一元函数微积分学内容提要
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第四部分 一元函数微积分
第11章 函数极限与连续[内容提要]
一、函数：(138-141页）
1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。
2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反
三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。
3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.
二、极限：
1、极限的概念：(141-142页)
定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向
于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞
→lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{}
n x 发散。
定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,)
U x δo
内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于
A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0
。
左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向
于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0
0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。
右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向
于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0
0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。
定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义，
若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，
)(x f 以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞
= 。
左极限：设函数)(x f 在(,]a -∞上有定义 ，若x →-∞时，)(x f 的值无限趋近于
常数A ，则称当x →-∞时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =-∞
→)(lim 。
右极限：设函数)(x f 在[,)a +∞上有定义 ，若x →+∞时，)(x f 的值无限趋近于
常数A ，则则称当x →+∞时，)(x f 以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞
= 。
注意：①极限与左右极限的关系
A x f x x =→)(lim 0
⇔ 00(0)(0)f x f x A -=+=
lim ()x f x A →∞
=⇔ lim ()lim ()x x f x f x A →-∞
→+∞
==．
②讨论极限0
lim ()x x f x →时，与()f x 在0x 处是否有定义无关，与函数值0()f x
也无关。
2、极限的性质：(143页)
（1）唯一性：若lim ()f x 存在，则极限值唯一。
（2）有界性：若0
lim ()x x f x A →=（lim ()x f x A →∞
=），则()f x 在0(,)U x δo
内（x
充分大时）是有界的；
（3）保号性： 设A x f x x =→)(lim 0