g3.1100 12.4 正态分布、线性回归(1)
正态分布与回归分析
正态分布与回归分析正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，也被称为高斯分布。
它具有许多重要的性质，广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
回归分析则是统计学中另一个重要的概念，用于研究自变量和因变量之间的关系。
本文将介绍正态分布和回归分析的基本概念，以及它们在实际应用中的重要性和作用。
正态分布是一种连续型的概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰对称于均值。
正态分布的均值、方差完全决定了整个分布。
在正态分布中，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
这种性质使得正态分布在统计学中有着重要的地位，许多统计推断和假设检验方法都建立在对数据服从正态分布的假设之上。
正态分布在实际应用中有着广泛的应用，例如在自然科学、社会科学、工程技术等领域都能看到正态分布的身影。
许多自然现象和人类行为都服从正态分布，比如身高、体重、考试成绩等。
在实验设计和数据分析中，研究人员常常假设数据服从正态分布，以便进行后续的统计推断和分析工作。
正态分布的性质使得我们能够更好地理解和描述数据的分布规律，为数据分析提供了重要的理论基础。
回归分析是一种用于研究自变量和因变量之间关系的统计方法。
在回归分析中，我们试图通过建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的函数关系。
最常见的回归分析是线性回归分析，即假设自变量和因变量之间的关系是线性的。
通过最小二乘法等方法，我们可以估计出回归系数，从而得到一个最佳拟合的线性模型。
回归分析在实际应用中有着广泛的应用，例如在经济学、医学、市场营销等领域都能看到回归分析的身影。
通过回归分析，我们可以揭示自变量对因变量的影响程度，预测未来的趋势，评估政策措施的效果等。
回归分析不仅可以帮助我们理解数据之间的关系，还可以为决策提供科学依据，指导实践工作的开展。
正态分布和回归分析在实际应用中常常结合起来，例如在线性回归分析中，我们通常假设误差项服从正态分布。
线性回归分析与应用例题和知识点总结
线性回归分析与应用例题和知识点总结线性回归分析是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的方法，用于研究两个或多个变量之间的线性关系。
它不仅在学术研究中发挥着重要作用，在实际生活中的各种领域，如经济、金融、医学、工程等，也有着广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解线性回归分析，并总结相关的知识点。
一、线性回归的基本概念简单来说，线性回归就是试图找到一条直线（在多个变量的情况下是一个超平面），使得数据点到这条直线的距离之和最小。
这条直线的方程通常可以表示为：y ＝ b0 ＋ b1x1 ＋ b2x2 ＋＋ bnxn ，其中 y是因变量，x1、x2、、xn 是自变量，b0 是截距，b1、b2、、bn 是回归系数。
二、线性回归的假设条件在进行线性回归分析时，通常需要满足以下几个假设条件：1、线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2、独立性：观测值之间相互独立。
3、正态性：误差项服从正态分布。
4、同方差性：误差项的方差在各个观测值上相同。
三、线性回归的参数估计常用的估计回归参数的方法是最小二乘法。
其基本思想是通过使观测值与预测值之间的误差平方和最小来确定回归系数。
例如，假设有一组数据：｜ x ｜ y ｜｜｜｜｜ 1 ｜ 2 ｜｜ 2 ｜ 4 ｜｜ 3 ｜ 5 ｜｜ 4 ｜ 7 ｜｜ 5 ｜ 8 ｜我们要建立 y 关于 x 的线性回归方程。
首先，计算 x 和 y 的均值：x＝ 3，ȳ＝ 5。
然后，计算 b1 ＝Σ(xi x）（yi ȳ) ／Σ(xi x）²，b0 ＝ȳ b1x。
经过计算，b1 ＝ 16，b0 ＝－08 ，所以回归方程为 y ＝－08 ＋16x 。
四、线性回归的评估指标1、决定系数（R²）：表示回归模型对数据的拟合程度，取值范围在 0 到 1 之间，越接近 1 表示拟合越好。
2、均方误差（MSE）：反映预测值与真实值之间的平均误差大小。
五、应用例题假设我们想要研究学生的学习时间（x）与考试成绩（y）之间的关系。
2012年高考第一轮总复习精品导学课件：11.4正态分布与线性回归(第1课时)
由此可知，投资甲项目获得利润超过5万 元的概率较大，故应选择投资甲项目为佳.
1. 正态分布由总体的期望与标准差唯 一确定.在正常生产条件下，各种产品的质 量指标一般都服从正态分布. 2. 正态曲线与x轴所夹的区域的面积 为1，P(a＜x＜b)的值就是正态曲线介于两 直线x=a和x=b之间的部分与x轴所夹平面 区域的面积. 3. 若ξ~N(μ，σ2)，令 .因为 E E 0， Eξ=μ，Dξ=σ2，所以
解：设ξ为从南区某地到北区火车站
的行车时间，则
(1)走第一条路线在70分钟内赶到的概率为:
0 50 70 50 P1 P (0＜ 70) ) ( 10 10 2 5 2 5 1 2 0.9772.
解：因为
P1 ( x＞5) 1 P1 ( x 5) 58 1 1 ( 1) 1 0.8413. 3 56 P2 ( x＞5) 1 P2 ( x 5) 1 ( ) 2 1 0.5 0.5 0.6915.
2
x y
i 1 i n i 1 2 i
n
i
nx y
n 2 i 2
( x nx )( y n y )
2 i 1
叫做变量y与x之间的样本相关系数， 简称相关系数， 并且|r|≤1.当|r|越接近1时，相关程度 越大 ； 当|r|越接近0时，相关程度 越小 .
11. 相关性检验的基本步骤是： (1)查表得显著性水平0.05与自由度 n-2 (n 为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05. (2)计算相关系数r. (3)检验结果：若|r|≤r0.05， 则y与x之间——————线性相关关系； 不具有 若|r|＞r0.05， 则y与x之间 具有 线性相关关系.
高考数学理一轮复习 X1-4正态分布、线性回归精品课件
备选例题1 设随机变量ξ服从正态分布：ξ～ N(1,4)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)； (2)求常数C，使P(ξ≤C)＝32·P(ξ＞C)．
参考数据：Φ(0)＝0.5，Φ(1)＝0.8413，Φ(2) ＝0.9772，Φ(0.5)＝0.6915，Φ(1.88)＝ 0.9697，Φ(3)＝0.9987.
2．小概率事件是指事件发生的概率很小的事， 通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可 能发生的．
3．统计中假设检验的基本思想：根据小概率 事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和 从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的 统计假设作出判断，是拒绝假设，还是接受 假设．
4．利用线性回归方程，可由一个变量的值预 测或控制另一个变量的值．借助计算器，特 别是含统计的计算器，能简化手工的计算， 迅速得出正确结果．
(函数Φ(x0)实际上是正态总体N(0,1)的累积分
布函数)，即Φ(x0)＝
．
(5)两个重要公式：ⅰ.Φ(－x)＝1Φ(x)
－
；
Φ(a)
ⅱ.P(a＜ξ＜b)＝Φ(b)－
． 小于
(6)对于任一正态分布总体N(μ，σ2)来说，取
值 x的概率为F(x)＝Φ(
)．
(7)假设检验的基本思想
ⅰ.提出统计假设，如假设随机变量服从正态 分布等；
5．“回归”和“相关”含义是不同的：如果 两个变量中的一个变量是人为可以控制、非 随机的，另一变量的变化是随机的且随着控 制变量的变化而变化，则这两变量间的关系 就称为回归关系；若两个变量都是随机的， 则称它们之间的关系为相关关系，在本教材 中，两者不加区别．
方法规律·归纳
题型 一
正态分布的基本运算
思维 提示
①P(x＜x0)＝Φ(x0)； ②Φ(x0)＝1－Φ(－x0)；
12.4 正态分布、线性回归
题型三 求回归直线方程 随着我国经济的快速发展， 【例3】 (12分)随着我国经济的快速发展，城乡居民 】 分 随着我国经济的快速发展 的生活水平不断提高， 的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与 月平均生活支出的关系， 月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了 10个家庭，得数据如下： 个家庭，得数据如下： 个家庭 家庭编号 xi(收入 收入) 收入 千元 yi(支出 支出) 支出 千元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 ＝2×(0.954 4－0.682 6) － ＝0.135 9. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∵ ≥ ＝ ≤ ， 1 ∴P(X≥5)＝2[1－P(－3<X≤5)] ≥ ＝ － － ≤ 1 ＝2[1－P(1－4<X≤1＋4)] － － ≤ ＋ 1 ＝2[1－P(µ－2σ<X≤µ＋2σ)] － － ≤ ＋ 1 ＝2(1－0.954 4)＝0.022 8. － ＝
题型二
正态分布的应用
设在一次数学考试中， 【例2】 (12分)设在一次数学考试中，某班学生的分 】 分 设在一次数学考试中 数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班 数服从 ～ ， ，且知满分 分 的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格 的学生共 人 (不小于 分)的人数和 分以上的人数． 不小于90分 的人数和130分以上的人数． 不小于 的人数和 分以上的人数 思维启迪 要求及格的人数，即求出 P(90≤X≤150)， 而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率 形式，然后利用对称性求解．
上方， ①曲线在 x轴上方，与 x轴 ②曲线关于直线 x＝μ 对称 ③曲线在 x＝μ时位于最高点
不相交， 不相交，以 y轴 为渐近线 ②曲线关于直线 x＝0 对称 ③曲线在 x＝0 时位于最高点
高考数学第一轮.110012.4正态分布、线性回归
12.4 正态分布、线性回归一、 知识梳理1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质正态分布函数：22()2()x f x μσ--=，x ∈（-∞，+∞）3．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，00()1()x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。
只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。
进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。
课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布),(2σμN ；第二步，确定一次试验中的取值a 是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）； 第三步，作出推断。
如果a ∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
6．相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。
高三数学 正态分布和线性回归(知识点和例题)
正态分布和线性回归高考要求1.了解正态分布的意义及主要性质2.了解线性回归的方法和简单应用知识点归纳1．正态分布密度函数：22()2()xf xμσ--=，（σ＞0，-∞＜x＜∞）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为),(2σμN2．正态分布),(2σμN）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2221)(xexf-=π，（-∞＜x＜+∞)（2）2(1)8()xf x--=，（-∞＜x＜+∞)解：(1)0,1 (2)1,23．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。
正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
（2）曲线关于直线x =μ对称。
（3）曲线在x =μ时位于最高点。
（4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题5.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5例2 设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为： 412221)(+--=x x ex f π，x ∈R 。
线性回归的概念原理
线性回归的概念原理线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测分析方法。
它的基本概念是通过找到一条最佳拟合直线来描述自变量与因变量之间的线性关系。
这条直线可以用来预测未知的因变量值，使得预测误差最小化。
线性回归模型的数学表示可以写成：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的回归系数，ε表示误差项。
线性回归的原理可以通过以下步骤来描述：1. 数据集准备：首先收集相关的数据集，其中包括自变量（X1、X2、...、Xn）和因变量（Y）的观测值。
数据集应该足够大，以确保回归分析的准确性。
2. 拟合直线：线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
这条直线可以通过最小化观测值与拟合值之间的误差来确定。
常用的方法是最小二乘法，即通过最小化误差的平方和，来找到最佳的回归系数。
3. 评估模型：一旦拟合直线被确定，就可以通过评估模型的性能来判断其是否适合预测。
常用的评估指标包括均方误差（MSE）、决定系数（R-squared）等。
MSE表示观测值与拟合值之间的平均差异，R-squared表示模型可以解释的总变异量。
4. 预测值计算：一旦模型被评估为合适，就可以使用该模型来进行预测。
通过将自变量的值带入回归方程中，可以计算出对应的因变量的预测值。
线性回归的原理基于一些假设，包括：1. 线性关系假设：线性回归假设自变量和因变量之间存在着线性关系。
如果关系是非线性的，线性回归可能不适用。
2. 独立性假设：线性回归假设不同自变量之间是独立的。
如果存在多重共线性（即自变量之间存在高度相关性），线性回归的结果可能不可靠。
3. 正态性假设：线性回归假设误差项服从正态分布。
如果误差不符合正态分布，可能需要对数据进行转换或使用其他方法。
线性回归的优缺点如下：优点：1. 简单易懂：线性回归是一种简单明了的分析方法，容易理解和解释。
人教版高中数学(文科)选修正态分布与线性回归教案
正态分布与线性回归一、教学目标：1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
3．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
4．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
二、教学重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。
三、教学过程：（一）主要知识：1．正态分布： ；2．正态分布的概率密度函数： ；3．标准正态总体： ；4．正态曲线的性质： ；5．标准正态总体()0,1N 及一般正态总体()2,N μσ在区间()12,x x 内取值的概率： ；6．相关关系与函数关系： ；7．回归直线方程 。
（二）知识点详析1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
例如，产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体分布就服从正态分布。
又如测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的量：身高、体重等；农作物的收获量等等，都服从或近似服从正态分布。
另一方面，正态分布具有许多良好的性质，很多分布可以用正态分布来近似描述，另外，一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中正态分布也十分重要。
2．正态曲线及其性质对于正态分布函数：22)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立和预测两个变量之间的线性关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相互作用和影响，并进行未来的预测。
本文将介绍线性回归的基本原理、模型建立过程和一些应用实例。
一、线性回归的基本原理线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预测值和实际观测值之间的误差最小。
这条直线的方程可以表示为：y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并且误差项ε服从正态分布。
在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。
二、线性回归的模型建立过程1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量和准确性。
2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线性回归模型。
3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算出拟合直线的方程。
4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果和预测能力。
5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。
三、线性回归的应用实例线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用：1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。
2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。
3.医学研究：通过收集患者的生理指标（如血压、血糖水平）和疾病状况，可以建立生理指标与疾病发展程度的线性回归模型，帮助疾病诊断和治疗。
4.金融风险管理：通过分析利率、汇率等宏观经济变量与企业盈利、股价波动之间的关系，可以建立风险预警模型，帮助企业进行风险控制和决策。
python数据分析之线性回归，各种检验和解决方法！
python数据分析之线性回归，各种检验和解决⽅法！线性回归（1）线性回归的主要内容：有兴趣可以玩⼀下这个游戏：是猜相关系数的，给你⼀些散点图，猜相关系数，很难猜对，说明看图说明相关性不靠谱！（2）线性回归怎么做？数学公式⼀个简单线性回归的例⼦：ols：拟合优度：（3）假设检验线性回归这位⽼师⽤的是statsmodels做的。
这就是⽤线性回归拟合出来的模型！使⽤这个函数可以直接得到模型的⼀些结果，会得到这些表！这个是预测的函数：predict（x）。
这是这个包的函数！⼆、多元线性回归也可以⽤向量的⽅式。
参数是迭代计算的，此处不讲了。
模型的检验只⽤与模型的选择调整的r⽅。
避免的样本量的影响，预防过拟合！python中的实现试⽤stats model 多个变量⽤+连⼀起！模型的⼀些值变量的筛选，除了常规的，就是使⽤相前，向后还有逐步，还有全⼦集的⽅法。
不多介绍，上篇也讲过。
python需要⾃⼰写来实现，当然我不会，这⾥可以⽤spss去实现这是python代码跳过。
回归的假设。
线性强影响点筛选，然后直接删除强烈建议⽤spss进⾏多元线性回归建模。
不过为了熟悉python明天打算⽤python更着去实现。
⾃⼰整理⼀下，多元线性回归的检验⽅法：整体显著性检验：回归模型出来时候，可以之间看整体的F检验的p值拟合优度检验：最简单的就看R⽅和调整的R⽅系数检验：T检验结果，可以直接看P值⾃相关检验：dw检验⽤得最多异⽅差检验：Goldfeld - Quandt 检验法，这个⽅法挺好的的。
其实还有其他检验⽅法，解决办法是建议取对数共线性检验：vif值不够细，明⽇具体操作的时候会细点！。
正态分布与线性回归
正态分布与线性回归1 已知连续型随机变量ζ的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=)2(0)20(1)0(0)(x x kx x x f ，且f(x) ≥0，求常数k 的值，并计算概率P(1.5≤ξ<2.5)。
分析:凡是计算连续型随机变量ξ的密度函数f(x)中的参数、概率P(a ≤ξ≤b)都需要通过求面积来转化而求得。
若f(x) ≥0且在[a ，b]上为线性，那么P(a ≤ξ≤b)的值等于以b-a 为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即1()[()()]()2P a b f a f b b a ξ≤≤=+-。
解: ∵1()(0)(02)(2)P P P P εξξξ=-∞<<+∞=-∞<<+≤≤+<<+∞0(02)0P ξ=+≤≤+1[(0)(2)](20)(0)(2)222f f f f k =+-=+=+∴21-=k ；∴1(1.5 2.5)(1.52)(2 2.5)(1.52)16P P P P ξξξξ≤<=≤≤+<<=≤≤=。
2 设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(+--=x x ex f π，x ∈R 。
（1）求μ，σ；（2）求)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值。
分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。
利用一般正态总体),(2σμN 与标准正态总体N （0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。
解：（1）由于222)2(2)1(41222121)(--+--⋅==x x x eex f ππ，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，2=σ，故X ～N （1，2）。
（2）)2121()2|1(|+<<-=<-x P x P2121(12)(12)()()22(1)(1)2(1)120.84131F F 1+-1--=+--=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯- 6826.0=。
高考线性回归知识点
高考线性回归知识点线性回归是高考数学中的一个重要知识点，它是一种统计学上常用的方法，用于分析两个变量之间的线性关系。
在高考中，线性回归经常被应用于解决实际问题和预测未知数据。
本文将介绍线性回归的基本概念、公式以及应用示例，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、线性回归的基本概念线性回归是建立一个自变量X和一个因变量Y之间的线性关系模型，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差，来拟合和预测因变量Y的值。
线性回归的模型可以表示为：Y = β0 + β1*X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0是截距，β1是斜率，ε是误差项，代表模型无法准确拟合数据的部分。
二、线性回归的公式1. 简单线性回归如果模型中只有一个自变量X，称为简单线性回归。
简单线性回归的公式为：Y = α + βX + ε其中，α表示截距，β表示斜率，ε为误差项。
我们利用给定的数据集，通过最小二乘法来估计α和β的值，从而得到一条最佳拟合直线。
2. 多元线性回归如果模型中有多个自变量X1、X2、X3...，称为多元线性回归。
多元线性回归的公式为：Y = α + β1*X1 + β2*X2 + β3*X3 + ... + ε同样，我们利用最小二乘法来估计α和每个β的值，从而得到一个最佳拟合的平面或超平面。
三、线性回归的应用示例线性回归在实际问题中有广泛的应用。
下面通过一个简单的例子来说明线性回归的具体应用过程。
例：某城市的房价与面积的关系假设我们要研究某个城市的房价与房屋面积之间的关系。
我们收集了一些房屋的信息，包括房屋的面积和对应的价格。
我们可以使用线性回归来建立一个房价和面积之间的模型，从而预测未知房屋的价格。
1. 数据收集首先，我们收集了一些房屋的面积和价格数据，得到一个数据集。
2. 模型建立根据数据集，我们可以建立一个线性回归模型：价格= α + β*面积+ ε通过最小二乘法，估计出α和β的值。
3. 模型评估为了评估模型的好坏，我们需要计算误差项ε。
介绍线性回归
介绍线性回归线性回归是一种常见的机器学习算法，用于建立连续数值输出与一个或多个输入特征之间的线性关系模型。
它适用于预测问题，例如根据已有数据预测房价、销售额等连续数值结果。
**算法原理**：线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线（或超平面），使得模型预测值与真实值之间的误差最小。
在简单线性回归中，只有一个输入特征，模型为：y = wx + b，其中y是预测结果，x是输入特征，w是权重，b是偏置项。
**训练过程**：1. 数据收集：获取带有标签的训练数据，包括输入特征x和对应的真实输出值y。
2. 特征标准化：对输入特征进行标准化处理，使其具有零均值和单位方差，有助于模型收敛和稳定。
3. 损失函数：通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）作为损失函数，衡量模型预测值与真实值之间的误差。
4. 优化算法：采用梯度下降等优化算法，调整权重和偏置，最小化损失函数。
5. 模型评估：使用验证集或交叉验证对模型进行评估，计算预测结果与真实值之间的误差。
6. 预测：在测试集或新数据上进行预测，计算模型输出值。
**多元线性回归**：当有多个输入特征时，模型为：y = w1x1 + w2x2 + ... + wnxn + b，其中w1, w2, ..., wn是对应的权重。
**优缺点**：优点：简单、易于理解和实现，适用于快速建立基准模型。
在数据特征与输出之间存在线性关系时效果良好。
缺点：对非线性关系建模能力有限。
容易受到异常值和噪声的影响。
线性回归可以通过正则化技术如岭回归和Lasso回归来改进，以减少过拟合问题。
这使得线性回归成为机器学习中的重要基础算法之一。
机器学习中的线性回归方法介绍
机器学习中的线性回归方法介绍机器学习是一种能够让机器通过数据和统计学方法自动学习的领域。
其中，线性回归是机器学习中最简单且最常用的方法之一。
它可用于预测连续变量的值，并找出输入变量与输出变量之间的线性关系。
在机器学习中，线性回归可以通过建立一个线性模型来解决问题。
模型的输⼊变量通常称为自变量或特征，⼊输⼊变量的值称为因变量或标签。
线性回归方法的目标是找到一条逼近自变量与因变量之间关系的最佳直线。
对于多个自变量的情况，线性回归可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn+ ε，其中 y 是因变量，x1, x2 等是自变量，β0, β1, β2 等是系数，ε 是误差项。
线性回归方法最常见的应用是预测和分类问题。
例如，在房价预测中，我们可以收集房屋的特征（如面积、卧室数量等）作为自变量，而房屋的实际销售价格作为因变量。
通过线性回归模型，我们可以根据房屋的特征预测其销售价格。
线性回归方法有多种求解算法，包括最小二乘法、梯度下降法和正规方程法等。
最小二乘法是线性回归方法中最常用的求解算法之一。
该方法的目标是通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来找到最佳拟合直线。
最小二乘法通过求导和设置等于零的条件，可以得到系数的解析解。
然而，在处理大规模数据和复杂模型时，最小二乘法可能会面临计算困难。
梯度下降法是一种迭代优化方法，用于求解线性回归模型的参数。
该方法通过不断更新参数，使得模型的预测值与实际值之间的差异逐渐减小。
梯度下降法的核心思想是沿着损失函数的负梯度方向迭代，以获得最优解。
梯度下降法分为批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法等不同的变种。
梯度下降法通常需要设置学习率和迭代次数等超参数。
正规方程法是另一种求解线性回归模型的方法，它通过解析形式直接计算系数的值。
正规方程法不需要迭代，可以提供模型的闭合解。
然而，当输入特征具有高度相关或维度较高时，计算逆矩阵可能会面临困难。
线性回归中的正态分布
线性回归中的正态分布统计方法一般都有其适用的条件，或者说是必须满足的统计假设。
使用线性回归需要满足线性、独立性、正态性、方差齐性、自变量间不存在多重共线、因变量为连续变量。
不考虑前提条件地生搬硬套，也不对模型进行诊断，只能是“Garbage in，garbage out”。
今天谈谈线性回归的正态性检验的方法论。
首先要弄清楚线性回归模型中正态分布的概念。
有人在进行线性回归模型的正态性检验时，直接将对因变量进行检验，这实际上是对线性回归正态性检验的误解。
001。
当自变量为分类变量、因变量为连续变量时，也是可以采用线性回归的。
只是在更多的时候，这种类型的分析我们更关注的是组间差异比较而不是线性回归预测，通常采用方差分析或者t检验，尤其是自变量只有1个对的时候。
模型假定不同的组来自同一个总体中的抽样，各组（严格说应该是各个单元格）的残差服从同一个正态分布，不同组的残差均服从同一个均数为0标准差为σ2的正态分布。
在实际考察的时候我们往往直接考察固定的自变量值（不同的组）对应的因变量值是否呈正态分布。
比如4个随机分组的方差分析，想要考察的分组变量即为自变量，该自变量有4个水平，可以被赋值为1、2、3、4，此时的分类自变量每个水平都有多个相同的取值，可以分别考察自变量等于1、2、3、4时对应的因变量是否满足正态分布，只有1个因素考察因变量残差与直接考察因变量是一致的。
当然我们也可以采用了线性回归进行分析，为了消除赋值带来的误差，多分类的自变量在线性回归模型中需要设置成哑变量，结果同方差分析是一致的。
今天我们重点讨论的是第二种情况：当自变量为连续变量时。
此时自变量每个“水平”的取值往往只有有限几个甚至只有1个，其对应的因变量观测值也只有几个甚至1个，毕竟每个自变量一次抽样只能对应一个因变量值，很显然这么小的样本量没法直接像自变量为分类变量那样考察每个“水平”的因变量值是否正态。
而且连续性变量取值往往较多，即使我们的样本量足够大，自变量的每一个固定值有多个取值，这种考察正态性的工作量也会变的很大。
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12.4 正态分布、线性回归一、 知识梳理1．正态分布的重要性正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。
一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。
2．正态曲线及其性质正态分布函数：22()2()x f x μσ--=，x ∈（-∞，+∞）3．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，00()1()x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。
只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。
5．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。
进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设。
课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布),(2σμN ；第二步，确定一次试验中的取值a 是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）； 第三步，作出推断。
如果a ∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。
6．相关关系研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。
对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：⑴相关关系与函数关系不同。
函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。
相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。
⑵函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
⑶函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。
7．回归分析本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——一元线性回归分析。
对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：⑴回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。
两个变量具有相关关系是回归分析的前提。
⑵散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。
⑶求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。
8．相关系数有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。
显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。
那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式。
相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。
9．线性相关性检验相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y 与x 之间线性相关与否的具体办法。
限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。
其具体检验的步骤如下： ⑴在课本中的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n 为观测值组数）相应的相关系数临界值05.0r 。
⑵根据公式∑∑∑===---=ni ni i i ni ii y n y x n x yx n yx r 1212221))((计算r 的值。
⑶检验所得结果。
如果05.0||r r ≤，那么可以认为y 与x 之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设。
如果05.0||r r >，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了。
这个小概率事件的发生使我们有理由认为y 与x 之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y 与x 之间具有线性相关关系。
● 教学目标1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
3．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
4．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。
二、基础训练1.如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1＝等于BA.2Φ（1）－1B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4）D.Φ（－4）－Φ（－2）2. 为考虑广告费用x 与销售额y 之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：现要使销售额达到6万元，则需广告费用为__1.5万元____.（保留两位有效数字）三、例题剖析【例1】将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）.（1）若d=90°，求ξ<89的概率；（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，问d至少是多少?（其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：（1）提出统计假设：某种指标服从正态分布N（μ，σ2）；（2）确定一次试验中的取值a；（2）作出统计推断：若a∈（μ－3σ，μ+3σ），则接受假设，若a （μ－3σ，μ+3σ），则拒绝假设.如：某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N（30，0.8），质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么?【例2】1. 已知测量误差ξ～N（2，100）（cm），必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm 的频率大于0.9?2. 随机变量ξ服从正态分布N （0，1），如果P （ξ<1）=0.8413，求P （－1<ξ<0）3. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？4. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？5. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x （万元）分别服从正态分布N （8，32）和N （6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?【例3】设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(+--=x x ex f π，x ∈R 。
⑴求μ，σ；⑵求)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值。
【例4】公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N （173，7）（单位：cm ），问车门应设计多高（精确到1cm ）？【例5】已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量yt 之间的关系有如下数据：⑴求x 与y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；⑵若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量。
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6．已知连续型随机变量x 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<=21 a 1x 0ax0)(x x f 其他 则a=___________，=<)23(x P _____________。
7．设随机变量ε服从N （0，1），求下列各式的值：（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。
8．某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N （4，0.25）。
质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm 。
试问该厂生产的这批零件是否合格？9．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x ）与入学后的第一试问这10个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关关系？10．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从 完成下列要求：（1）计算x 与y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；（3）设回归直线方程为a bx y+=^，求系数a ，b 。