管理运筹学第六—第八章

局中人Ⅰ策略集合: S1={α 1，α 2，…，α m} 局中人Ⅱ策略集合: S2={β 1，β 2，…，β n} {α i，β j}称为局势 6.2.3支付与支付函数 当局中人选定某一策略后,得到的收益或损失称为 局中人的支付;不同的策略导致不同的支付,因此支付 是策略的函数. 6.2.4零和对策 若在一局对策中,全体局中人的支付总和为0,则将 该对策称为零和对策,否则称为非零和对策. 6.2.5对策分类
A= xi
y1 … yj … yn
yj Σ aijxi≥V (j=1,2,…,n) Σ xi=1
i=1 i=1
m
m
xm
……………... ai1… aij … ain ……………... am1 … amj … amn
xi≥0 (i=1,2,…,m)
xi Σ aijyj≤V (i=1,2,…,m) Σ yj=1
α A = α α α β1 8 1 9 -3 β2 6 3 6 1 β
3
β
4
1
2
3 4
8 6 4 -3 7 6 10 3
min 6 -3 6 -3
max
9
6
10
6
局中人Ⅰ最好结果： max min aij =max {6，-3，6，-3}=6 局中人Ⅱ最好结果： min max aij = min {9，6，10，6}=6
第六章矩阵对策
6.1 对策问题 6.2 对策论的基本概念 6.3 矩阵对策的概念及模型 6.4 矩阵对策的纯策略解(鞍点解) 6.5 矩阵对策的混合策略解 6.6 矩阵对策的解
第六章矩阵对策
6．1对策问题
6．2对策论的基本概念 6．2．1局中人 一场竞争或斗争称为一局对策，一局对策中的决策者 称为该局对策的局中人（只有两个局中人，称为两人 对策；两人以上称为多人对策）。 6．2．2策略与策略集合 指导局中人自始至终如何行动的一个实际可行的完 整的行动方案称为策略。 局中人所有策略构成的集合称为策略集合。 有限策略 有限对策 无限策略 无限对策
β1 β2 β3 α1 -6 2 -7 A = α2 5 3 6 α3 18 0 -8 α4 -2 -12 7 局中人Ⅰ 局中人Ⅱ： α1 min{-6，2，-7} = -7 β 1 max{-6，5，18，-2}=18 α2 min{ 5，3，6 } = 3 β 2 max{2，3，0，-12} = 3 α3 min{18，0，-8} = -8 β 3 max{-7，6，-8，7} = 7 α4 min{-2，-12，7}=-12 最好结果： 最好结果： min max {18，3，7}=3 max min {-7，3，-8，-12}=3 α 2，β 2分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优策略； {α 2，β 2}为对策解 （鞍点） 而 a22=3称为对策值。
5 20
35 10
对于局中人Ⅰ而言，若局中人Ⅱ选取β 1，β 2，则局中 人Ⅰ的支付期望值分别为 β1 5x1+20（1-x1）=20-15x1≥V β 2 35x1+10（1-x1）=25x1+10≥V
V
20 10 E 0
D
1/4
局中人Ⅰ用“最大最小”原则选 取自己的策略，即 max{ min (20-15x1 ,25x1+10)} 0≤x1≤1 从图中可知： min (20-15x1 ,25x1+10) 0≤x1 ≤1 为折线EDF，D为所求的极值点， 其坐标:（1/4,161/4） 所以 F 5 X*=(x1* ,1-x1*)=(1/4,3/4) 1/4 V =16 X G* 1 1 35
β β β β
1
2
3 4
2x1+4（1-x1）=4-2x1 3x1+（1-x1）=1+2x1 x1+6（1-x1）=6-5x1 5x1 =5x1
≥ V ≥ V ≥ V ≥ V
（1） （2） （3） （4）
X2 6
从图中可知：min (4-2x1，1+2x1，6-5x1，5x1) 0≤x1≤1
6
5
4 3 2 1 A B
例5：矩阵对策G={ S1，S2，A} 其中: S1={α 1，α 2}， S2={β 1，β 2，β 3，β 4}
2 A = 4
3 1
1 6
5 0
解：作混合扩充： S*1={x1 ，1-x1}，S*2={y1 ，y2 ，y3，y4} 对于局中人Ⅰ而言，若局中人Ⅱ选取β 1，β 2，β 3， β 4则局中人Ⅰ的支付期望值分别为： β1 2x1+4（1-x1）=4-2x1 ≥V （1） β2 3x1+（1-x1）=1+2x1 ≥V （2） β3 x1+6（1-x1）=6-5x1 ≥V （3） β4 5x1 =5x1 ≥V （4） 局中人Ⅰ用“最大最小”原则选取自己的策略，即 max {min (4-2x1，1+2x1，6-5x1，5x1)} 0≤x1 ≤1
零和对策
二人对策 非零和对策 有限对策
零和对策
n人对策 非零和对策 对策 零和对策 二人对策 非零和对策
无限对策
零和对策 n人对策 非零和对策 有限二人零和对策也称为矩阵对策.
6．3矩阵对策的概念及模型
一般形式： 局中人Ⅰ策略集合: S1={α 1，α 2，…，α m} 局中人Ⅱ策略集合: S2={β 1，β 2，…，β n} 其中 α i，β j 分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的纯策略，策略偶 {α i，β j}称为纯局势； 若局中人Ⅰ在{α i，β j}下的支付为aij则 A =
j=1 j=1
n
n
yj≥0 (j=1,2,…,n)
定理 3 ：若（ X*，Y*）是对策 G 的最优混合策略，则对 某一个i或j来说： (1)若yj*≠0 则 Σ aijxi*=V (2)若xi*≠0 则 Σ aijyj*=V (3)若Σ aijxi* >V 则yj*=0 (4)若Σ aijyj* <V 则xi*=0
max min aij = min max aij=6 对策值： ai*j*=a12= a14= a32= a34= 6 对策解（鞍点）： （α i*，β j*）=（α 1，β 2）=（α 1，β 4） =（α 3 ，β 2 ）=（α 3 ，β 4 ） α 1，α 3为局中人Ⅰ的最优纯策略 β 2，β 4为局中人Ⅱ的最优纯策略 由此可见对策解不是唯一的，但对策值是唯一的。 两条重要性质： （1）无差别性：若（α i1 ，β j1 ）与（α i2 ，β j2 ） 是G的两个解，则ai1 j1 = ai2 j2 （2）可交换性：若（α i1 ，β j1 ）与（α i2 ，β j2 ） 是G的两个解，则（α i1 ，β j2 ）与（α i2 ，β j1 ） 也是G的两个解。
则称纯局势{α i*，β j*}为G在纯策略中的解(鞍点解)； 而α i*，β j*分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略；ai*j*称 为矩阵对策G的值（对策值）。
定理 1: 矩阵对策 G={ S1，S2，A} 存在最优纯策略的 充分必要条件为： max min aij = min max aij 例3：已知矩阵对策G={ S1，S2，A}
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………... am1 am2 … amn
称为局中人Ⅰ的支付矩阵，矩阵对策模型可记为： G={ S1，S2，A} 局中人Ⅱ的支付矩阵为：-A
例1：包、剪、锤游戏中 矩阵对策模型：G={ S1，S2，A} 其中 甲：S1={α 1（包），α 2（剪），α 3（锤）} 乙：S2={β 1（包），β 2（剪），β 3（锤）}
Hale Waihona Puke 以下定义一套与纯策略解完全平行的混合策略的解。
定义2：如果存在X*∈S*1，Y*∈S*2；对任意的X∈S*1， 及Y∈S*2均满足： E（X，Y*）≤E（X*，Y*）≤E（X*，Y） 则称混合局势（X*，Y*）为G在混合策略中的解(混合 解)；而X*，Y*分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优混合策略 ；E（X*，Y*）称为矩阵对策G的对策值，通常记为: VG*= E（X*，Y*）
5
4 3 2 C 1
为折线OABC，B为 所求的极值点 其坐标: （5/7，17/7）, 所以 X*=(x1* ,1-x1*) =(5/7,2/7) VG*=17/7
0
5/7
1
X1
对于局中人Ⅱ而言，若局中人Ⅰ选取α 1，α 2，则的支 付期望值分别为 α1 2y1+3y2+y3+5y4 ≤V α2 4y1+y2+6y3 ≤V 无法作图，应用定理3求出局中人Ⅱ的最优混合策略， x1* =5/7 2y1*+3y2*+y3*+5y4* =V x2* =2/7 4y1*+y2*+6y3* =V 将x1* =5/7，x2* =2/7 ，V=17/7 代入下列约束： 推出：
2x1+4（1-x1）=4-2x1 ≥V 4-2x1* 3x1+（1-x1） =1+2x1 ≥V 1+2x1* x1+6（1-x1）=6-5x1 ≥V 6-5x1* 5x1 =5x1 ≥V 5x1 * 代入下列方程组： =18/7 =17/7 =17/7 =25/7 > = = >
6．5矩阵对策的混合策略解
6．5．1混合策略与混合扩充 6．5．1．1混合策略 局中人Ⅰ以概率xi(i=1,2,…,m)选取纯策略α 局中人Ⅱ以概率yj(j=1,2,…,n)选取纯策略β 其中： Σ xi =1 (0≤xi≤1)
i=1 n m
i
j
Σ yj =1 (0≤yj≤1)
j=1
则向量X=(x1,x2,…,xm),Y=（y1,y2,…,yn)分别称为局中 人Ⅰ、Ⅱ混合策略；（X，Y）称为一个混合局势 显然：纯策略是混合策略的特例。
6．5．1．2 混合扩充 在混合策略中,局势（α i ，β 因此局中人Ⅰ的支付期望为：