高中数学人教A必修一第一章第一节(知识点+例题讲解)

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解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著 名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集 合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数 x，可以明 确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x≤20”与 “x>20 或 x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合．(4)(5)中研究的对象是确定的，所以能 构成集合． 规律方法 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找 到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定 集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
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规律方法 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能 的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另 外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运 用．
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【变式 2】 已知集合 M 是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－ 4 组成，若 2∈M，求 x. 解 当 3x2＋3x－4＝2 时，即 x2＋x－2＝0， 则 x＝－2 或 x＝1. 经检验，x＝－2，x＝1 均不合题意． 当 x2＋x－4＝2 时，即 x2＋x－6＝0，则 x＝－3 或 2. 经检验，x＝－3 或 x＝2 均合题意． ∴x＝－3 或 x＝2.
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[规范解答] (1)当 x＝1 时，2＋6 1＝2∈N；(3 分) 当 x＝2 时，2＋6 2＝32∉N，∴1∈A,2∉A.(6 分) (2)令 x＝0,1,2,3,4，代入2＋6 x∈N 检验，(9 分) 可得 0,1,4∈N(12 分) 【题后反思】 (1)对于元素与集合之间的关系，一定要明确集合是 由怎样的元素构成，然后再确定某对象是否为集合中的元素． (2)解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运 用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．
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(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是 不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素． (3)无序性：集合中的元素是没有前后顺序的，如由 1,2,3 和 3,2,1 组成的集合是同一集合． 3．元素与集合的关系 (1)a∈A 与 a∉A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素，根据集合中 元素的确定性可知，对于任何 a 与 A，a∈A 与 a∉A 这两种情况 必有一种且只有一种成立． (2)符号“∈”“∉”表示元素与集合的关系，不能用来表示集 合与集合之间的关系，这一点要牢记．
【核心扫描】 1．利用集合中元素的三个特性解题．(重点) 2．准确认识元素与集合之间的符号“∈”“∉”．(难点)
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自学导引 1．元素与集合的概念 (1)元素：一般地，我们把研究对象 统称为元素． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为 集 )． (3)集合相等：只要构成两个集合的 元素 是一样的，我们就 称这两个集合是相等的． (4)集合元素的特性： 确定性 、 互异性 、无序性．
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[正解] x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为 1， a.若 a＝1，则解集 A 中的元素为 1；若 a≠1，则解集 A 中的元 素为 1，a.
集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合 元素的三个特性中互异性对解题的影响最大，解与集合有关的 参数取值，一定要代入集合验证它是否符合集合元素的互异性．
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题型一 集合的基本概念 【例 1】 考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家； (2)某校 2012 年在校的所有高个子同学； (3)不超过 20 的非负数； (4)2010 年度诺贝尔经济学奖获得者； (5)2010 年上海世博会的所有展馆． [思路探索] 紧扣集合的定义，根据集合的元素的确定性判断即可．
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2．元素与集合的表示 表示 元素：通常用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素； 集合：通常用大写拉丁字母A，B，C…表示集合.
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3．元素与集合的关系
关系
概念
记法 读法
元素与 集合的 关系
如果 a是集合A 的元 属于
第一章 集合与函数概念
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1．1 集 合 1．1.1 集合的含义与表示
第 1 课时 集合的含义
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【课标要求】 1．通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性． 2．体会元素与集合间的“从属关系”． 3．记住常用数集的表示符号并会应用．
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题型二 集合中元素的特性及应用 【例 2】 已知集合 A 是由三个元素 m，m2＋1,1 组成，且 2∈A， 求 m. [思路探索] 分别令 2＝m,2＝m2＋1，再结合集合中元素的互异 性，分类讨论求解．
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解 ∵2∈A，则 m＝2 或 m2＋1＝2， ∴m＝2 或 m＝±1， 当 m＝2 时，集合中的元素为：2,5,1，符合集合中元素的互异 性． 当 m＝1 时，不符合元素的互异性，舍去． 当 m＝－1 时，集合中的元素为：－1,2,1，符合集合中元素的 互异性． 综上可知 m＝2 或 m＝－1.
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(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，如某些学生、 某些方程的解、1～10 内的自然数等我们看到的，听到的，想 到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“元 素”．
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2．集合中元素的特性的理解 (1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能 明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一 组对象是否形成集合的标准． 如：大于 3 小于 11 的偶数分别为 4,6,8,10，它们是确定的，可 构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定， 所以构不成集合．
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【变式 3】 若所有形如 3a＋ 2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合 A， 判断 6－2 2是不是集合 A 中的元素． 解 因为在 3a＋ 2b(a∈Z，b∈Z)中， 令 a＝2，b＝－2，即可得到 6－2 2， 所以 6－2 2是集合 A 中的元素．
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素，就说a属于集合A 如果 a不是集合A 中的元 不属于 素，就说a不属于集合A
a∈A aA
a属于 集合A a不属于 集合A
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4.常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N
N*或N＋ Z
Q
R
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名师点睛 1．准确认识集合的概念 (1)集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明， 集合的本质是某些确定元素组成的总体．集合是一个整体，已 暗含“所有”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集 合，那么这个集合就是这些对象的全体．
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想一想：试判断下列各组对象能否构成一个集合，并说明理由． ①中央电视台著名节目主持人； ②北京市内跑得快的汽车； ③上海市所有的高中生； ④爱好唱歌的人． 提示 紧扣集合定义，根据集合的元素的确定性判断即可． ①②④中没有明确的标准，不符合集合的定义，不能构成集合， 只有③能构成集合．
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【变式 1】 下列对象能构成集合的是( )． A．中国大的城市 B．方程 x2－9＝0 在实数范围内的解 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 3的近似值的全体
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解析 A 中的城市大到什么程度不明确，所以不能构成集合； B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是 否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限 的一些点”不能构成集合；D 中“ 3的近似值”不明确精确到 什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以 不能构成集合． 答案 B
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知识回顾 Knowledge
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误区警示 因忽略集合中元素的互异性而出错 【示例】 写出由方程 x2－(a＋1)x＋a＝0 的解组成的集合 A. [错解] x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为 1，a， 则解集为 A 中的元素为 1，a.
错解没有注意到字母 a 的取值带有不确定性，得到 了错误答案{1，a}．事实上，当 a＝1 时，不满足集合中元素的 互异性．
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题型三 元素与集合的关系 【例 3】 (12 分)若所有形如2＋6 x∈N(x∈N)的数组成集合 A. (1)试判断元素 1 和 2 与集合 A 的关系； (2)求集合 A 中的元素． 审题指导 (1)令 x＝1，x＝2，判断2＋6 x∈N 是否成立； (2)令 x 分别取 0,1,2,3,4，代入2＋6 x逐一检验确定 x 的值．