概率的几个基本性质相互独立事件

2. 从一堆产品（其中正品和次品都多于 2件）中任取 2件，观察 正品件数和次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，若 是，再判断它们是不是对立事件： （1）恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品； （2）至少有 1 件次品和全是次品； （3）至少有 1 件正品和至少有 1件次品； （4）至少有 1 件次品和全是正品。
3.1.3 概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={出现1点}； C2 ={出现2点}； C3 ={出现3点}； C4 ={出现4点}； C5 ={出现5点}； C6 ={出现6点}； D1 ={出现的点数小于3}；D2={出现的点数大于4}； D3 ={出现的点数小于5}；D4={出现的点数大于3}； E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，因为“和棋 与“乙获胜”是互斥事件，所以 甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2
(2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件，所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
3.已知，在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
答：至少有 1 人击中目标的概率是 0.８４ ．
是一个事件，它的发生，就是事件 A 、 B 同时 发生，记作 A B .
于是需要研究，上面两个相互独立事件 A ，B
同时发生的概率 PA B是多少？
从甲坛子里摸出 1个球，有 5 种等可能的结果； 从乙坛子里摸出 1个球，有 4种等可能的结果，于是 从两个坛子里各摸出1个球，共有 5×4 种等可能的结 果，表示如下：
P P(A B) P(A• B) P(A• B)
0.36 0.48 0.84
解法２: “２人都未击中目标” 的概率是 :
P( A B) P( A) P(B)
(1 0.6)(1 0.6) 0.40.4 0.16
因此，至少有１人击中目标的概率是 :
P 1 P(A B) 1 0.16 0.84
则 I AI B
（5）互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
（6）互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
练习：
1.在画图形的试验中，判断下列事件的关系. （1）A1={四边形}，A2={平行四边形}； （2）B1={三角形}，B2={直角三角形}，B3={非直角三角形}； （3）C1={直角三角形}，C2={等腰三角形}，C3={等腰直角三角形}。
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积．
2．独立事件同时发生的概率
一般地，如果事件 A1, A2 , , An 相互独
立，那么这个 n 事件同时发生的概率等于每个事件发 生的概率的积，即：
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
课本P138小字部分 概率的和与积互补公式
思考： 1.上述事件中C1至C6这6个事件之间是什么关系？它们各自发生的概
率是多少？
2. 事件D1 和事件D2 之间是什么关系？ 它们各自发生的概率是多少？
3. 事件D1 可以看成哪些事件的并事件？ 这些事件发生的概率和D1发 生的概率有什么联系？
4.事件D3 和事件D4各自发生的概率是多少？它们的并事件的概率又 是多少？
率. P AB
P A PB 2 1
1
52 5
例1:甲、乙２人各进行１次射击，如果２人击中 目标的概率都是 0.6 ,计算： （1）２人都击中目标的概率； （２）其中恰有１人击中目标的概率； （３）至少有１人击中目标的概率；
I
A
AB
B
A B A∩B A B
解: ( 1)记 “甲、乙２人各射击１次，甲击中目标” 为事件 A; “甲、乙２人各射击１次，乙击中目 标”为事件 B.由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中
（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑） （白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑） （白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑） （黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）
在上面 5×4 种结果中，同时摸出白球的结果有
3×2 种．因此，从两个坛子里分别摸出 1个球，都
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求至多2个人排队的概率。
解：设事件Ak={恰好有k人排队}，事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是互斥事件，
所以，P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
（或 A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
做相互独立事件．
由 3 2 3 2 ，我们看到: 54 5 4
PA B PA PB
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积．
A+B表示什么意思 事件A,B至少有一个发生 A·B表示什么意思 事件A,B同时发生
PA B PA PB
还是对立事件？还是其他什么关系？
甲
乙
1．独立事件的定义
把 “从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球” 叫
做事件A ，把 “从乙坛子里摸出 1个球，得到白
球”叫做事B件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是
白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没 有影响．
这就是说，事件 A（或 B ）是否发生对事件 B
这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即
A• B 与 A• B 是互斥事件 P(A• B) P(A• B) P(A) P(B) P(A) P(B)
0.6(1 0.6) (1 0.6)0.6 0.24 0.24 0.48
答：恰有 1 人击中目标的概率是 0.48 ．
解: ( 3) “其中至少有１人击中目标” 的概率是 :
相互独立的． 必然事件与任何事件相互独立
不可能事件与任何事件相互独立
2．独立事件同时发生的概率
事件 A ·B:（事件的积)
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”
是一个事件，它的发生，就是事件 A 、 B 同时 发生，记作 A B．
I
A A·B
B
“从两个坛子里分别摸出 1 个球，都是白球”
一般情况下，对n个随机事件 A1, A2 , , An ,有
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 • A2 • • An )
事件 A ：“从甲坛子里摸出 1 个球，得到黑球” 事件 B ：“从乙坛子里摸出 1 个球，得到黑球”
性质：
一般地，如果事件 A 与 B 相互独立， 那么 与A ，B 与A ，B 与A 也B都是
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
解：
（1）因为 C A U B ，且A与B不会同时发生，所以A与B是互
斥事件，根据概率的加法公式，得
P(C) P(A) P(B) 1 2
（2）因为C与D是互斥事件，又由于 C U D为必然事件，所以
C与D互为对立事件，所以
思考：
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率，会等于 事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？
概率的加法公式：
如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P(A B) P(A) P(B)
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件，则
P(A) 1 P(B)
例.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么 取到红心（事件A）的概率是1/4，取到方块（事件B）的概率 是1/4。问：
是白球的概率:
PA B 3 2
54
另ห้องสมุดไป่ตู้方面，从甲坛子里摸出 1 个球，得到白球
的概率： PA 3
5
从乙坛子里摸出 1 个球，得到白球的概率：
PB 2
4
3 2 3 2 54 5 4
3．例题
例如： 在上面问题中，“从两个坛子里分别摸出 1
个球，甲坛子里摸出黑球” 与 “从两个坛子里分
别摸出 1 个球，乙坛子里摸出白球” 同时发生的概
P(D) 1 P(C) 1 2
事件的关系和运算：
（1）包含关系: 若事件A发生，事件B就一定发生，则 B A （2）相等关系: 若B A 且A B ，则A=B
（3）并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生,
则 I AUB
（4）交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生，
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
的概率是没有影响的 因此A与B是相互对立事件 因此, “２人都击中目标” 就是事件 A·B .
PA B PA PB=0.6×0.6 =0.36
答： ２人都击中目标的概率是 0.36．
解: ( ２) “其中恰有１人击中目标” 包括：
事件 A• B ：“甲击中、乙未击中” 和
事件 A • B ：“乙击中、甲未击中”
4.要从 3名男生和 2名女生中任选 2人参加演讲比赛， （1）抽选的结果总共有几种？ （2）刚好选到1名男生，一名女生的概率是多少？
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