数学物理方法课件：8_1 傅立叶变换
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经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
傅里叶变换的定义与计算ppt课件
解： F f FT rect x
1
2 1
exp
j 2 fx dx
2
1
e jf e jf
j2f
sin f sin c f
f
f x
Ff
1
1
2
2
.
六、广义傅立叶变换
不能用傅立叶变换的定义去确定其傅立叶频谱。 为了解决类似的问题，引入广义傅立叶变换。
一些理想化的函数（cos，step、常数C等）， 它们可以用广义傅立叶变换来讨论。
.
.
.
.
.
.
.
.
教材33页 1.7.5
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
欧拉公式:
e e j2n0u x j2n0u x
co2sn0u x
2
e e j2n0 ux j2n0 ux
si2 nn0ux
2j
.
例题： fxrex ct，求它的傅立叶变换 F f ．
gxcos2fxdx j gxsin2fxdx
gr
xcos2f
xdx
gi
xsin2f
xdx
j
gi
xcos2f
xdx
gr
xsin2fxdx
Rf
jI f
.
(1) gx是实函 , 则数 Gf是厄米型函数。 G fG f
(2) gx是实值G 偶 f也 函 是 数 实 ， 值偶 (3) gx是实值G 奇 f也 函 是 数 实 ， 值奇
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶变换课件
第三章付里叶级数和付里叶变换第三章主要包括以下几点内容：1、付里叶级数教学内容要点：（1）、三角函数的正交性（2）、周期信号的付里叶展开（3）、奇、偶函数的付里叶展开（4）、付里叶级数的指数形式2、付里叶变换教学内容要点：（1）付里叶变换式（2）奇异函数的付里叶变换3、付里叶变换的性质教学内容要点：（1）、线性（2）、奇、偶性（3）、对称性（4）、尺度变换（5）、时移特性（6）、频移特性（7）、卷积定理（8）、时域微分和积分（9）、频率微分和积分4、周期信号的付里叶变换教学内容要点：（1）正、余弦函数的付里叶变换（2）一般周期函数的付里叶变换第三章内容的学时分配：湖南文理学院12课时，芙蓉学院16课时。
分为4部分：一、傅里叶级数二、傅里叶变换三、傅里叶变换的性质四、周期信号的傅里叶变换一、傅里叶变换级数教学重点：1、傅里叶变换式；2、奇异函数的傅里叶变换教学难点：1、傅里叶变换式；2、奇异函数的傅里叶变换教学目的：1、掌握傅里叶变换式；2、掌握奇异函数的傅里叶变换教学方法：讲授法，演示法教学课时：文理学院3课时；芙蓉学院4课时教学过程：1.傅里叶变换二、 傅里叶变换教学重点：1、傅里叶变换式；2、奇异函数的傅里叶变换教学难点：1、傅里叶变换式；2、奇异函数的傅里叶变换教学目的：1、掌握傅里叶变换式；2、掌握奇异函数的傅里叶变换教学方法：讲授法，演示法教学课时：文理学院3课时；芙蓉学院4课时教学过程：2. 傅里叶变换对于非周期信号，重复周期T 趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d ω，而离散频率n Ω变成连续频率ω。
在这种极限情况下，n F 趋于无穷小量，但Ω=⋅n n F T F π2可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F (j ω)，即dt et f F j F tjn TT T nT ωωπω--∞→∞→⎰==22)(lim2lim)(得dt et f j F tj ωω-∞∞-⎰=)()(称)(ωj F 为非周期信号)(t f 的频谱密度函数。
傅里叶变换原理PPT课件
根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首 先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
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如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
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简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
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f (t)
o
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t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
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根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
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例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
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于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
傅里叶变换(课堂PPT)
f(t)21 2g()ejtd
F
f(t)2g()
.
46
例题4.9 求
2
1 t2
的傅里叶变换。
解：根据例题4.2，我们有，
F
e|t|
2
12
利用对偶性
2
F
2e||
1t2
.
47
利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。 （1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，
jt(xt) F d X() d
.
56
在这里，我们进一步来理解频谱 X( j) 的含义。
我们将一个信号除 [0,0] 以外的频率分量“滤掉”
x(t)
带通滤波器
x0 (t)
.
57
x0 (t) 的能量就等于
1 | 0 X(j)|2 d
2 0
可以说，| X(j0)|2 表示了信号 x (t ) 在 0 处的能量密度。
从这个意义上来说，
.
49
4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理 可以证明，对于能量有限信号
能谱密度
|x(t)|2d t1
|X(j
)|2d
2
信号在时域里面的能量
信号在频域里面的能量
.
50
对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。 我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式
1
T0
|
T0
x(t)|2
d
t |ak
.
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
傅里叶变换及其性质课件
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(at)（a>0）$ 的傅里叶变换为 $aF(frac{omega}{a})$。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有 用，例如在通信系统中的振荡器设计 和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶 变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长 度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得 离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通 过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的 分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信 息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换 。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样 值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域 。
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
《傅里叶变换详解》课件
单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
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应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
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展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量
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Fourier变换F(ω)的模：f(t)中频率ω成分所占的比重
f(t) t
log10|F(ω)| ω
若干函数的傅氏变换
例5：钟形脉冲函数 f (t) Aet2 的F变换，其中A, β>0
解：F[ f (t)] A et2 eit dt Aexp{ 2 } exp{ (t i )2}dt
T
fT (t)
lim
T
cn
n
eint
lim ( 1
T T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)eint
lim (
2 T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)e T
fT (t)ein t dt
2
2
T
eint
T /2 T / 2
fT ein d
p(n)
1
2
lim (eint
T n
T /2 T / 2
fT ein d )
1
2
lim p(n)
T n
1
2
lim p(n)
0 n
1
p()d 1
(
f ( )ei d )eitd
2
2
傅立叶变换的定义
傅立叶变换的定义
F () f (t)ei tdt
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
lim
R
f (z)dz
ex2 dx
R R
R i
lim 2 f (z)dz 0
R R
R
lim
R
R i
f (z)dz 0
2
所以，所求为
2
Ae 4
傅氏变换的基本性质
线性性质
位移性质 F[ f (t t0 )] ei t0 F[ f (t)] 变换的位移性质
卷积和卷积定理
卷积公式 f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
例如：
f1 (t )
0, t 1, t
0 0
0,t 0 f2 (t) et , t 0
求f1(t)*f2(t).
f
(t)
et , t
,
0
0
解：F[ f (t)] f (t)eit dt eteit dt
0
e( i)t dt 1
0
i
若干函数的傅氏变换
例3：证明单位跃迁函数 的F变换为 F ()
0,t 0
1u(t)(1,t) 0
i
解：也即是证明F 1[F ()] u(t),
F 1[F ()] 1
象的微分性质 dF () iF[tf (t)] 条件： lim f (t)
d
|t|0
例7：证明：若f (t)是微分方程
d
2 y(t) dt 2
t
2
y(t)
Ay(t),(t为常数）
的解，则F() F[ f (t)]是下述微分方程的解
F '' () 2F () AF()
提示：方程两边作F变换，根据变换和象的微分性质。
2i
2i
考虑到：ei0t
(
0
)e
it
d
即ei0t
1
2
2
(
0
)eit
d
ei0t F 1[2 ( 0 )]
F[ei0t ] 2 ( 0 ) F[ei0t ] 2 ( 0 )
所以：F[sin0t] i[ ( 0 ) ( 0 )]
思考题：F变换的物理含义？
Fourier变换的物理意义之一
F ( 0 ) F[ei0t f (t)] 象函数的位移性质
例6：求下列函数的傅氏变换
f (t) ei0tu(t t0 )
解：首先用变换的位移性质
F[u(t
t0 )]
eit0 [ 1
i
()]
再采用用象函数的位移性质
F[ei0tu(t
t0
)]
ei( 0
)t0
[
i(
1
0
)
((
0
))]
微分性质 F[ f ' (t)] iF[ f (t)] 条件：f(+∞ ,-∞)=0
第八章 傅立叶(Fourier)变换
➢傅立叶积分 ➢傅立叶变换 ➢傅立叶变换的性质
目标要求 理解傅氏变换基本概念； 会求简单函数的傅氏变换； 了解傅氏变换的主要性质。
傅立叶积分
傅立叶级数：周期函数 fT(t)在区间[-T/2, T/2]上满足 Dirichlet条件，则
fT
(t)
a0 2
n1
(an
2 2 v
1 1 sin v
dv 0,(t 0)
2 2 v
若干函数的傅氏变换
例4：正弦函数 f (t) sin 0t
解：F[sin0t]
e it
sin
0tdt
e it
ei0t
ei0t dt
2i
1 ( eitei0t dt eitei0t dt) 1 (F[ei0t ] F[ei0t ])
4
2
Aexp{ 2 } lim 4 R
R 2
R
i
i
exp{z
2
}dz
2
此项极限为所求的相反数
2
R
R
令：f (z) exp{z2}
R
R i
R i
R
f (z)dz R
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
R
R i
R i
R
f (z)dz R
Fourier：满足Dirichlet条件，绝对可积；
(3) 新变量不同：ω属于[-∞,∞]，s实部满足一定条件（可自
行调节）
若干函数的傅氏变换
例1：单位脉冲函数
(t)
0,t 0 ,t 0
解：F[ (t)]
(t)eit dt
e it
|t0 1
若没有此条件，
例2：指数函数
0,t 0
情况如何？
cos nt
bn
sin
nt)
傅立叶级数的指数函数表达式
其中 2
T
fT (t) cnein t n
cn
1 T
T
2 T
fT (t)ein t dt
2
对于非周期函数f(t)，令T∞
f (t) 1
[
f ( )ei d ]ei t d
2
傅立叶积分
对于非周期函数f(t)，令T∞
f
(t)
lim
根据傅立叶积分公式
记为： 傅立叶变换
f (t) 1 F ()ei td 记为：
2
Laplace变换 F (s) f (t)es tdt 0
傅立叶逆变换
Fourier变换和Laplace变换的对比：
(1) 都属于积分变换，实函数变换为复函数；积分范围不同；
(2) 存在条件：Laplace：f(t)增大小于指数级的；
F ()eit d 1
1 [
()]eit d
2
2 i
1 1 eit d 1 ()eit d
2 i
2
1 1 cost i sintd 1 1 sintd
2 2
i
2 2
1 1 sintdt 2 2 t
1 1 sin v
dv 1,(t 0)
f(t) t
log10|F(ω)| ω
若干函数的傅氏变换
例5：钟形脉冲函数 f (t) Aet2 的F变换，其中A, β>0
解：F[ f (t)] A et2 eit dt Aexp{ 2 } exp{ (t i )2}dt
T
fT (t)
lim
T
cn
n
eint
lim ( 1
T T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)eint
lim (
2 T n
f e d T / 2
in
T / 2 T
)e T
fT (t)ein t dt
2
2
T
eint
T /2 T / 2
fT ein d
p(n)
1
2
lim (eint
T n
T /2 T / 2
fT ein d )
1
2
lim p(n)
T n
1
2
lim p(n)
0 n
1
p()d 1
(
f ( )ei d )eitd
2
2
傅立叶变换的定义
傅立叶变换的定义
F () f (t)ei tdt
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
lim
R
f (z)dz
ex2 dx
R R
R i
lim 2 f (z)dz 0
R R
R
lim
R
R i
f (z)dz 0
2
所以，所求为
2
Ae 4
傅氏变换的基本性质
线性性质
位移性质 F[ f (t t0 )] ei t0 F[ f (t)] 变换的位移性质
卷积和卷积定理
卷积公式 f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
例如：
f1 (t )
0, t 1, t
0 0
0,t 0 f2 (t) et , t 0
求f1(t)*f2(t).
f
(t)
et , t
,
0
0
解：F[ f (t)] f (t)eit dt eteit dt
0
e( i)t dt 1
0
i
若干函数的傅氏变换
例3：证明单位跃迁函数 的F变换为 F ()
0,t 0
1u(t)(1,t) 0
i
解：也即是证明F 1[F ()] u(t),
F 1[F ()] 1
象的微分性质 dF () iF[tf (t)] 条件： lim f (t)
d
|t|0
例7：证明：若f (t)是微分方程
d
2 y(t) dt 2
t
2
y(t)
Ay(t),(t为常数）
的解，则F() F[ f (t)]是下述微分方程的解
F '' () 2F () AF()
提示：方程两边作F变换，根据变换和象的微分性质。
2i
2i
考虑到：ei0t
(
0
)e
it
d
即ei0t
1
2
2
(
0
)eit
d
ei0t F 1[2 ( 0 )]
F[ei0t ] 2 ( 0 ) F[ei0t ] 2 ( 0 )
所以：F[sin0t] i[ ( 0 ) ( 0 )]
思考题：F变换的物理含义？
Fourier变换的物理意义之一
F ( 0 ) F[ei0t f (t)] 象函数的位移性质
例6：求下列函数的傅氏变换
f (t) ei0tu(t t0 )
解：首先用变换的位移性质
F[u(t
t0 )]
eit0 [ 1
i
()]
再采用用象函数的位移性质
F[ei0tu(t
t0
)]
ei( 0
)t0
[
i(
1
0
)
((
0
))]
微分性质 F[ f ' (t)] iF[ f (t)] 条件：f(+∞ ,-∞)=0
第八章 傅立叶(Fourier)变换
➢傅立叶积分 ➢傅立叶变换 ➢傅立叶变换的性质
目标要求 理解傅氏变换基本概念； 会求简单函数的傅氏变换； 了解傅氏变换的主要性质。
傅立叶积分
傅立叶级数：周期函数 fT(t)在区间[-T/2, T/2]上满足 Dirichlet条件，则
fT
(t)
a0 2
n1
(an
2 2 v
1 1 sin v
dv 0,(t 0)
2 2 v
若干函数的傅氏变换
例4：正弦函数 f (t) sin 0t
解：F[sin0t]
e it
sin
0tdt
e it
ei0t
ei0t dt
2i
1 ( eitei0t dt eitei0t dt) 1 (F[ei0t ] F[ei0t ])
4
2
Aexp{ 2 } lim 4 R
R 2
R
i
i
exp{z
2
}dz
2
此项极限为所求的相反数
2
R
R
令：f (z) exp{z2}
R
R i
R i
R
f (z)dz R
R
2
f (z)dz
2 R i
2
f (z)dz
R i f (z)dz 0
2
R
R i
R i
R
f (z)dz R
Fourier：满足Dirichlet条件，绝对可积；
(3) 新变量不同：ω属于[-∞,∞]，s实部满足一定条件（可自
行调节）
若干函数的傅氏变换
例1：单位脉冲函数
(t)
0,t 0 ,t 0
解：F[ (t)]
(t)eit dt
e it
|t0 1
若没有此条件，
例2：指数函数
0,t 0
情况如何？
cos nt
bn
sin
nt)
傅立叶级数的指数函数表达式
其中 2
T
fT (t) cnein t n
cn
1 T
T
2 T
fT (t)ein t dt
2
对于非周期函数f(t)，令T∞
f (t) 1
[
f ( )ei d ]ei t d
2
傅立叶积分
对于非周期函数f(t)，令T∞
f
(t)
lim
根据傅立叶积分公式
记为： 傅立叶变换
f (t) 1 F ()ei td 记为：
2
Laplace变换 F (s) f (t)es tdt 0
傅立叶逆变换
Fourier变换和Laplace变换的对比：
(1) 都属于积分变换，实函数变换为复函数；积分范围不同；
(2) 存在条件：Laplace：f(t)增大小于指数级的；
F ()eit d 1
1 [
()]eit d
2
2 i
1 1 eit d 1 ()eit d
2 i
2
1 1 cost i sintd 1 1 sintd
2 2
i
2 2
1 1 sintdt 2 2 t
1 1 sin v
dv 1,(t 0)