第七章 不等式 第36讲
2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第36讲数列模型及应用
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乙方案获利： ②乙方案获利： 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) × × 银行本息和： 银行本息和： 1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9] ×
10 × 9 =10×1+ 万元); × ×0.5=32.50(万元 万元 2
故乙方案纯利： 万元); 故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元 由于本息与利润是熟悉的概念， 万元 由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解. 立通项公式并运用所学过的公式求解 综上可知，甲方案更好. 综上可知，甲方案更好
1 依题意,有 依题意 有n120°+ n(n-1)×5°=180°(n-2), ° × ° ° 2
化简得n -25n+144=0，解得n=9或 化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16. =195°[0°,180°)，故n=16舍去， ° ° 舍去， °， 舍去
当n=16时，最大内角为 °+(16-1)×5° 时 最大内角为120° × ° 最大内角为120°+(9-1)×5°=160°. 当n=9时,最大内角为 时 最大内角为 ° × ° °
新课标高中一轮 总复习
理数
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第五单元 数列、推理与证明 数列、
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第36讲 36讲
数列模型及应用
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1.认识数列的函数特性，能结合方 认识数列的函数特性， 认识数列的函数特性 不等式、 解析几何、 程 、 不等式 、 解析几何 、 算法等知识 解决一些数列问题. 解决一些数列问题 2.掌握与等差数列、等比数列有关 掌握与等差数列、 掌握与等差数列 的实际应用问题的解法. 的实际应用问题的解法
八年级下册数学 第七章 72不等式的解集
级下册数学第七章样例7.2不等式的解集I．知识技能达标版一、相关知识链接1.不等式用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.常用的不等号有，小于号“＜”、大于号“＞”、小于或等于号“≤”和大于或等于号“≥”。
2.方程的解及解方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
方程的解常写成x=a的形式。
如x=93是3x-5=4的解，x=-1是2x-1=3x的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
3.实数与数轴上的点的关系实数和数轴上的点建立了一一对应的关系，也就是说，每一个实数在数轴上都存在一个点，数轴上的任一个点，都可以表示一个实数。
二、教材知识详解【知识点1】不等式的解能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解与方程的解相类似，都是指一个数或某些数，都是指能满足原有的相等或不等关系的未知数的值．【注意】（1）一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于5的数都是x＞5的解，但也存在特殊情况，如20x ，就只有一个解x=0（2）虽然不等式的解一般有“无数多个”，但这并不意味着“任何一个数都是它的解”．比如不等式2ｘ+3＜6-ｘ，它的解是所有小于1的数，有无数多个解，但所有不小于1的数都不是它的解，因此，一个有“无数多个解”的不等式，往往也随之隐藏着“无数多个不是解”的数．（3）若要判断某个未知数的值是否是不等式的解，可直接将该值带入不等式的左右两边看不等式是否成立，如果成立则是，否则不是。
【例1】下列各数哪些是不等式x+2＜9的解？4，6，7分析：用数值替换不等式中的未知数x，能使不等式成立的即为不等式的解，否则不是不等式的解。
解：x=4时，x+2=6＜9，所以x=4是不等式的解；x=6时，x+2=8＜9，所以x=6是不等式的解；x=7时，x+2=9=9，所以x=7不是不等式的解。
所以x=4和x=6是不等式x+2＜9的解.点拨：正确理解不等式解的定义，并在验证中运算要准确。
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 24．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．67．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．610．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)．14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x的值．难点突破16．(12分)如图K36－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上．(1)设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予以证明．图K36－1课时作业(三十六)【基础热身】1．A [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴y ＝x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2.故选A. 2．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时， M ≤－4.3．C [解析] 1x ＋13y ＝x ＋3y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4.当且仅当3yx＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故选C. 4．B [解析] 因为a >0，b >0，所以a ＋2b ≥22ab ，则ab ＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≥22，即ab ≥8.故选B.【能力提升】5．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xy xy＝4.故选D.6．D [解析] 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6，选D.7．D [解析] 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0，所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.故选D.8．D [解析] 因为x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＝x y ，2x ＋1y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，由此可得(x ＋2y )min ＝8.依题意，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故选D.9．C [解析] 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．4 [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.11．18 [解析] 由已知等式，运用基本不等式，可得xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，整理得(xy )2－22xy －6≥0，解得xy ≤－2(舍去)或xy ≥32，所以xy ≥18，即xy 的最小值为18.12．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.13．8 [解析] 依题意，设全部货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 14．解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0，4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2. 15．解：(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2yx＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】16．解：(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .① 又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)， ∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管，y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”号成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。
如何运用数学思想解决中考题第35讲
第36讲：如何运用数学思想解决中考题数学思想是解决数学问题的灵魂，因此，也是中招考试的重点.初中最常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化思想等.一、转化思想： 将较抽象、复杂或较隐含的已知条件或结论转化为较直观、简单或较浅显的已知条件或结论的思想即为转化思想. 例1：已知5=a ，b 是a的小数部分，求ba 1-的值.解析：本题目中的“b 是a 的小数部分”一句话较抽象，按照常规的思路，即因为236.25==a ，所以b =0.236….显然这样是很难求解的.若能够把这句话转化理解为：因为b a +==25，所以25-=b ，则显然有225151-=--=-b a .转化思想是最常见的数学思想之一，我们做题过程本身就是问题的转化过程.我们平时做题时所用到的等量代换、比例式与乘积式的互化、换元法等等都是转化的手段.灵活运用转化思想，能够深入挖掘题目中的隐含条件，将复杂的问题简单化.二、数形结合思想： 数学家华罗庚说过；“数无形，少直观；形无数，难入微.”数和形是事物存在的两个方面，数形结合思想也是一种很重要的数学思想.有效的利用数形结合思想，便于我们深刻理解题意，也是化难为易的捷径.例2：（2007丽水）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''，则点B '的坐标是（ ）A . （3，4）B . （4，5）C . （7，4）D . （7，3）解析：结合图形知，易求得OA=3,OB=4。
△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''后，O /A ⊥x 轴，O /B /∥x 轴，则点B '的横坐标=OA+OB=7, 点B '的纵坐标=OA=3，所以选择D 。
例3：（2006年重庆课改卷）如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P , 则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是解析：结合一次函数的图像，因为两个一次函数的图像的交点为（—4，—2），则方程组的解为⎩⎨⎧-=-=24y x .评注：此题的解法，把抽象的数（方程组的解）用直观的点（的坐标）来表示，充分运用了数形结合思想.三、方程思想：解答数学问题时，通过列方程的方法，把已知条件和某些未知的结论联系起来，从而达到求解的目的，这种思想就是方程思想. 例4：（2005年太原）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD 的面积等于（ ）FCD4题A16225 B15226 C17256 D16289解析：根据勾股定理的逆定理，易判断三角形AEF 为直角三角形， 则∠AEB+∠FEC=900,易判断△ABE ∽△ECF ，不放设BE=x,AB=y,则EC=y-x ，因为,34==EC AB EF AE 所以,34=-x y y 即,4,4222=+=y x x y ∴,16172=x ∴,174=x ∴,1716=y ∴172562==yS ，选C.评注：解决此题的关键就是利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理构造方程，从而达到了求解的目的.四、分类讨论思想： 分类讨论思想就是把事物可能出现的各种情况分类别并加以讨论的数学思想，例如去绝对值符号时要考虑数的正负，开平方时的两个平方根，不等式两边同乘以或除以一个代数式时应考虑其正负等，均为分类讨论思想.几何上如圆周角定理的证明也运用了分类讨论思想. 分类讨论思想能考查思维的周密性，若不能合理分类或分类不完整，就会导致解题时出现错误或漏解，尤其是在解决一些让自己画图的几何计算或证明题时，要把图形可能出现的各种情况都考虑在内. 例5：（2006年江苏盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 . 解析：有两个2和—2.例6：（2005荆门）已知直角三角形两边x 、y 的长满足240x -+=，则第三边长为 ．分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．五、运动变换思想： 运动变换思想是研究某些几何图形的性质和某些函数问题的重要思想方法.运用运动变换思想解题时，既要用动态的观点去分析问题，解决问题，又要抓住问题的实质，分清在运动变化过程中哪些量、性质没有变，以不变应万变，使问题得以圆满解决.在特定的条件下（某个特殊时刻），把运动的点或者图形当作静态的点或者图形去研究是解决这类问题的根本方法.例7：（2007山东滨州）如图1所示，在A B C △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为B C的中点，动点E 在B A 边上自由移动，动点F 在A C 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，O E F △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出O E F △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设B E x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与A B 相切（如图2），试探究直线E F 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，O E F △能成为45E O F ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是B A 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是A C 的中点．（2）在O E B △和FO C △中，135E O B F O C ∠+∠=°，135EO B O EB ∠+∠=°，F O C O E B ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，O E B F O C ∴△∽△．B E B O C OC F=∴．B E x =∵，CF y =，O B O C ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）E F 与O 相切．O E B F O C∵△∽△，B E O E C OO F=∴．B E O E B OO F=∴．即B EB O O EO F=．又45B EO F ∠=∠=∵°，B E O O E F ∴△∽△．B E O O E F ∠=∠∴．∴点O 到A B 和E F 的距离相等．A B ∵与O 相切，∴点O 到E F 的距离等于O 的半径．E F ∴与O 相切．六、整体思想：即把方程、代数式里的某些项当作一个整体去看待，如解方程里的换元法等等就是整体思想. 例8：（2006年黄冈）已知x 2+x-1=0，求x 3+2x 2+2005的值.解析：x 3+2x 2+2005=(x 3+x 2)+(x 2-1)+2006=x 2(x+1)+(x-1)(x+1)+2006=(x+1)(x 2+x-1)+2006.∵x 2+x-1=0，∴原式=2006.另解：x 3+2x 2+2005=x 3+x 2+x 2+2005=x （x 2+x ）+x 2+2005=x+x 2+2005=2006例9：（2006年武汉）已知a+b+c=0，且a 、b 、c 互不相等，证明：.1222222222=+++++abc cca b bbc a a证明：∵a+b+c=0，∴a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)，∴abc ccab bbca a+++++222222222ab c b a c ccab ac b bbca cb a a++-+++-+++-=)()()(222222))(())(())((222b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--=))()(()()()(222a c cb b a b ac a c b c b a ----+-+--=图1A B图2A B.1))()(())()((=------=a c cb b a b a ac c b分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x 、y的长满足240x -+=，则第三边长为 ． （2005青湖北省荆门市中考题）分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．例2：⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是（ ） （A ）7㎝ （B ）8㎝ （C ）7㎝或1㎝ （D ）1㎝ （2005湖北省襄樊市中考题）分析与解答 因为弦AB 、CD 均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB 和CD 的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O 的同侧，二是位于圆珠笔心O 的异侧，如图2-4-1，过O 作EF ⊥CD ，分别交CD 、AB 于E 、F ， 则CE=4㎝，AF=3㎝．由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝．当AB 、CD 在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C ．例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．图2-4-1（2005青海省西宁市中考题） 分析与解答 勾股定理可得当△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，D M M N ABAE=，即15D M D M ==．（2）当DM 与AB 是对应边时，DM M N ABAE=，即25D M D M ==故DM55例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？（2005年湖北省中考改编）B ACQDPM分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12． ∵QB=16-t ，∴112(16)9662St t=⨯⨯-=-．（3） 由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ ． 在Rt △PMQ 中，2222222212.,12(16)PQ t PQ BQ t t =+=+=-由得，解得72t=．② 若PQ=BQ ．在Rt △PMB 中，22222222(16)12.,)12(16)BP t BQ t t =-+=+=-由BP 得(16-2，即23321440t t -+=，∵△=7040-<， ∴解得23321440t t -+=无解，∴B PB Q≠．图2-4-2E NMD CBA③若PB=PQ ．在Rt △PMB 中，，222222,12(162)12QP t t =+=-+由BP得．解得1216,163t t ==不合题意，舍去）．综合上面原讨论可知：当72t=秒或163t=秒时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形．说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝（2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目） 2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则（2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O内作了长为AB ，连续PB ，则PB 的长为（2005年湖北省黄冈市中考题）5．在直角坐标系xoy 中，一次函数23y=+的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ．（1）苈以原点O 这圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5.（1）3()22（2）满足条件的点P 存在，它的坐标是0)(0)(40)(40)3----或或或第2讲 转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9．（1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，•T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值．∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y=12x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2m n+=9…①又∵点P （m ，n ）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）． （2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC ∽△BRT ， 设BT=a ，RT=b ． 分类讨论： ①当24b a=…①又由P 点求出可确定反比例函数y=6x又∵R （m+a ，b ）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1M B+1N B的值；（2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2，过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形．（1）求m ，n ，t 的值；（2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ． （1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB²OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1²x2=1a，∴OB²OC=│x1│²│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1²x2<0），•∴OB²OC=-1a，又∵OA2=OB²OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD²FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184D F=，DF=2cm，∴BD2=16，∴DE=BD=4cm．3．（1）∵111N B M B A B M B =，即11N B M B M B =-，得MB+NB=MB ²NB ，两边同除以MB ²NB 得1M B+1N B=1．（2）12MB ²NB=52，即MB ²NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB ²NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 12x 22，∵MB<NB ，∴2，2（3）B 1M=3-2，EN=3-2，∴MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ²cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400x-x=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区． 5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1³t=t ，OP=1³t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12³•OP ³OQ=12³t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6）（2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3，∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，∴点C 不落在直线AB 上． （3）△POQ ∽△AOB 时， ①若O Q O P O BO A =，即6612tt-=，12-2t=t ，∴t=4．②若O Q O P O AO B=，即6126t t -=，6-t=2t ，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．考前热身训练 1．（1）开口向上，P （2，-m 2）．（2）设对称轴与x 轴交于点C ，令（x-2）2-m 2=0，得x 1=-m+2，x 2=m+2， ∴A （-m+2，0），B （•m+2，0）， ∴AC=│2-（-m+2）│=m ，（∵m>0）由抛物线对称性得PA 2=AC 2+PC 2=m 2+（-m 2）2． ∵∠APB=90°，∴易证AC=PC ，即│m │=│-m 2│，∴m 1=0，m 2=±1． ∵m>0，∴m=1，∴△ABC 的周长为2．（1）m=-2，．（2）L 1：y 2L 2：y=3．（3）过B 作BP 1⊥AC 于P 1，则P 1（32，2），过B 作BP 2⊥AB 于P 2，则P 2（-22）．3．（1）y=1x（． （2）2（3）若△AEP ∽△BEC ，则A E A P B EB C=，易知Rt △BAP ≌Rt △CBE ，BE=AP ．设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ， ∴11t t t-=，∴t=12-±，又∵0<t<1，∴t=12-，即P 点存在，且12+．第3讲 数形结合思想概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，•能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．典型例题精析例．以x 为自变量的二次函数y=-x 2+2x+m ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点．（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，•使得以B C Ay xPOA 、P 、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等），若存在，请求出点P 、点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）∵y=-x 2+2x+m 与y 轴交于C （0，3），∴3=m ，代入y=-x 2+2x+m 得y=-x 2+2x+3， 令-x 2+2x+3=0，x 2-2x-3=0，x 1=-1，x 2=3． ∴A （-1，0），B （3，0），由y=-x 2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M （1，4）． （2）若存在这样的P 、Q 点，一定是∠PAQ=∠ACO ．∵若∠PAQ=∠CAO ，则△ACO ∽△AQP 不合题意，若∠PAB=90°=∠AOC ，显然P•点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑．①当∠AOC=∠PQA ，∠ACO=∠PAQ 时，有△AOC ∽△PQA （如图1） 设Q （x 1，0），P （x 1，y 2）由A Q Q P O CA O=得11131x y +=，而y 1=-x 12+2x 1+3，∴x 1+1=3（-x 12+2x 1+3）， 3x 12-5x 1-8=0， x 1=83或x 1=-1（不合题意，舍去）把x 1=83代入y 1=-x 12+2x 1+3=119， ∴Q （83，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△PQA ．②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP 时，有△AOC ∽△APQ过P 作PN ⊥x 轴于N ，设Q （x ，0），P （，） 由△AOC ∽△APQ 得AC C O AQAP= 得231x =+ 解得8327， ∴Q （8327，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△APQ说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．（2）第二种情况的P 点可以认为和第一种情况是同一点．（3）能够求出Q 、P 点坐标为存在，不能求出P 、Q 点坐标（即方程无解）为不存在．中考样题看台1．已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD•的长是关于x•的方程x 2-2mx+（m-12）+74=0的两个根．M OBCAy xQ P（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB<CD，求AB、CD的长；（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan•∠BDC和tan∠BCD．2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求A BA C的值．3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）•，D（-2，92），E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，•请用约定的方法一一表示出来；（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由．4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，……（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染．（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，•所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．考前热身训练1．已知，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC•上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合．（1）求证：S四边形AEDF =12r2；（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）当S△OEF =518S△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F之间的距离．A2．已知二次函数y=x2-（m2-4m+52）x-2（m2-4m+92）的图象与x轴的交点为A、B（点B•在点A的右边），与y轴的交点为C．（1）若△ABC为直角三角形，求m的值；（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连接AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积．（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=12，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB•的外接圆半径为134？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案中考样题看台1．（1）当m=2时，x2-4x+4=0，∴△=0，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．当m>2时，△=（-2m）2-4[（m-12）2+74]=m-2>0．又AB+CD=2m>0，AB ²CD=（m-12）2+74>0，∴AB ≠CD ，•∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是梯形．（2）∵AM=MD ，BN=NC ，AB ∥CD ，∴MN ∥AB ，MN ∥CD ， ∴AP=PC ，BQ=QD ，∴QD=12DC ，PN=12AB ，∵AB<CD ，PQ=1，∴12DC-12AB=1，∴DC-AB=2，由已知得AB+CD=2m ，AB ²CD=（m-12）2+74=m 2-m+2，∵（DC-AB ）2=（DC+AB ）2-4DC ²AB ， ∴22=（2m ）2-4（m 2-m+2），∴m=3， 当m=3时，x 2-6x+8=0，•∴x 1=2，x 2=4， ∵AB<CD ，∴AB=2，CD=4．（3）由（1）知，四边形ABCD 是梯形， ∵AD=BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，•过点B•作BE ∥AD ，交DC 于点E ， ∴ED=AB=2，∴CE=2，∴BC=BE=CE=2，∴△BEC 为等边三角形，•∴∠BCD=60°，∠BDC=30°， ∴tan ∠tan ∠BDC=3．∴所求方程为y 2-43y+1=0．2．（1）过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O ，∴OA=OB ，同理OA=OC ，∴OA=OB=OC ，•于是△BAC 是直角三角形，∠BAC=90°，所以AB ⊥AC ．（2）连结OO ，OO ，与AB 、AC 分别交于点E 、F ，∴O 1O ⊥AB ． 同理OO 2⊥AC ，根据（1）•的结论AB ⊥AC ， 可知四边形OEAF 是矩形，有∠EOF=90°， 连结O 1O 2，有OA ⊥O 1O 2，在Rt △O 1OO 2中，•有Rt △O 1AD ∽Rt △OAO 2，于是OA 2=OA·O 2A=r 1·r 2=2r 22，∴2，又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角，•∴∠ACB=∠AO 2O ， 在Rt △OAO 2中，tan ∠AO 2O=2O A O A∴A B A C=tan ∠ACB=tan ∠AO 2O=3．解：（1）符合条件的抛物线还有5条，分别如下：①抛物线AEC ；②抛物线CBE ；•③△DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC ．（2）在（1）中存在抛物线DBC ，它与直线AE 不相交， 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c ，将D（-2，92），B（1，0），C（4，0）三点坐标分别代入，得：9 4220 1640a b ca b ca b c⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组，得：a=14，b=54，c=1．∴抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1．另法：设抛物线为y=a（x-1）（x-4），代入D（-2，92），得a=14也可．又设直线AE的解析式为y=mx+n．将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入，得：206m nn-+=⎧⎨=-⎩解这个方程组，得m=-3，n=-6，∴直线AE的解析式为y=-3x-6．4．解：（1）由图知∠AFC对ABC，因为AD=CF，而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC，所以∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相等．（2）因为∠A对BEG，∠B对CEA，又因为∠A=∠B，所以∠BEG=∠CEA．所以BC=AG，•同理AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG．所以，七边ABCDEFG是七边形．（3）猜想：当边数是奇数时（即当边数是3，5，7，9，……时），• 各内角相等的圆内接多边形是正多边形．5．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111．到第5天得禽流感病鸡数为1000+111=11111．到6天得禽流感病鸡数为100000+11111>800000．所以，到第6天所有鸡都会被感染．（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连结OC、OA．∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2，在Rt•△OCE中，OE2=32-22=5．在Rt△OAE中，∴，∵AC=BC，∴．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．考前热身训练 1．（1）先证△BOE ≌△AOF ．∴S四边形AEOF=S △AOB =12OB ²12OA=r 2．（2）由∠EAF=90°且， ∵y=S △OEF =S 四边形AEOF-S △AEF ，∴y=12x 2-2rx+12r 2（）．（3）当S △OEF =518S △ABC 时，即y=518（12²2r ²r ）=518r 2∴12x 2-2rx+12r 2=518r 2．即12x 2-2rx+29r 2=0．解之得x 1=3r ，x 2=3r ．∴S △OEF =518S △ABC 时，A E A B=13，A F A C=23或A E A B=23，A F A C=13．当AE=3r 时，AF=3r ，3r ；当AE=3r 时，AF=3r ，EF=3r ．2．A （-2，0），B （m 2-4m+92，0），C[0，-2（m 2-4m+92）]．（1）m=2．（2）过A 作AD ⊥BC 于D ，sin ∠ACB=A D A C=45．（3）m=2时，S 最小值=54．3．解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），由题设可求得C 点的坐标为（0，c ），且x 1<0，x 2>0 ∵a<0，∴c>0由S △AOC -S △BOC =OA ³OB 得：-12x 1c-12x 2c=-x 1x 2得：12c（-ba）=ca，得：b=-2．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N．∵tan∠CAB=12，∴OA=2²OC=2c，∴A点的坐标为（-2c，0），∵A点在抛物线上．∴x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=-54c．又∵x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根，∴x1+x2=2a即：-2c+x2=2a=-85c．∴x=25c．∴B点的坐标为（25c，0）．∴顶点P的坐标为（-45c，95c）．由相交弦定理得：AM²BM=PM²MN．又∵AB=125c，∴AM=BM=65c，PM=95c，∴c=52，a=-12．∴所求抛物线的函数解析式是：y=-12x2-2x+52．第4讲方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ACD≌△AED ∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE ：ED=1：4，∴设CE=x ，则ED=4x ，由相交弦定理得 CE ²ED=AE ²EB ， 即x ²4x=2³2， 4x 2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ，a ，求△PMB 的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x ，则由PM 2=PB ²PA （方程出来了））2=x （x+2a ）， x 2+2ax-3a 2=0， （x+3a ）（x-a ）=0，∴x 1=a ，x 2=-3a （舍去）∴x=a ，即BP=a ，连结MO （常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a ，则MB 为Rt △OMP 的斜边上的中线，∴MB=12OP=a ．∴△MBP 的周长为．例4．如图，圆心在Rt △ABC 斜边AB 上的半圆切直角边AC 、BC 于M 、N ，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径． 分析：设半径为R ，（一个未知数建立一个方程即可），连OM 、ON 、OC ，则OM=ON=R ，用面积，S △AOC +S △BOC =S △ABC ， 得6R+8R=6³8（一元一次方程） 14R=48，R=247．中考样题训练: 1．（2004，兰州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上的一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+21x）-5（x+1x）=2的一个根，求CD 的长．B CAD2．（2003，武汉）如图，已知直线BC 切⊙O 于C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD•的延长线交于点A ，∠A=28°，∠B=26°，求∠PDC 的度数．3．（2003，黄冈）已知，如图，C 为半圆上一点，AC C E ，过C 作直径的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC ，CB 于点D ，F ．（1）求证：AD=CD ；（2）若DF=54，tan ∠ECB=34，求PB 的长．4．（2005，荆门）已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+14k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2时，求k 的值．5．（2005，常德市）如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF²DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想： AB与 A F有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22k kk k->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，求sin2∠A的值．C。
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第36讲-轨迹方程解析版
第36讲 轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程 一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。
【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-.（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M ､N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积. 【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ， 由题意知(23333AP BP k k x x x ⋅==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(221332x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ， 则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅.因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y +=，得()222324260m y mty t +++-=....①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m -+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212△MONS t y y =-=，所以△MON S =，即MON △例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P 到定点()0,1F 的距离与到定直线4y =的距离之比为定值12.（1）求动点P 的轨迹方程：（2）若直线l 与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，且线段MN 被直线210x +=平分，求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】（1）设点()P x y ，12=两边平方，整理得22134x y += 所以动点P 的轨迹方程为22134x y +=；（2）联立22210134x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点()11M x y ，，()22N x y ，，MN 的中点为012Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0y <<1212012x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 又因为点()11M x y ，，()22N x y ，都在椭圆22134x y+=上，则22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将上述两个等式作差得22221212034x x y y --+=.则2212221243y y x x -=-- 则()()()()1212121243y y y y x x x x -+⋅=--+，即()()120122413y y y x x -⋅=---所以()0423k y ⋅-=-，即02233333k y ⎛⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以直线l 的斜率的取值范围是23333⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C ：()22116x y ++=，点1,0A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点，设线段MN 的中点为H ，判断线段AH 与HM 的大小，并证明你的结论. 【解析】（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=，∴42CQ QA CA +=>=.∴点Q 的轨迹是以坐标原点为中心，()1,0C -和1,0A 为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，221a b -=∴23b =，∴点Q 的轨迹方程为22143x y +=.（2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时，1AH =，HM AH HM <； ②当直线MN 的斜率k 存在时，设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=，化简得()2243880k x kx +--=，设()11,M x y ，()22,N x y 则122843k x x k +=+，122843x x k -=+， 此时()111,AM x y =-，()221,AN x y =-，∴()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ∴90MAN ∠≥︒，点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部，所以AH HM ≤. 综上所述，AH HM ≤.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B 是椭圆22221x y a b+=上的动点，(2,0)A a 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为（x ，y ），设B 点坐标为（x 0，y 0）， 则由M 为线段AB 中点，可得00002222202x ax x x a y y y y+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，即点B 坐标可表示为（2x －2a ，2y ）， 因为点B （x 0，y 0）在椭圆22221x y a b+=上，2200221x y a b∴+=， 从而有2222(22)(2)1x a y a b-+=， 整理得动点M 的轨迹方程为22224()41x a y a b-+=.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2）(1)(2)-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y yy y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立22412340x y x x y ⎧+=⎪∴=±⎨⎪+=⎩故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33x y x +=-≤≤例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(A且与圆(22:12B x y +=相内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程D .（2）直线l 过原点，且与轨迹D 有两个交点,M N .轨迹D 上是否存在一点Q ，使△QMN 为正三角形，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则由条件知：||,||PB r PA r ==，故||||PA PB +=因此，P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为.故圆心P 的轨迹方程D 为：2213x y +=.（2）解法一：若直线l 的斜率存在且不为零. 故可设:l y kx =.直线OQ 方程为：1=-y x k由222233313x y x MN k y kx ⎧+=⇒=⇒=⎨+=⎩||MN =同理，得||OQ ==因22|||3913OQ MN k k =⇔=⇔+=+，此时无解. 若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(Q .故Q的坐标为(0) 解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos ,sin ),(cos(),sin())22M r r Q r r ππθθθθ++，代入椭圆方程，得222221112cos 3sin 1312sin r r r θθθ+=⇒=+ 同理222312cos r θ=+，由|||OQ OM =得cos 0θ=，故存在这样的点Q，其坐标为(0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【详解】由已知得()()22,0,22,0A B -， ∵2sin sin 2sin A C B +=，∴由正弦定理得:22BC AB AC +=， ∴1222AC BC AB AB -==<， ∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹以,A B 为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）， ∴2,22,6a c b ===，∴顶点C 的轨迹方程为()221226x y x -=>.故答案为：()221226x y x -=>.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =. 由220019x y +=得220019x y =-，从而 22222200000199(1)()9924x x y x x =-=--+当2092x =，2012y =时，max 6S =.从而t ABCD 的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y -，1(3,0)A -，2(3,0)A 知直线1AA 的方程为0(3)3yy x x =++① 直线2A B 的方程为00(3)3y y x x -=--② 由①②得22020(9)9y y x x -=--③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故220019x y =-④将④代入③得2219x y -=(3,0)x y <-<因此点M 的轨迹方程为2219x y -=(3,0)x y <-<.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P ，求椭圆的标准方程；（2）ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程. 【答案】（1）2219x y +=或221819y x+=，（2）2213616x y +=（6x ≠±），【分析】（1）由题意可得3a b =，然后分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P 代入方程中可求出,a b 的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C 的坐标，再由,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3a b =，若焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9x y b b b+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得1b =，所以椭圆的方程为2219x y +=，若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9y x b bb+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得3b =， 所以椭圆的方程为221819y x +=，所以椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=，（2）设点C 的坐标为(,)x y （0y ≠）， 因为边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，所以4669y y x x ⋅=-+-，化简得2249144x y +=，即2213616x y +=（6x ≠±）， 所以顶点C 的轨迹方程2213616x y +=（6x ≠±）， 2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．求动点M 的轨迹方程. 【答案】22(0)y x x =≥和0(0)y x =< 【分析】设出点M 的坐标，根据题意列出,x y 所满足的方程，化简方程可求得M 的轨迹方程. 【详解】设(,)M x y 1||2x =+两边平方可得：211||44x y x -++=+当0x ≥时，化简可得22(0)y x x =≥， 当0x <时，0y =，所以曲线M 的轨迹方程为22(0)y x x =≥和0(0)y x =<.3．（2021·全国·高三专题练习）过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【答案】()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程. 【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩， 化简得()224211yy y x x ⋅=⇒=++， 又224122y xx y x ⎧=⇒=⎨=+⎩， 所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22y rx -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A ：22(2)1x y ++=与点0(2)B ，，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．（1）PAB △的周长为10；（2）圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；（3）圆P 与圆A 外切，且与直线1x =相切(P 为动圆圆心)．【答案】（1）()221095x y y +=≠；（2）224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；（3）28y x =-【分析】（1）由题意可得到64PA PB AB >=+=，再根据椭圆的定义即可求解； （2）由题意可得到14P A B B A P -=<=，再根据双曲线的定义即可求解； （3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：10PA PB AB ++=， 又4AB =，64PA PB AB ∴+=>=，故P 点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且26a =，24c =， 即3a =，2c =，5b =∴动点P 的轨迹方程为：()221095x y y +=≠； （2）设圆P 的半径为r ，则1PA r =+，PB r =，114r r A B AB P P ∴-=+-=<=，由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且21a =，24c =， 即115,2,2a c b ===，∴动点P 的轨迹方程为：224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， （3）由题意知：动点P 到定点A 的距离等于到定直线2x =的距离， 故其轨迹为抛物线，且开口向左，4p =， ∴动点P 的轨迹方程为：28y x =-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A -，，B 是圆：221()42x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 【答案】22413y x +=.【分析】先根据题意可知PF PB +正好为圆的半径，而PA PB =，进而可知2PF PA +=．根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，根据A 、F 求得a ，c ，进而求得b ，答案可得． 【详解】作图，则PA PB =，2PF PB +=， ∴2PF PA +=且大于1AF =，即动点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，1a =，12c =，234b =，所以动点P 的轨迹方程为22413y x +=.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】x 2-28y =1(x ≤-1) 【分析】设动圆的半径为R ,根据圆外切的条件得到|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3,消去R ,得到|MC 2|-|MC 1|=2,根据双曲线的定义得到M 的轨迹，并由定义得到,a c 的值，进而得到方程. 【详解】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2<|C 1C 2|,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且1,3a c ==, 所以2228b c a =-=.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1). 【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支. 8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627x y +=；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设圆22650x y x +++=和圆226910x y x +--=的圆心分别为1O 、2O ， 将圆的方程分别配方得：圆()221:34O x y ++=，圆()222:3100O x y -+= 当动圆M 与圆1O 相外切时，有12O M R =+ …① 当动圆M 与圆2O 相内切时，有210O M R =-…②将①②两式相加，得121212O M O M OO +=>，∴动圆圆心(,)M x y 到点10()3,O -和2()3,0O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点10()3,O -、2()3,0O ，长轴长等于12的椭圆． 设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ； ∴26,212c a ==， ∴3,6c a == ∴236927b =-=∴动圆圆心轨迹方程为2213627x y +=，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点M 与两个定点00O (，)，(30)A ，的距离的之比为12. （1）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆；（2）max 2d =，min 2d =【分析】（1）设(),M x y ，利用点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线2130x y +-=的距离d ，最大值为d r +，最小值为d r -. 【详解】（1）设(),M x y ，∵点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，12=，化简可得()2214x y ++=， 即点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.（2）圆心(1,0)-到直线2130x y +-=距离为d ==点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值为2d r +=，最小值为2d r -=. 【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ， 则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)， 点(2,2)代入得：λ=12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12， 即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点， 过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ， 并且交AF 1于Q ，连接OP ， 如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ， 显然2AQP AF P ∆≅∆ 故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ， ∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3 所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的长轴长为220，1）的直线l 与M 交于A ，B 两点，且AP PB =． （1）求M 的方程；（2）求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）x 2+2y 2＝2y ．【分析】（1）根据题意2a ＝222c a =，解方程组即可求解. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k 即可求出轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知，长轴长2a ＝a =e c a ==， 则c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以椭圆M 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ）， 联立方程组22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 22412k k -=+，y 1＝1，y 2221212k k -=+，由题意可知，P 为AB 的中点，所以22212112k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k ，整理得x 2+2y 2＝2y ，当斜率不存在时，A （0，1），B （0，﹣1）， 则P （0，0），满足x 2+2y 2＝2y ， 所以点P 的轨迹方程x 2+2y 2＝2y ． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F ，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2MN MP =，PM PF ⊥，P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程；【答案】24(0)y x x =≠ 【分析】根据且2MN MP =，可得P 为MN 的中点，利用PM PF ⊥，可得0PM PF =，从而可得点N 的轨迹C 的方程； 【详解】解：设(,)N x y ，则由2MN MP =，得P 为MN 的中点， 又因为点M 在x 轴上，点P 在y 轴上， 所以(,0)M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭,2x PM y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,2PF y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又PM PF ⊥，∴0PM PF = 022y y x ⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24(0)y x x ∴=≠；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用0∆>求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x 由12DM DP =知：(),2P x y点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C是以()，)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k +=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-= 215k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E -，(2,0)F ，(,)P x y ，是平面内一动点，P 可以与点,E F 重合.当P 不与,E F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为14-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）[8,10].【分析】（1）当P 与点,E F 不重合时，根据直线PE 与PF 的斜率之积为14-，直接可求出动点P 的轨迹方程；当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P ，最后写出动点P 的轨迹方程； （2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1d =同理：2241n k +=，矩形的另一边长为2d =12S d d =⋅=(]48,10=，综上：[]8,10S ∈. 【详解】解：（1）当P 与点,E F 不重合时， 14PE PFk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即()22104x y y +=≠，当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P . 综上，动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1221m d k =+，同理：2241n k+=，矩形的另一边长为22211nd k =+， 122222111m n S d d k k =⋅=⋅=++()()()222224144411kk mnk k k ++=⋅++()()42222224174944411k k k k k ++=⋅=⋅+++(]229448,1012k k=⋅+∈++， 综上：[]8,10S ∈. 【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x 的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC 表示成0x 的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：， 同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号， 所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【答案】221(0)43x y y +=≠. 【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求. 试题解析：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠． 考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=． 【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求. 试题解析：由题意知，M 为PQ 中点，设(,)Q x y ，则P 为(2,4)x y ---，代入230x y -+=， 得250x y -+=．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程． 【答案】22240x y x y --+= 【分析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P 的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可． 【详解】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)， 将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+= 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点． （1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； （2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程． 【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A 、B 、F 不共线）故∴重心G 的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB 的中垂线方程为令△ABF 外接圆圆心为又，C 到AB 的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，重心G (x ，y )，24{0y x x y m ＝，－＋＝⇒y 2－4y ＋4m ＝0， ∴Δ>0⇒m <1且m ≠－1(A ，B ，F 不共线)， 故12121212152333{433x x y y m mx y y y ＋＋＋－＋－＝＝＝，＋＝＝∴重心G 的轨迹方程为y ＝47133x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且.(2)若m ＝－2，则y 2－4y －8＝0，设AB 中点为(x 0，y 0，) ∴y 0＝122y y ＋＝2，∴x 0＝y 0－m ＝2－m ＝4， 那么AB 的中垂线方程为x ＋y －6＝0， 令△ABF 的外接圆圆心为C (a,6－a )， 又|AB |211k+y 1－y 2|＝6C 到AB 的距离为d 282a －|CA |＝|CF |⇒6)2＋22＝(a －1)2＋(6－a )2⇒a ＝192， ∴C 点的坐标为197,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴|CF |2＝172⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋72⎛⎫⎪⎝⎭2＝1692，∴所求的圆的方程为192x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝1692. 20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹方程. 【答案】2240x y x +-= 【分析】先设(,)P x y 2222(2)2(1)x y x y ++-+.【详解】 设(,)P x y ，因为(2,0)A -、(1,0)B ，且2PA PB =，= 整理得2240x y x +-=.即点P 的轨迹方程为2240x y x +-=. 【点睛】本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221259x y +=（0y ≠）． 【分析】根据题意可得10BC AC AB +=>，则点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点，求得,,a b c 即可得出答案. 【详解】解：∵ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，周长为18， ∴8AB =，10BC AC +=， ∵108BC AC +=>，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值，且定值大于A ，B 两点间距离， ∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点， ∵210a =，28c =，∴3b =，∴顶点C 的轨迹方程是221259x y +=（0y ≠）．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程E ；（2）若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠（2）存在，137t = 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x y x +=≠； （2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.（1）解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠ （2）解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my y x y y =+*+ 联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =， 又229342MC NSy =⇒=，21x =， 因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意。
一轮复习教案：第7章 第1讲 不等关系与不等式
3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N， 选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a<b cd
D.a<b dc
答案 D
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0，
第7章不等式(黄文龙)
八年级数学同步提优 第1讲 ——不等式班级 姓名 学号 得分【考点链接】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a cb ）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或ca cb ）.3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或a x b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”；x ax b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”；x ax b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. （2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式a x b >（或a x b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a<（或b x a >）当0a <时，b x a<（或b x a>）7. 用数轴表示不等式的方法 重点：掌握用数轴表示不等式的方法 难点：实心点和空心圈的区别一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：(1)a x >如图中A 所示：(2)a x <如图中B 所示：(3)a x ≥如图中C 所示：(4)a x ≤如图中D 所示：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号(≥，≤)画实心点，无等号(>，<)画空心圈． 【不等式】 1、填不等号①a 2 0； —|x | 0 x 2+1 0 ②322++a a 0③ ④722-π 0⑤你所在居住地夏天的最高气温t 50℃2、2006年2月5日扬州气象台预报本市气温是－2～4℃，这表示2月5日的最低气温是 ℃，最高气温是 ℃.设扬州市2月5日某一时刻气温为t ℃，则关于t 的不等量关系是 .3、用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量寄购买这两种原料的价格如下表：质量x (kg )应满足的不等式；（2）在（1）的条件下，如果还要求购买甲乙两种原料的费用不超过80元，那么你能写出x (kg )应满足的另一个不等式吗？【不等式解和解集】1、对于任意实数x ，下列不等式一定成立的是（ ） A 、2x ＜6 B 、－x ＜0C 、12+x ＞0D 、x＞02、下列说法中，正确的有（ ）①4是不等式x ＋3＞6的解，②x ＋3＜6的解是x ＜2③3是不等式x ＋3≤6的解， ④x ＞4是不等式x ＋3≥6的解的一部分 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、 根据“当x 为任何正数时，都能使不等式x +3＞2成立”，能不能说“不等式x +3＞2的解集是x ＞0”？为什么？4、在数轴上画出下列解集 ①52≤<-x②x 小于-2或大于1【不等式性质】1、说出不等式性质中与等式性质不同的一点2、由x ＜y 得ax ＞ay ，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ≤03、若x >y ，则下列不等式一定成立的是 A y x -< B 0>+y x C 22ym xm> D 22ym xm≥4、若a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A 22b a > B bc ac > C 22bc ac> D 0>-b a5、x >y ，且()()y a x a 11-<-，则a 的取值范围6、已知关于x的不等式2＜xa )1(-的解集为x ＜a -12，则a 的取值范围是（）．A ．a ＞0 B.a ＞1 C .a ＜0 D .a ＜1 7、若0<a 时，a 和-a 的大小关系是（ ）A 、a a ->B 、a a -<C 、a a -=D 、都有可能8、若a ＜b ＜0,下列不等式错误．．的是( ) A. ab ＞0 B. a ＋b ＜0 C.ba ＜1 D. a －b ＜09、如果m <n <0，那么下列结论错误的是（ ） A.m －9<n －9； B .—m >—n ； C .n1>m1； D .nm >1.10、若0a b <<，则下列式子： ①12a b +<+；②1a b>；③a b ab +<；④11a b<中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11、若a <0,-1<b <0,则a 、ab 、ab 2之间的大小关系是 12、若0<<a x ，则ax x 与2的大小关系是13、若10<<a ，则aa a 12、、三者之间的大小关系是14、若23132a b a b +->+，则a b ，的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b >C ．a b =D ．不能确定若 15、当x >3时，则65--x 的范围是16、一次函数y =-2x +3，-1≤x ≤3，则y 的最大值是17、已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且225a b +=，则a b +=____________．18、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是 请说明理由【解不等式（组）】 1、解不等式（组）(1)255.014.0x x ---≤03.002.003.0x- (2)()⎪⎩⎪⎨⎧---+≤②①.323121134x x x x2、已知关于x的不等式2＜xa )1(-的解集为x ＜a -12，则a 的取值范围是3、若不等式ax ＞b 的解集是x <ab ，则a 的范围是4、若a <0，则不等式ax +1>0的解集是 ．5、53-x ＜x +3的自然数解有 个【不等式组解集】1、若不等式组⎩⎨⎧><b x ax 无解，则a 、b 的大小关系是2、若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，求a 的取值范围3、若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-><a x x x 12无解，则实数a 的取值范围4、若不等式组3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是5、已知m >n ，则⎩⎨⎧->-<22n x m x 的解集是6、若不等式组⎩⎨⎧>-≤-01a x a x 的解集不在42<≤x 之外，求a 的取值范围7、若不等式组⎩⎨⎧>-≤-01a x a x 的解集不在32≤≤x 之间，求a 的取值范围8、若不等式组⎩⎨⎧+>+<+1159m x x x 解集是2>x ，则m 的取值范围9、如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为10、写出不等式a x <的有3个正整数解，则a 的取值范围 11、已知关于x 的不等式组010x a x ->⎧⎨->⎩，的整数解共有3个，求a 的取值范围．12、关于x 的不等式组153,2223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是【不等式组数学内应用】 1、函数1y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．2、点A （m －4，1－2m ）在第三象限，则m 的取值范围是3、若11+-<-<+<a a a a ，则a 的取值范围4、若代数式a a 232--和的值符号相反，求a 的取值范围5、若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围6、已知14=+y x ，y 取何值时，21≤<-x ．7、已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围8、如果方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 13,313的解满足x +y >0，求m 的取值范围9、已知x 、y 的方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解均为正数.求(1)a 的取值范围。
高考数学一轮巩固 第36讲 简单不等式的解法配套课件
3．设全集 U＝R，A＝{x3x（x－3）<1}，B＝{x|y
＝ log2（x－1）}，则 A∩B＝( C )
A.x1<x<
9
B. x 1<x<3
C.x2≤x<
3
D.x2≤x<
9
【解析】A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≥2}．
x>1x⇔x2－x 1>0⇔x(x＋1)(x－1)>0， ∴－1<x<0 或 x>1. 当 0<a<1 时，原不等式等价于 x<1x⇔x2－x 1<0⇔x(x＋1)(x－1)<0， ∴0<x<1 或 x<－1，综上，故选 D.
2．若不等式组xx－ －14><2a2a，有解，则实数 a 的
取值范围是( A ) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】原不等式组化为xx><14＋ ＋a22a，， ∴1＋a2<x<4＋2a， ∴1＋a2<4＋2a，∴－1<a<3，故选 A.
∴m>4 或 m<0.
(2)若函数 y＝ kx2－6kx＋k＋8的定义域为 R， 则 k 的取值范围是 [0，1] ．
【解析】当 k＝0 时，满足条件；
当 k≠0 时，有kΔ>＝0 36k2－4k（k＋8）≤0，
∴0<k≤1. 综上可知：0≤k≤1.
二、简单指数不等式、对数不等式的解法
一、一元二次不等式的解法
例1(1)若关于 x 的不等式 mx2－mx＋1<0 的解 集不是空集，则 m 的取值范围是 __(－__∞__，__0_)_∪__(_4_，__＋__∞__) ．
2019年高考数学专题36 简单不等式的解法(课件)
【点评】解一元二次不等式的一般步骤是：①化 为标准形式(a>0)；②确定判别式Δ的符号；③若 Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜ 0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图象 得出不等式的解集.
例2
(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－
3 8
<0对一切
实数x都成立，则k的取值范围为( D )
【知识要点】 1．一元一次不等式 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为：
(1)a>0 时，__x___x_x__ba_____； (2)a<0 时，_x___ x__x _ _ba _ ____．
2．一元二次不等式 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋ c≤0(a>0)的解集的各种情况如下表
题型特征是以函数为载体，将问题转化为简单指数、
对数不等式求解.
三、不等式解法的应用
例4已知f(x)＝2xx2＋－2a(x∈R)在区间[－1，1]上是增
函数.
(1)求实数a的值组成的集合A；
(2)设关于x的方程f(x)＝
1 x
的两个非零实根为x1，
x2.试问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1
.
【解析】(1)不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x －3＞0，
∴不等式－2x2＋x＋3<0的解集是
xx<－1或x>32. (2)由已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
xx<－1或x>12 ，得一元二次不等式f(x)＞0的解集为
x－1<x<12， ∴不等式f(10x)>0应满足－1<10x<12， 解得x<－lg 2， 即不等式f(10x)>0的解集为{x|x<－lg 2}.
不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
a b 0
ab ab ab
a b 0 a b 0
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么
如果 b < a ，那么 a>b b<a b<a；
例5：已知f ( x) ax c, 且 4 f (1) 1,
2
1 f (2) 5, 求f (3)的取值范围。
【方法指导】(1)利用排除法(利用特值)可解， (2)利用两命题间的关系可解. 【解析】(1)当c<0时，ac<bc，A不正确;当 a>0>b时，B不正确;当a＝1，b＝－2时， a2<b2，C不正确;因为a>b，所以ea>eb，D正 确. (2)若(a－b)a2<0，则必有a－b<0，即a<b;而 当a<b时，不能推出(a－b)a2<0，如a＝0，b ＝1.所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要 条件.
a > b.
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c a>c
等价命题是：
c<b, b<a c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么
a+c<b+c (2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b 也就是说，不等式中任何一项都可以改变符号后移到
七数下36：《一元一次不等式组》-导学案姜畅
答：有5个小组。
【当堂检测】
解不等式组
请编辑人员在第1个不等式后添上①，在第2个不等式后添上②。
解：解不等式①得x＞5.
解不等式②得x＜ .
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图上可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为无解.
【回顾反馈】5分钟
【自主学习】15分钟
3.从“书有剩余”和“书不够”两个方面寻找不等关系。
★梳理巩固：
解一元一次不等式组的一般步骤。
【当堂检测】5分钟
限时训练，独立完成，检测效果。
第36课时9.3一元一次不等式组
学习目标：
1.理解一元一次不等式组的概念，理解不等式组的解的概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集；
2.培养学生类比推理能力。
学习程序
课堂导航
【回顾反馈】
1.当x满足x≥-0.5时，2 (x+ 1）大于或等于1；
2.当y满足y≥2时，y与1的差不大于2y与3的差.
解：解不等式①，得x＜ .
解不等式②，x＞ .
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
从图上可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 ＜x＜ .
【合作探究】
若关于x、y的二元一次方程组 中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.
解：由方程组
得x=2m-1
y=m+4.
因为x的值为负数，y的值为正数，
1.认真阅读课本，独立完成练习。
2.按照例题格式，严格规范书写过程。
3.重点学会观察数轴，找到解集的公共部分。
【合作探究】15分钟
1.独立完成，合作交流，互相帮助。
第36讲 大数定律
第36讲大数定律2问题的提出：上一讲中，提到的“频率的稳定值记为概率”, 意味着这个结论可以用“大数定律”来描述.lim 0A n n P p n ε→∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭()(),01.0,0,: 1A A n n n A A pp n lim P p n εε→+∞<<∀>⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭记为重贝努里试验中事件发生的次数并记事件在每次试验中发定理贝努里大数定律：生的概率为则对于有,.An P p n n −−→→+∞即当3(,),A n B n p ~(),()(1),A A E n np D n np p ==-{}A A n P p P n np n n εε⎧⎫-≥=-≥⎨⎬⎩⎭222(1)(1)np p p p n n εε--≤=0,→.n →+∞当0≤0.A n n lim P p n ε→+∞⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭从而An n A 由于为重贝努里试验中事件发生的次数，证明： 故那么0,ε∀>根据切比雪夫不等式，则对于有4贝努里大数定律的重要意义：提供了用大量重复独立试验中事件出现频率的极限值来确定概率的理论依据, 使得概率的概念才有严格的意义.5提供了通过试验来确定事件概率的方法——可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计. 例如：想估计某产品的不合格品率p , 可以随机抽取n （n 较大）件, 将n件产品的不合格品的比例作为p 的估计.大数定律(Laws of Large Numbers)121,,,,,,,.n n n X X X X X Y n n μ++=→∞ 内容：设是一列随机变量则在一定条件下随机变量序列,收敛到当,()i i X E X μ=当期望相同时()()() 123n Y μμ问题：随机变量序列收敛到的含义？是什么？一定条件是什么？依概率收敛6定理2(切比雪夫大数定律的推论)：1221,,,,,1 ,. n n P i i X X X X n n μσμ=−−→→+∞∑ 为相互独立的随机变量且具有相同的期望，相同的方差，那么当 22111111,()(),()(). n n nn i n i n i i i i Y X E Y E X D Y D X n n nn σμ========∑∑∑记则,n Y 对应用切比雪夫不等式得0,. n →→+∞当0≤2(){|()|}n n n D Y P Y E Y εε-≥≤22n σε=证明：712,,,,,11{}{},{0}1,1,2,.2 1n i i i X X X P X i P X i P X i i i ===-===-= 设随机变量相互独立且它例们的分布律为：1,()0,i i E X ≥=由于对任意的有 {,1},, i X i ≥所以相互独立期望、方差相同由定理2知22211()()0()()1,22i i D X E X i i i i ==+⋅+-⋅=11,.nP i i X n n μ=−−→→+∞∑当 解：11.n i i X n =∑请讨论的收敛性8存在前面的定理要求随机变量的方差存在但当随机提供了求随机变量X 的数学期望E (X )的近似值的方法:若目的是寻求X的期望，则这样做可以不必考虑X的分布！如可用浙大300个学生的平均身高作为整个浙大学生的平均身高的近似值！辛钦大数定律的意义将随机变量X 独立重复地观察n 次, 记第k次观测值为,k X 则相互独立, 且与X 具有同样的分布.12,,, n X X X 那么, 当E (X )存在时, 由辛钦大数定律, 可知当n 充分大时, 可将n 次的平均作为E (X )的近似.11n i i X n =∑101212111,,,,,,~(1,1).111(1),(2),(3), 2 n nnni i i i i k X X X X U X X X n n n n ===-→+∞∑∑∑ 设随机变量相互独立同分布则分别依概率收敛吗？如果依概率收敛分别收敛于什么？(当 例：时)12112122221212111,,,,,,,(),,,,,,(),,,,,,()111,, n n n n n n i i i i i i X X X E X X X X E X X X X E X X X X n n n ===∑∑∑ 由辛钦大数定律相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;相互独立同分布存在;故 均依概率收敛.解：11大数定律的Excel模拟可以看实验9.1()0,E X =那么 11111(),22E X x dx -==⎰同理，12211(),E X x d x -==⎰11231~(1,1) X U -注意到，110,nPi i X n =−−→∑故111||,2nP i i X n =⇒−−→∑2111.3nP i i X n =⇒−−→∑1212112,,,,,~(0,1),,3n n n X X X X U X X X 设随机变量独立同分布则依概率收敛吗？如果依概率收敛例：收敛于什么？,(),()(), Pn P n X a f x a f X f a n −−→−−→→∞若在点连续则当时.,. 不能直接使用大数定律因为不是算术分析平均的形式：, 回想关于依概率收敛还有一个很：好的性质13111,ln (ln ln ).nn n n n n Y X X Z Y X X n=⋯==+⋯+记令1110ln ,,ln ,,(ln )ln 1,n X X E X xdx ==-⎰则相互独立同分布又,1,.Pn Z n −−→-→+∞那么由辛钦大数定律知故当 1,.nZ Pn Y e e n -=−−→→+∞利用依概率收敛的性质，得当 解：14。
第36课课件定稿 省一等奖课件
诊断练习
1. 若点 P(m,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在
—3 直线 2x＋y=3 的下方，则 m＝________.
2 、已知点 Q(5,4) ，动点 2x－y＋2≥0， P(x ， y) 满足 x＋y－2≤0， y－1≥0，
则 |PQ| 的最小值为
5 ________ ．
面区域，指出 x 、 y 的取值范围；
解析：不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及 右下方的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及 右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及左方 的点的集合.
x y 5 0 例1、画出不等式组 x y 0 ，表示的平面区域。 x 3
要点解析
1．利用特殊点或知识梳理结论1能快速准确作出二 元一次不等式（组）表示的区域；作图时要关注 边界是否可取； 2．利用图解法解线性规划问题的一般步骤： • （1）写出可行解的不等式组，画出可行域； • （2）建立目标函数，作出目标函数的等值线； • （3）在可行域内平移目标函数的等值线，确定最 优解。
第36课 二元一次不等式组与简单的线性规划
回顾要求
1、 阅读必修五第 81—83 页，完成以下任务： （1）复习二元一次方程和平面直角坐标系中直线对应的关系， 理解二元一次不等式组所对应的点（x,y）表示的区域。 （2）会在坐标平面内表示二元一次不等式、二元一次不等式组 所对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等 式或二元一次不等式组。
解析
1 此时kAC=1= , ∴a=-1， a y 的几何意义是区域内动点与P(-1,0)连线的斜
xa
率.
中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析
第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四 由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
高三文科数学《第36讲 不等式的综合应用》
课前演练
5. 已知x (0， )，则M 3 2 范围是 A. [ 3， 3 3] C . [2 3， 4]
sin2 x
3
cos 2 x
的取值 ）
（
B . [ 3， 3 3) D. [2 3， 4)
课前演练
5. 已知x (0， )，则M 3 2 范围是 A. [ 3， 3 3] C . [2 3， 4]
典例精讲
画面面积为 4840 例3. 设计一幅宣传画，要求 2 cm ，画面的宽与高的比为 ( 1)，画面上、 下各留8cm 的空白，画面的左、右 各留5cm 的空白. （1）怎样确定画面的宽与 高的尺寸，能使宣 传画的纸张面积最小？ 2 3 （2）如果要求 [ ， ]，那么为何值时，能 3 4 使宣传画所用纸张面积 最小？
sin2 x
3
cos 2 x
的取值
（ D）
B . [ 3， 3 3) D. [2 3， 4)
典例精讲
)上 例1. 设函数f ( x ) x x x b在(0， 2 是增函数，若对任意 x [1， 2]，f ( x ) b 恒 成立，求实数 b的取值范围 .
3 2
课前演练
4. 已知△ABC，C 90，a、b、c为三边， ab 则 的取值范围是 （ ） c ab ab A. 0 2 B. 0 2 c c ab ab C. 1 2 D. 1 2 c c
课前演练
4. 已知△ABC，C 90，a、b、c为三边， ab 则 的取值范围是 （ C ） c ab ab A. 0 2 B. 0 2 c c ab ab C. 1 2 D. 1 2 c c
典例精讲
高三文科数学《第36讲 不等式的综合应用》
第36讲 不等式的综合应用知识要点：课前演练：.)51()()10122ln()(.12，的定义域为，则设函数x f x x x f -+-= 4||.4||.2||.||.|)()(|12)(.22121212121εεεεεε>-<-<-<-<-+-=x x D x x C x x B x x A C x f x f x x f ）（但不必要条件是成立的一个充分，使得，对任意的正数已知 )8[.)81[.)181[.]810[.1)11)(11)(11(.3∞+∈=++---=+，，，，）（的取值范围是，则、、，其中且设D C B A D M R c b a c b a c b a M21.21.20.20.90.4≤+≤≤+<≤+<<+<+︒=∠c b a D c b a C c b a B c b a A C c b a c b a C ABC ）（的取值范围是为三边，则、、，，已知△ )432[.]432[.)333[.]333[.33)20(.522cos sin，，，，）（的取值范围是，则，已知D C B A D M x x x +=∈π .247023)64()13(.6<<-=+--a a a y x 的取值范围是的两侧，则在直线，和，点典例精讲：.)(]21[)0()(.1223的取值范围恒成立，求实数，，上是增函数，若对任意，在设函数例b b x f x b x x x x f <-∈∞+++-=.0)9()3()()11(22的取值范围求实数，又是减函数，且的奇函数，已知定义域为例a a f a f x f y <-+-=- 所用纸张面积最小？为何值时，能使宣传画，那么，）如果要求（的纸张面积最小？高的尺寸，能使宣传画）怎样确定画面的宽与（的空白各留的空白，画面的左、右画面上、下各留，，画面的宽与高的比为画面面积为设计一幅宣传画，要求例λλλλ]4332[21.58)1(4840.32∈<cm cm cm备选例题：.25.51.2，道路网总长度最短）问中心道长为多少时（范围；，试求中心道长的取值过）若道路网总长度不超（距离相等，如图所示，使各农庄到中心道德中心道及四条支道组成网有一条有通道的道路网，道路个使得任何两个村庄都经济，政府决定建立一展的正方形顶点上，为发恰好坐落在边长为、、、某地区有四个村庄km km D C B A最小？），能使矩形广告面积宽的尺寸（单位：，怎样确定广告的高与的宽度为，两栏之间的中缝空白，四周空白的宽度为和为分），这两栏的面积之形栏目（即图中阴影部个矩含有大小相等的左右两一张矩形广告，该广告湖北卷）如图，要设计（cm cm cm cm 510180002008.12。
2021年沪科版七年级数学下册第七章《不等式的基本性质》公开课课件.ppt
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THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/14
谢谢观看
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020 4:55:48 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/142020/12/142020/12/14Dec-2014-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/142020/12/142020/12/14Monday, December 14, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/1412/14/2020
圆的面积总大于正方形的面积，即 l 2 l 2
4 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质
解释这一结论吗？
4 16
（根据不等式的基本性质2）
1 1 4 16 l2 0
l2 l2 4 16
应用新知
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3
A.a>b
B.ab>0
C. a 0 b
D.-a>-b
专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析(原卷版)
专题36 双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析考点一 单函数双任意型【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝ln x x＋ax ＋b 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线l ：2x －4y ＋3＝0平行． (1)求证：函数y ＝f (x )在区间(1，e)上存在最大值；(2)记函数g (x )＝xf (x )＋c ，若g (x )≤0对一切x ∈(0，＋∞)，b ∈⎝⎛⎭⎫0，32恒成立，求实数c 的取值范围．[例2] 已知函数f (x )＝(log a x )2＋x －ln x (a >1)．(1)求证：函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；(2)若关于x 的方程|f (x )－t |＝1在(0，＋∞)上有三个零点，求实数t 的值；(3)若对任意的x 1，x 2∈[a －1，a ]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1恒成立(e 为自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．[例3] 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2ln x ．(1)若函数y ＝f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若x 1∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，且f (x 1)≥t ＋f (x 2)恒成立，求实数t 的取值范围．[例4] 已知函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax ．+X+K](1)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；(2)令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h (x 1)－h (x 2)x 1－x 2＞1，求实数a 的取值范围；[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－3x ．(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，求函数f (x )的极小值；(2)若a ＝1，对于任意x 1，x 2∈[1，10]，当x 1<x 2时，不等式f (x 1)－f (x 2)>m (x 2－x 1)x 1x 2恒成立，求实数m 的取值范围．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x，其中a 为实常数． (1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值； (2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求b 的最小值．2．设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx ．(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．3．设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4，5)及任意x 1，x 2∈[1，2]，恒有a －12m ＋ln2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2－x e ln x (其中e 为自然对数的底数)． (1)证明：f (x )≤f (e)；(2)对任意正实数x 、y ，不等式a ⎝⎛⎭⎫2x －y e (ln y －ln x )－2x ≤0恒成立，求正实数a 的最大值．5．设函数f (x )＝ln x ＋k x，k ∈R ． (1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围．6．已知函数f (x )＝x －1－a ln x (a <0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若对于任意的x 1，x 2∈(0，1]，且x 1≠x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|<4⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，求实数a 的取值范围．7．设f (x )＝e x －a (x ＋1)．(1)若∀x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求正实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋a e x ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y ＝g (x )上任意两点，若对任意的a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围．考点二 双函数双任意型【例题选讲】[例6] 已知函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝ax 2＋1，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )在区间[1，e]上的单调性；(2)已知a ∉(0，e)，若对任意x 1，x 2∈[1，e]，有f (x 1)>g (x 2)，求实数a 的取值范围．[例7] 已知函数f (x )＝x e x ＋x －1，g (x )＝ln x ＋1e(e 为自然对数的底数)． (1)证明：f (x )≥g (x )；(2)若对于任意的x 1，x 2∈[1，a ](a >1)，总有|f (x 1)－g (x 2)|≤2e 2－1e＋1，求a 的最大值．[例8] 已知函数f (x )＝x 2－2a ln x (a ∈R )，g (x )＝2ax .(1)求函数f (x )的极值；(2)若0＜a ＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围.【对点训练】8．已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ．若对任意x 1，x 2∈[－3，3]，都有f (x 1)≤g (x 2) 成立，求实数c 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －1－a ln x (a ∈R )，g (x )＝1x． (1)当a ＝－2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若a <0，且对任意x 1，x 2∈(0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<4×|g (x 1)－g (x 2)|，求实数a 的取值范围．10．设f (x )＝x e x ，g (x )＝12x 2＋x ． (1)令F (x )＝f (x )＋g (x )，求F (x )的最小值；(2)若任意x 1，x 2∈[－1，＋∞)，且x 1>x 2，有m [f (x 1)－f (x 2)]>g (x 1)－g (x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．考点三 任意存在型【例题选讲】[例9] 设函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a ∈R )．(1)已知函数在定义域内为增函数，求a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋2ln ax ＋26x，对于任意a ∈(2，4)，总存在x ∈⎣⎡⎦⎤32，2，使g (x )＞k (4－a 2)成立，求实数k 的取值范围．[例10] 已知函数f (x )＝2ln x 2－3x －6x ＋1． (1)求f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝ln x －ax ，若对任意x 1∈(1，＋∞)，存在x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．[例11] 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )． (1)当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性； (2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4．当a ＝14时，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．[例12] 已知x ＝1e为函数f (x )＝x a ln x 的极值点． (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝kx ex ，若对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈R ，使得f (x 1)－g (x 2)≥0，求k 的取值范围．[例13] 已知函数f (x )＝e x sin x －cos x ，g (x )＝x cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数．(1)判断函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数，并说明理由； (2)∀x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使得不等式f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，试求实数m 的取值范围．[例14] 已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，g (x )＝e x －1－x ．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，∀m ∈[a －1，a ]，∃n ∈[a －1，a ]，使f [(n )]2－λg (m )<0成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【对点训练】11．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋1的单调递减区间是(1，2)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[2，＋∞)，使不等式12x 31－x 1ln x 1－x 1t ＋3＞f (x 2)成立，求实数t 的取值范围．12．已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．13．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )． (1)当a ＝1时，证明：f (x )≤－2；(2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若∀x 1∈(0，2)，∃x 2∈[1，2]，f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的最小值；(2)若函数g (x )＝x e x ，对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．15．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0，2]，均存在x 2∈(0，2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．16．函数f (x )＝e x sin x ，g (x )＝(x ＋1)cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数．(1)求f (x )的单调区间；(2)对∀x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∃x 2∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，求实数m 的取值范围．考点四 存在任意型【例题选讲】[例15] 已知函数f (x )＝ln x ＋a x，a ∈R ． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(x －k )e x ＋k ，k ∈Z ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．当a ＝1时，若∃x 1∈(0，＋∞)，∀x 2∈(0，＋∞)，不等式5f (x 1)＋g (x 2)＞0成立，求k 的最大值．[例16] 已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x ． (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．[例17] (2021·天津)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x e x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明函数y ＝f (x )存在唯一的极值点；(3)若存在实数a ，使得f (x )≤a ＋b 对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【对点训练】17．已知f (x )＝1－x ax＋ln x ，(a ∈R ，且a ≠0)． (1)试讨论函数y ＝f (x )的单调性；(2)若∃x 0∈(0，＋∞)使得∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )≥f (x 0)恒成立，且f (x 0)≥0，求满足条件的实数a 的取值集合．18．已知函数f (x )＝x －m ln x －m －1x (m ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x ． (1)若m <e ＋1，试求f (x )在[1，e]的最小值；(2)当m ≤2时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．19．已知函数f (x )＝ln x ，h (x )＝ax (a ∈R )．(1)若函数f (x )与h (x )的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，都有函数y ＝f (x )＋m x 的图象在g (x )＝e x x的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说明理由．参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，e≈1.648 7 ，3e≈1.395 6．20．已知向量m ＝(e x ，ln x ＋k )，n ＝(1，f (x ))，m ∥n (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，F (x )＝x e x f ′(x )．(1)求k 的值及F (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )＝－x 2＋2ax (a 为正实数)，若对于任意x 2∈[0，1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，求实数a 的取值范围．考点五 双存在型【例题选讲】[例18] 已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)求函数f (x )的极小值；(2)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．[例19] 已知函数f (x )＝x －a ln x ＋b x在x ＝1处取得极值. (1)若a >1，求函数f (x )的单调区间；(2)若a >3，函数g (x )＝a 2x 2＋3，若存在m 1，m 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得|f (m 1)－g (m 2)|<9成立，求a 的取值范围．【对点训练】21．已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a ＝e(e 是自然对数的底数)时，求函数f (x )的单调区间；(2)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，求实数a 的取值范围．22．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1＋mx 2，当0＜m ≤6时，g (x )＝x 3－4x－mx ，x ∈(0，2]，若存在x 1∈R ，x 2∈(0， 2]，使f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．23．设x ＝3是函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e 3－x (x ∈R )的一个极值点．(1)求a 与b 之间的关系式，并求当a ＝2时，函数f (x )的单调区间；(2)设a >0，g (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2＋254e x ．若存在x 1，x 2∈[0，4]使得|f (x 1)－g (x 2)|<1成立，求实数a 的取值范围．。
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第 36 讲 不等关系与不等式
【课程要求】 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．
【基础检测】
概念辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或
“×”)
(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a>b，a＝b，a<b
∴ba2＋ab2≥1a＋b1，∴x≥y. [答案] D
ab
(2)若 a>0，b>0，则 p＝ (ab) 2 ，q＝abba 的大小关 系是( )
A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q
ab
[解析]
因为
p>0，q>0，所以pq＝
(ab) 2 abba
ab ba
＝a 2 b 2Байду номын сангаас
ab
a 2
＝ b ，
＝－2a－122＋12<12.
即 a<2ab<12，
又 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－12＝12，
即 a2＋b2>12，
a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)， 又 2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0， ∴a2＋b2<b， 综上，a<2ab<12<a2＋b2<b.
[答案] A
3．[必修 5p75B 组 T1]若 0<a<b，且 a＋b＝1，则
将
a
，
b
，
1 2
，
2ab
，
a2
＋
b2
按从小到大排列为
________________．
[解析] ∵0<a<b 且 a＋b＝1，
∴a<12<b<1，∴2b>1 且 2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
(4)可乘性：a>b，c>0⇒__a_c_>_b_c_；a>b，c<0⇒__a_c_<_b_c__；a>b>0，
c>d>0⇒_a_c_>_b__d_；
11
(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒___a_<__b____；
(6)乘方性质：a>b>0⇒__a_n>__b_n (n≥2，n∈N*)；
(7)开方性质：a>b>0⇒_n_a_>_n__b__(n≥2，n∈N*)．
[答案] a<2ab<12<a2＋b2<b
易错提醒 4．设 a，b∈R，则“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若 a>2 且 b>1，则由不等式的同向可加性可 得 a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得 ab>2×1＝2.即“a>2 且 b>1”是“a＋b>3 且 ab>2”的充 分条件；反之，若“a＋b>3 且 ab>2”，则“a>2 且 b>1” 不一定成立，如 a＝6，b＝12.所以“a>2 且 b>1”是“a ＋b>3 且 ab>2”的充分不必要条件．故选 A.
[答案] B
[小结](1)作差法：一般步骤：①作差；②变形； ③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因 式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方 式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作 差．
若 a>b>0，则ba>1，a－b>0，∴pq>1； 若 b>a>0，则 0<ba<1，a－b<0，∴pq>1； 若 a＝b，则 p＝q；所以 p≥q.
[答案] A
(3)若 a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则( ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c [解析] 对于函数 f(x)＝lnxx，f′(x)＝1－xl2n x， 易知当 x>e 时，函数 f(x)单调递减． 因为 e<3<4<5，所以 f(3)>f(4)>f(5)， 即 c<b<a.
4．不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a__<__b1； ②a<0<b⇒1a__<__b1； ③a>b>0，0<c<d⇒ac__>__bd； ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b1__<__1x__<__1a.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①ba<ba＋＋mm；ba>ba－－mm(b－m>0)； ②ba>ba＋＋mm；ba<ba－－mm(b－m>0)．
三种关系中的一种．( )
(2)若ba>1，则 a>b.(
)
(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不
等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(6)a>b>0，c>d>0⇒da>bc.( ) (7)若 ab>0，则 a>b⇔1a<b1.( )
[答案] A
5
．
若
－
π 2
<α<β<
π 2
，
则
α－β
的取值范围是
__________．
[解析] 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β， 得－π<α－β<0.
[答案] (－π，0)
【知识要点】
1．不等式的定义
用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起
来，所得的式子叫做不等式．
2．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔__a_>_b__；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔__a_<__b_．
3．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔__b_<_a__； (2)传递性：a>b，b>c⇒__a_>_c__； (3)可加性：a>b⇔_a_＋__c_>__b_＋__c__；a>b，c>d⇒__a_＋__c_>__b_＋__d__；
[ 答 案 ] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)√
教材改编 2．[必修 5p74T3]若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0” 是“a2－b2>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] a－ b>0⇒ a> b⇒a>b≥0⇒a2>b2， 但由 a2－b2>0 a－ b>0. 则“ a> b”是“a2－b2>0”的充分不必要条 件，故选 A.
比较两个数(式)的大小
例 1 (1)已知实数 a，b 满足 a＋b>0，则 x＝ba2＋
ab2与 y＝1a＋b1的大小关系为(
)
A．x>y B．x<y C．x≤y D．x≥y [解析] x－y＝ba2＋ab2－1a＋b1＝a－b2b＋b－a2 a ＝(a－b)b12－a12＝（a＋b）a2（b2a－b）2. ∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴（a＋b）a2（b2a－b）2≥0，