高中物理中的极值问题
例析高中物理极值问题的求解方法
■ 周 宏 建
求极 值 问题 不止 在数 学 中出现 ， 在 物 ＋ ｑ的 小 球 ， 用 长
理 解 题 中 也 经 常 出 现 。 物 理 极 值 问 题 是 指
某 一 物 理 过 程 中 物 理 量 出 现 的 最 大 值 或 最 小值 。
一 ．
为 Ｌ 的 细 线 悬 挂
＼
球 使 细 线 水 平 并
矢 － 豳 法 伸 盲 。然 后 自 由 释 ，
高 中物理 中 ， 许 多物理 量 是矢 量 ， 求 矢 量
的最值 时 ， 矢 量 图 法 是 经 常 使 用 的 方 法 。 根 据平 行 四边 形 法 则 、 三 角 形 法 则 作 出 合 成 矢 量图， 结 合 题 目条 件 加 以 分 析 ， 解 决 极 值 问 题 就会 极为 简 洁方便 。 例 １ 一条 大河 宽 Ｌ一３ ０ ０ ｍ， 水 流 速 度 一３ ｍ／ ｓ ， 计 算 下
熟 练 掌 握 各 种 求 极 值 的 方 法 是 解 好 极 值
问题 的基 础 ， 选择合 适 的求 极值 方 法 ， 可 以 化 难 为易 ， 达 到 事 半 功 倍 的 效 果 。 并 且 将 数 学 思 想运 用 到物 理 中求 极 值 ， 不 但 有 助 于 学 生 提 高解 题能 力 ， 更 是扩 展 了学 生 的解 题 思维 ， 让 学 生能够 活学 活用 ， 融会 贯通 。 作者 单位 ： 江 苏 省 江 安 高 级 中 学
＝ ＝ ＝ １ ｍ／ ｓ ， 小 船 的速度
列情况 的渡河 时 间： （ １ ）以 最 短 时 间 渡 河 ；
（ ２ ） 以最 小 位 移 渡 河 ； （ ３ ）到 达 正 对 岸 上 游
高中物理八大解题方法之五：极值法
- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,- 2 - 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
例谈高中物理极值问题
例谈高中物理极值问题极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合性强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难以入手。
笔者在本文中，将通过具体分析一些典型的例子，揭示极值问题的常用方法和注意事项。
【例1】如图所示的电路，AB接在一个稳压电源两端，为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中的读数将如何变化？分析与解：当滑片移至a端时，R0被短路，的读数为U1R，而滑至b端时的读数显然也为U1R，所以在滑片从a移至b过程中肯定存在一个极值，我们不妨研究滑片移至中点时的读数，并不妨假定R=2R0，I中= U1R0+ 112R0× 112= U13R0= 2U13R< U1R，可见的读数先变小后变大。
点评：这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复杂的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题，中间往往存在极值，至于极大还是极小可借助于对于中间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用的“赋值法”加于判断。
当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于中间过程比较复杂（如出现反复几次变大变小）的问题时要慎重。
【例2】在例1中，设R有Rx接入支路时的读数为Ix。
求Ix最小时Rx值。
分析与解：Ix= U1（R-Rx）+ R0Rx1R0+Rx× R01R0+Rx= UR01-（Rx- 112R）2+R0R+ 114R2显然当Rx= 112R时Ix最小。
点评：用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。
【例3】如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长约为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。
现给中间的小球B一个水平初速度，方向与绳垂直。
小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。
求：（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。
物理极值问题
物理极值问题
物理极值问题是一个物理量在某过程中的最大或最小值的问题，这是高中物理教学中的重要内容，涉及到的领域包括力学、热学、电学等，并且这一问题的难度较大，对学生的学习综合实力和数学结合能力有较高要求。
在求解极值问题时，我们通常从以下几个方面进行思考：
首先，当物理量达到极值时，该物理系统处于平衡状态，例如汽车以恒定功率启动最后会达到最大速度；其次，当物理量达到极值时，可能存在另一物理量为零的情况，例如从高处掉落的小球掉在竖直放置的弹簧上，当加速度为零时速度最大，而速度为零时加速度最大；第三，瞬时速度相等时，物理量也可能达到极值，例如在一物体撞上中间有弹簧的另一物体时，当两者速度相等时弹簧的弹性势能最大；最后，当物理量达到极值时可能会出现临界状态，如光的折射中入射角变化达到全反射的情况。
物理极值问题
物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中学生学习物理的难点。
随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活结合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。
在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值。
求解物理极值问题，通常涉及到的数学知识有：点到直线的距离最短 ,两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值,二次函数求极值的方法,因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识等等。
在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的结合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。
因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述、解释、预计或分析出与实际事物相关的规律。
利用数学解决实际问题的方框图如下：物理极值与中学数学知识结合事例一、用二次函数求极值1 、用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,若, 则当时 ,y 有极小值，为；若, 则当时 ,y 有极大值，为；例 1 、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s 2 的加速度开始行驶。
恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。
汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间 t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于 t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值是一个重要的数学应用问题。
很多物理问题都需要通过求极值来进行分析和解决，因此掌握求极值方法和常用结论是十分重要的。
下面将为你总结高中物理求极值的方法和常用结论。
一、求极值的方法1.寻找最值法：通过寻找物理问题的最大值或最小值来求出极值。
2.解析法：通过建立数学模型，对其求导或使用其他数学方法得出极值。
3.几何方法：通过几何图形的性质和分析来求出极值。
二、常用结论1.极大值与极小值：对于一元函数f(x)，若在x=a处，f'(a)=0，并且在a点左侧由正变负，在a点右侧由负变正，则a称为f(x)的极大值点；若在x=b处，f'(b)=0，并且在b点左侧由负变正，在b点右侧由正变负，则b称为f(x)的极小值点。
2.拐点与拐点性质：对于函数f(x)，若在x=c处f''(c)=0，并且在c点左侧由负变正，在c点右侧由正变负，则c称为f(x)的拐点。
拐点的性质为：由凹变凸的拐点称为极小值点，由凸变凹的拐点称为极大值点。
3.一元二次函数的最值结论：一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的最值点可以通过如下结论求得：当a>0时，最小值为：y_min=c-b^2/(4a)当a<0时，最大值为：y_max=c-b^2/(4a)4.相对速度最小值结论：当两个运动着的物体相对于一些静止参考系运动时，它们的相对速度最小值出现在它们的运动方向夹角为0°或者180°时。
5.成千上万法：在解决物理问题中，当数据较多时，可以通过逐个数值代入进行计算。
6.速度为零但加速度不为零时的移动物体：当一个物体在其中一时刻速度为零（静止），但加速度不为零时，可以通过如下结论求出物体在这一时刻的位置：位移s = (1/2)at^2，其中a为加速度，t为时间。
7.物体自由落体的最高点：自由落体的物体在竖直上抛运动中，最高点时速度为零，也就是物体停止上升，准备掉下来。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值方法和常用结论是常见的问题类型，通过总结这些方法和结论，有助于高中物理学习者更好地理解和应用。
一、求极值方法：1.极值定理：对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，必然存在至少一个极大值和极小值，即f(x)在[a,b]上必然取得极值。
2.导数法则：利用导数的相关概念和性质，可以简化极值的求解过程。
(1)极值的必要条件：函数f(x)在x=c处取得极值，必然满足f'(c)=0。
(2)极值的充分条件：若函数f'(x)在x=c的邻域内存在符号变化，且在c处f''(c)存在，则f(x)在x=c处取得极值。
3.端点法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，当x=a或x=b时，可以直接求解f(a)和f(b)，作为极值的候选值。
4.区间内部法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，通过求解f'(x)=0，得到f(x)的驻点。
然后比较驻点和两个端点的函数值，选取最大和最小值作为极值。
5.辅助线法：即画出函数的图像，观察图像的整体形状，然后根据函数的性质和题目要求，确定极值所在的位置。
二、常用结论：1.函数的单调性：函数在给定的定义域内是递增的还是递减的。
(1)若f'(x)>0，则f(x)在区间上递增。
(2)若f'(x)<0，则f(x)在区间上递减。
2.极值判定：通过一、二阶导数的符号来判断函数的极值。
(1)若f''(x)>0，则f(x)在x处取得极小值。
(2)若f''(x)<0，则f(x)在x处取得极大值。
3.凹凸性：函数图像在其中一区间上是凹向上还是凹向下。
(1)若f''(x)>0，则f(x)在区间上是凹向上的。
(2)若f''(x)<0，则f(x)在区间上是凹向下的。
4.零点定理：对于一个连续函数f(x)，若f(a)和f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一个实根。
高中物理中的临界与极值问题
高中物理中的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。
与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。
极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。
临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。
因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。
高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。
从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。
也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。
可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
高中物理学科二轮专题复习资料——物理中的极值
物理中的极值问题分析在中学物理中，力、热、光、电各部分都包含有极值问题。
在近年高考中，几乎每一年都涉及极值问题的分析。
分析极值问题是用数学思想处理物理问题的具体体现，常用的分析方法有以下四种：一、几何作图法例１、 在运动学中有一个著名的“鸟取食路线”问题。
如图１所示，AB 代表高为H 的树，在树的顶端A 点处有一只鸟，在树的对面距树d 米处有一高为h 的篱笆EG ，地面上晒有谷粒。
为了使飞行路线最短，这只鸟应选取哪一条路线啄取谷粒？最短飞行路程是多少？ 分析：若这只鸟按A →C 1→E 路线取食，则飞行路程为S 1＝E C AC 11+，作E 的对称点F ，连接C 1、F ，由几何关系可知:S 1=11+。
同理，若啄取C 2点的谷粒，则有:S 2=F C AC 22+，即：不论啄取哪一点的谷粒，飞行路程都等于这一点与A 、F 两点连线距离之和。
根据“两点之间直线最短”原理，这只鸟应按A →D →E 路线取食飞行路程最短。
由图可知，最短飞行路程为S m =AF =2222)(d h H MF AM ++=+ 。
例２、如图２所示，用细绳OA 和OB 把一个质量为ｍ的物体悬挂在天花板上，保持OA 与竖直方向的夹角α不变,把OB 绳向右移动。
则在OB 绳与竖直方向的夹角β从α＋β＜90°增加到β=90°的过程中，OB 绳所受的拉力T B 和OA 绳所受的拉力T A 将（ ）A 、T A 一直增加；B 、T B 一直减小；C 、T B 先增加后减小；D 、T B 先减小后增加。
分析：如图３a 所示，物体受到两个力的作用。
因绳子对物体向上的拉力T 到结点O 处分解为T A 、T B ，故物体m 的受力情况可以等效为图３b 所示的三个力作用。
因为在T A 、T B 、mg 三个力作用下物体处于平衡状态，所以这三个力的合力为零，这三个力刚好构成一个首尾相连的封闭三角形。
在β改变的过程中，重力mg 的大小、方向均不变，T A 的方向不变。
高中物理中的极值问题及求解方法
高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。
一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。
解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。
高中物理总复习 物理学中的极值问题与极端法
物理学中的极值问题与极端法【高考展望】物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。
在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
【知识升华】物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。
物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。
在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。
如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。
至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
【方法点拨】求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。
数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。
一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。
多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。
【典型例题】类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值二次函数2y ax bx c =++有如下知识：（1）若0a >、2bx a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=；（2）若0a <、2bx a=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。
高中物理中的临界与极值问题
有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。
有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。
当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。
●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界平衡”。
●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。
通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。
2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。
●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。
此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。
●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。
此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。
●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。
3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。
●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。
这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界动量守恒”。
在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。
通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。
下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。
极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。
高一物理临界(极值)问题
临界(极值)问题突破一平衡问题中的临界(极值)问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2.极值问题平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.处理平衡问题中的临界极值问题的方法(1)解析法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
(2)图解法根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值或最小值。
[例1]如图所示，物体的质量为5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)。
思路点拨关键词：“使两绳都能伸直”，恰好伸直时无拉力为其临界状态。
解析设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对A由平衡条件有F cos θ－F2－F1cos θ＝0F sin θ＋F1sin θ－mg＝0可得F＝mgsin θ－F1或F＝F22cos θ＋mg2sin θ。
要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0，则F取最大值F max＝mgsin θ＝10033 NF取最小值F min＝mg2sin θ＝5033 N，F大小的取值范围为5033N≤F≤10033 N。
[针对训练1] 如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向60°角，且小球始终处于平衡状态。
为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是( )A.90°B.45°C.30°D.15°解析对小球进行受力分析，作出小球平衡状态下动态的受力情况变化图如图所示。
(完整版)中学物理中的极值问题
中学物理中的极值问题一、找极值条件和函数极值例1:一条河宽为d ，水流速度v 1=2m/s ，有一条小船在静水中的速度为v 2=1m/s.求小船过河的最小位移。
解：2cos dt θ=v （1）()12sin x t θ=-vv （2）y =d当x 最小时，总位移最小。
（1）带入（2），并将已知条件代入得： 2(sin )cos dx θθ=- （3） 将 222211tan cos tanθθθ-=+ 22221tan sin tanθθθ=+代入（3）得： 22222211(tan tan )tan d x θθθ=+-- 整理得： 2222220()tan tanx d d d x θθ+-+-=方程有实根的条件为：22444220=()()≥b ac d d x d x ∆-=-+-解得：≥xin x =in S =d(位移取最小值时，22tan θ=- 即：sin θ=0.5)或：2(sin )cos d x θθ=-=2tan cos dd θθ-而cos θ=带入上式得：2tan x d θ=-整理得：22223240tan tan d dx d x θθ-+-=如果函数为2y ax bx c =++ 如果x 没有限定范围，当a >0时，y 有极小值；当a <0时，y 有极大值。
如果x 给定范围，需配方。
例2．在图（甲）所示电路中，滑动变阻器的滑动触头从一端滑到另一端的过程中，其U－I 图线如图（乙）所示。
求滑动变阻器的变化范围。
若将电路改为图（丙）所示，图中R 0=4Ω，变阻器的变化范围如前所求。
求电流表的示数的最大值和最小值。
(电流表内阻忽略不计)解：U =IR 0≤U ≤8 2≤I ≤10解得：0≤R ≤4Ω由图得：E =10V r =1Ω 设R 左段电阻为x ，则：0000A R EI R x R x R x r R x=++-++=240520-x x ++=24026.25( 2.5)x -- 根据：0≤x ≤4 得：1.52≤I A ≤2.0(A)有些函数求极值，并不能如上直接求其极值，需要用其它方法。
高中物理中的极值专题
物理中的极值问题1．物理中的极值问题：物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。
其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。
2．物理中极值的数学工具：（1）y=ax 2+bx+c 当a ＞0时，函数有极小值 y min =ab ac 442-当a ＜0时，函数有极大值 y max =ab ac 442-（2）y=x a +bx 当ab =x 2时，有最小值 y min =2ab （3）y=a sin θ+b cos θ=22b a + sin （)θϕ+ 当θϕ+=90°时，函数有最大值。
y max =22b a + 此时，θ=90°-arctan ab（4）y =a sin θcon θ=21a sin2θ 当θ=45°时，有最大值：y max =21a 3．处理方法：（1）物理型方法：就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t 图或v-t 图）进而求出极值的大小。
该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。
（2）数学型方法：就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。
4．自主练习1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用。
力F 可按图（a ）、（b ）（c ）、（d ）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正）。
已知此物体在t =0时速度为零，若用v 1、v 2 、v 3 、v 4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ）A 、v 1B 、v 2C 、v 3D 、v 42．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v ~t 图像如图所示，则 A ．火箭在t 2—t 3时间内向下运动 B ．火箭能上升的最大高度为4v 1t 1v12C ．火箭上升阶段的平均速度大小为212v D ．火箭运动过程中的最大加速度大小为23vt3．如图所示，一质量为M ，倾角为θ的斜面体放在水平面上，质量为m 的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定为F 的拉力作用于小木块，拉力在斜面所在平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和小木块始终保持静止状态，则下列说法正确的是 （ ）（A（B （C （D4．如图7（a ）所示，用一水平外力F拉着一个静止在倾角为θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F ，物体做变加速运动，其加速度a 随外力F 变化的图像如图7（b ）所示，若重力加速度g 取10m/s 2。
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物理中的极值问题
武穴育才高中 刘敬
随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。
极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。
1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222
-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =a
b a
c 442
- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =a
b a
c 442
- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.
3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab
4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a
当090=+θϕ，22max b a y += 此时，b
a arctan =θ 也可用求导法：b
a b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．
6.用图象法求极值
通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。
7.几何作图法
研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。
研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。
例1.木块以速度v 0=12m ／s 沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度h 多大时，
木块飞行的水平距离s 最大?最大水平距离s 是多少?(g=10 m ／s 2)。
解：2202121mv mgh mv =+, vt s =得：22022020)4()4(22)2(g
v h g v g h gh v s --=-=
m g v s m g v h 2.726.3420max 20====时，则当 例2.(2008四川) 如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。
整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。
一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ’。
球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜π2）。
为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。
解：θ
θθsin sin ,0cos ,2
R mv N F mg N qvB F =-=-= 得：0cos sin sin 22
=+-θθθqR v m qBR v ， 0cos sin 4sin 22≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆θθθgR m qBR 由判别式 得B ≥θcos 2R g q m
，θcos 2min R g q m B = m
R qB v 2sin min θ= 例3.(2012全国大纲卷) 探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图所示，以沟底的O
点为原点建立坐标系Oxy 。
已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为h
x y 22=，探险队
员的质量为m 。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。
(1)求此人落到坡面的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
解：(1)t v x 0=，22
12gt h y -=，得22022x v g h y -= y=221x h 得gh v v h x +=202024，gh v hv y +=20
202。
k E mgy mv h mg +=+⋅20212解得gh
v h mg mv E k ++=202220221
(2)由ab 2b a ≥+知：
mgh mgh gh v h mg gh v m mgh gh v h mg gh v m E k 23212)(212212)(21202220202220=-+•+≥-+++=, 当gh v =0时，mgh E k 2
3min =。
例4.(2003上海）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。
支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。
开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，求A 球的最大速度？
B
A B A v v mv mv mgl l mg 2:22121)cos 1(2sin 2:解22=+=
--相等得由角速度ωθθ 解得：gl gl v A 3
8)cos (sin 38-+=θθ 由22cos sin b a b a y +≤+=θθ 可知 时，045=θgl v m A )12(3
8-=
点评：此题也可由导数知识求极值： 最大。
时可知令求导得A v y y y ,45:0,sin cos ,cos sin 0=='-='+=θθθθθ
例5.（2005北京）真空中存在空间范围足够大的．水平向右的匀强电场。
在电场中，若将一个质量为m ．带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°。
现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。
求运动过程中小球的最小速度的大小及方向？
解：F e =mgtan37°＝34
mg 将mg 和qE 合成，建立沿合力和垂直合力的坐标系，将初速度0v 分解后可知：当沿合力方向速度Vy=0时，小球的速度最小，0min 5
3v v = 与水平方向夹角为37°斜向上。
例6.甲球从空中A 点以v A =3m/s 的速度竖直向下抛出，同时乙球从A 点正下方H=10m 的B 点以v B =4m/s 的速度水平抛出，不计空气阻力，B 点离地面足够高，求两球在空中的最短距离。
解：假定B 静止不动.可认为A 相对于B 匀速直线运动，结合矢量三角形法则,将A 的速度合成后，过B 作其垂线得最短距离S min =8m .
7.(武汉市2012届高中毕业生五月考试)质量均为m 的滑块A 、B 通过铰链用长为L 的刚性轻杆连接，让轻杆沿竖直方向，A 套在固定的竖立直棒上，B 放置在水平面上，A 、B 均静止。
由于扰动，A 开始向下运动，B 沿水平面向右运动。
不计一切摩擦，在A 向下运动的过程中：
A ．A 、
B 组成的系统机械能守恒 B ．在A 落地之前轻杆对B 一直做正功
C ．A 运动到最低点时的速度为
gL 2 D ．当A 机械能最小时，B 对水平面压力为2mg
解：答案选AC 。
本题难点在于BD 选项。
222121)cos 1(B A mv mv mgl +=-θ, θθsin cos B A v v =
.cos )cos 1(2,sin )cos 1(2解得：22θθθθ-=-=gl v gl v B A
先增后减一直增大，B A v v :定性分析可知，即杆对B 先做正功后做负功（先推后拉），当杆弹力为零时，A 机械能最小，此时B 对水平面压力应为mg 。
另外，本题可由导数知识定量求出B 的速度最大值：θθθθ322cos cos cos )cos 1(-=-=y
θθθθsin cos 3in cos 22+•-='s y 求导得，令0='y 可知当9
6232cos max gl v B ==时，θ 极值问题在力和运动的合成和分解、功能关系、电磁场中带电粒子的运动及电路中功率的计算等问题中都有广泛的应用,近年来高考加强了考查学生熟练运用数学处理物理问题的能力，即要求学生能根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，有时也要重视定性和半定量的分析和推理。
教师应根据不同的物理问题作恰当的选择，潜移默化的渗透数学方法，以加深对物理规律的理解，使数学和物理这两门学科互相渗透、互相促进、相得益彰。