高中物理中的极值问题

物理中的极值问题

武穴育才高中 刘敬

随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。

极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。

1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222

-++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =a

b a

c 442

- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =a

b a

c 442

- 2.判别式法：二次函数令0≥∆，方程有解求极值.

3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab

4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θϕ++b a

当090=+θϕ，22max b a y += 此时，b

a arctan =θ 也可用求导法：b

a b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值．

6.用图象法求极值

通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。

7.几何作图法

研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。 研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。 例1.木块以速度v 0=12m ／s 沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度h 多大时，

木块飞行的水平距离s 最大?最大水平距离s 是多少?(g=10 m ／s 2)。

解：2202121mv mgh mv =+, vt s =得：22022020)4()4(22)2(g

v h g v g h gh v s --=-=

m g v s m g v h 2.726.3420max 20====时，则当 例2.(2008四川) 如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O ’。球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜π2）。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。 解：θ

θθsin sin ,0cos ,2

R mv N F mg N qvB F =-=-= 得：0cos sin sin 22

=+-θθθqR v m qBR v ， 0cos sin 4sin 22≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆θθθgR m qBR 由判别式 得B ≥θcos 2R g q m

，θcos 2min R g q m B = m

R qB v 2sin min θ= 例3.(2012全国大纲卷) 探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O

点为原点建立坐标系Oxy 。已知，山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为h

x y 22=，探险队

员的质量为m 。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。(1)求此人落到坡面的动能；(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

解：(1)t v x 0=，22

12gt h y -=，得22022x v g h y -= y=221x h 得gh v v h x +=202024，gh v hv y +=20

202。 k E mgy mv h mg +=+⋅20212解得gh

v h mg mv E k ++=202220221

(2)由ab 2b a ≥+知：

mgh mgh gh v h mg gh v m mgh gh v h mg gh v m E k 23212)(212212)(21202220202220=-+•+≥-+++=, 当gh v =0时，mgh E k 2

3min =。 例4.(2003上海）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，求A 球的最大速度？

B

A B A v v mv mv mgl l mg 2:22121)cos 1(2sin 2:解22=+=

--相等得由角速度ωθθ 解得：gl gl v A 3

8)cos (sin 38-+=θθ 由22cos sin b a b a y +≤+=θθ 可知 时，045=θgl v m A )12(3

8-=

点评：此题也可由导数知识求极值： 最大。时可知令求导得A v y y y ,45:0,sin cos ,cos sin 0=='-='+=θθθθθ

例5.（2005北京）真空中存在空间范围足够大的．水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m ．带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中小球的最小速度的大小及方向？

解：F e =mgtan37°＝34

mg 将mg 和qE 合成，建立沿合力和垂直合力的坐标系，将初速度0v 分解后可知：当沿合力方向速度Vy=0时，小球的速度最小，0min 5

3v v = 与水平方向夹角为37°斜向上。 例6.甲球从空中A 点以v A =3m/s 的速度竖直向下抛出，同时乙球从A 点正下方H=10m 的B 点以v B =4m/s 的速度水平抛出，不计空气阻力，B 点离地面足够高，求两球在空中的最短距离。