管理运筹学第六—第八章

5 20
35 10
对于局中人Ⅰ而言，若局中人Ⅱ选取β 1，β 2，则局中 人Ⅰ的支付期望值分别为 β1 5x1+20（1-x1）=20-15x1≥V β 2 35x1+10（1-x1）=25x1+10≥V
V
20 10 E 0
D
1/4
局中人Ⅰ用“最大最小”原则选 取自己的策略，即 max{ min (20-15x1 ,25x1+10)} 0≤x1≤1 从图中可知： min (20-15x1 ,25x1+10) 0≤x1 ≤1 为折线EDF，D为所求的极值点， 其坐标:（1/4,161/4） 所以 F 5 X*=(x1* ,1-x1*)=(1/4,3/4) 1/4 V =16 X G* 1 1 35
以下定义一套与纯策略解完全平行的混合策略的解。
定义2：如果存在X*∈S*1，Y*∈S*2；对任意的X∈S*1， 及Y∈S*2均满足： E（X，Y*）≤E（X*，Y*）≤E（X*，Y） 则称混合局势（X*，Y*）为G在混合策略中的解(混合 解)；而X*，Y*分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优混合策略 ；E（X*，Y*）称为矩阵对策G的对策值，通常记为: VG*= E（X*，Y*）
β1 β2 β3 α1 -6 2 -7 A = α2 5 3 6 α3 18 0 -8 α4 -2 -12 7 局中人Ⅰ 局中人Ⅱ： α1 min{-6，2，-7} = -7 β 1 max{-6，5，18，-2}=18 α2 min{ 5，3，6 } = 3 β 2 max{2，3，0，-12} = 3 α3 min{18，0，-8} = -8 β 3 max{-7，6，-8，7} = 7 α4 min{-2，-12，7}=-12 最好结果： 最好结果： min max {18，3，7}=3 max min {-7，3，-8，-12}=3 α 2，β 2分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优策略； {α 2，β 2}为对策解 （鞍点） 而 a22=3称为对策值。
则称纯局势{α i*，β j*}为G在纯策略中的解(鞍点解)； 而α i*，β j*分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略；ai*j*称 为矩阵对策G的值（对策值）。
定理 1: 矩阵对策 G={ S1，S2，A} 存在最优纯策略的 充分必要条件为： max min aij = min max aij 例3：已知矩阵对策G={ S1，S2，A}
零和对策
二人对策 非零和对策 有限对策
零和对策
n人对策 非零和对策 对策 零和对策 二人对策 非零和对策
无限对策
零和对策 n人对策 非零和对策 有限二人零和对策也称为矩阵对策.
6．3矩阵对策的概念及模型
一般形式： 局中人Ⅰ策略集合: S1={α 1，α 2，…，α m} 局中人Ⅱ策略集合: S2={β 1，β 2，…，β n} 其中 α i，β j 分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的纯策略，策略偶 {α i，β j}称为纯局势； 若局中人Ⅰ在{α i，β j}下的支付为aij则 A =
第六章矩阵对策
6.1 对策问题 6.2 对策论的基本概念 6.3 矩阵对策的概念及模型 6.4 矩阵对策的纯策略解(鞍点解) 6.5 矩阵对策的混合策略解 6.6 矩阵对策的解
第六章矩阵对策
6．1对策问题
6．2对策论的基本概念 6．2．1局中人 一场竞争或斗争称为一局对策，一局对策中的决策者 称为该局对策的局中人（只有两个局中人，称为两人 对策；两人以上称为多人对策）。 6．2．2策略与策略集合 指导局中人自始至终如何行动的一个实际可行的完 整的行动方案称为策略。 局中人所有策略构成的集合称为策略集合。 有限策略 有限对策 无限策略 无限对策
局中人Ⅰ策略集合: S1={α 1，α 2，…，α m} 局中人Ⅱ策略集合: S2={β 1，β 2，…，β n} {α i，β j}称为局势 6.2.3支付与支付函数 当局中人选定某一策略后,得到的收益或损失称为 局中人的支付;不同的策略导致不同的支付,因此支付 是策略的函数. 6.2.4零和对策 若在一局对策中,全体局中人的支付总和为0,则将 该对策称为零和对策,否则称为非零和对策. 6.2.5对策分类
对于局中人Ⅱ而言，若局中人Ⅰ选取 α 1，α 2，则局 中 人Ⅱ的支付期望值分别为 α1 5y1+35（1-y1）=35-30y1 ≤V 局中人Ⅱ用“最小最大”原则选取 α2 20y1+10（1-y1） =10+10y1 ≤V V 自 35 己的策略，即 F min { max (35-30y1 , 10+10y1)} 0≤y1≤1 从图中可知 20 max (35-30y1 , 10+10y1) H 0≤y1≤1 G 为折线FGH，G为所求的极值点 10 其坐标:（5/8,161/4） 所以 5 Y*=(y1* ,1-y1*)=(5/8,3/8) 1/4 V =16 0 Y G* 1 1
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………... am1 am2 … amn
称为局中人Ⅰ的支付矩阵，矩阵对策模型可记为： G={ S1，S2，A} 局中人Ⅱ的支付矩阵为：-A
例1：包、剪、锤游戏中 矩阵对策模型：G={ S1，S2，A} 其中 甲：S1={α 1（包），α 2（剪），α 3（锤）} 乙：S2={β 1（包），β 2（剪），β 3（锤）}
β β β β
1
2
3 4
2x1+4（1-x1）=4-2x1 3x1+（1-x1）=1+2x1 x1+6（1-x1）=6-5x1 5x1 =5x1
≥ V ≥ V ≥ V ≥ V
（1） （2） （3） （4）
X2 6
从图中可知：min (4-2x1，1+2x1，6-5x1，5x1) 0≤x1≤1
6
5
4 3 2 1 A B
5
4 3 2 C 1
为折线OABC，B为 所求的极值点 其坐标: （5/7，17/7）, 所以 X*=(x1* ,1-x1*) =(5/7,2/7) VG*=17/7
0
5/7
1
X1
对于局中人Ⅱ而言，若局中人Ⅰ选取α 1，α 2，则的支 付期望值分别为 α1 2y1+3y2+y3+5y4 ≤V α2 4y1+y2+6y3 ≤V 无法作图，应用定理3求出局中人Ⅱ的最优混合策略， x1* =5/7 2y1*+3y2*+y3*+5y4* =V x2* =2/7 4y1*+y2*+6y3* =V 将x1* =5/7，x2* =2/7 ，V=17/7 代入下列约束： 推出：
j=1 j=1
n
n
yj≥0 (j=1,2,…,n)
定理 3 ：若（ X*，Y*）是对策 G 的最优混合策略，则对 某一个i或j来说： (1)若yj*≠0 则 Σ aijxi*=V (2)若xi*≠0 则 Σ aijyj*=V (3)若Σ aijxi* >V 则yj*=0 (4)若Σ aijyj* <V 则xi*=0
max min aij = min max aij=6 对策值： ai*j*=a12= a14= a32= a34= 6 对策解（鞍点）： （α i*，β j*）=（α 1，β 2）=（α 1，β 4） =（α 3 ，β 2 ）=（α 3 ，β 4 ） α 1，α 3为局中人Ⅰ的最优纯策略 β 2，β 4为局中人Ⅱ的最优纯策略 由此可见对策解不是唯一的，但对策值是唯一的。 两条重要性质： （1）无差别性：若（α i1 ，β j1 ）与（α i2 ，β j2 ） 是G的两个解，则ai1 j1 = ai2 j2 （2）可交换性：若（α i1 ，β j1 ）与（α i2 ，β j2 ） 是G的两个解，则（α i1 ，β j2 ）与（α i2 ，β j1 ） 也是G的两个解。
β j* a11… a1j* … a1n ……………... A= α i*， ai*1… ai*j* … ai*n ……………... am1 … amj* … amn 定义1 矩阵对策 G={ S1，S2，A}，如果存在纯局势 {α i*，β j*}使得对于任意j=1,2,…,n;i=1,2,…,m有： aij*≤ai*j*≤ai*j 列 行
6．5矩阵对策的混合策略解
6．5．1混合策略与混合扩充 6．5．1．1混合策略 局中人Ⅰ以概率xi(i=1,2,…,m)选取纯策略α 局中人Ⅱ以概率yj(j=1,2,…,n)选取纯策略β 其中： Σ xi =1 (0≤xi≤1)
i=1 n m
i
j
Σ yj =1 (0≤yj≤1)
j=1
则向量X=(x1,x2,…,xm),Y=（y1,y2,…,yn)分别称为局中 人Ⅰ、Ⅱ混合策略；（X，Y）称为一个混合局势 显然：纯策略是混合策略的特例。
2x1+4（1-x1）=4-2x1 ≥V 4-2x1* 3x1+（1-x1） =1+2x1 ≥V 1+2x1* x1+6（1-x1）=6-5x1 ≥V 6-5x1* 5x1 =5x1 ≥V 5x1 * 代入下列方程组： =18/7 =17/7 =17/7 =25/7 > = = >
甲的支付矩阵：
A α1 = α2 α3
β 0 1 -1
1
β2β3 -1 1 0 -1 1 0
乙的支付矩阵： -A
6.4 矩阵对策的纯策略解(鞍点解)
模型确定以后,各局中人面临的问题就是如何选取对自 己最为有利的纯策略,以谋求最大的赢得(或最少的损失). 例2:设矩阵对策G={ S1，S2，A}， 其中: S1={α 1，α 2，α 3，α 4 };S2={β 1，β 2，β 3}
这两个基本定理为求解矩阵对策奠定了理论基础。
6．6 矩阵对策的解
6．6．1图解法 适用于：至少有一个局中人，只有两种可供选择的 策略的矩阵对策。即： A2 ×n 、Am ×2 、A2 ×2 例4：矩阵对策G={ S1，S2，A} 其中: S1={α 1，α 2}，S2={β 1，β 2} A = 解：作混合扩充： S*1={x1 ，1-x1}，S*2={y1 ，1-y1}
α A = α α α β1 8 1 9 -3 β2 6 3 6 1 β
3
β
4
1
2
3 4
8 6 4 -3 7 6 10 3
min 6 -3 6 -3
max
9
6
10
6
局中人Ⅰ最好结果： max min aij =max {6，-3，6，-3}=6 局中人Ⅱ最好结果： min max aij = min {9，6，10，6}=6
6．5．2 解基本定理 定理2：任意一个矩阵对策G={ S1，S2，A}， 其中：S1={α 1α 2，…，α m} S2={β 1β 2，…，β n} A = （aij）m×n 一定有解（混合策略解），且如果G的对策值是V，则 以下两组不等式的解就是局中人Ⅰ、Ⅱ的最优混合策 略：
x1 a11… a1j … a1n
A= xi
y1 … yj … yn
yj Σ aijxi≥V (j=1,2,…,n) Σ xi=1
i=1 i=1
m
m
xm
……………... ai1… aij … ain ……………... am1 … amj … amn
xi≥0 (i=1,2,…,m)
xi Biblioteka Baidu aijyj≤V (i=1,2,…,m) Σ yj=1
例5：矩阵对策G={ S1，S2，A} 其中: S1={α 1，α 2}， S2={β 1，β 2，β 3，β 4}
2 A = 4
3 1
1 6
5 0
解：作混合扩充： S*1={x1 ，1-x1}，S*2={y1 ，y2 ，y3，y4} 对于局中人Ⅰ而言，若局中人Ⅱ选取β 1，β 2，β 3， β 4则局中人Ⅰ的支付期望值分别为： β1 2x1+4（1-x1）=4-2x1 ≥V （1） β2 3x1+（1-x1）=1+2x1 ≥V （2） β3 x1+6（1-x1）=6-5x1 ≥V （3） β4 5x1 =5x1 ≥V （4） 局中人Ⅰ用“最大最小”原则选取自己的策略，即 max {min (4-2x1，1+2x1，6-5x1，5x1)} 0≤x1 ≤1
6．5．1．2 混合扩充 在混合策略中,局势（α i ，β 因此局中人Ⅰ的支付期望为：
n m j=1 i=1
j
）出现的概率为xiyj ，
E（X，Y）=Σ Σ aijxiyj 令： 局中人Ⅰ的混合策略集合为 S*1={X=(x1,x2,…,xm)| 0≤xi≤1，Σ xi=1} 局中人Ⅱ的混合策略集合为 S*2={Y=(y1,y2,…,yn)| 0≤yj≤1，Σ yj=1} 则称：G*={ S*1，S*2，E（X，Y）}为对策G的混合扩充。