概率的几个基本性质相互独立事件
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这两种情况在各射击1次时不可能同时发生,即
A• B 与 A• B 是互斥事件 P(A• B) P(A• B) P(A) P(B) P(A) P(B)
0.6(1 0.6) (1 0.6)0.6 0.24 0.24 0.48
答:恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 .
解: ( 3) “其中至少有1人击中目标” 的概率是 :
是一个事件,它的发生,就是事件 A 、 B 同时 发生,记作 A B .
于是需要研究,上面两个相互独立事件 A ,B
同时发生的概率 PA B是多少?
从甲坛子里摸出 1个球,有 5 种等可能的结果; 从乙坛子里摸出 1个球,有 4种等可能的结果,于是 从两个坛子里各摸出1个球,共有 5×4 种等可能的结 果,表示如下:
2. 从一堆产品(其中正品和次品都多于 2件)中任取 2件,观察 正品件数和次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,若 是,再判断它们是不是对立事件: (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品。
是白球的概率:
PA B 3 2
54
另一方面,从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球
的概率: PA 3
5
从乙坛子里摸出 1 个球,得到白球的概率:
PB 2
4
3 2 3 2 54 5 4
3.例题
例如: 在上面问题中,“从两个坛子里分别摸出 1
个球,甲坛子里摸出黑球” 与 “从两个坛子里分
别摸出 1 个球,乙坛子里摸出白球” 同时发生的概
答:至少有 1 人击中目标的概率是 0.84 .
则 I AI B
(5)互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
(6)互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
练习:
1.在画图形的试验中,判断下列事件的关系. (1)A1={四边形},A2={平行四边形}; (2)B1={三角形},B2={直角三角形},B3={非直角三角形}; (3)C1={直角三角形},C2={等腰三角形},C3={等腰直角三角形}。
P P(A B) P(A• B) P(A• B)
0.36 0.48 0.84
解法2: “2人都未击中目标” 的概率是 :
P( A B) P( A) P(B)
(1 0.6)(1 0.6) 0.40.4 0.16
因此,至少有1人击中目标的概率是 :
P 1 P(A B) 1 0.16 0.84
思考:
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率,会等于 事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和?
概率的加法公式:
如果事件 A 与事件 B 互斥,则
P(A B) P(A) P(B)
特别地,如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件,则
P(A) 1 P(B)
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么 取到红心(事件A)的概率是1/4,取到方块(事件B)的概率 是1/4。问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
解:
(1)因为 C A U B ,且A与B不会同时发生,所以A与B是互
斥事件,根据概率的加法公式,得
P(C) P(A) P(B) 1 2
(2)因为C与D是互斥事件,又由于 C U D为必然事件,所以
C与D互为对立事件,所以
(或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫
做相互独立事件.
由 3 2 3 2 ,我们看到: 54 5 4
PA B PA PB
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积.
A+B表示什么意思 事件A,B至少有一个发生 A·B表示什么意思 事件A,B同时发生
PA B PA PB
P(D) 1 P(C) 1 2
事件的关系和运算:
(1)包含关系: 若事件A发生,事件B就一定发生,则 B A (2)相等关系: 若B A 且A B ,则A=B
(3)并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生,
则 I AUB
(4)交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生,
率. P AB
P A PB 2 1
1
52 5
例1:甲、乙2人各进行1次射击,如果2人击中 目标的概率都是 0.6 ,计算: (1)2人都击中目标的概率; (2)其中恰有1人击中目标的概率; (3)至少有1人击中目标的概率;
I
A
AB
B
A B A∩B A B
解: ( 1)记 “甲、乙2人各射击1次,甲击中目标” 为事件 A; “甲、乙2人各射击1次,乙击中目 标”为事件 B.由于甲(或乙)是否击中,对乙(或甲)击中
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积.
2.独立事件同时发生的概率
一般地,如果事件 A1, A2 , , An 相互独
立,那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发 生的概率的积,即:
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
课本P138小字部分 概率的和与积互补公式
一般情况下,对n个随机事件 A1, A2 , , An ,有
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 • A2 • • An )
事件 A :“从甲坛子里摸出 1 个球,得到黑球” 事件 B :“从乙坛子里摸出 1 个球,得到黑球”
性质:
一般地,如果事件 A 与 B 相互独立, 那么 与A ,B 与A ,B 与A 也B都是
解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件,所以 甲获胜的概率为:1-(0.5+0.3)=0.2
(2)设事件A={甲不输},B={和棋},C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件,所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
3.已知,在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
3.1.3 概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件,如: C1 ={出现1点}; C2 ={出现2点}; C3 ={出现3点}; C4 ={出现4点}; C5 ={出现5点}; C6 ={出现6点}; D1 ={出现的点数小于3};D2={出现的点数大于4}; D3 ={出现的点数小于5};D4={出现的点数大于3}; E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求至多2个人排队的概率。
解:设事件Ak={恰好有k人排队},事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0,A1,A2这三个事件是互斥事件,
所以,P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
思考: 1.上述事件中C1至C6这6个事件之间是什么关系?它们各自发生的概
率是多少?
2. 事件D1 和事件D2 之间是什么关系? 它们各自发生的概率是多少?
3. 事件D1 可以看成哪些事件的并事件? 这些事件发生的概率和D1发 生的概率有什么联系?
4.事件D3 和事件D4各自发生的概率是多少?它们的并事件的概率又 是多少?
4.要从 3名男生和 2名女生中任选 2人参加演讲比赛, (1)抽选的结果总共有几种? (2)刚好选到1名男生,一名女生的概率是多少?
C52
C31C21
C52
问题:(1)甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球;乙坛
子里有 2 白球,2 个黑球.设从甲坛子里摸出一个球,
得到白球叫做事件 ,A从乙坛子里摸出一个球,得 到白球叫做事件 .问B 与 A 是互B斥事件呢?
的概率是没有影响的 因此A与B是相互对立事件 因此, “2人都击中目标” 就是事件 A·B .
PA B PA PB=0.6×0.6 =0.36
答: 2人都击中目标的概率是 0.36.
解: ( 2) “其中恰有1人击中目标” 包括:
事件 A• B :“甲击中、乙未击中” 和
事件 A • B :“乙击中、甲未击中”
练习:
1.如果某士兵射击一次,未中靶的概率为0.05,求中靶概率。
解:设该士兵射击一次,“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件,故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲,乙两人下棋,若和棋的概率是0.5,乙获胜的概率是0.3 求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。
还是对立事件?还是其他什么关系?
甲
乙
1.独立事件的定义
把 “从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球” 叫
做事件A ,把 “从乙坛子里摸出 1个球,得到白
球”叫做事B件 .很明显,从一个坛子里摸出的是
白球还是黑球,对从另一个坛子里摸出白球的概率没 有影响.
这就是说,事件 A(或 B )是否发生对事件 B
相互独立的. 必然事件与任何事件相Baidu Nhomakorabea独立
不可能事件与任何事件相互独立
2.独立事件同时发生的概率
事件 A ·B:(事件的积)
“从两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球”
是一个事件,它的发生,就是事件 A 、 B 同时 发生,记作 A B.
I
A A·B
B
“从两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球”
(白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (黑,白)(黑,白)(黑,黑)(黑,黑) (黑,白)(黑,白)(黑,黑)(黑,黑)
在上面 5×4 种结果中,同时摸出白球的结果有
3×2 种.因此,从两个坛子里分别摸出 1个球,都
A• B 与 A• B 是互斥事件 P(A• B) P(A• B) P(A) P(B) P(A) P(B)
0.6(1 0.6) (1 0.6)0.6 0.24 0.24 0.48
答:恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 .
解: ( 3) “其中至少有1人击中目标” 的概率是 :
是一个事件,它的发生,就是事件 A 、 B 同时 发生,记作 A B .
于是需要研究,上面两个相互独立事件 A ,B
同时发生的概率 PA B是多少?
从甲坛子里摸出 1个球,有 5 种等可能的结果; 从乙坛子里摸出 1个球,有 4种等可能的结果,于是 从两个坛子里各摸出1个球,共有 5×4 种等可能的结 果,表示如下:
2. 从一堆产品(其中正品和次品都多于 2件)中任取 2件,观察 正品件数和次品件数,判断下列每对事件是不是互斥事件,若 是,再判断它们是不是对立事件: (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品。
是白球的概率:
PA B 3 2
54
另一方面,从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球
的概率: PA 3
5
从乙坛子里摸出 1 个球,得到白球的概率:
PB 2
4
3 2 3 2 54 5 4
3.例题
例如: 在上面问题中,“从两个坛子里分别摸出 1
个球,甲坛子里摸出黑球” 与 “从两个坛子里分
别摸出 1 个球,乙坛子里摸出白球” 同时发生的概
答:至少有 1 人击中目标的概率是 0.84 .
则 I AI B
(5)互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
(6)互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
练习:
1.在画图形的试验中,判断下列事件的关系. (1)A1={四边形},A2={平行四边形}; (2)B1={三角形},B2={直角三角形},B3={非直角三角形}; (3)C1={直角三角形},C2={等腰三角形},C3={等腰直角三角形}。
P P(A B) P(A• B) P(A• B)
0.36 0.48 0.84
解法2: “2人都未击中目标” 的概率是 :
P( A B) P( A) P(B)
(1 0.6)(1 0.6) 0.40.4 0.16
因此,至少有1人击中目标的概率是 :
P 1 P(A B) 1 0.16 0.84
思考:
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率,会等于 事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和?
概率的加法公式:
如果事件 A 与事件 B 互斥,则
P(A B) P(A) P(B)
特别地,如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件,则
P(A) 1 P(B)
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么 取到红心(事件A)的概率是1/4,取到方块(事件B)的概率 是1/4。问:
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
解:
(1)因为 C A U B ,且A与B不会同时发生,所以A与B是互
斥事件,根据概率的加法公式,得
P(C) P(A) P(B) 1 2
(2)因为C与D是互斥事件,又由于 C U D为必然事件,所以
C与D互为对立事件,所以
(或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫
做相互独立事件.
由 3 2 3 2 ,我们看到: 54 5 4
PA B PA PB
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积.
A+B表示什么意思 事件A,B至少有一个发生 A·B表示什么意思 事件A,B同时发生
PA B PA PB
P(D) 1 P(C) 1 2
事件的关系和运算:
(1)包含关系: 若事件A发生,事件B就一定发生,则 B A (2)相等关系: 若B A 且A B ,则A=B
(3)并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生,
则 I AUB
(4)交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生,
率. P AB
P A PB 2 1
1
52 5
例1:甲、乙2人各进行1次射击,如果2人击中 目标的概率都是 0.6 ,计算: (1)2人都击中目标的概率; (2)其中恰有1人击中目标的概率; (3)至少有1人击中目标的概率;
I
A
AB
B
A B A∩B A B
解: ( 1)记 “甲、乙2人各射击1次,甲击中目标” 为事件 A; “甲、乙2人各射击1次,乙击中目 标”为事件 B.由于甲(或乙)是否击中,对乙(或甲)击中
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积.
2.独立事件同时发生的概率
一般地,如果事件 A1, A2 , , An 相互独
立,那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发 生的概率的积,即:
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
课本P138小字部分 概率的和与积互补公式
一般情况下,对n个随机事件 A1, A2 , , An ,有
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 • A2 • • An )
事件 A :“从甲坛子里摸出 1 个球,得到黑球” 事件 B :“从乙坛子里摸出 1 个球,得到黑球”
性质:
一般地,如果事件 A 与 B 相互独立, 那么 与A ,B 与A ,B 与A 也B都是
解:(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件,所以 甲获胜的概率为:1-(0.5+0.3)=0.2
(2)设事件A={甲不输},B={和棋},C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件,所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
3.已知,在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
3.1.3 概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件,如: C1 ={出现1点}; C2 ={出现2点}; C3 ={出现3点}; C4 ={出现4点}; C5 ={出现5点}; C6 ={出现6点}; D1 ={出现的点数小于3};D2={出现的点数大于4}; D3 ={出现的点数小于5};D4={出现的点数大于3}; E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求至多2个人排队的概率。
解:设事件Ak={恰好有k人排队},事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0,A1,A2这三个事件是互斥事件,
所以,P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
思考: 1.上述事件中C1至C6这6个事件之间是什么关系?它们各自发生的概
率是多少?
2. 事件D1 和事件D2 之间是什么关系? 它们各自发生的概率是多少?
3. 事件D1 可以看成哪些事件的并事件? 这些事件发生的概率和D1发 生的概率有什么联系?
4.事件D3 和事件D4各自发生的概率是多少?它们的并事件的概率又 是多少?
4.要从 3名男生和 2名女生中任选 2人参加演讲比赛, (1)抽选的结果总共有几种? (2)刚好选到1名男生,一名女生的概率是多少?
C52
C31C21
C52
问题:(1)甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球;乙坛
子里有 2 白球,2 个黑球.设从甲坛子里摸出一个球,
得到白球叫做事件 ,A从乙坛子里摸出一个球,得 到白球叫做事件 .问B 与 A 是互B斥事件呢?
的概率是没有影响的 因此A与B是相互对立事件 因此, “2人都击中目标” 就是事件 A·B .
PA B PA PB=0.6×0.6 =0.36
答: 2人都击中目标的概率是 0.36.
解: ( 2) “其中恰有1人击中目标” 包括:
事件 A• B :“甲击中、乙未击中” 和
事件 A • B :“乙击中、甲未击中”
练习:
1.如果某士兵射击一次,未中靶的概率为0.05,求中靶概率。
解:设该士兵射击一次,“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件,故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲,乙两人下棋,若和棋的概率是0.5,乙获胜的概率是0.3 求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率。
还是对立事件?还是其他什么关系?
甲
乙
1.独立事件的定义
把 “从甲坛子里摸出 1 个球,得到白球” 叫
做事件A ,把 “从乙坛子里摸出 1个球,得到白
球”叫做事B件 .很明显,从一个坛子里摸出的是
白球还是黑球,对从另一个坛子里摸出白球的概率没 有影响.
这就是说,事件 A(或 B )是否发生对事件 B
相互独立的. 必然事件与任何事件相Baidu Nhomakorabea独立
不可能事件与任何事件相互独立
2.独立事件同时发生的概率
事件 A ·B:(事件的积)
“从两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球”
是一个事件,它的发生,就是事件 A 、 B 同时 发生,记作 A B.
I
A A·B
B
“从两个坛子里分别摸出 1 个球,都是白球”
(白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑) (黑,白)(黑,白)(黑,黑)(黑,黑) (黑,白)(黑,白)(黑,黑)(黑,黑)
在上面 5×4 种结果中,同时摸出白球的结果有
3×2 种.因此,从两个坛子里分别摸出 1个球,都