宁波“十校”2020届高三数学第一次联考卷(含答案)

宁波“十校”2020届高三第一次联考数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4．考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k =0,1,2,…，n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S =4πR 2V=121()3h S S +球的体积公式其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积，34=3V R πh 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合{|11}P x x =−<<，{}|02Q x x =<<，那么P Q = A ．()1,2B ．()0,1C ．()1,0−D ．()1,2−2．双曲线22194x y −=离心率是 ABC ．23 D ．593．若,x y 满足约束条件0262x y x y x y −≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是A ．4−B ．2−C ．2D ．44．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．343cmB ．32cmC ．383cmD ．34cm 5．函数2()()2x b af x −=的图像如图所示，则A ．0,01a b ><<B ．0,10a b >−<<C ．0,10a b <−<<D ．0,01a b <<<6．设a R ∈，则“2a =−”是“关于x 的方程210x ax ++=和20x x a ++=有公共实数根”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．正方体1111ABCD A B C D −，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A −−的平面角为γ，则 A ．βγα<< B ．αβγ<< C ．γβα<< D ．γαβ<< 8．已知随机变量的分布列如下（102a <<）：则A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32 C ．()D ξ有最小值0D ．)(ξD 有最大值129．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个 A ．576 B ．1296 C ．1632 D ．202010．数列{}n a 满足12a =，211,n nn a a a n N ++=−+∈，则 A ．存在k N +∈，使2122k k k a −−<< B ．存在,m k N +∈，有m k a ka =C ．存在,m k N +∈，有m k a ma = D．121111na a a +++<正视图侧视图俯视图第4题图(m≠k)(m≠k)非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．11．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，=i e π2020 ▲ . 12．4(2)(1)x x ++的展开式中项3x 的系数为 ▲ .13．在四边形ABCD 中，1,2,3,4AB BC CD AD ====，且120ABC ∠=，则AC = ▲ ， cos BCD ∠ = ▲ .14．已知直线:(1)(0)l y k x k =+≠，椭圆22:143x y C +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点,A B ，则ABF ∆的周长是 ▲ ，ABF ∆的重心纵坐标．．．的最大值是 ▲ ． 15．函数()121f x x x =−−+的值域为 ▲ ；若函数()()g x f x a =−的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤−≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 16．已知双曲线221:1C x y −=，曲线222:x yC x y y x+=−，则曲线12,C C 的交点个数是 ▲ 个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是 ▲ .17．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，记2121y y x x b a −=*.若圆042:22=+−+y x y x C 上的任意三个点321A A A 、、，且3221A A A A ⊥ ，则||3221OA OA OA OA *+*的最大值是 ▲ . 三、解答题18．（本题满分14分）设函数()sin cos f x x x =+，x R ∈．（Ⅰ）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，则θ的值； （Ⅱ）若()f α=，求3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC −中，PAC ∆是正三角形，ABC ∆是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =. （Ⅰ）求证：PB AC ⊥; （Ⅱ）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.A BC20．（本题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，n N *∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记, n nn c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W，证明：13n W <.21．（本题满分15分）已知点(0,),0A a a >，抛物线22(0)x py p =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一点C ，过点C 作AP 的平行线交x 轴于点Q . （Ⅰ）证明：//AQ BP ；（Ⅱ）记直线,BP CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC ∆的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值，若不存在，请说明理由.22．（本题满分15分）已知函数()21(1)2x f x x e x −=+−，其中 2.71828e ≈为自然对数的底. （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：12b <<（参考数据：65.164.1<<e ）命题：象山中学 祝益锋 审题：北仑中学 吴文尧宁海中学 赖庆龙宁波“十校”2020届高三第一次联考数学参考答案一、选择题：二、填空题：11．1 12．14 1314． 15．,2]−∞（，1[5,]2− 16．0，2 17．16三、解答题： 18．解：（1）()sin cos )4f x x x x π=+=+,……2分())4f x x πθθ+=++因为()f x 为奇函数，所以sin()04πθ+=，4k πθπ+=，……4分370244ππθπθ≤≤∴=，……6分（2）()2f α=1)sin()cos()4244πππααα+=+=+=，，9分 ())]))343244f πππππαααα+=++=++……12分当cos()4πα+=时，()3f πα+=，当cos()4πα+=()32f πα+=−……14分19．解：（1）证明：在APB ∆和CPB ∆中，,,APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==,APB CPB ∴∆≅∆,AB BC ∴= ABC ∴∆为等腰直角三角形……3分 取AC 的中点O ，连接,OB OP ，则,OP AC OB AC ⊥⊥,AC PBO ∴⊥面,PB PBO ⊂面,PB AC ∴⊥……6分（2）,AC PBO B PO A ⊥∴−−面二面角为直二面角，作DT OP T ⊥于,则,DT PAC ⊥平面连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角。

……8分设2PB =,则PAC ∆的边长为4，BA BC ==分12,2PBO PB OB OP DT ∆====中，4,2APB PA AB BP ∆===中，D 为PB的中点，AD ∴=分在Rt ADT ∆中，sin 22DT DAT AD ∠==,故AD 与平面PAC所成角的正弦值22…15分 20．解：（1）4324,a a S ==11,1,n a d a n ∴==∴=……2分1n n T b +=，-111n n T b −∴+= ……4分得112b =，112n n b b −=，12nn b =（）……6分 （2）①当2n m =时，则211()4mmk n mk k W W ====+∑，111[1()]111144()[1()]1434314m mk m k =−==−<−∑，……9分当2k ≥=<=21mmk k ==∴<+=∑，1133n W ∴<+<+……13分②当21n m =−时，21213n m m W W W −=<<+综上①②得：13n W <.……15分21．解：（1）证明：设220011(2,2),(2,2)B pt pt C pt pt ，则直线BC 的方程为0101()2y t t x pt t =+−……2分由(0,)A a 在BC 可知，012at t p =−……3分又22x py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =−，令0y =可得0p x pt =即0(,0)P pt 0AP ak pt ∴=−……5分直线CQ 的方程为2111102(2)2(2)ay pt x pt t x pt pt −=−−=− 令0y =可得1Q x pt =即1(,0)Q pt 012AQ BP ak t k pt ∴=−==即//AQ BP ……7分 （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S ∆=由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形……9分11011||||||22PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ∆∆∴===−=−……11分21011||||2||22OBC B C S S OA x x a p t t ∆==−=−……13分 1211,22S S λ∴==即存在……15分22．解：（Ⅰ）求导得()(1)x x f x xe x x e −−'=−−=−+，……2分由()0f x '≥，解得0x ≤，……4分又因为函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 在区间(,0)−∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减.……5分 （Ⅱ）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立，故440a ∆=−<，即1a >.……7分②又222222(2)2(1)(1)(2)2(1)()(2)(2)x x x e x x a x e x a e x g x x x a x x a ++−+++−−+'==++++，……9分则()0g x '=等价于222(1)2()x a x e x f x −−=+−=，由(Ⅰ)知，2()y f x =在(,0)−∞上递增，在(0,)+∞上递减,故函数()g x 存在极小值，必有22(0)2a f −<=，即14a <<.……11分又339592(1)12,2()22441.64f a f a −=−<−<−<−，故对任意(1,4)a ∈，存在123(1,0),(0,)2x x ∈−∈使()0g x '=，即22(),1,2i a f x i −==，因此，()g x 在12(,),(,)x x −∞+∞上递增，在12(,)x x 上递减，……13分 所以，极小值22222222222211()2(1)222()x x x e e e b g x x x x a x x f x ++====+++++.记函数3(),02(1)2x e h x x x =<<+，则2()02(1)x xe h x x '=>+，即()h x在3(0,)2上递增，故3(0)()()2h h x h <<，即12b <<< 所以，12b <<分。