第三章-3-系统动态-时间响应性能指标

时间响应性能指标
• 峰值时间：系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
1 1
2
y u (t ) 1
e
n t
sin( n 1 t arctan
2
1
2

)
dyu (t ) n nt d du (t ) y (t ) e sin( s ( d t ) e nt cos( d t ), ( (t ) ) 2 2 dt dt 1 1 1 2 n dyu (t ) 0 tg g ( d t ) d t n t tp d dt d d n 1 2
时间响应性能指标
二阶系统暂态
Y(s) s K
2
R (s )
p s K n
2
单位脉冲输入
Y(s) s
二阶系统
2
2
2 n s n
单位阶跃输入 with a unity step input
n
2

1
1
2
cos

Y(s)
s 2 2 s 2 s n n
•
根据定义，令
y(tr ) 1
tr
sin( n 1 2 t r ) 0
其中，
n 1 tr
2
n 1
2
1 2 arctg
12
时间响应性能指标
时间响应性能指标 性能指标 ：上升时间
• 上升时间的确切解析表达式难以计算，我们通常使用线性近似表 达式进行计算
t s 0 s 0
• •
其中，GE(s) 是误差传递函数 注意，只有稳定系统才有误差，这是一个稳态指标
20
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：小结
• 对于不包含零点的二阶系统，我们可以得到如下的精确公式
1
2

12
Mp 1 e
, 0 1
e
,
tp
8
时间响应性能指标
时间响应性能指标 • 为了比较不同系统的响应，必须使各系统 从标准化的初始条件开始运动。 • 大多数标准化初始条件是系统静止状态。 • 确定了标准化初始条件后 确定了标准化初始条件后，就可以比较不 就可以比较不 同系统的响应特性（如最大偏离量、调节 时间等）了。
9
时间响应性能指标
• 稳态误差实际上不是系统暂态响应的动态指标。但是，它是衡量 控制系统稳态性能的重要度量。
e ( ) lim [ r ( t ) y ( t )]
t
其中，r(t) 是输入，y(t) 是输出
e ( ) lim e ( t ) lim s E ( s ) lim s G E ( s ) R ( s )
18
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：超调量
Mo y (T p ) y ss y ss


1 2
e
, 0 1
•
更一般地，Mo 或 可 以表示为
Mo
p

y (T p ) y y
和 的关系
19
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：稳态误差
2
ts

2
3
e
,
tp
n 1
tr
n 1
2
Tr1
2.16 0.60
n
4
n
ts
n
根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求需要 折中。总结性能指标与和n的关系如下： (1) 当n一定，要减小 定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少 ts则应 增大n值，而且值有一定范围，不能过大。 (2) 增大n ，能使 能使tr，tp和ts都减少。 都减少 (3) 最大超调量σ只由决定, 越小， σ越大。所以，一般是 先根据σ 的要求选择值，在实际系统中， 值一般在0.5～ 0.8之间.
sin( n 1 t arctan
2
1 2

)
(t 0)
考虑到系统时间响应曲线总是在包络线的两条分支之间变化
e nt sin(n t ) e nt 1
2


0.05, 或0.02
15
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：调节时间
• 通常利用两个近似公式计算调节时间
解：


1 2
e
, 0.05 e
13
时间响应性能指标
时间响应性能指标 性能指标 ：上升时间
实际上升时间
线性近似
14
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：调节时间
• 调节时间：响应到达并保持在终值 间 间。 • 我们考察误差表达式
5%（2%）内所需的最短时
e(t ) r (t ) y (t )
•
1 1
2
e
n t
y (t ) 1
e n t

sin( n t cos
1
)
阶跃输入作用下的二阶系统暂态响应
5
时间响应性能指标
二阶系统暂态
脉冲函数是阶跃函数 的微分，因此，脉冲输 入作用下的响应函数也 是阶跃输入作用下的响 应函数的微分
脉冲输入作用下的二阶系统暂态响应
6
时间响应性能指标
e
n t s
0.05 nt s 3 t s
n 对于 5% 误差
4
3
ts
n
对于 2% 误差
•
在上面的近似公式中，调节时间仅仅取决于复数共轭极点的实部n
Ims
等调节时间线
Res
等ts线(等σ线)
16
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：超调量
2 1 2
B n 1 e B2
注意与阻尼比的区别， 非同一参数！！
21
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：小结
B1 B2
Mo
ts ts 3
y (t p ) y ss y ss
e


1 2
, 0 1
n
4
对于 5% 误差 对于 2% 误差
tr
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：小结
幅值值 阶跃响应
26
例子
控制科学与工程学系
例1: 参数选择
R( ) R(s) Y( ) Y(s)
时间响应性能指标
n2 Go ( s ) s ( s 2n )
选择增益 K 和参数 p ，使得百分比超调量小于 5%，调节 时间（考虑 2% 误差）小于 4 秒。


1
2
,
0 1
17
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：超调量
Mo y (T p ) y ss y ss e


1
2
, 0 1
等 线 等超调量线，仅仅取决于阻 等超调量线 仅仅取决于阻 尼比
a sin( )
Ims
Res
由上式可见，最大百分比超调量完全由 ζ 决定， ζ 越小，超调量 越大。当ζ =０时，σ %= 100%，当 ζ =１时，σ % =０。 σ 与 ζ 的关系曲线见图。
7
时间响应性能指标
时间响应性能指标
性能指标通常通过系统的阶跃响应来定义。系统暂态响应 可以通过实际响应跟踪期望响应的快速性和阻尼程度刻画。 响应的快速性可以利用上升时间和峰值时间来衡量。 实际响应与期望响应的阻尼程度可以利用最大偏离量和调 节时间（回复时间 过渡过程时间）来衡量 节时间（回复时间，过渡过程时间）来衡量。 利用最大偏离量和期望响应，可以计算最大偏离量关于期 望响应的百分数 称为超调量 最大超调量 百分比超调 望响应的百分数，称为超调量（最大超调量，百分比超调 量）。
Tr1
• 注意：对于取值 算上升时间
2.16 0.60
n
0.5 0 5 ，我们还可以利用下面的表达式来计 我们还可以利用下面的表达式来计 1 .7 tr n
由前述公式可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当 ζ一定， n必须加大；若 必须加大 若n为固定值，则 为固定值 则 ζ 越小， 越小 tr也越小。 也越小
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时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：小结
从控制系统设计目 标来说，峰值时间 与超调量之间具有 相互矛盾的关系， 因此在设计的时候 要考虑到两者之间 的折中。
阻尼比
百分比超调量 二阶系统的百分比超调量、归 一化峰值时间与阻尼比的关系
24
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：小结
幅值值 阶跃响应
25
2

)
tp d n 1 2
等峰值时间 线
等d线
j n 1
2
[S]
j n 1 2
上式表明，峰值时间 tp与阻尼振荡频率 d 成反比。当 n一定, ζ越小， tp也越小（响应就越快）。 也越小（响应就越快）
11
时间响应性能指标
时间响应性能指标 性能指标 ：上升时间
1 1 e
nt
系统关于单位阶跃输入的响应 通常用来评价系统的响应特性
y ( t)
sin n t


(*) ( )
4
时间响应性能指标
二阶系统暂态
对应于式( (*) )的响应曲线族 如图所示，其中横坐标是无 量纲变量 nt
曲线形状随阻尼比 变化 而变化
•
峰值时间仅仅是阻尼振荡频率d的函数（
d n 1 2 ）
10
时间响应性能指标
时间响应性能指标 ：峰值时间
• 峰值时间：系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。
1 1
2 n t
y u (t ) 1
e
sin( n 1 t arctan
2
1
1 2
1

1 n n 1 2 1 2 2 e

sin 1 2 a sin 1 e
, 0 1
•
我们还常常利用百分比超调量来表示超调量
Mo y (t p ) y ss y ss e
自动控制 自动控制理论
第三章 微分方程的解
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
1
第三章要点
绪论 稳态响应 暂态响应 时间常数定义 例：二阶系统 系统的暂态（动态） 时间响应性能指标 状态方程的解
2
时间响应性能指标
二阶系统暂态 时间响应性能指标
控制科学与工程学系
n 1 2
tr
n 1 2
1 2
•
我们还可以得到如下的近似公式
2.16 0.60
arctan t
Tr1
n
ts
3
n
4
对于 5% 误差
通常还用 t s 通常还用：
对于 2% 误差
3.5
ts
n
n
• 在过程控制中，经常还会用到一个指标：衰减比n－－它是指同方 向过渡过程曲线上的相邻两个波峰之比. 向过渡过程曲线 的相邻两个波峰之
二阶系统暂态
最大偏离量 稳态误差
最大偏离量：Mp 最大偏离量 峰值时间：tp 上升时间：tr，to 调节时间：ts
ห้องสมุดไป่ตู้to 上升时间
峰值时间
调节时间
1时，系统没有最大偏离量 <1时，系统在稳态值附近振荡
控制系统阶跃响应
• 欠阻尼系统：应用 0-100% 上升时间 to • 过阻尼系统：应用 过阻尼系统 应用 10 10-90% 90% 上升时间 tr
• 上升时间：响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间（过阻尼 系统）；或响应从零第一次上升到终值所需的时间（欠阻尼系统） 系统）；或响应从零第 次上升到终值所需的时间（欠阻尼系统） 。
•
考虑欠阻尼系统
2 n Y (s) s ( s 2 2 n s 2 n) y (t ) 1 1 1 2 e n t sin( n 1 2 t )
• 超调量：响应的最大偏离量与终值的差同终值的比。 由于我们已经得到了峰值时间，因此很容易计算
M p y (t p ) 1 1 1
2 n n 1 2
•
e
2 sin n 1 a cos( ) n 1 2
tp d n 1 2
n
n 1 2
B1 n e B2
2 1
2

1 2
M p 1 e
, 0 1
e ( ) lim [ r ( t ) y ( t )]
t
22
时间响应性能指标
参数选择
1