指数曲线模型的=
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方程组为:
n
t 1 n
t 1
nt yt nt tyt
n
n
a nt b ntt
t 1
t 1
n
n
a ntt b ntt
t 1
t 1
2
例2 根据前面给出的某市化纤零售量的统计资料, 试用折扣最小平方法预测1987年化纤零售量。
yˆ 年份 t 零售量 n--t nt (aαn=t y0t .8)nt tyt nt t nt t 2
一、最小平方法 最小平方法就是使误差平方和 Q ( yt yˆt )2 即Q ( yt a bt)2达到最小来估计a和b的方法。
a
1 n
n t 1
yt
b
1 n
n t 1
xt
y bx
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
(xt x)( yt y)
b t1 n
2 3
3n 6
7
t3
(n
2)
2 3
n
4 3
五项加权平均时,三点的坐标为:
M
1
(11 3
,
R),
M
2
(3n 6
7
,
S
),
M
3
(n
4 3
,T
)
三项加权平均时三点的坐标为:
M
1
(
7 3
,
R), M
2
(3n 6
5
,
S ), M
3
(n
2 3
,T
)
二次抛物线预测模型的参数估
计值
二次抛物线预测模型为: yˆt a bt ct 2
2、建立二次抛物线预测模型。列表计算有关数据。
年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 总计
年次t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 —
收购量yt 权数w 54.5 1 64.1 2 76.4 3 92.3 1 110.7 2 132.2 3 156.8 1 183.6 2 214.0 3 ——
aˆ 3636 404 9
t2
yˆ t yt yˆt ( yt yˆt )2
16 264.52 0.48 0.2304
9 299.39 -2.39 5.7121
4 334.26 -1.26 1.5876
1 369.13 0.87 0.7569
0 404.00
1
1
1 438.87 4.13 17.0569
t
1978 1 265 8 0.1678 44.467 44.467 0.1678 0.1678 265.79
1979 2 297 7 0.2097 62.2809 124.561 0.4194 0.8388 300.39
1980 3 333 6 0.2621 87.2793 261.837 0.7863 2.3589 334.99
根据上表资料计算得:
R 54.5 128.2 229.2 68.65 6
S 92.3 221.4 369.6 118.3833 6
(2)线性预测模型中的时间变量取值不同。
(3)模型适应市场的灵活性不同。
(4)随时间推进,建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测;平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为:
由于三个参数需三个方程估算,故将历史数据分解成三组:
2500 2000
销售额 销售额 二次趋势线
1500
1000
550000
0 11999966 11999977 11999988 11999999 22000000 22000011 22000022 22000033 22000044 22000055 22000066
2y2
3y3
4y4
5y5 )
S
1 15
(
yd
2
2 yd 1
3yd
4 yd 1
5yd2 )
T
1 15
(
y
n4
2 yn3
3yn2
4 yn1
5yn )
这三点的横坐标也应取加权平均值,即:
1
11 2
t1
(1 2 2 3 3 4 4 5 5) 15
3
3 3
t2
d
2 3
n 1 2
零售量为:
yˆ1987 404 34.87 5 578 .35(万米)
二、折扣最小平方法
折扣最小平方法就是对误差平方进行指数折扣
加权后,使其总和达到最小的方法。
n
其数学表达式为: Q nt ( yt yˆt )2
最近期的误差平方 ( yn
yˆ
t n
)12
的权数为
0,最
远期的误差平方的权数为 n1 。第t期的误差
单位:万担
1983 1984 1985 132.2 156.8 183.6 21.5 24.6 26.8
3.1 3.1 2.2
1986 214.0 30.4
3.6
解:1、选择预测模型。计算序列的一阶、二阶差分, 列于表中,从计算结果可看出,二阶差分是比较平稳 的。因此,可配合二次抛物线预测模型来预测。
1981 4 370 5 0.3277 121.249 484.996 1.3108 5.2432 369.60
1982 5 405 4 0.4096 165.888 829.44 2.048 10.24 404.20
1983 6 443 3 0.512 226.816 1360.89 3.072 18.432 438.80
解:列表计算有关数据。将计算的结果代入公式
得: 1958.7402 4.3289 27.6843b 13349.9187 27.6843a 200.8407b
解此方程组得: aˆ 231 .1832 , bˆ 34.6034
所求将直线各预年测的模t值型代为入:预yˆ测t 模 型23,1 .可18得32各年3的4.追60溯34 t
平方的权数为 nt。由于 0 1,... nt ... n1
是越来越小的权数,这说明对最近期的误差平
方不打折扣,而对远期的误差平方,越远打的
折扣越大。所以称为折扣最小平方法。
用折扣最小平方法来估计直线预测模型的参 n
数a、b,使
Q nt ( yt a bt)2 对此
t 1
式求偏导数,便得求参数a、b估计值的标准
若为偶数,可删去最初的一个观察期数据
设初、中、近期三点的坐标为 M1(t1, R), M 2 (t2 , S), M 3 (t3,T )
又设n为数列总项数,且为奇数,则:正中项
d
n 1 2
设各项观察值为 y1, y2 , , yd , yn ,五项加权平均
时,三个加权平均数为:
R
1 15
(
y1
求得的三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ坐标必须满足这模型。因此
五项加权平均时有:
R
a
11b 3
(11) 3
2
c
S
a
3n 6
7
b
(3n 6
7)2c
T
a
(n
4 )b 3
(n
4)2c 3
解方程组得 参数估计值为:
cˆ
2(R T 2S) (n 5)2
bˆ
T n
R 5
3n 3
7
cˆ
aˆ
R
11 3
bˆ
121 cˆ 9
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
(xt x)2
t 1
t 1
t 1
1 n
1n
1n
a
n
t 1
yt
b n
t 1
xt
n
t 1
yt
y
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
xt yt
b t1 n
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
xt2
wy t
54.5 128.2 229.2 92.3 221.4 396.6 156.8 367.2 642
—
yˆ t
54.962 64.743 77.436 93.043 111.563 132.995 157.341 184.600 214.771
—
( yt yˆt )2
0.21344 0.41345 1.07330 0.55205 0.74477 0.63203 0.29268 1.0000 0.59444 5.51616
同理,三项加权平均时, 参数估计值为:
cˆ
2(R T 2S) (n 3)2
bˆ
T n
R 3
3n 3
5
cˆ
aˆ
R
7 3
bˆ
49 9
cˆ
例4 某市1978~1986年某水产品收购量如表所示。试
预测1987年某水产品收购量。
某市某水产品收购量及其差分
年份 1978 1979 1980 1981 1982 收购量 54.5 64.1 76.4 92.3 110.7 一阶差分 __ 9.6 12.3 15.9 18.4 二阶差分 __ __ 2.7 3.6 2.5
常见的趋势线
y a bt
直线
y abt
指数曲线
y a bt ct2 dt3
y k abt
三次曲线
修正指数曲线
y a bt ct 2
二次曲线
y kabt
龚柏兹曲线
第一节 直线模型预测法
直线预测模型为: yˆt a bt
直线预测模型的特点,是一阶差分为一常数:
yˆt yˆt yˆt1 b
指数曲线模型的讲解
第一节 直线模型预测法 第二节 多项式曲线模型预测法 第三节 指数曲线模型预测法 第四节 修正指数曲线模型预测法 第五节 成长曲线预测模型
应用趋势延伸法有两个假设前提:
(1)决定过去预测目标发展的因素,在很 大程度上仍将决定其未来的发展;
(2)预测目标发展过程一般是渐进变化, 而不是跳跃式变化。
某市化纤零售量及其一阶差分 单位:万米
年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
零售量 265 297 333 370 405 443 474 508 541
一阶差分 —— 32 36 37 35 38 31 34 33
解:1、选择预测模型 计算序列的一阶差分,列于表中,从计算结果
可以看出,一阶差分大体接近。因此,可配合直线 预测模型来预测。 2、建立直线预测模型
根据资料列表计算有关数据。
某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表
年份 t yt tyt
1978 -4 265 -1060 1979 -3 297 -891 1980 -2 333 -666 1981 -1 370 -370 1982 0 405 0 1983 1 443 443 1984 2 474 948 1985 3 508 1524 1986 4 541 2164 总和 0 3636 2092
4 473.74 0.26 0.0676
9 508.61 -0.61 0.3721
16 543.48 -2.48 6.1504
60 3636 —— 32.934
bˆ 2092 34.87 60
所求直线预测模型为: yˆt 404 34.87t 3、预测 以t0 5 代入预测模型,则可预测1987年化纤
t 1
t 1
t 1
x 的编号的影响: 对预测结果没有影响
对斜率b没有影响 对截距a有影响
如果时间序列有偶数项,则对称编号方 式:…,-5,-3,-1,1,3,5,…
如果时间序列有奇数项,则对称编号方 式:…,-2,-1,0,1,2,…
例1 某市1978—1986年化纤零售量如表所示, 试预测1987年化纤零售量。
1984 7 474 2 0.64 303.36 2123.52 4.48 31.36 473.41
1985 8 508 1
0.8 406.4 3251.20 6.4
51.2 508.01
1986 9 541 总计 — 3636
0
1
541 4869
9
81 542.61
— 4.3289 1958.74 13349.9 727.684 200.840 3637.8
这三点选择方法是:
1、当时间序列的总项数n≥15时,在序列的首尾两端 和正中各取五项数据,求出三个加权平均数,权数 由远及近分别用1、2、3、4、5,用以加重近期信息 在平均数中的比重。这三个加权平均数就作为二次 抛物线上三个点的纵坐标。
2、若9≤n≤15时,则在序列初、中、近期各取三项求 出三个加权平均数,权数由远及近分别用1、2、3。
预测值
yˆ1987 231 .1832 34.6034 10 577 .22(万米)
直线趋势延伸预测模型与运用平滑技术建立直 线预测模型进行预测的比较
相同点:都遵循事物发展连续原则,预测目标时 间序列资料呈现有单位时间增(减)量大体相同 的长期趋势变动为适用条件。
区别为:
(1)预测模型的参数计算方法不同。
yˆt a bt ct 2 dt 3 et 4
二次抛物线预测模型为:yˆt a bt ct 2
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数: 2 yˆ yˆt yˆt1 2c
2、用三点法确定待定系数
其原理:其理论值与实际值的离差代数和为零,即 ( yi yi ) 0