一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分第11章 函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。

2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ϕ=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。

3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{}n x 发散。

定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,)U x δo内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。

左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A -→-==。

右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作00(0)lim ()x x f x f x A +→+==。

定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义，若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞= 。

左极限：设函数)(x f 在(,]a -∞上有定义 ，若x →-∞时，)(x f 的值无限趋近于常数A ，则称当x →-∞时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =-∞→)(lim 。

右极限：设函数)(x f 在[,)a +∞上有定义 ，若x →+∞时，)(x f 的值无限趋近于常数A ，则则称当x →+∞时，)(x f 以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 。

注意：①极限与左右极限的关系A x f x x =→)(lim 0⇔ 00(0)(0)f x f x A -=+=lim ()x f x A →∞=⇔ lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==．②讨论极限0lim ()x x f x →时，与()f x 在0x 处是否有定义无关，与函数值0()f x也无关。

2、极限的性质：(143页)（1）唯一性：若lim ()f x 存在，则极限值唯一。

（2）有界性：若0lim ()x x f x A →=（lim ()x f x A →∞=），则()f x 在0(,)U x δo内（x充分大时）是有界的；（3）保号性： 设A x f x x =→)(lim 0，如果0>A （或0<A ），则在0(,)U x δo内，有0)(>x f （或0)(<x f ）； 反之，如果在0(,)U x δo内有0)(≥x f （或0)(≤x f ），则必有0≥A （或0≤A ）． 推广：设A x f x x =→)(lim 0，0lim ()x x g x B →=，如果A B <，则在0(,)U x δo内，有()()f x g x <；反之，如果在0(,)U x δo内有()()f x g x ≤，则必有A B ≤。

注意： 当x →∞时，保号性结论类似。

3、无穷小量与无穷大量：(146-149页) （1）无穷小量与无穷大量的概念及关系：无穷小量：若0()lim ()0x x x f x →→∞=，则称函数()f x 为0 ()x x x →→∞或时的无穷小量。

（无穷小量是函数有极限的特殊情形，即0()lim ()0x x x f x →→∞=）无穷大量：若0 ()x x x →→∞或时，()f x 无限变大，则称()f x 为0x x →()x →∞或时的无穷大量。

（无穷大量是函数没有极限的特殊情形；即0()lim ()x x x f x →→∞=∞）（2）值得注意的几个关系： ① 极限与无穷小量关系：lim ()f x A =⇔()f x A α=+，（其中α为无穷小，即lim 0α=）； ②在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大量，则1()f x 为无穷小量；若()f x （()0f x ≠）为无穷小量，则1()f x 为无穷大量。

③若0()lim ()x x x f x →→∞=∞，则称()f x 在00(,)U x δ（或x M >）内为无界函数。

即无穷大量必为无界函数，但无界函数不一定为无穷大量。

例如：()sin f x x x =在(,)-∞+∞为无界函数，但当x →∞时，()f x 不是无穷大量。

（3）无穷小量的比较：设x →∆时， ()0 , ()0x x αβ→→ 且 ()lim()x x c x αβ→∆=，1）若0c ≠为常数，则称x →∆时()x α与 ()x β为同阶无穷小； 特别的：当1c =时，则称x →∆时()x α与 ()x β是等价无穷小，记作：x →∆时()()x x αβ:。

2）若0c =，则称x →∆时()x α是比 ()x β高阶的无穷小，记作()(())x o x αβ= ；3）若c =∞，则称x →∆时()x α是比 ()x β低阶的无穷小。

（4）无穷小量的替换定理：设x →∆时，(), (),x x αβ11(), ()x x αβ都是无穷小量， 且1()()x x αα:1()()x x ββ:，极限11()lim()x x x αβ→∆存在，则()lim ()x x x αβ→∆=11()lim ()x x x αβ→∆。

例：222001cos 12lim lim tan 2x x x x x x →→-==；2200113lim lim 339x x x x x x x →→==---三、函数的连续性 1、连续的概念：（149-147页）2定义： 函数()f x 的不连续点叫其间断点. 分类：设0x 为()f x 的间断点（1）若0(0)f x -及0(0)f x +均存在，则0x 叫()f x 的第一类间断点，若0(0)f x -=0(0)f x +（即0lim ()x x f x →存在）0x 叫()f x 第一类可去间断点；（2）若0(0)f x -及0(0)f x +有一个不存在，则0x 叫()f x 的第二类间断点. 3、连续函数的运算：（148页）（1）四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.（2）反函数的连续性：若原函数单值、单调且连续，则其反函数也单值、单调且连续.（3）复合函数的连续性：两个连续函数所复合成的复合函数必连续. （4）初等函数的连续性：结论 ：一切基本初等函数在其定义域均连续.初等函数在其定义区间均连续.4、闭区间上连续函数的性质: （148-149页） （1）有界性：设()f x 在[,]a b 上连在续，则()f x 在[,]a b 上有界.（2）最值定理：设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必有最大值M 和最小值m .即∃12 , [,]x x a b ∈，使得[,]x a b ∀∈，有12()()()m f x f x f x M =≤≤=.（3）零点存在定理：设()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则 (,)c a b ∃∈，使得()0f c =.（函数值为零的点叫该函数的零点）（4）介值定理：设()f x 在[,]a b 上连续，()()f a f b ≠，C 是介于() ()f a f b 与之间的任何实数，则必 (,)a b ξ∃∈，使得()f C ξ=.推论：闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.四、计算极限的常用方法：（类型：00，∞∞，0⋅∞，∞-∞，0∞，1∞，00 等等）★（1）观察法：例如：0n =；222232lim lim 33x x x x x →∞→∞-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；lim 0 (1)n n q q →∞=<。

★（2）四则运算法则：若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则i ）B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[ii ）AB x g x f x g x f ==)(lim )(lim )]()(lim[ 推广：lim ()lim ()kf x k f x kA ==（k 常数），[]lim ()lim ()nn n f x f x A ==（n 自然数） iii ）)0()(lim )(lim )()(lim≠==B BAx g x f x g x f ★ （3）两个重要极限公式： 1sin lim 0=→x x x ，e xxx =+∞→)11(lim 或 10lim(1)x x x e →+=★（4）利用函数的连续性：若()f x 在点0x 处连续，则)()(lim 00x f x f x x =→．★（5）利用无穷小量的性质： 在同一自变量的变化过程中，i ）有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量； ii ）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量； iii ）无穷小量与有极限的变量之积仍是无穷小量； iv ）若 ()αα不恒为零为无穷小量，则1α为无穷大量． v ）无穷小量的等价代换：当0x →时：sin x x :， tan x x :， arcsin x x :，arctan x x :，ln(1)x x +:，1xe x -:，1ln xa x a -:1:xn， x cos 1-:22x ．★（7）极限存在的充要条件：A x f x x =→)(lim 0⇔ 00(0)(0)f x f x A -=+=lim ()x f x A →∞=⇔ lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==★ （8）洛必达法则（00或∞∞）：若00 ()()lim ()lim ()0x x x x x x f x g x →→→∞→∞==（或∞）， ()()lim()x a x f x g x →→∞''存在（或为∞），则 ()()()()lim lim()()x a x a x x f x f x g x g x →→→∞→∞'='第12章一元函数微分学[内容提要]一、导数与微分：1、导数概念：(156-159页)（2）导数的几何意义： 00d ()d x x y k f x x='==切线，曲线)(x f y =在点M )(00y x ，处的切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程： 0001()()()y f x x x f x -=--' （3）可导与连续的关系：定理：若函数)(x f y =在点0x 处可导 ，则函数在该点必连续. 注意： 可导⇒连续，但连续却不一定可导. 2、导数的运算：（1）基本导数公式（共16个）（159-161页）（2）求导法则（160-165页）（3）、高阶导数的公式及法则：()()ln x n n x n a a a λλλ= 特例： x n x e e =)()()2sin()(sin )(π⋅+=n x x n ， )2cos()(cos )(π⋅+=n x x n ，[]1()(1)(1)!ln(1)(1)n n n n x x ---+=+， ()()11!(1)n nnn n a ax b ax b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+[]()()()()n n Cu x Cu x =，（C 为常数）[]()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±3、微分概念: (165-166页)（1）微分的定义： 设函数)(x f y =在0(,)U x δ内有定义，00(,)x x U x δ+∆∈且)()(00x f x x f y -∆+=∆()A x o x =⋅∆+∆其中A 是不依赖于x ∆的常数，而()o x ∆是比x ∆高阶的无穷小量，则称)(x f y =在点x 处可微， 其中A x ⋅∆称为)(x f y =在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即dy A x =⋅∆ 或 dy A dx =⋅．（2）可微与可导的关系：定理 函数)(x f y =在点x 处可微⇔)(x f y =在点x 处可导．且 ()A f x '=，d ()y f x dx '=⋅（注意：可微⇔可导）（3）微分的几何意义)(x f y =在0x 处的微分0d ()y f x dx '=⋅的几何意义是：dy PQ =（切线MT 的增量）．0()tan f x α'=（切线MT 的斜率）．（4）微分的基本公式和四则运算法则（162-163页） 基本公式：()()df x f x dx '= 或 dy y dx '=（略）微分的四则运算法则： d[()]d ()Cu x C u x =（C 为常数）d[()()]d ()d ()u x v x u x v x ±=±d[()()]()d ()()d ()u x v x u x v x u x v x =⋅+⋅ 2()()d ()()d ()d[]()()u x v x u x u x v x v x v x ⋅-⋅= (()0)v x ≠ ()()df u f u du '=（一阶微分形式的不变性）二、中值定理与导数应用：1、中值定理：（167-168页）2、洛必达法则：计算极限00 ,, 0, , 1, 0∞∞⋅∞∞-∞∞∞，00（168-171页）.3、函数的单调性与极值（171-175页）：注意：由定义知：极值概念是局部性的，最值概念是整体性的。