由洛必达法则知．17．曲线y=xln(e+)(x＞0)的渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：18．曲线在点(0，1)处的法线方程为=________．正确答案：y+2x一1=0．解析：当x=0时，t=0，故从而在(0，1)处的法线方程为y一1=一2x．即y+2x 一1=0.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1996年考研数学二试卷及答案
1996年考研数学二试卷及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设232()x y x e -=+,则0x y ='=＿＿＿＿＿＿.(2)121(x dx -+=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 微分方程250y y y '''++=的通解为＿＿＿＿＿＿.(4) 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦＿＿＿＿＿＿.(5) 由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当0x →时,2(1)xe ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,则 ( )(A) 1,12a b == (B) 1,1a b == (C) 1,12a b =-=- (D) 1,1a b =-=(2) 设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义,若当(,)x δδ∈-时,恒有2|()|f x x ≤,则0x =必是()f x 的 ( ) (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且(0)0f '= (D) 可导的点,且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导,则 ( )(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞,必有lim ()x f x →-∞'=-∞(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞,必有lim ()x f x →-∞=-∞(C) 当lim ()x f x →+∞=+∞,必有lim ()x f x →+∞'=+∞(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞,必有lim ()x f x →+∞=+∞(4) 在区间(,)-∞+∞内,方程1142||||cos 0x x x +-= ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()()g x f x m <<(m 为常数),由曲线(),y g x =(),y f x x a ==及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(B) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰(C) [][]()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(D)[][]()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)计算ln 0⎰.(2) 求1sin dxx +⎰.(3) 设2022(),[()],t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰其中()f u 具有二阶导数,且()0f u ≠,求22d y dx .(4) 求函数1()1xf x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. (5) 求微分方程2y y x '''+=的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b 、,用过此柱体底面的短轴与底面成α角(02πα<<)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V .四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan (1)xdx x x +⎰.α五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216, 2.x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) ()g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定,试求()y y x =的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,试证明：存在(,)a b ξ∈和(,)a b η∈,使()0f ξ=及()0f η''=.八、(本题满分8分)设()f x 为连续函数,(1) 求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ,其中a 为正的常数；(2) 若|()|f x k ≤(k 为常数),证明：当0x ≥时,有|()|(1)ax ky x e a-≤-.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】13132221132x xy x e e ,---⎛⎫⎛⎫'=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02111323x y =⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.(2)【答案】2注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式()1122112121022x x dx dx --⎡⎤⎡⎤=+-==+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)【答案】()12cos2sin 2xy ec x c x -=+因为250y y y '''++=是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250r r ++=有一对共轭复根1212r ,r i.=-±故通解为()12cos2sin 2xy e c x c x -=+.(4)【答案】2因为x →∞时,sin ln 1ln 1k k kx x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k 为常数),所以, 原式3131lim sin ln 1lim sin ln 1lim lim 312x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】1ln 22-曲线1y x ,x =+2y =的交点是()12,,2211,x y x x x '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭当1x >时 1y x x=+(单调上升)在2y =上方,于是212211211ln 2ln 2.22S x dxx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭⎰二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由()21x e ax bx -++()()222112!x x x ax bx ο⎛⎫=+++-++ ⎪⎝⎭()()()222112b x a x x x οο⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令,可得 10111202b ,a ,b .a ,-=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩应选(A). 方法2：用洛必达法则.由2200(1)2lim lim 0,2x x x x e ax bx e ax bx x→→-++--=洛 有 ()lim 210 1.xx e ax b b b →--=-=⇒=又由 0022121limlim 02222x x x x e ax b e a a a x →→----===⇒=. 应选(A).(2)【答案】(C)方法一：首先,当0x =时,|(0)|0(0)0f f ≤⇒=. 而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)f x f f x x x x x x x-≤=≤=→→,由夹逼准则, 0()(0)(0)lim0x f x f f x→-'==,故应选(C).方法二：显然,(0)0f =,由2|()|f x x ≤,(,)x δδ∈-,得2()1(,0)(0,)f x x xδδ≤∈-,,即2()f x x 有界,且 200()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x x →→-⎛⎫'==⋅= ⎪⎝⎭. 故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,f x x f '==故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C). (3)【答案】(D)方法一：排除法.例如()f x x =,则(A),(C)不对；又令()xf x e -=,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim ()x f x →+∞'=+∞,对于0M >,存在0x ,使得当0x x >时,()f x M '>.由此,当0x x >时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f x f x f x x f x M x x x ξ'=+->+-→+∞→+∞,从而有lim ()x f x →+∞=+∞,故应选择(D).(4)【答案】(C)令1142()||||cos f x x x x =+-,则()()f x f x -=,故()f x 是偶函数,考察()f x 在(0,)+∞内的实数个数：1142()cos f x x x x =+-(0x >).首先注意到(0)10f =-<,1142()()()10,222f πππ=+>>当02x π<<时,由零值定理,函数()f x 必有零点,且由314211()sin 042f x x x x --'=++>,()f x 在(0,)2π单调递增,故()f x 有唯一零点.当2x π≥时,11114242()cos ()()10,22f x x x x ππ=+-≥+->没有零点； 因此,()f x 在(0,)+∞有一个零点.又由于()f x 是偶函数,()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.故应选(C). (5)【答案】(B)见上图,作垂直分割,相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元22(())(())dV m g x dx m f x dx ππ=---[][](())(())(())(())m g x m f x m g x m f x dx π=-+-⋅--- [][]2()()()()m g x f x f x g x dx π=--⋅-,于是 [][]2()()()()baV m g x f x f x g x dx π=--⋅-⎰,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)方法一：换元法.u =,则221ln(1),21u x u dx du u=--=-, 所以2ln 2200011111)2)11211u du du du u u u u==-=+----+⎰1ln(22==. 方法二：换元法.令sin xe t -=,则cos ln sin ,sin t x t dx dt t =-=-,:0ln 2:26x t ππ→⇒→,ln 62026cos 1cos sin sin sin t t dt t dt t tππππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰2266ln(csc cot )cos ln(22t t t ππππ=--=-. 方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln 2ln 0()x e e --==-⎰⎰22ln 2x xee--=-+⎰令xe t =,则:0ln 2:12x t →⇒→,原式2211ln(t =+=+⎰ln(22=-+.(3)这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydy f t f t t dt tf t dx dx f t dt'⋅⋅'===, 所以 2222221()(4())4()4()2()d y d dy dt d dt tf t f t tf t t dx dt dx dx dt dx f t ''''⎡⎤=⋅=⋅=+⋅⋅⎣⎦ 22224()2()()f t t f t f t '''⎡⎤=+⎣⎦. (4)函数()f x 在0x =处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!n n n n f f x f x f f x x x n n θθ++'=++++<<+.对于函数1()1xf x x -=+,有 12()12(1)1,1f x x x-=-=+-+2()2(1)(1),f x x -'=⋅-+ 3()2(1)(2)(1),f x x -''=⋅-⋅-+,,()(1)()2(1)!(1)n n n f x n x -+=-⋅+所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),n n fn n =-⋅ =故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)n n n n n xx f x x x x xx θθ+++-==-+++-+- <<++. (5)方法一：微分方程2y y x ''+=对应的齐次方程0y y '''+=的特征方程为20r r +=,两个根为120,1r r ==-,故齐次方程的通解为12x y c c e -=+.设非齐次方程的特解2()Y x ax bx c =⋅++,代入方程可以得到1,1,23a b c ==-=, 因此方程通解为3212123xy c c ex x x -=++-+. 方法二：方程可以写成2()y y x ''+=,积分得303x y y c '+=+,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为30(())3dxdx xy e c e dx C -⎰⎰=++⎰33001(())()33xx x x xx e c e dx C e x de c e C --=++=++⎰⎰320(3)3x xx x e x e e x dx c Ce --=-++⎰ 332200(2)33x x xx x x x x x e e x dx c Ce e e x e xdx c Ce ----=-++=--++⎰⎰ 3202()3x x x x x x e e x e c Ce --=-+-++ 32123x x x x c Ce -=-+++. 方法三：作为可降阶的二阶方程,令y P '=,则y P '''=,方程化为2P P x '+=,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为220020()(22)2 2.x x x x x x xP e c x e dx e c x e xe e c e x x ---=+=+-+=+-+⎰再积分得 321223xx y c c e x x -=++-+. (6)建立坐标系,底面椭圆方程为22221x y a b+=.方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形, 其中一条直角边长为22a x b y b=-22tan a b y bα-, 故截面面积为22221()()tan 2a S y b y bα=-⋅. 楔形体的体积为222220022()tan ()tan 3bb a V S y dy b y dy a b b αα==-=⎰⎰.方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,其中一条边长为222b y a x a=-另一条边长为tan x α⋅, 故截面面积为22()2tan bS x x a x aα=-,楔形体的体积为22200222()tan tan 3aa b V S x dx x a x dx a b a αα==-=⎰⎰.四、(本题满分8分) 方法一：分部积分法.2222arctan arctan arctan (1)1x x xdx dx dx x x x x =-++⎰⎰⎰1arctan ()arctan (arctan )xd xd x x=--⎰⎰2211arctan arctan (1)2dx x x x x x -+-+⎰分部 22111arctan ()arctan 12x x dx x x x x =-+--+⎰ 22111arctan ln ln(1)arctan 22x x x x C x =-+-+-+.方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t =,则2tan ,sec x t dx tdt ==,2222222arctan sec cot (1)tan (1tan )tan x t t t dx dt dt t tdt x x t t t ===++⎰⎰⎰⎰2(csc 1)(cot )t t dt td t tdt =-=--⎰⎰⎰21cot cot 2t t dt t -+-⎰分部 2cos 1cot sin 2x t t dt t x =-+-⎰211cot sin sin 2t t d t t t =-+-⎰21cot ln sin 2t t t t C =-+-+.五、(本题满分8分)【解析】为了正确写出函数()f x 的反函数()g x ,并快捷地判断出函数()g x 的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.(1) 由题设,函数()f x的反函数为1,()18,16,8.12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩(2) 方法一：考察()f x的连续性与导函数.注意2312,1,(),12,1216,2x xf x x xx x⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩在(,1),(1,2),(2,)-∞--+∞区间上()f x分别与初等函数相同,故连续.在1,2x x=-=处分别左、右连续,故连续.易求得24,1,()3,12,(1)4,(1)3,12,2(2)12,(2)12(2)12.x xf x x x f fxf f f-+-+-<-⎧⎪'''=-<<-=-=⎨⎪>⎩'''==⇒=由于函数()f x在(,)-∞+∞内单调上升且连续,故函数()g x在(,)-∞+∞上单调且连续,没有间断点.由于仅有0x=时()0f x'=且(0)0f=,故0x=是()g x的不可导点；仅有1x=-是()f x的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此()g x在(1)1f-=-处不可导.方法二：直接考察()g x的连续性与可导性.注意1,()18,16,8,12xg x xxx⎧<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞区间上()g x分别与初等函数相同,故连续.在1,8x x=-=处分别左、右连续,故连续,即()g x在(,)-∞+∞连续,没有间断点.()g x 在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞内分别与初等函数相同,在0x =不可导,其余均可导.在1x =-处,1111(1),(1),43x x g g -++=--=-'⎛'''-==-== ⎝ (1)g '⇒-不∃.在8x =处,881161(8),(8),121212x x x g g -+-+=='+'⎛⎫''====⎪⎝⎭ (8)g '⇒∃.因此,()g x 在(,)-∞+∞内仅有0x =与1x =-两个不可导点.六、(本题满分8分) 方程两边对x 求导,得22320,(32)0.y y yy xy y x y y x y y x ''''-++-=-++-= ①令0,y '=得y x =,代入原方程得32210x x --=,解之得唯一驻点1x =；对①两边再求导又得22(32)(32)10x y y x y y y x y y '''''-++-++-=. ②以1,0x y y '===代入②得11210,0,2x y y =''''-==> 1x =是极小点.定理：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00()0,()0f x f x '''=≠,那么 (1) 当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值； (2) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分8分)首先证明(,)a b ξ∃∈,使()0f ξ=：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x 在(,)a b 有正值点与负值点.不妨设()0,f a '>()0f b '>.由()()lim ()()0x a f x f a f a f a x a ++→-''==>-与极限局部保号性,知在x a =的某右邻域,()()0f x f a x a->-,从而()0f x >,因而111,,()0x b x a f x ∃>>>；类似地,由()0f b '>可证 2122,,()0x x x b f x ∃<<<.由零点定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使()0f ξ=.方法二：反证法.假设在(,)a b 内()0f x ≠,则由()f x 的连续性可得()0f x >,或()0f x <,不妨设()0f x >.由导数定义与极限局部保号性,()()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a f a x ax a +++→→-''===≥--,()()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b f b x b x b ---→→-''===≤--,从而()()0f a f b ''≤,与()()0f a f b ''>矛盾.其次,证明(,)a b η∃∈,()0f η''=：由于()()()0f a f f b ξ===,根据罗尔定理,12(,),(,)a b ηξηξ∃∈∈,使12()()0f f ηη''==；又由罗尔定理, 12(,)(,),()0a b f ηηηη''∃∈⊂=.注：由0()0f x '>可得：在000(,),()()x x f x f x δ-<；在000(,),()()x x f x f x δ+>.注意由0()0f x '>得不到()f x 在00(,)x x δδ-+单调增的结果！ 4.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.八、(本题满分8分)(1) ()y ay f x '+=为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为[]()()()ax ax ax y x e f x e dx C e F x C --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰,其中()F x 是()axf x e 的任一原函数,由(0)0y =得(0)C F =-,故[]0()()(0)()xax ax at y x e F x F e e f t dt --=-=⎰.(2) 当0x ≥时,0()()()xxaxat axat y x ee f t dt ee f t dt --=⋅≤⎰⎰001(1)x x ax at ax at ax k ke e dt ke e e a a---⎛⎫≤⋅=⋅=- ⎪⎝⎭⎰.。
2023年云南考研数学二试题及答案
2023年云南考研数学二试题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1ln(e 1y x x =+-的斜渐近线为()A.e y x =+B.1e y x =+C.y x =D.1e y x =-【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭，11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B.2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续.所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时().A.n x 是n y 的高阶无穷小B.n y 是n x 的高阶无穷小C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B.4.若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22ax y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b >，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5.设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t=+⎧⎨=⎩确定，则().A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+.sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===,00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6.若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α()A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A.【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a a f a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是().A.[0,1)B.[1,)+∞ C.[1,2)D.[2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C.8.,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫=⎪⎝⎭A E O B A.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B A B.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A B D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A 【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B 1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B OA B OB 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A .故选B.9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y + B.2212y y - C.2221234y y y +- D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E 210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-，1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ()A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭ B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T 1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-.12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π+【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2=2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰301cos 282tdt π+=⎰314sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13.设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =.方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂，两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32x z ∂=-∂.14.曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________.【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-.15.设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，2()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰.16.131********,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a=，则11120a a a b=________.【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a a baa b==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =.当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-.在点1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，由于20AC B -<，故1,ek π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t tt t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+.(2)222211111d d 1(1)14V x x x x x xππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰3221d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-；（2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+，其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<，22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<，两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=，又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f a a ξ=-+.(2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<，2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<，两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-，所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-=2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A .(2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。
数学二(研究生)题库(1029道)
数学二(研究生)1、设函数y-f(x)连续，除x=a外f''(x)均存在。
一一阶导函数y'=f(x)的图形如下，则y=f(x)——[单选题]A 有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点B 有一个极大值点，一个极小值点，两个拐点C 有一个极大值点，一个极小值点，一个拐点D 有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点正确答案：D2、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D3、下列向量组中a、b、c、d、e、f均是常数，则线性无关的向量组是：——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C4、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D5、——[单选题]A 不存在B 仅含一个非零解向量C 含有两个线性无关的解向量D 含有三个线性无关的解向量正确答案：B6、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B7、已知，P为三阶非零矩阵，且，则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C8、下列矩阵中能相似于对角矩阵的是：——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C9、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D10、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A11、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B12、关于n级排列，以下结论不正确的是（）.——[单选题]A 逆序数是一个非负整数B 一个对换改变其奇偶性C 逆序数最大为nD 可经若干次对换变为12…n正确答案：C13、——[单选题]A AB BC CD D14、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A15、关于排列n(n1)…2 1的奇偶性，以下结论正确的是（）.——[单选题]A 当n为偶数时是偶排列B 当n为奇数时是奇排列C 当n=4m或n=4m+2时是偶排列D 当n=4m或n=4m+1时是偶排列，当n=4m+2或n=4m+3时奇排列正确答案：D16、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C17、已知4阶行列式中第1行元素依次是-4，0，1，3，第3行元素的余子式依次为-2，5，1，x，则x=( ).——[单选题]A 0B -3C 3D 2正确答案：C18、若，则D中第1行元素的代数余子式的和为( ).——[单选题]A -1B -2C -3D 019、设，则a21的代数余子式a21的值为( ).——[单选题]A 1B -1C 2D -2正确答案：A20、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C21、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A22、下列行列式的值为n的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C23、——[单选题]A AB BC C正确答案：C24、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D25、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C26、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C27、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B28、——[单选题] A AC CD D正确答案：D29、下列等式中，正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D30、下列等式中，正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D31、设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D32、——[单选题]A AB BC C正确答案：D33、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A34、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B35、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B36、设A是一个n阶矩阵，那么是对称矩阵的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A37、设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D38、设A、B均为n阶方阵，则下列式子中错误的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D39、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B40、设A、B、C是同阶可逆方阵，下面各等式中正确的是（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B41、设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）. ——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D42、——[单选题]A 1B 2C 3D 4正确答案：C43、设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B44、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C45、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C46、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B47、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A48、设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B49、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A50、对任一矩阵A，则一定是（）.——[单选题]A 可逆矩阵B 不可逆矩阵C 对称矩阵D 反对称矩阵正确答案：C51、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C52、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A53、初等矩阵（）——[单选题]A 都可以经过初等变换化为单位矩阵B 所对应的行列式的值都等于1C 相乘仍为初等矩阵D 相加仍为初等矩阵正确答案：A54、——[单选题]A AB BC CD D55、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D56、设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则A=（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D57、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B58、——[单选题]A AB BC CD D59、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A60、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C61、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C62、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记，则（ ?）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B63、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D64、设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足的可逆矩阵Q为（ ?）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D65、设A，B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A，B为等价矩阵，则A，B的行向量组等价②若行列式.，则A，B为等价矩阵③若与都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是（）.——[单选题]A ①③B ②④C ②③D ③④正确答案：D66、设A，B为同阶可逆方阵，则（ ?）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D67、设矩阵A与B等价，则必有（）——[单选题]A A的行向量与B的行向量等价B A的行向量与B的行向量等价C Ax=0与Bx=0同解D Ax=0与Bx=0的基础解系中向量个数相同正确答案：D68、设，则A与B（）.——[单选题]A 合同且相似B 合同但不相似C 不合同但相似D 不合同且不相似正确答案：A69、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B70、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B71、设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，.则（）.——[单选题]A A与B相似B A与B不等价C A与B有相同的特征值D A与B合同正确答案：D72、n阶方阵A,B,C满足ABC=E，其中E为单位矩阵，则必有（）.——[单选题]A ACB=EB CBA=EC BAC=ED BCA=E正确答案：D73、设，B是三阶非零矩阵，且，则（）.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B74、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）A.r(A)=r(B)=mB.r(A)=m r(B)=nC.r(A)=n r——[单选题]A =mB rC =rD =n正确答案：A75、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A76、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D77、设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）——[单选题]A 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D 矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B78、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有——[单选题]A A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关B A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关C A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关D A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关正确答案：A79、设向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ:线性表示,下列命题正确的是( )——[单选题]A 若向量组Ⅰ线性无关,则r≤sB 若向量组Ⅰ线性相关,则r大于sC 若向量组Ⅱ线性无关,则r≤sD 若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s正确答案：A80、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有( )——[单选题]A A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关正确答案：A81、设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）——[单选题]A a1，a2，a3B a1，a2，a4C a1，a3，a4D a2，a3，a4正确答案：C82、设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的（）——[单选题]A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件正确答案：A83、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C84、设a1,a2,3向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A85、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A86、设 A 为n阶方阵，且|A| =0，则必有——[单选题]A A 中某一行元素全为 0B A 的第n行是其余，n - 1 行的线性组合C A 中有两列对应元素成比例D A 中某一列是其余 n - 1 列的线性组合正确答案：D87、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D88、设 A 、 B 为n阶方阵，AB＝0 ，则——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C89、——[单选题]A 不存在B 仅含一个非零解向量C 含有两个线性无关的解向量D 含有三个线性无关的解向量正确答案：B90、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解，以上命题中正确的是——[单选题]A ① ②B ① ③C ② ④D ③ ④正确答案：B91、已知线性方程组，则k等于——[单选题]A 1B -1C 2D -2正确答案：D92、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C93、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D94、设A是4×3矩阵,r(A)=3,则下列4个断言中不正确为( ).——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D95、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C96、——[单选题]A 不可能有唯一解B 必有无穷多解C 无解D 可能有唯一解，也可能有无穷多解正确答案：A97、设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；② 若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解——[单选题]A ① ②B ① ③C ② ④D ③ ④正确答案：B98、设有三张不同平面的方程 , ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B99、设 2 是方阵 A 的特征值，则必有特征值——[单选题]A 0B 1C -1D 以上都不对正确答案：C100、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B101、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C102、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B103、设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C104、已知矩阵，则（）．——[单选题]A A与C相似，B与C相似B A与C相似，B与不C相似C A与C不相似，B与C相似D A与C不相似，B与C不相似正确答案：B105、矩阵与相似的充分必要条件为（）——[单选题]A a=0，b=2B a=0，b为任意常数C a=2，b=0D a=2，b为任意常数正确答案：B106、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D107、设，则在实数域上与A合同的矩阵为（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D108、，则( )中矩阵在实数域上与A合同.——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D109、设n阶矩阵A与B等价, 则必须——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D110、设A和B都是可逆n阶实对称矩阵，下列命题中不正确的是( ).A.如果Α和B相似,则A^-1和B^-1相似B.如果Α和B合同,则和合同——[单选题]A 如果Α和B相似,则f(Α)和fB 相似C 如果Α和B合同,则f(Α)和fD 合同正确答案：D111、设矩阵，，则A与B（）——[单选题]A 合同，且相似B 合同，但不相似C 不合同，但相似D 既不合同也不相似正确答案：B112、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A113、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D114、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C115、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C116、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A117、——[单选题]A 30B 15C 3D 1正确答案：B118、下列函数中，是初等函数的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D119、下列函数中，不是基本初等函数的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B120、——[单选题]A 偶函数B 无界函数C 周期函数D 单调函数正确答案：B121、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B122、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A123、——[单选题]A 是周期函数，且周期为πB 是周期函数，且周期为2πC 是周期函数，且周期为3πD 不是周期函数正确答案：B124、下列函数的图像为关于原点对称的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A125、下列选项中收敛的数列是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D126、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A127、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D128、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C129、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D130、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D131、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B132、——[单选题]A 无穷小量B 无穷大量C 有界量，但非无穷小量D 无界，但非无穷大量正确答案：D133、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B134、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C135、下列说法正确的是( )——[单选题]A 无限个无穷小之和为无穷小B 无限个无穷小之积未必是无穷小C 无穷小与无界量的乘积必为无穷小D 无界量必为无穷大正确答案：B136、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A137、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D138、下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是( )——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B139、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B140、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D141、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B142、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D143、——[单选题]A 都收敛于aB 都收敛，但不一定收敛于aC 可能收敛，也可能发散D 都发散正确答案：A144、——[单选题]A 充分必要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D 即非充分地非必要条件正确答案：B145、下列命题中不正确的是( )．——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D146、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B147、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C148、——[单选题]B BC CD D正确答案：B149、——[单选题]A 1B 2C 3D 4正确答案：B150、——[单选题]A 高阶B 同阶不等价C 等价D 低阶正确答案：D151、当时，若均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B152、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A153、——[单选题]B BC CD D正确答案：C154、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D155、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D156、函数的可去间断点个数为（）——[单选题]A 1B 2C 3D 无穷多个正确答案：C157、函数的可去间断点的个数为（）.——[单选题]A 1B 2C 3D 无穷多个正确答案：C158、——[单选题]A 两个第一类间断点B 三个第一类间断点C 两个第一类间断点和一个第二类间断点D 一个第一类间断点和—个第二类间断点正确答案：C159、——[单选题]A 连续B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点正确答案：B160、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D161、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C162、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D163、——[单选题]B BC CD D正确答案：C164、函数不可导点的个数是( ).——[单选题]A 3B 2C 1D 0正确答案：B165、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A166、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A167、——[单选题]A 极限不存在B 极限存在,但不连续C 连续,但不可导D 可导正确答案：D168、——[单选题]B BC CD D正确答案：A169、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D170、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A171、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B172、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B174、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C175、——[单选题]A 2B 1C -1D -2正确答案：A176、——[单选题]A -1B 0.1C 1D 0.5正确答案：D177、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B179、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D180、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D181、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D182、——[单选题]A AB BC CD D183、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D184、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C185、——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：C186、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D187、——[单选题]A 不存在B 0C -1D -2188、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A189、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D190、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B191、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C192、——[单选题]A AB BD D正确答案：B193、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D194、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C195、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B196、设函数，则的零点个数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：D197、——[单选题]A AC CD D正确答案：D198、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B199、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B200、设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有——[单选题]A 一个极小值点和两个极大值点B 两个极小值点和一个极大值点C 两个极小值点和两个极大值点D 三个极小值点和一个极大值点正确答案：C201、设三次函数 , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是——[单选题]A 关于y轴对称B 关于原点对称C 关于直线y=x轴对称D 以上均错正确答案：B202、已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则——[单选题]A 点(0,0)不是f(x,y)的极值B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点C 点(0,0)是f(x,y)的极小值点D 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点正确答案：A203、曲线渐近线的条数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：D204、下列曲线有渐近线的是（）——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C205、曲线的渐近线的条数为（）——[单选题]A 0B 1C 2D 3正确答案：C206、曲线的渐近线有（）——[单选题]A 一条B 二条C 三条D 四条正确答案：B207、——[单选题]B 1C 2D 3正确答案：C208、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B209、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C210、设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有——[单选题]A AF(x)是偶函数f(x)是奇函数B BF(x)是奇函数f(x)是偶函数C CF(x)是周期函数f(x)是周期函数D DF(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A211、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B213、——[单选题]A 连续的奇函数B 连续的偶函数C 在x=0间断的奇函数D 在x=0间断的偶函数正确答案：B214、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D215、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D216、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C217、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D218、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C219、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D220、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：B221、——[单选题]A AB BD D正确答案：A222、设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程——[单选题]A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)正确答案：D223、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D224、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D225、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A226、——[单选题]B BC CD D正确答案：A227、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：A228、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C229、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：D230、——[单选题]A AB BC CD D正确答案：C。
考研数学2真题及答案
考研数学2真题及答案考研数学是每年都备受关注的一门科目，对于考研学子来说，数学2的真题及答案的掌握是备考的关键。
本文将从数学2的真题出处、考点分析以及解题思路等方面进行探讨，希望能够帮助考生更好地备考数学2。
首先，我们需要明确数学2的真题出处。
数学2的真题主要来自于历年的考研数学试题，其中包括了选择题、填空题和计算题等多种题型。
这些真题涵盖了数学2的各个知识点和考点，是考生备考的重要参考资料。
通过对历年真题的分析和研究，考生可以更好地了解数学2的考试内容和要求，有针对性地进行备考。
其次，我们需要对数学2的考点进行分析。
数学2的考点主要包括了线性代数、概率论与数理统计、数值分析和离散数学等多个方面的知识。
在备考过程中，考生需要对这些考点进行深入的理解和掌握，熟悉各个知识点的定义、性质和相关定理，掌握解题的基本方法和技巧。
同时，考生还需要通过做题来提高自己的解题能力和应试水平，培养自己的逻辑思维和数学推理能力。
接下来，我们来具体分析一道数学2的真题及其解题思路。
假设有一道关于线性代数的选择题，题目如下：已知矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=3，特征向量为v1=(1,0,1)和v2=(0,1,1)，则A的行列式的值为（）。
对于这道题目，我们可以通过以下步骤来解答。
首先，根据特征值和特征向量的定义，我们知道特征值λ是矩阵A满足的一个方程，即A*v=λ*v，其中v是一个非零向量。
根据已知条件，我们可以得到两个方程：A*v1=λ1*v1和A*v2=λ2*v2。
将这两个方程代入到矩阵A中，我们可以得到两个等式：A*(1,0,1)=(2,0,2)和A*(0,1,1)=(0,3,3)。
接下来，我们需要求解矩阵A的行列式的值。
根据行列式的定义，我们知道行列式是一个方阵的特殊线性组合，可以通过对角线元素的乘积和副对角线元素的乘积来计算。
根据已知条件，我们可以得到矩阵A的对角线元素为2和3，副对角线元素为0和2。
因此，矩阵A的行列式的值可以通过计算2*3-0*2=6来得到。
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1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设232()x y x e -=+,则0x y ='=＿＿＿＿＿＿.(2)121(x dx -=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 微分方程250y y y '''++=的通解为＿＿＿＿＿＿.(4) 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+=⎢⎥⎣⎦＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设当0x →时,2(1)xe ax bx -++是比2x 高阶的无穷小,则 ( )(A) 1,12a b == (B) 1,1a b == (C) 1,12a b =-=- (D) 1,1a b =-=(2) 设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义,若当(,)x δδ∈-时,恒有2|()|f x x ≤,则0x = 必是()f x 的( )(A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且(0)0f '= (D) 可导的点,且(0)0f '≠(3) 设()f x 处处可导,则 ( )(A) 当lim ()x f x →-∞=-∞,必有lim ()x f x →-∞'=-∞(B) 当lim ()x f x →-∞'=-∞,必有lim ()x f x →-∞=-∞ (C) 当lim ()x f x →+∞=+∞,必有lim ()x f x →+∞'=+∞(D) 当lim ()x f x →+∞'=+∞,必有lim ()x f x →+∞=+∞(4) 在区间(,)-∞+∞内,方程1142||||cos 0x x x +-= ( )(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根 (C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()()g x f x m <<(m 为常数),由曲线(),y g x =(),y f x x a ==及x b =所围平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为 ( )(A) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(B) [][]2()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰(C) [][]()()()()bam f x g x f x g x dx π-+-⎰(D)[][]()()()()bam f x g x f x g x dx π---⎰三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)计算ln 0⎰.(2) 求1sin dxx +⎰.(3) 设2022(),[()],t x f u du y f t ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰其中()f u 具有二阶导数,且()0f u ≠,求22d y dx . (4) 求函数1()1xf x x-=+在0x =点处带拉格朗日型余项的n 阶泰勒展开式. (5) 求微分方程2y y x '''+=的通解.(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22a b 、,用过此柱体底面的短轴与底面成α角(02πα<<)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V . 四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan (1)xdx x x +⎰.五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216, 2.x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩(1) 写出()f x 的反函数()g x 的表达式；(2) ()g x 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点. 六、(本题满分8分)设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定,试求()y y x =的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()f x 在区间[,]a b 上具有二阶导数,且()()0f a f b ==,()()0f a f b ''>,试证明：存在(,)a b ξ∈和(,)a b η∈,使()0f ξ=及()0f η''=. 八、(本题满分8分)设()f x 为连续函数,(1) 求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ,其中a 为正的常数；(2) 若|()|f x k ≤(k 为常数),证明：当0x ≥时,有|()|(1)ax ky x e a-≤-. 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】13【解析】132221132x xy x e e ,---⎛⎫⎛⎫'=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02111323x y =⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.(2)【答案】2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式()1122112121022x x dx dx --⎡⎤⎡⎤=+-==+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数,则()0aa f x dx -=⎰；若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数,则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.(3)【答案】()12cos2sin 2xy ec x c x -=+【解析】因为250y y y '''++=是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250r r ++=有一对共轭复根1212r ,r i.=-±故通解为()12cos2sin 2x y e c x c x -=+.(4)【答案】2【解析】因为x →∞时,sin ln 1ln 1k k k x x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭::(k 为常数),所以, 原式3131lim sin ln 1lim sin ln 1lim lim 312x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5)【答案】1ln 22-【解析】曲线1y x ,x =+2y =的交点是()12,,2211,x y x x x '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭当1x >时 1y x x=+(单调上升)在2y =上方,于是 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由()()(222112b x a x x x οο⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭令可得 10111202b ,a ,b .a ,-=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩应选(A). 方法2：用洛必达法则.由 有 ()0lim210 1.xx eax b b b →--=-=⇒=又由 0022121limlim 02222x x x x e ax b e a a a x →→----===⇒=. 应选(A). (2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当0x =时,|(0)|0(0)0f f ≤⇒=. 而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)f x f f x x x x x x x-≤=≤=→→,由夹逼准则,()(0)(0)lim0x f x f f x→-'==,故应选(C).方法二：显然,(0)0f =,由2|()|f x x ≤,(,)x δδ∈-,得2()1(,0)(0,)f x x x δδ≤∈-U ,,即2()f x x有界,且200()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x x →→-⎛⎫'==⋅= ⎪⎝⎭. 故应选(C). 方法三：排除法.令3(),(0)0,f x x f '==故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C). 【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如()f x x =,则(A),(C)不对；又令()xf x e -=,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim ()x f x →+∞'=+∞,对于0M >,存在0x ,使得当0x x >时,()f x M '>.由此,当0x x >时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()f x f x f x x f x M x x x ξ'=+->+-→+∞→+∞,从而有lim ()x f x →+∞=+∞,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导,那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使等式 成立.(4)【答案】(C)【解析】令1142()||||cos f x x x x =+-,则()()f x f x -=,故()f x 是偶函数,考察()f x 在(0,)+∞内的实数个数：1142()cos f x x x x =+-(0x >).首先注意到(0)10f =-<,1142()()()10,222f πππ=+>>当02x π<<时,由零值定理,函数()f x 必有零点,且由314211()sin 042f x x x x --'=++>,()f x 在(0,)2π单调递增,故()f x 有唯一零点.当2x π≥时,11114242()cos ()()10,22f x x x x ππ=+-≥+->没有零点； 因此,()f x 在(0,)+∞有一个零点.又由于()f x 是偶函数,()f x 在(,)-∞+∞有两个零点.故应选(C). 【相关知识点】零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.(5)【答案】(B)【解析】见上图,作垂直分割,[2m π=于是 [][]2()()()()baV m g x f x f x g x dx π=--⋅-⎰,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)【解析】方法一：换元法.u =,则221ln(1),21ux u dx du u=--=-, 所以2ln 220011111)2)11211u du du du u u u u==-=+----+⎰1ln(2222=-=+-. 方法二：换元法.令sin xet -=,则cos ln sin ,sin t x t dx dt t =-=-,:0ln 2:26x t ππ→⇒→,2266ln(csc cot )cos ln(22t t t ππππ=--=-. 方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln 2ln 0()x e e --==-⎰⎰令xe t =,则:0ln 2:12x t →⇒→,原式2211ln(22t =-+=-+⎰ln(2=++. 【相关知识点】1.1csc ln csc cot sin xdx dx x x C x==-+⎰⎰, 2. 0a >时,ln x C =++.(2)【解析】方法一：2(1sin )1sin 1sin (1sin )(1sin )cos dx x dx xdx x x x x --==++-⎰⎰⎰1tan cos x C x=-+. 方法二：21sin (cos sin )22dx dxx x x =++⎰⎰ 222(1tan )sec 222(1tan )(1tan )1tan222xd x dx C x x x+===-++++⎰⎰.方法三：换元法.令tan2x t =,则22222tan 22arctan ,,sin 11tan 1t tx t dx x t t t====+++, 原式2221222221(1)111tan 12dt dt C C t xt t t t =⋅==-+=-+++++++⎰⎰. (3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydy f t f t tdt tf t dx dx f t dt'⋅⋅'===, 所以 2222221()(4())4()4()2()d y d dy dt d dt tf t f t tf t t dx dt dx dx dt dx f t ''''⎡⎤=⋅=⋅=+⋅⋅⎣⎦ 22224()2()()f t t f t f t '''⎡⎤=+⎣⎦. (4)【解析】函数()f x 在0x =处带拉格朗日余项的泰勒展开式为()(1)1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!n n n n f f x f x f f x x x n n θθ++'=++++<<+L .对于函数1()1xf x x-=+,有 所以 ()(0)2(1)!,(1,2,3),n n fn n =-⋅ =L故 121112()122(1)2(1)(01)1(1)n n n n n x x f x x x x x x θθ+++-==-+++-+- <<++L . (5)【解析】方法一：微分方程2y y x ''+=对应的齐次方程0y y '''+=的特征方程为20r r +=,两个根为120,1r r ==-,故齐次方程的通解为12x y c c e -=+.设非齐次方程的特解2()Y x ax bx c =⋅++,代入方程可以得到1,1,23a b c ==-=, 因此方程通解为3212123x y c c e x x x -=++-+.方法二：方程可以写成2()y y x ''+=,积分得303x y y c '+=+,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为32123x x x x c Ce -=-+++.方法三：作为可降阶的二阶方程,令y P '=,则y P '''=,方程化为2P P x '+=,这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为再积分得 321223xx y c c e x x -=++-+. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C e C e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rx y C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy eC x C x αββ=+其中12,C C 为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),xm f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()kxm y x x Q x eλ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.4. 一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数. (6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为22221x y a b+=.方法一：以垂直于y 轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形, 其中一条直角边长为22a x b y b=-22tan a b y bα-, 故截面面积为22221()()tan 2a S y b y bα=-⋅. 楔形体的体积为222220022()tan ()tan 3bb a V S y dy b y dy a b b αα==-=⎰⎰.方法二：以垂直于x 轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形, 其中一条边长为222b y a x a=-另一条边长为tan x α⋅, 故截面面积为22()2tan bS x x a x aα=-,楔形体的体积为22200222()tan tan 3aa b V S x dx x a x dx a b a αα==-=⎰⎰.四、(本题满分8分)【解析】方法一：分部积分法. 22111arctan ln ln(1)arctan 22x x x x C x =-+-+-+. 方法二：换元法与分部积分法结合.令arctan x t =,则2tan ,sec x t dx tdt ==, 21cot ln sin 2t t t t C =-+-+.五、(本题满分8分)【分析】为了正确写出函数()f x 的反函数()g x ,并快捷地判断出函数()g x 的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.【相关知识点】反函数的性质：① 若函数()f x 是单调且连续的,则反函数()g x 有相同的单调性且也是连续的；② 函数()f x 的值域即为反函数()g x 的定义域；③ 1()()g x f x '=',故函数()f x 的不可导点和使()0f x '=的点x 对应的值()f x 均为()g x 的不可导点.【解析】(1) 由题设,函数()f x 的反函数为 (2) 方法一：考察()f x 的连续性与导函数.注意在(,1),(1,2),(2,)-∞--+∞区间上()f x 分别与初等函数相同,故连续.在1,2x x =-=处分别左、右连续,故连续.易求得由于函数()f x 在(,)-∞+∞内单调上升且连续,故函数()g x 在(,)-∞+∞上单调且连续,没有间断点. 由于仅有0x =时()0f x '=且(0)0f =,故0x =是()g x 的不可导点；仅有1x =-是()f x 的不可导点(左、右导数∃,但不相等),因此()g x 在(1)1f -=-处不可导. 方法二：直接考察()g x 的连续性与可导性.注意在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞区间上()g x 分别与初等函数相同,故连续.在1,8x x =-=处分别左、右连续,故连续,即()g x 在(,)-∞+∞连续,没有间断点.()g x 在(,1),(1,8),(8,)-∞--+∞内分别与初等函数相同,这些初等函数只有在0x =不可导,其余均可导.在1x =-处,(1)g '⇒-不∃.在8x =处, (8)g '⇒∃.因此,()g x 在(,)-∞+∞内仅有0x =与1x =-两个不可导点. 六、(本题满分8分)【解析】方程两边对x 求导,得22320,(32)0.y y yy xy y x y y x y y x ''''-++-=-++-= ①令0,y '=得y x =,代入原方程得32210x x --=,解之得唯一驻点1x =；对①两边再求导又得22(32)(32)10x y y x y y y x y y '''''-++-++-=. ②以1,0x y y '===代入②得1x =是极小点.【相关知识点】1.驻点：通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点).2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.当函数()f x 在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定()f x 在驻点处取得极大值还是极小值.定理：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且00()0,()0f x f x '''=≠,那么(1) 当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值；(2) 当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.七、(本题满分8分)【解析】首先证明(,)a b ξ∃∈,使()0f ξ=：方法一：用零点定理.主要是要证明()f x 在(,)a b 有正值点与负值点.不妨设()0,f a '> ()0f b '>.由()()lim ()()0x a f x f a f a f a x a++→-''==>-与极限局部保号性,知在x a =的某右邻域,()()0f x f a x a ->-,从而()0f x >,因而111,,()0x b x a f x ∃>>>；类似地,由()0f b '>可证 2122,,()0x x x b f x ∃<<<.由零点定理,12(,)(,)x x a b ξ∃∈⊂,使()0f ξ=.方法二：反证法.假设在(,)a b 内()0f x ≠,则由()f x 的连续性可得()0f x >,或()0f x <,不妨设()0f x >.由导数定义与极限局部保号性,()()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a f a x ax a +++→→-''===≥--,()()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b f b x b x b ---→→-''===≤--, 从而()()0f a f b ''≤,与()()0f a f b ''>矛盾.其次,证明(,)a b η∃∈,()0f η''=：由于()()()0f a f f b ξ===,根据罗尔定理,12(,),(,)a b ηξηξ∃∈∈,使12()()0f f ηη''==；又由罗尔定理,12(,)(,),()0a b f ηηηη''∃∈⊂=.注：由0()0f x '>可得：在000(,),()()x x f x f x δ-<；在000(,),()()x x f x f x δ+>.注意由0()0f x '>得不到()f x 在00(,)x x δδ-+单调增的结果！【相关知识点】1.零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号(即 ()()0f a f b ⋅<),那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ,使()0f ξ=.2．函数极限的局部保号性定理：如果0lim ()x x f x A →=,且0A >(或0A <),那么存在常数0δ>,使得当00x x δ<-<时,有()0f x >(或()0f x <).3. 函数极限局部保号性定理的推论：如果在0x 的某去心邻域内()0f x ≥(或()0f x ≤),而且0lim ()x x f x A →=,那么0A ≥(或0A ≤).4.罗尔定理：如果函数()f x 满足(1) 在闭区间[,]a b 上连续；(2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =,那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.八、(本题满分8分)【解析】(1) ()y ay f x '+=为一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为[]()()()ax ax ax y x e f x e dx C e F x C --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰, 其中()F x 是()axf x e 的任一原函数,由(0)0y =得(0)C F =-,故 []0()()(0)()xax ax at y x e F x F e e f t dt --=-=⎰. (2) 当0x ≥时,00()()()x x ax at ax at y x e e f t dt e e f t dt --=⋅≤⎰⎰001(1)x x ax at ax at ax k ke e dt ke e e a a---⎛⎫≤⋅=⋅=- ⎪⎝⎭⎰. 【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰, 其中C 为任意常数.。