高等代数考研专题(A)

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2022年重庆理工大学考研真题812高等代数(A卷)

重庆理工大学2022年硕士研究生招生考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学考试科目（代码）：高等代数812(A 卷)（试题共2页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题与答卷一并随原信封交回。

一、填空题（本题25分，每小题5分）1.有理数域Q 上的多项式5432()221f x x x x x x =--++-的典型分解式是_______________；2.设A 是5阶矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中有1个向量，则A 的伴随矩阵*A 的秩*()R A =_______________；3.设A ，B 均为n 阶正定矩阵，则AB 为正定矩阵是AB BA =的__________条件（填充分、必要、充分必要，或既不充分也不必要）；4.已知线性方程组12312112323120x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则____________a =；5.设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围是_______________。

二、(本题15分)证明多项式12()1p p f x x x x --=++++ 在有理数域Q 上是不可约的，其中p 是一个素数。

三、(本题10分)求n 阶行列式n x x x y xx y x D x y x x yx xx=的值。

四、(本题15分)设矩阵A 的伴随矩阵*1000010010100308A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪-⎝⎭，且113ABA BA I --=+，其中I 为4阶单位矩阵，求矩阵B 。

五、(本题15分)设A 是n 阶矩阵，证明：A 的秩()1R A =的充分必要条件是存在两个n 维非零列向量α和β，使得TA αβ=。

六、(本题15分)设非齐次线性方程组为123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩。

2021-2022年部分高校高等代数考研真题

A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5

1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题

1．在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数2．在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3．设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。

数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。

用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。

在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。

试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。

令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题本试卷满分150分考试时间 3小时日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

上海大学高等代数历年考研真题

2000上海大学高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和.(三) B A ,分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵, n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明: m n ⨯阶矩阵n A I X B ⎛⎫=⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r A a A a A a ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f gg ==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核⇔,fg f g f g ==.2001上海大学高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X =的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()A A a A A =，求证'm A A a E =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n nAA-≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A a A a Aa Aa Aa a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0. （七）设A a B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'10a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A 为A 的行列式）.2002 上海大学高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a a ax a aA B aa x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）计算kB （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p pp n p p A p n p p p n pppp--------=--------，A 是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i rika k a k a ++++= ，则121,r k k k +或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a aA a a x a aaax=（A 为n 阶矩阵），2AA B AA ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，（2）若200120232B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为ka -（k 为正整数）（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GA G E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,A a a B a V βββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.（2）求'0A A X =的解（X 是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E A B =-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求nA .(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证：（1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。

昆明理工大学考研试题高等代数(2015-2016年)

1. (10 分) 设 p 是一个奇素数, 多项式 f (x) x p px 1. 证明: f (x) 在有理数域上不可约.
2. (10 分) 计算 n 阶行列式
a1 a2 a1 a2
an an .
a1
a2 an
3. (15 分) 若向量组1,2 ,,s s 2 线性无关, 讨论
1 1 1
5、（15 分）求 A 2 1 0 的逆矩阵。
1
1
0
6、（20 分）设V 是数域 F 上全体 n 阶方阵构成的空间，V1 是V 中全体对称方阵构成的子空间，V2 是V 中全体反对称方阵构成的子空间。证明：V V1 V2 。
7、（15 分）设1, 2 , , n 是线性空间V 中一组向量，T 是V 的一个线性变换。证明： T (L(1, 2 , ,n )) L(T1, T2 , , Tn ) 。
利用维数公式证明：W1 W2 .
10. (10 分) 设 (x1, x2 ,, xn ), ( y1, y2 ,, yn ) 为实空间 Rn 中任意两个向量, A (aij ) 为
n 阶实矩阵. 证明： Rn 对于内积 A T 做成欧氏空间的充要条件是 A 为正定矩阵.
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昆明理工大学 2015 年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)
8.
设矩阵
A
2 3
x 1
2 1
与
B
0 0
2 0
0 y
相
似，
则
x=
，y
=
。
1 1 1
9.
欧氏空间
R3
中一组基
0
,
1
,
1
的度量矩阵是
。

昆明理工大学考研历年真题之高等代数2007--2014年考研真题

昆明理工大学2007年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：803 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2008年硕士研究生招生入学考试试题(A卷) 考试科目代码：837 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学、应用数学、系统理论、系统分析与集成考生答题须知5．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

6．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

7．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

8．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2009年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)考试科目代码：837考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：计算数学,应用数学,系统理论,系统分析与集成考生答题须知9．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

10．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

11．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

12．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

昆明理工大学2010年硕士研究生招生入学考试试题(A 卷)考试科目代码：833 考试科目名称：高等代数试题适用招生专业：070102计算数学、070104应用数学、071101系统理论、071102系统分析与集成考生答题须知13．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

考研高等代数真题答案

考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。

若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。

答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。

答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。

证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。

根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。

两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。

由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。

2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。

2019年重庆理工大学高等代数考研真题A卷

2019年重庆理工大学高等代数考研真题A 卷一、填空题（每题4分，共20分）1. 设A 为n 阶方阵,Ax =0 有非零解, 则A 必有一个特征值是______.2. 设3维列向量 1α,2α,3α 线性无关,A 是3阶方阵,且 112323A αααα=++,23223A ααα=+,23334A ααα=-,则 ||A =_______.3. 已知3阶方阵A 的特征值为1,2,2-，则A 的伴随矩阵*A 的迹（主对角线元素之和）为________.4. 在3R 中, 若线性变换T 关于基1α,2α,3α的矩阵为123103215A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则T 关于基1α,12αα+,123ααα++ 的矩阵为________.5. 设n 阶方阵1111a a a aa a A aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1, 则a =__________.二、（15分）（1）（7分）证明：3(1)5f x x x -=+在有理数域上不可约；（2）（8分）求432()3552x x x x x f +++-=的全部有理根.三、（15分）设1013211000120032A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,（1）（7分）计算13233343A A A A +-+的值, 其中ij A 是||A 中元素ij a 的代数余子式；（2）（8分）问A 是否可逆？若A 可逆，求1*1(5)4A A --，其中*A 为A 的伴随矩阵.四、（20分）设有向量组 ()A ：213312,1,1333a a a a a a a ααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭及向量20a a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 问a 为何值时（1）（6分）向量β可由向量组()A 线性表示，且表示式唯一；（2）（7分）向量β可由向量组()A 线性表示，但表示式不唯一；（3）（7分）向量β不能由向量组()A 线性表示.五、（20分）设非齐次线性方程组 ()Ax b b =≠0,秩A r =,（1）（10分）若Ax b =有一个解 *η, 12,,,n r ξξξ-⋯是其导出组Ax =0的一个基础解系, 证明： *12,,,,n r ηξξξ-⋯线性无关；（2）（10分）若 12,,,s ηηη⋯为Ax b =的解，证明：1122s s k k k x ηηη=+++也是Ax b =的解，其中 12,,,s k k k ⋯为实数, 且121s k k k +++=.六、（20分）已知A 、B 为n 阶方阵,2n A B AB E --=,2A A =,其中n E 为n 阶单位矩阵,（1）（10分）证明：A B -可逆, 并求其逆（用A 或B 表示）；（2）（10分）若 100031062A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求矩阵B .七、（20分）已知二次型 22212312313,,)2(2T f x x x x Ax x x x bx x ==++-,且()1,1,1T-是矩阵A 的一个特征向量,（1）（6分）求b 的值；（2）（7分）求正交变换x Py =, 将二次型123,,)(T x x f x x x A =化为标准形；（3）（7分）当2T x x =时, 求123,,)(T x x f x x x A =的最大值.八、（20分）设1302A ⎛⎫=⎪⎝⎭,22K ⨯是数域K 上所有2阶方阵构成的集合,（1）（8分）证明：{}22,W B AB BA B K ⨯∈==是22K ⨯的子空间；（2）（12分）求W 的一般形式、基和维数.。

福州大学2008年高等代数考研试题A卷及解答 (1)

福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题，每题15分一、填空题（每小题4分，满分20分）1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________；【答案解析】：22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________；【答案解析】：124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域，在线性空间[]n P x 中，多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________；【答案解析】：(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中，向量1(1,2,2,3)α=，2(3,1,5,1)α=的夹角为________；【答案解析】：455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则nA =________；【答案解析】：101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题（每小题5分，满分25分）6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解；【考察重点】：求非齐次线性方程组的通解，属于简单计算题，掌握知识点即可。

【答案解析】：解：142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==，得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ，2k 为任意常数。

2019年全国硕士研究生招生考试研究生高等代数A卷试题及参考答案

2019年全国硕⼠研究⽣招⽣考试研究⽣⾼等代数A卷试题及参考答案姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕⼠研究⽣招⽣考试初试⾃命题试题科⽬名称：⾼等代数（√A 卷□B 卷）科⽬代码：614考试时间： 3 ⼩时满分 150 分可使⽤的常⽤⼯具：□⽆□计算器□√直尺□√圆规（请在使⽤⼯具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的⼀律⽆效；考完后试题随答题纸交回。

⼀、选择题(共8⼩题，每⼩题5分，共40分)1、设,A B 均是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）。

（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A --与1B B --相似2、设矩阵21111214A a a ??= ，21b d d ?? ?= ?，集合{}1,2Ω=，则线性⽅程组Ax b =有⽆穷多解的充分必要条件是（）。

(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω3、⼆次型()123,,f x x x 在正交变换X PY = 下的标准形为2221232+-y y y ，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则()123,,f x x x 在变换X QY =下的标准形是（）。

(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V 的维数是（）。

（A ） 4维（B ） 16维（C ） 8维（D ） 10维5、设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数k ，l ，向量组1α＋3αk ，2α＋3αl 线性⽆关是向量组1α，2α，3α线性⽆关的（）。

（A ）必要⾮充分条件（B ）充分⾮必要条件（C ）充分必要条件（D ）⾮充分⾮必要条件6、设A 是3阶⽅阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满⾜AQ C =的可逆矩阵Q 为（）。

研究生高等代数复习题

研究生高等代数复习题本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！1.设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换且2=AA ,证明:（1）A 的特征值为1或0；（2）{}1(0)()A V ααα-=-∈A;（3）1(0)()V V -=⊕AA .2.已知A 是n 维欧氏空间的正交变换，证明：A 的不变子空间W 的正交补W ⊥也是A的不变子空间．3.已知复系数矩阵=A 123401230012001?? ? ? ? ???，（1）求矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分） 4.已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++，(0)a >通过某个正交变换可化为标准形22212325f y y y =++，（1）写出二次型对应的矩阵A 及A 的特征多项式，并确定a 的值；（2）求出作用的正交变换.6.设A为n 阶方阵，{}1|0nW x R Ax =∈=，{}2|()0nW x RA E x =∈-=证明A 为幂等矩阵，则12nR W W =⊕.7.若设W={}()(1)0,()[]nf x f f x R x =∈,证明：W 是[]nR x 的子空间，并求出W 的一组基及维数.8.设V 是一个n 维欧氏空间，12,,,mαααL 为V 中的正交向量组，令{}(,)0,,1,2,,iW V i m αααα==∈=L（1）证明：W 是V 的一个子空间；（2）证明：()1 2,,,mWL ααα⊥=L .9.试求矩阵3100110030534131A -=---?? ?的特征多项式、最小多项式. 10.在线性空间n P中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)nnxx x x x σ=L L（1）证明：σ是nP 的线性变换.（2）求值域()n P σ及核1(0)σ-的基和维数.11.证明二次型22111(,,)()2nnn i i i i f x x n x x n ===-≥∑∑L ()是半正定的. 12.求λ的值，使222123412321223134(,,,)()222f x x x x x x x x x x x x x x λ=+++-++是正定二次型. （12分）13.设111333222A -=----?? ? ? ???（1）求A 的不变因子.（2）求A 的若当标准形. 14.设4R 的线性变换A 在标准基下的矩阵为2111121111211112A ----=----?? ?，（1）求A 的特征值和特征向量，（2）求4R 的一组标准正交基，使A 在此基下的矩阵为对角矩阵.15.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵为1021121312552212A -=--??（1）求线性变换A 的秩，（2）求线性变换A 核与值域. 16.求正交变换使二次型22112223244x x x x x x -+-化为标准形，并判定该二次型是否正定. 17.设125,,,e e e L 是5维的欧几里得空间5R 的一组标准正交基，112(,,)V L ααα=，其中12321243125,,45e e e e e e e eααα=+=-++=-+，求1V 的一组标准正交基. 18. 设()ijA a =是n n ?矩阵，其中{,1,a i j a iji j≠== （1）求det A 的值；（2）设}{0W X AX ==，求W 的维数及W 的一组基. 19.设T是线性空间3R 上的线性变换，满足3 (,,),()(,,)x y z R x y y z z x αα'=∈=+++T ，求T在基{}(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)'''下的矩阵.20.设A 是n 维线性空间V上的线性变换，12,,,nεεεL 是V 的一组基.如果A 是单射，则12,,,nεεεL A A A 也是一组基.21.二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =+-，1）写出二次型f 的矩阵A ；2）求出A 的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.22.求方阵31113122A -=-?? ? ? ???的不变因子、初等因子和若当标准形. 23.设V 是n 维欧氏空间，n≥3, 给定非零向量Vα∈，令(,)::2(,)V V αβα?ββααα→-a 证明：（1）αφ是正交变换；（2）如果123,,,,nααααL 是正交基，则存在不全为零实数12,,nk k k L 使得1212nn k k k αααφφφ+++L 是V 上的恒等变换.24.12,V V 是120n x x x +++=L 和10,1,2,,1i i x x i n --==-L 的解空间,则12nP V V =⊕.25.设σ和τ是线性空间[]P x 中依据如下方式定义的两个线性变换：(())()f x f x σ'=，(())()f x xf x τ=，求σττσ-.26.设欧氏空间中有12,,,,n βαααL，0β≠．112(,,,)n W L ααα=L ，212(,,,,)n W L βααα=L ，证明：如果(,)0iβα=，那么12dim dim W W ≠．27.求实二次型 123412131423(,,,)2242f x x x x x x x x x x x x =+++的规范形及符号差.（15分）28.设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1λ+，1λ+，23(1)(2)(3)λλλ+-+，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形.29.设V 为数域P上的n 维线性空间，且12(,,,)n VL ααα=L(1）证明：11212{,,,}n αααααα++++L L 是V的一组基；(2) 若V α∈在基12{,,,}n αααL 下的坐标为(,1,,21)n n -L ，求α在基11212{,,,}n αααααα++++L L 下的坐标. （14分）30.在三维空间3P中，已知线性变换T在基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)ηηη=-=-=下的矩阵是1 01110121-??，求T在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e e e ===下的矩阵.31.在线性空间nR 中，定义(,)x y xAy '=，21212(,),(,)x x x y y y R==∈，其中2336A -=-?? ???。

2019年全国硕士研究生招生考试研究生高等代数A卷试题及参考答案

姓名：报考专业：准考证号码：密封线内不要写题2019年全国硕士研究生招生考试初试自命题试题科目名称：高等代数（√A 卷□B 卷）科目代码：614考试时间： 3 小时满分 150 分可使用的常用工具：□无 □计算器 □√直尺 □√圆规（请在使用工具前打√）注意：所有答题内容必须写在答题纸上，写在试题或草稿纸上的一律无效；考完后试题随答题纸交回。

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)1、设,A B 均是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）。

（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A --与1B B --相似2、设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（）。

(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω3、二次型()123,,f x x x 在正交变换X PY = 下的标准形为2221232+-y y y ，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则()123,,f x x x 在变换X QY =下的标准形是（）。

(A) 2221232-+y y y(B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y(D) 2221232++y y y4、所有4阶对称矩阵按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V 的维数是（）。

（A ） 4维（B ） 16维（C ） 8维（D ） 10维5、设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数k ，l ，向量组1α＋3αk ，2α＋3αl 线性无关是向量组1α，2α，3α线性无关的（）。

（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件6、设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（）。

暨南大学810高等代数2010--2020年考研真题

0 1 0
使得 X 1AX
为对角矩阵，那么称
A 在 P 上可对角化。分别判断
A
0
0 1 能否在实数
2 3 1
域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16 分）用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得
空间，内积为 ( f , g) 1 f (x)g(x)dx 。设W 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W 0
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 f (x) 是有理数域 Q 上的多项式，则 f (x) 在有理数域 Q 上不可约的充分必
要条件是，多项式 g(x) f (x 11) 在有理数域 Q 上不可约。
二、在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（每小题 3 分，共 30 分）
3 求正交矩阵T ，使T ' AT 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。五（15 分）设V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间 (n 1) ，若有线性变换与向量使得 n1 0 ，但 n 0 。
1 证明 , , , n1 线性无关；
0 0
1
0
2 证明在某基下的矩阵是 A 0 1
四、（20 分）设线性方程组
3x1 2x2 x3 x4 1
x2
x2 2x3 2x4 1 ( 3)x3 2x4
x1 x2 x3 x4 0
讨论参量 , 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所

高等代数考研试题精选

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

(完整word版)2001-2016年安徽大学819高等代数考研真题及答案解析汇编

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云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题

学七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组

2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷

2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A 卷一、填空题（每小题3分，共30分）1. 设多项式()f x 分别除以(1),(1)x x +-，所得余式为1,3，则()f x 除以(1)(1)x x +-的余式为 .2. 设43224531211115478D =，则41424344A A A A +++= .3. 已知12243311A t-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为34⨯矩阵，且秩()3B =，若秩()2AB =，则t = .4. 设122212304A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(,1,1)T a α=，且A α与α线性相关，则a = . 5. 设有四个未知数的非齐次线性方程组Ax b =，已知系数矩阵的秩为3，方程组有三个解123,,ηηη，其中1(2,3,4,5)T η=，23(1,2,3,4)T ηη+=，则方程组的通解为 .6. 设1λ和2λ是3级实对称矩阵A 的两个不同的特征值，1(1,1,3)T ξ=，2(4,5,)T t ξ=是A 的属于特征值12,λλ的特征向量，则t = .7. 已知方阵A 满足26A A E O --=，则1(3)A E -+= .8. 若实二次型22212312312(,,)24f x x x x tx tx x x =+++是正定的，则t 的取值范围是 .9. n 维欧氏空间V 中，满足条件(),j j j ξξ=的正交基12,,...,n ξξξ的度量矩阵A = .10. 设V 为n 维欧氏空间，0α≠为V 中固定的向量，则子空间{}(,)0W x V x α=∈=的维数为 .二、计算题（共105分）1. （15分）计算n 阶行列式.a b bb b a bb b b ab b b ba2. （15分）设4[]P t 的两组基 (I) 2231234()1,()1,()1,()1f t f t t f t t t f t t t t ==+=++=+++(II) 2323231234()1,(),()1,()1g t t t g t t t t g t t t g t t t =++=++=++=++(1) 求由基(I)过渡到基(II)的过渡矩阵C ；(2) 求4[]P t 中在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式.3.（15分）已知矩阵100011110,101111110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++，求X .4.（20分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>所对应矩阵的三个特征值为1,2,5.(1) 求a ;(2) 求一正交变换x Py =, 将二次型化为标准形.5. (20分) 当,a b 取何值时，非齐次线性方程组1312312321322x x x x x x x ax b +=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ (1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解，并在无穷解时，求其通解.6.（20分）设3维欧氏空间V 中元素0α在V 的标准正交基123,,ξξξ下的坐标为(1,1,0)T -，定义V 的线性变换T 如下00()(,)()T V αααααα=+∀∈其中0(,)αα表示α与0α的内积.(1) 求线性变换T 在标准正交基123,,ξξξ下的矩阵A ；(2) 求V 的一组标准正交基123,,ηηη，使T 在该组基下的矩阵为对角矩阵.三、证明题（共15分）已知n n P ⨯的两个子空间}{1|,T n n V A A A A P ⨯==∈，}{2|,T n n V A A A A P ⨯==-∈证明： 12n n P V V ⨯=⊕.。

2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷

word文档——欢迎下载2020年广西民族大学高等代数考研真题A卷考生须知1．答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。

2．答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。

3．交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。

一、（15 分）已知多项式 f ( x )= x 4+ x 3+2 x 2+ x +1, g ( x )= x 3+2 x 2+2 x +1，求它们的最大公因式( f ( x ), g ( x))，并求它们的公共根。

二、（15 分）设 a1a2a n≠0，计算下列行列式的值，并给出 D =0的条件D=1+a1 2 3 n1 2 +a2 3 n1 2 3 +a3 n1 2 3 n + a n.三、（15 分）⎧x 1+ x 2- x 3=1已知线性方程组 ⎪⎨2 x 1+ 3 x 2+kx 3= 3 ，试讨论 k 取何值时，方程组无解、有唯一解 ⎪⎩x 1+ kx 2+3 x 3=2和有无穷多组解。

当有解时，写出其解表示式。

四、（15 分）已知 3 维线性空间V 有两组基：(I) {ε1,ε2 ,ε3}; (II) {-ε3, -2ε2 , -3ε1}（1）求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵；（2）若向量α 在基 (I) 下的坐标为 (1, 2, 3)T ，求α 在基 (II) 下的坐标。

五、（15 分）设 A 是一个3阶方阵，且满足下列等式求矩阵 A ，并求 A 的全部特征值。

六、（15 分）设 λ1 , λ2 , λ3 是 n 阶矩阵 A 的 3 个互不相同的特征值，α1 , α2 , α3 分别是 A 属于 λ1 , λ2 , λ3的特征向量，证明：α1+α2+α3不是 A 的特征向量．七、（20 分）设 A 是一个n 阶实对称矩阵，且 A < 0 ，证明：必存在 n 维向量 x =( x , x , , x )T ≠ 0 12 n使得 f ( x )= x T Ax <0.八、（20 分）已知 ε1 , ε2 ,ε3 是欧氏空间V 的一组标准正交基，设α1=ε1+ε2-ε3 , α2=ε1-ε2-ε3 , W = span{α1 , α2},(1)证明⎧⎨α1-α2,α1+α2⎫⎬和⎧⎨ε1+ε3⎫⎬分别是W 和W ⊥的标准正交基；222⎭⎩2⎭⎛ 0 -1 1 ⎫⎛ 0 0 3⎫ -1 2 ⎪ ⎪ A 1 ⎪ = 0 0 3 ⎪ 1 -1 ⎪ 0 0 3 ⎪ ⎝ 1 ⎭⎝ ⎭(2)求α=ε2+2ε3在W中的内射影β，即求β∈W，使α=β+γ, γ∈W⊥.九、（20 分）设 A 是 n 维欧氏空间V 的线性变换， A2= I (单位变换)，令V1={x x ∈ V , Ax = x}, V2={x x ∈V , Ax =-x}, 证明：V =V1⊕V2。

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