高中数学竞赛辅导初等数论不定方程

不定方程

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.

1．几类不定方程 （1）一次不定方程

在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程

)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下

定理.

定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。

（2）沛尔)(pell 方程

形如12

2

=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的

解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]

n n

n n n n x x x y x x ⎧=+-⎪⎪

⎨⎪=-⎪⎩

（1,2,3,

n =）给

出.

①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,

满足的关系：1(n

n x y x y +=+；112

11222n n n n

n n x x x x y x y y ----=-⎧⎨

=-⎩ ， （3）勾股方程2

2

2

z y x =+

这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程2

2

2

z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为

2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且

1),(=b a 的任意整数.

4．不定方程zt xy =

这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：

设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为

d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给

出的t z y x ,,,都是解.

也可采用如下便于记忆的推导： 设

d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出d

c

，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==

2．不定方程一般的求解方法

1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法

6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法

由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程4

4

2

x y z +=无正整数解。

证明：假设4

4

2

x y z +=存在正整数解，其中z 最小的解记为0z 。因为()

()2

2

2

22x

y z +=，

根据勾股方程的通解公式有222222

0,2,x a b y ab z a b =-==+，其中,a b 一奇一偶，

(),1a b =。从222

x a b =-可以得到a 为奇数，b 为偶数，令2b s =，224y ab as ==，

其中(),1a s =，所以22,,(,)1a t s q t q ===。由222

x a b =-得244

4x t q =-，即

244

4x q t +=，又可以通过勾股方程的通解公式

222222,22,,(,)1x l m q lm t l m l m =-==+=，注意到2q lm =，所以22

00,l l m m ==，24400t l m =+，而420z t b t =+>，与0z 的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。

赛题精讲

例1．（1）求不定方程3710725x y +=的所有解； （2）求不定方程719213x y +=的所有解。

解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数,s t ，使得

371071s t +=。如10723733,371334,3481=⨯+=⨯+=⨯+，依次反代即可得到一个

特解。 （2）213197y x -=

，可以取353027

y

x y -=-+，此时可以得到2y =。从而得到一个特解。

注：这个两个方法是基本方法。

例2．求所有满足方程81517x

y

z

+=的正整数解

解析：首先从同余的角度可以发现y 必须为偶数，81517x

y

z

+=，又15y

的个位数必须为5，而8x

的个位数为2，4，或6，17z

的个位数为3，9，1，所以0,2(mod 4)x ≡，对应的

0,2(mod 4)

z ≡。这样可以令

2y k

=，

2z l

=，可以得到

2281715(1715)(1715)x l k l k l k =-=-+，注意到17,15l k 均为奇数，两个的和和差必定是

一个单偶，一个双偶，从而31

1715217152

l k l k x -⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，目标集中于17152l k

-=，观察有解()(),1,1l k =。当2k ≥时，两边取模17可以得到()(1)2mod9k

-≡矛盾。所以仅有解

()2,2,2

例3．a 为给定的一个整数，当a 为何值时，方程3

1(1)y a xy +=-有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。

解：3

1(1)y a xy +=-可以变形为3

3

3

3

3

1(1)x y y x y a xy -+++=-，这样

()333(1)|xy y x y -+，一个明确的事实()31,1xy y -=，从而()3(1)|1xy x -+。这样我们

得到()

33(1)|1(1)|1(*)xy x xy y -+⇔-+。不妨假设,y x y x =>两种情况。 （1）y x =

33

2

211

1(1)11

y y a y a y y y ++=-⇔==+--，从这个代数式发现，2y =，对1y =单独讨

论，有2(1)a x =-，1,3;2,2a x a x ====，这种情况共有解：

()()1,3,1;22,1a a =⇔=⇔；()32,2a =⇔，注意到*式的等价性，又有解 ()()14,1,3;91,2a a =⇔=⇔