2018年河北省衡水中学高一下学期第一次月考数学试题(附解析)

2018年河北省衡水中学高一下学期第一次月考数学试题（附解析）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右n 列的数，比如，若，则有（ ）A ．63m =，60n =B ．63m =，4n =C ．62m =，58n =D ．62m =，5n = 2．设数列都是等差数列，若则（ ）A ．35B ．38C ．40D ．423．数列{}n a 为等比数列，则下列结论中不正确的是（ ） A ．{}2n a 是等比数列B ．{}1n n a a +⋅是等比数列C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．{}lg n a 是等差数列4．在△ABC 中，如果lg lg lgsin a c B -==-，且B 为锐角，试判断此三角形的形状（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形5．等差数列的前n 项和为n S ，而且222n k S n n =++，则常数k 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．1D ．06．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,2n n n a a a +==，则20S =（ ） A ．3066B ．3063C ．3060D ．30697．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．38．已知各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且1,,2n n S a 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．32n -B ．22n -C ．12n -D ．22n -+19．在数列}{n a 中，11=a ，2)1(sin 1π+=-+n a a n n ，记n S 为数列}{n a 的前n 项和，则2016S ＝（ ） A ．0B ．2016C ．1008D ．100910．等比数列{}n a 中，13a =，424a =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ）A ．1925B ．2536C ．3148D ．496411．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若sin 2sinB A =， 4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ） A ．83B ．163CD12．定义在上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。

现有定义在上的如下函数：①；②；③；④．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若522=+c b，sin 2A =，则ABC S =△ ．14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S = ． 15．数列{}n a 的前n 项和n S ，12a =，13n n a a +-=，若57n S =，则n = ． 16．数列{}n a 中，11,213nn na a a a +==+，则10a =______． 三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．） 17．（10分）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且245n S n n -=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）已知())1cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．21．（12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ． （1）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列;（2）在（1）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ， 又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．22．（12分）如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且CD AO ∥，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？数学答案第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在．．．．．．答题卷上．．．．） 1．A 2．A 3．D 4．C 5．D 6．D 7．A8．B9．C10．C11．D12．C第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．2314．1n-15．6 16．255三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．） 17．（1）()21n a n n =+；（2）21n nS n =+．18．（1）8,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；（2）28,19,2413,3n n T n n n n ⎧=⎪==⎨⎪-+≥⎩．19．（1）因为12n n S a a =-，所以()12n n n a S S n -=-≥， 即12n n a a -=（2n ≥），即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又123,1,a a a +成等差数列，所以()13221a a a +=+，即()1114221a a a +=+，解得12a =， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）由（1）得122n n S +=-，所以()()()()1211222222242121n n n n n n n n n n b S S ++++===----111142121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭， 22311111111111142*********21421n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 20．（1）()1cos2sin 226f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为4π， ∴()1sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1222262k x k πππππ-≤+≤+，即4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为424,4,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 整理得：2sin cos sin A B A=，1cos 2B =，3Bπ=， ∵锐角三角形ABC ，∴02A π<<且2032A ππ<-<， ∴62A ππ<<，∴1542612A πππ<+<，∴()24f A << 21．（1）由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， ∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列，要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． （2）设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ， 由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ， 解得：10,221-==d d ，∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d ∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=． 22．（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD COCOD DCO CDO==∠∠∠，2cos 3CD πθθθ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭， OD θ=，1sin 03OD OB πθθθ<<∴<<<，cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭； （2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长，=1sin cos sin 33θθθθ-+++=cos 13θθθ-++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()sin 1L θθθ=-+'，由()0L θ'=得： sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 6πθ∴=列表：∴当6πθ=时， ()L θ取得最大值，即当6πθ=时，观光道路最长．。