七年级初一数学下册第9章不等式与不等式组91不等式912不等式的性质导学案3新人教

9、1 不等式的性质

德育目标：观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，在独立思考和小组交流中学习。

学习目标：1、理解不等式的性质。

2、能运用不等式的性质进行正确的不等式的变形。

学习重点：理解并掌握不等式的性质。

学习难点: 如何正确运用不等式的性质。

学习过程：一、课堂引入：（知识复习）

等式有哪些性质？

性质1：

性质2：

不等式也有类似的性质吗？这节课我们一起来学习不等式的性质。

二、自学教材学生自学课本P116—117 思考

①比一比，谁能最准最快的填写。

7﹥4

7+3 _______4+3，

7+0_______4+0，

7+（－2）_ _ 4+（－2），

7+（－3）_ _4+（－3），

7+c _______4+c

若a < b，则a+c _ _b+c

你能发现什么？

不等式性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同、一个数或式子，不等号的方向______。

②比一比，哪一组能最齐最准最快填写。

7 > 4

7×3_______4×3，

7×2_______4×2，

7×1_______4×1，

你能发现什么？

不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向_____。

③比一比，谁最细心最快的填写。

7 > 4

7×（－1）____4×（－1），

7×（－2）____4×（－2），

7×（－3）____4×（－3），

你能发现什么？

不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向_____

2、小组合作完成表格：

不等式的基本性质

文字表示符号表示

(1)不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向

若a

(2) 不等式的两边都乘以（或除以）

同一个正数，不等号的方向

若a0,

则ac bc(或 )

3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向

若a

则ac bc(或 )

7>4

7-3 _______ 4-3，

7-2 _______4-2，

7-0 _______4-0，

7-（－2）____4-（－2），

7-（－3）____4-（－3），

7>4

7÷3_______4÷3

7÷2_______4÷2

7÷1_______4÷1

7>4

7÷（－1）____4÷（－1），

7÷（－2）____4÷（－2），

7÷（－3）____4÷（－3），

辅导教师帮助学生：归纳运用不等式的性质时要注意什么？

三、自学例题 例1、设a>b,用“<”或“>”填空。 a+2 b +2 a —3 b —3 —4a —4b 2a 2b

①议一议： 若 5 > 3 ； 则有5+y__﹥__ 3+y

则5 y ____ 3 y ； 5 y 2 3 y 2

你认为这样做的根据是什么？ ②判一判:

(1) 若 x ﹥y ， 则 x － z ﹤ y － z （ ）

(2) 若 x ﹤0， 则 3x ﹤ 5x （ ）

(3) 若 x ﹥y ， 则 xz 2 ﹥ yz 2 （ ）

四、当堂练习。（学生活动：先进行小组讨论，然后独立完成，再进行小组交流和评价）

（A 组）1、练一练：设a>b,用“<”或“>”填空。

① 若a ＞—b ，则a+b 0。 ② 若—a ＜b ，则a —b 。

③—a ＞—b ，则2—a 2—b 。 ④ a ＞0，且（1—b ）a ＜0，则b 1。

2、填一填：用“<”或“>”填空。

① a —3 b –3， ② —4a —4b.

③ 2—3a 2—3b ④ －2a ＋5 －2b ＋5.

（B 组）3、运用不等式的性质填空’

① 若—m>5，则m _____ — 5 ② 如果x/y>0, 那么xy _____ 0

③ 如果a>—1,那么a —b ____ —1—b ； ④ 若a ＜b ，b ＜2a —1，则a ＿2a —1

（C 组）4、选一选：

(1)由 x ＞y 得 ax ＞ay 的条件是（ ）

A 、a ＞0

B 、a ＜0

C 、a ≥0

D 、a ≤0

(2)由 x ＞y 得 ax ≤ay 的条件是（ ）

A 、a ＞0

B 、a ＜0

C 、a ≥0

D 、a ≤0

(3)由 a ＞b 得 am 2＞bm 2 的条件是（ ）

A 、m ＞0

B 、m ＜0

C 、m ≠0

D 、m 是任意有理数

(4)若 a ＞1，则下列各式中错误的是（ ）

A 、4a ＞4

B 、a+5＞6

C 、 －2a

﹤－21 D 、a-1＜0

板书设计： 9、1 不等式的性质1

不等式的性质1：

不等式的性质2：

不等式的性质3：

五、学习反思

七年级下学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）

A ．783230x y x y +=??+=?

B ．782330x y x y +=??+=?

C ．302378x y x y +=??+=?

D ．303278

x y x y +=??+=? 【答案】A

【解析】该班男生有x 人，女生有y 人．根据题意得：303278x y x y +=??

+=?

， 故选D ．

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．

2．下列说法错误的是（ ）

A ．半圆是弧

B ．所有内角都相等的多边形是正多边形

C ．三角形的三个外角中，最多有三个钝角

D ．三角形的三条角平分线交于一点

【答案】B

【解析】根据圆的有关概念对A 进行判断，根据正多边形的定义对B 进行判断，根据三角形的有关概念对C ，D 进行判断即可.

【详解】A. 半圆是弧，此说法正确，不符合题意；

B ．各边都相等且各内角都相等的多边形是正多边形，此说法错误，符合题意；

C. 锐角三角形的三个外角中，有三个钝角；直角三角形的三个外角中有两个钝角；钝角三角形的三个外角中有两个钝角；故此说法正确，不符合题意；

D. 三角形的三条角平分线交于一点，此说法正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题考查了圆的有关概念，多边形的概念以及三角形的有关概念，熟练掌握这些概念是解决此题的关键． 3．一个长方体的长为0.02米，宽为0.016米，则这个长方形的面积用科学记数法表示为（ ） A ．224.810m -?

B ．323.210m -?

C ．423.210m -?

D ．320.3210m -? 【答案】C

【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：面积是0.00032=3.2×

10-4m 2， 故选：C ．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．已知是一个完全平方式，则的值可能是（）

A．B．C．或D．或

【答案】D

【解析】利用完全平方公式的特征判断即可得到结果.

【详解】解: 是一个完全平方式，

∴=或者=

∴-2(m-3)＝8或-2(m-3)＝-8

解得:m=-1或7

故选:D

【点睛】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

5．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（）

A．34 B．35 C．36 D．37

【答案】C

【解析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有8组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．

【详解】令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）

其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t ＝x+y＝9的正整数解有8组，

∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36，

故选C．

【点睛】

本题考查了不定方程的正整数解，规律题，将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再根据题中给出的规律求解是解题的关键.

6．如图，AB∥CD ，AF交CD于点E，DF⊥AF于点F，若∠A＝40°，则∠D＝（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【答案】B

【解析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠DEF=∠A，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可求解．

【详解】解：∵AB∥CD，∠A=40°，

∴∠DEF=∠A=40°，

∵DF⊥AF，

∴∠D=180°-90°-40°=50°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

7．下列说法正确的是()

A．经过一点有无数条直线与已知直线平行

B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

D．以上说法都不正确

【答案】C

【解析】根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可解题.

【详解】解：A. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,

B. 在同一平面内，（经过直线外一点）有且只有一条直线与已知直线平行,所以错误,

C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行,正确.

故选C.

【点睛】

本题考查了平面内平行线的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2019次输出的结果为（）

A．3 B．27 C．9 D．1

【答案】A

【解析】根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，然后解答即可．

【详解】第1次，1

2

×81＝27，

第2次，1

2

×27＝9，

第3次，1

2

×9＝3，

第4次，1

2

×3＝1，

第5次，1+2＝3，

第6次，1

2

×3＝1，

…，

依此类推，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，

∵2019是奇数，

∴第2019次输出的结果为3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了代数式求值，根据运算程序计算出从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3是解题的关键．

9．不等式3x-2>-1的解集是（）

A．x>B．x-1 D．x<-1

【答案】A

【解析】由移项、合并同类项、系数化为1即可解答.

【详解】移项得，3x＞-1＋2，

合并同类项得，3x＞1，

把x的系数化为1得，x＞．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解决问题的关键.

10．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）

A．B．C．

D．

【答案】D

【解析】试题分析：根据三角形的高线的定义可得，则D 选项中线段BE 是△ABC 的高.

考点：三角形的高

二、填空题题

11．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P(a ，b) ，若点 P ' 的坐标为(a + kb ， ka + b) （其中k 为常数，

且k ≠ 0) ，则称点 P ' 为点 P 的“ k 属派生点”，例如： P(1， 4) 的“2 属派生点”为P '(1+ 2 ? 4，

2 ?1+ 4). 即 P '(9，6) 若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“ k 属派生点”为 P '点，且线段 PP ' 的长度为线段OP 长度的

3 倍，则k 的值_____．

【答案】±

1． 【解析】设P （m ，0）（m ＞0），由题意可得：P′（m ，mk ），根据PP′=1OP ，构建方程即可解决问题；

【详解】解：设P （m ，0）（m ＞0），由题意可得：P′（m ，mk ），

∵PP′=1OP ，

∴|mk|=1m ，∵m ＞0，

∴|k|=1，

∴k=±1．

故答案为±

1． 【点睛】

本题考查坐标与图形的性质、“k 属派生点”的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，已知//a b ，一块含30角的直角三角板如图所示放置，245∠=，则1∠等于______度.

【答案】1

【解析】先过P 作PQ //a ，则PQ //b ，根据平行线的性质即可得到3∠的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．

【详解】如图，过P 作PQ //a ，

a //

b ，

PQ //b ∴，

BPQ 245∠∠∴==，

APB 60∠=，

APQ 15∠∴=，

3180APQ 165∠∠∴=-=，

1165∠∴=，

故答案为1．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．

13．如图，在ABC ?中，D 、E 、F 分别是AC 、BD 、CE 的中点，BCE ?的面积为1，则ACF ?的面积为_____.

【答案】1

【解析】根据三角形的中线的性质即可求解.

【详解】∵BCE ?的面积为1，EC 为△BCD 的中线，

∴BCD ?的面积为2

∵BD 是△ABC 的中线，∴ABC ?的面积为4

连接AE,

∵E 点是BD 的中点，△ABC 与△ACE 都是以AC 为底，

∴△ABC 以AC 为底的高是△ABC 高的一半

∴△ACE 的面积为2，

再由AF 是△ACE 的中线，

故ACF ?的面积为1.

【点睛】

此题主要考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟知三角形的中线平方面积.

14．已知33+的整数部分为m ，33-的小数部分为n ，则m n +的值为__．

【答案】63-

【解析】根据3的范围求出33+和33-的范围，即可求出m 、n 的值，代入求出即可．

【详解】解：132<<，

4335∴<+<，231-<-<-，

1332∴<-<，

33+的整数部分为m ，33-的小数部分为n ，

m 4∴=，n 33123=--=-，

m n 42363∴+=+-=-，

故答案为：63-．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出m 、n 的值是解此题的关键．

15．对于给定的两点,M N ，若存在点P ，使得三角形PMN 的面积等于1，则称点P 为线段MN 的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

点()()()1,0,0,2,1,3P A B . 若将线段OP 沿y 轴正方向平移()0t t >个单位长度，使得线段AB 上存在线段OP 的“单位面积点”，则t 的取值范围是_____.

【答案】01t <≤或45t ≤≤

【解析】设线段AB 上存在线段OP 的“单位面积点”是Q ，分两种进行讨论情况：①线段OP 在AB 的下方；②线段OP 在AB 的上方．

【详解】

解：设线段AB 上存在线段OP 的“单位面积点”是Q ，分两种情况：

①线段OP 在AB 的下方时，OPA OPQ OPB S

S S ≤≤，

∵OP=1，S △OPQ =1，

∴Q 到OP 的距离为21=21

? ， 而OA=2，BP=3， ∴可将线段OP 沿y 轴正方向平移t≤3-2=1个单位长度，

又t ＞0，

∴0＜t≤1；

②线段OP 在AB 的上方时，OPB OPQ OPA S

S S ≤≤， ∵OP=1，S △OPQ =1，

∴Q 到OP 的距离为21=21

?， 而A （0，2），B （1，3），

∴可将线段OP 沿y 轴正方向平移2+2≤t≤3+2，即4≤t≤1个单位长度，

综上，t 的取值范围是0＜t≤1或4≤t≤1．

故答案为0＜t≤1或4≤t≤1．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，进行分类讨论与数形结合是解题的关键． 16．已知长方形的周长为28，面积为1．则分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积和是_____．

【答案】2

【解析】分别设出长方形的长与宽为a 、b ，则由题意可知a+b ＝14，ab ＝1，则a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ＝196﹣96＝2，即为所求．

【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，

∴a+b ＝14，ab ＝1，

由题可知，两个正方形面积和为a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ＝196﹣96＝2，

故答案为2．

【点睛】

本题考查完全平方公式的应用；熟练掌握完全平方公式，并能灵活变形应用是解题的关键．

17．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．

【答案】同位角相等，两直线平行．

【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行

考点:平行线的判定

三、解答题

18．已知关于 x ， y 的二元一次方程组325x y a x y a -=-??+=?

（a 为实数）． （1）若方程组的解始终满足1y a =+，求a 的值．

（2）已知方程组的解也是方程31bx y +=（b 为实数，0b ≠ 且6b ≠-）的解．

①探究实数a ，b 满足的关系式．

②若a ，b 都是整数，求b 的最大值和最小值．

【答案】（1）2a =；（2）①624ab a b ++=；②b 有最大值10，b 有最小值22-.

【解析】（1）用加减消元法进行求解，即可得到答案；

（2）①将21y a =-代入方程①，得到方程组的解为221

x a y a =+??=-?，由题意方程组的解也是方程31

bx y +=的解，计算即可得到答案.

②由624ab a b ++=可得462

a b a -=+，因为a ，b 都是整数，进行计算即可得到答案. 【详解】（1）将方程组②-①，得363

y a =- ∴21y a =-

1y a =+

∴211a a -=+

∴2a =

（2）①将21y a =-代入方程①，可得2x a =+

∴方程组的解为221x a y a =+??=-?

方程组的解也是方程31bx y +=的解

∴()()23211b a a ++-=

∴624ab a b ++= ②由624ab a b ++=可得462

a b a -=+ ∴()()46221662166222

a a

b a a a -+--+===-+++ a ，b 都是整数

∴21a +=±，2±，4±，8±，16±

∴当21a +=时，b 有最大值10

当21a +=-时，b 有最小值22-.

【点睛】

本题考查二元一次方程组和分式，解题的关键是掌握加减消元法求解.

19．已知：6()m n a a =，23()m n a a a ÷=，求224m n +的值.

【答案】33

【解析】幂乘方的运算，同底数幂相除，完全平方公式

【详解】∵(a m )n =6，a （2m-n ）=3a ∴ mn=6, 2m －n=3

∴4m 2+n 2=（2m-n ）2+4mn=33

【点睛】

幂乘方的运算：(a m )n =a mn

同底数幂相除：a m ÷a n =a m-n

完全平方公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2、(a-b)2=a 2-2ab+b 2

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(﹣1，5)，B(﹣1，0)，C(﹣4，3)．

(1)△ABC 的面积是 ．

(2)在图中画出△ABC 向下平移2个单位，向右平移5个单位后的△A 1B 1C 1．

(3)写出点A 1，B 1，C 1的坐标．

【答案】（1）7.5；（2）见解析（3）A 1(4,3),B 1(4,?2),C 1(1,1).

【解析】（1）根据三角形面积求法得出即可；

（2）根据已知将△ABC 各顶点向下平移2个单位，向右平移5个单位得到各对应点即可得出答案； （3）利用（2）中平移后各点得出坐标即可．

【详解】(1)△ABC 的面积是：12

×3×5=7.5； (2)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；

(3)点A 1,B 1,C 1的坐标分别为：A 1(4,3),B 1(4,?2),C 1(1,1).

故答案为（1）7.5；（2）如图（3）A 1(4,3),B 1(4,?2),C 1(1,1).

【点睛】

本题考查了作图-平移变换及三角形面积的求法，正确平移图像的各顶点坐标是解题的关键.

21．解不等式组：3123

31

22x x x x +<+???->??

①②，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．

【答案】12x <<－

【解析】分别解两个不等式得到x ＜2和x>-1，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集. 【详解】解：31233122x x x x +<+???->??

①②， 由① 得3231x x －＜－．

∴2x <，

由② 得431x x >－，

∴1x >-．

∴不等式组的解集为：12x <<－．

在数轴上表示解集，如图：

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．确定不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

22．解不等式组.

（1）解不等式2(1)12

x x ---< （2）解不等式组3(2)4,12 1.3x x x x --≥-??+?>-??

【答案】（1）x>-2;(2)x ?1

【解析】（1）根据如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1解答即可． （2）分别解出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可．

【详解】(1)去分母得：(x?2)?2(x?1)<2，

去括号得：x?2?2x+2<2，移项得：x?2x<2，

合并同类项得：?x<2，系数化为1得：x>?2.

(2)

3(2)4

12

1

3

x x

x

x

--≥-

?

?

?+

>-

??

①

②

由①得：x?1，

由②得：x<4，

不等式组的解集为x?1.

【点睛】

本题考查不等式的解集，解题关键在于熟练掌握计算法则.

23．某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品2件和B种商品1件需45元；若购进A种商品3件和B种商品2件需70元．

（1）A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过1000元，最多能购进A种商品多少件？

【答案】（1）A商品的进价是20元，B商品的进价是5元；（2）最多能购进A种商品33件．

【解析】【试题分析】（1）列二元一次方程组求解；

（2）列一元一次不等式求解即可.

【试题解析】

（1）设A商品的进价是a元，B商品的进价是b元，

根据题意得：，

解得：，

答：A商品的进价是20元，B商品的进价是5元；

（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，

根据题意得：20x+5（100﹣x）≤1000，

解得：x≤33，

∵x为整数，

∴x的最大整数解为33，

∴最多能购进A种商品33件．

24．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用2辆小客车和1辆大客车每次可运送学生85人，用3辆小客车和2辆大客车每次可运送学生150人.

(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？

(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：

①请你设计出所有的租车方案；

②若小客车每辆租金300元，大客车每辆租金500元，请选出最省线的租车方案，并求出最少租金.

【答案】 (1)每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；(2)①租车方案有三种：方案一：小客车20辆、大客车0辆；方案二：小客车11辆，大客车4辆；方案三：小客车2辆，大客车8辆；②最省钱的是租车方案三，最少租金是4600元.

【解析】(1)设每辆小客车能坐x 人,每辆大客车能坐y 人根据题意可得等量关系:2辆小客车座的人数+1辆大客车座的人数=85人;3辆小客车座的人数+2辆大客车座的人数=150人,根据等量关系列出方程组,再解即可

(2)①根据题意可得小客车m 辆运的人数+大客车n 辆运的人数=400,然后求出整数解即可;②根据①所得方案和小客车每辆租金300元,大客车每辆租金500元分别计算出租金即可

【详解】(1)设每辆小客车能坐x 人，每辆大客车能坐y 人，

据题意；28532150x y x y +=??+=?

， 解得：2045

x y =??=?， 答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；

(2)①由题意得：2045400m n +=， ∴8049

m n -=， ∵m 、n 为非负整数，

∴200m n =??=?

或114m n =??=?或28m n =??=?， ∴租车方案有三种：

方案一：小客车20辆、大客车0辆，

方案二：小客车11辆，大客车4辆，

方案三：小客车2辆，大客车8辆；

②方案一租金：300206000?=(元)，

方案二租金：3001150045300?+?=(元)，

方案三租金：300250084600?+?=(元)，

∴最省钱的是租车方案三，最少租金是4600元.

【点睛】

此题考查二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，解题关键在于列出方程

25．解不等式组：3(2)41213x x x x --≥??+?-