初中数学竞赛求值题的解题技巧
初中数学竞赛指导-第二讲-配方法
第二讲 配方法一、 方法与技巧1、配方法：把代数式通过直接变形或分拆重组、添补重组、组合重组等手段，得到完全平方式，再利用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，从而求解出问题的结果，这重解题方法称之为配方法。
2、配方法的作用：配方法的作用在于改变代数式的原有结构形式，是代数变形的重要方式之一。
配方法的实质在于挖掘题设的隐含条件来创建非负数性质。
3、配方法的用途：①解一元二次方程；②二次函数；③因式分解；④二次根式化简求值；⑤有关最大或最小值。
4、常用的配方法：①直接配方；②分拆、填补、重组配方。
二、题型题型一 用配方法求值1、已知251,251+=-=b a ，则722++b a 的值为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、32、已知21,19,20+=+=+=y c y b y a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、13、已知实数a 、b 、c 满足,142,238,176222=+-=+-=+a c c b b a 则c b a ++的值为（ ）A 、-8B 、-7C 、-6D 、-54、已知21,212222-=-+=-c b b a ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、85、已知实数a 、b 、x 、y 满足5,3=-=+bx ay by ax ，则代数式()()2222y x b a ++的值为（ ）A 、33B 、34C 、35D 、-35 题型二 用配方法解方程1、若062322322323=-+++++-b ab a ba b ab a ，则a= . 2、关于x 的方程()0112=+--x k kx 有有理根，则整数k 的值为 。
题型三 用配方法求最值1、已知1214522+---+=y x xy y x z ，则z 的最小值为 。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛备战初中数学竞赛的有效技巧
初中数学竞赛备战初中数学竞赛的有效技巧为了在初中数学竞赛中取得好成绩，备战是必不可少的。
竞赛备战既考验着数学知识的掌握，也要求我们具备一些有效的技巧。
本文将会介绍一些备战初中数学竞赛的技巧，希望能对同学们有所帮助。
一、阅读题目是关键在参加初中数学竞赛时，阅读题目是至关重要的。
在开始解答题目前，首先要认真读题并理解题意，包括数学条件、要求和限制等。
只有充分理解题目，才能有针对性地解题，避免盲目猜测。
二、创设数学模型在解答数学竞赛题目时，创设数学模型是非常重要的一步。
模型是具有一定抽象性的数学描述，用以解决实际问题。
在备战过程中，同学们可以通过梳理相关知识，找到问题何在，然后构建适合题目的数学模型。
这样可以更好地把题目转化为数学问题，从而更有利于解题。
三、灵活运用数学方法在解答数学竞赛题目时，熟练掌握多种数学方法非常重要。
备战时，同学们应该注重训练，熟练掌握各类数学方法，并且学会灵活运用。
比如，在解决几何问题时，可以运用相似三角形的性质；在解决代数问题时，可以运用因式分解等方法。
掌握多种数学方法，能够在解题时提供更多的选择，提高解题的效率和准确性。
四、注重基本功训练备战初中数学竞赛中，基本功的训练是非常重要的。
只有基本功扎实，才能更好地应对各类题目。
同学们可以通过大量的练习来提高基本功，比如做更多的习题、参加模拟考试等。
同时还可以通过课外辅导或自学，加深对数学知识的理解和记忆。
五、掌握解题技巧解题技巧是备战初中数学竞赛的关键。
尤其在解决较难的问题时，掌握一些解题技巧能够事半功倍。
比如，在解决方程的问题时，可以通过整理方程式，配方、因式分解等方法来简化计算。
同学们在备战时，可以积累一些常见的解题技巧，并通过练习不断强化应用。
六、坚持练习和复习备战初中数学竞赛需要坚持不懈的努力。
同学们要保持每天的练习和复习，不断巩固知识，提高解题能力。
在备战中，可以选择一些优质的习题进行刷题，通过解析找到解题思路和方法。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
数学竞赛解题窍门解析常见竞赛题型
数学竞赛解题窍门解析常见竞赛题型在数学竞赛中，解题窍门是取得好成绩的关键。
不同的竞赛题型有不同的解题技巧和方法。
本文将为大家解析一些常见的竞赛题型，并提供一些解题窍门，帮助大家在数学竞赛中取得好的成绩。
一、选择题选择题是竞赛中最常见的题型之一。
在解答选择题时，要注意以下几点：1.仔细阅读题目和选项，理解题意。
有时候选项中会有一些干扰项，需要排除掉。
2.利用排除法。
根据已知条件和选项中的信息，逐个排除不符合条件的选项，留下符合条件的选项。
3.利用反证法。
有时候可以通过假设某个选项是正确的，然后推导出矛盾的结果，从而排除这个选项。
4.联想法。
有时候可以尝试将题目中的内容与已经学过的知识联系起来，找出规律或者类似的题目，从而解答出题目。
二、填空题填空题是另一种常见的竞赛题型。
解答填空题时，可以采用以下方法：1.代入法。
将给定条件代入到题目中的空格中，从而求解出未知数的值。
2.逆向思维。
有时候可以从答案入手，根据答案反推出题目中的空格应该填写什么内容。
3.巧妙运算。
在填空题中，有时候会出现一些巧妙的运算方法，通过运算可以快速求解出空格中的值。
4.数学技巧。
填空题中常常考察一些常见的数学技巧，比如因式分解、倍数关系等。
掌握这些数学技巧可以快速解答填空题。
三、证明题证明题是数学竞赛中较为难的题型之一。
解答证明题时，要注意以下几点：1.理清题目要求。
仔细阅读题目，理解题目要求，明确所需要证明的结论。
2.写出已知条件。
将题目中给出的已知条件写出来，有助于理解题目和寻找证明的方向。
3.运用数学定理或公式。
在证明题中，有时候可以运用已经学过的数学定理或公式来进行证明。
4.利用推理法。
通过逻辑推理和演绎推理，从已知条件出发，一步一步地推导出所要证明的结论。
四、应用题应用题是数学竞赛中常见的综合题型，需要将所学的数学知识应用到实际问题中。
解答应用题时，可以采用以下方法：1.找出问题的关键点。
仔细阅读问题，找出问题中的关键信息和要求，理清思路。
数学竞赛技巧
数学竞赛技巧数学竞赛是一项挑战性强、富有竞争性的活动，对学生的数学水平和解题能力提出了很高的要求。
在参加数学竞赛时，掌握一些有效的技巧可以帮助我们更好地解题，提高得分。
本文将介绍几个数学竞赛的技巧，希望对参赛者有所帮助。
一、认真复习基础知识数学竞赛的题目通常涉及各个知识点，因此，我们要认真复习基础知识。
这包括数学中的各种公式、定理、性质等。
只有掌握了基础知识，才能在竞赛中灵活运用，解决复杂的问题。
二、注重练习练习是提高数学竞赛能力的关键。
通过大量的练习，我们可以熟练掌握各种解题方法，培养自己的分析问题和解决问题的能力。
可以选择一些经典的竞赛试题进行练习，并及时查看解答，总结其中的解题思路和技巧。
三、分析题目在数学竞赛中，题目通常都会给出一些提示和线索，我们需要仔细阅读题目，并进行分析。
找出问题的关键点，确定解题的思路和方法。
有时候，多重转换和思维的灵活运用能够帮助我们更好地解题。
四、做好题目分类数学竞赛的题目种类繁多，不同的题型有不同的解题技巧。
因此，我们可以将题目按照类型进行分类，然后分别学习和掌握每种类型的解题方法。
这样，遇到相同类型的题目时，就能够迅速找出解题思路，提高解题效率。
五、注意时间管理数学竞赛往往时间紧迫，因此，合理的时间管理非常重要。
在做题时，我们可以合理安排时间，先做易题，在保证正确的前提下争取更多的时间来解决难题。
同时，遇到难题时，也不要过分纠结，要善于放弃，转向解答其他题目，保证在有限的时间内完成更多的题目。
六、关注解题技巧分享数学竞赛是一个交流和学习的过程，我们可以关注一些数学竞赛技巧的分享。
可以通过参加数学竞赛培训班、听取老师的讲解、阅读相关的参考书籍和资料等途径，获取更多的解题技巧。
同时，我们也可以参加一些数学竞赛论坛或社群，在与他人分享和交流的过程中，学习他们的解题经验，提高自己的解题水平。
七、保持自信数学竞赛是一项挑战性的活动，而自信是克服挑战的重要心理素质。
参加数学竞赛时，我们要相信自己的能力，相信通过努力和准备，一定能够取得好的成绩。
解答数学竞赛题的几种常见方法
解答数学竞赛题的几种常见方法黎仕鹏一、循常规思路出奇制胜例1：若1=abc ，则111++++++++c ca cb bc b a ab a =？分析：分式的加减运算的基本方法是通分，找出公分母．循这种常规思路，结合对称式的特点和条件，可以把第二、三个分式的分母变成与第一个分式的分母一样，把第二个分式的分子分母同乘以a ，第三个分式的分子分母同乘以ab ，即可见答案为1．同类题型练习：已知1=ab ，b a m +++=1111， bb a a n +++=11， 试讨论m 、n 的大小关系.略解:∵0)1)(1(221111=++-=+-++-=-b a abb b a a n m ， ∴n m =. 例2：已知等腰三角形ABC 中，2==AC AB ，在底边BC 上有100个点i P （1=i ，2、3…100），连结i AP ，记i i i i CP BP AP m ⋅+=2，则=+++10021m m m对于等腰三角形，底边上的高是常见的辅助线，带故作高AD ，则222i i DP AD AP +=， ))((i i i i DP CD DP BD CP BP +-=⋅22iDP CD -=，4222==+=AC CD AD m i ，可见答案为400．例3：如图，点B 、C 是线段AD 的三等分点，点P 是以BC 为直径的圆O 上一点，则DPC APB ∠⋅∠tan tan 的值是分析：在直角三角形中才能求出角的正切值，基于这样的思路，可考虑构筑直角三角形．过点B 作PB 的垂线交PA 于E ,则PB BEAPB =∠tan ，过点C 作PC 的垂线交PD 于F ,则PC CF DPC =∠tan ，于是DPC APB ∠⋅∠tan tan 41=⋅=PB CF PC BE ．例4：如图，延长圆O 的弦AB 和直径DE 交于圆外一点C ，若OA BC =，则AOD ∠∶C ∠=在圆中，半径是最常用是元素，连结OB 就可以搭起AOD ∠到C ∠的桥梁，利用三角形的外角性质，容易得出结果为3∶1．字母代表数是最简单和最有用的数学方法，要在解题练习过程中领会其要领．例5：甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n 件商品，其中单价为8元的有x 件，单价为9元的有y 件，则⎩⎨⎧=+=+172982y x n y x 解得 ⎩⎨⎧-=-=n y n x 1617217218 ∵0,0≥≥y x ∴⎩⎨⎧≥-≥-016172017218n n 解得 4310959≤≤n 从而得121016172=⨯-=y ， 故单价为9元的有12件. 例6：一列客车始终作匀速运动, 它通过长为450米的桥时, 从车头上桥到车尾下桥共用33秒; 它穿过长760米隧道时, 整个车身都在隧道里的时间为22秒. 在客车的对面开来一列长度为a 米, 速度为每秒v 米的货车, 两车交错, 从车头相遇到车尾相离共用t 秒. (1) 写出用a 、v 表示t 的函数解析式;(2) 若货车的速度不低于每秒12米, 且不到15米, 其长度为324米, 求两车交错所用时间的取值范围.解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米，则 ⎩⎨⎧=-=+x y x y 2276033450 解得⎩⎨⎧==27622y x 所以，22276++=v a t （v ＞0，a ＞0）（2）当324=a ，12≤v ≤15时，由（1）得22600+=v t又因为34≤v +22 ≤37 所以，37600＜22600+v ≤17300故t 的取值范围为37600＜22600+v ≤17300．此题有多个未知数,引入多个字母表示,其数量关系就容易显示出来． 例7：设1x , 2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根， 求)2)(21221x x x x --（的最大值.分析：求最大（小）值，按现在我们掌握的方法是根据二次函数式求解，因此，解题的思路是把式子向二次函数形式方向变形．解：由4)2()2(422+-=--=∆a a a ＞0知，a 为任意实数，a x x -=+21，221-=a x x ， )2)(21221x x x x --（212221522x x x x +--=212219)(2x x x x ++-=)2(922-+-=a a 8634922-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a ，当49=a 时，)2)(21221x x x x --（取最大值864-. 二、在等式变形中，特别注意22b a +，b a +和ab 三者之间的关系：ab b a b a 2)(222-+=+，ab b a b a 2)(222+-=+，[])()(412222b a b a ab --+=例1：设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .（1）若62221=+x x , 求m 的值；（2）求22212111x mx x mx -+-的最大值 解：)1(4)33(4)2(422--=+---=∆m m m m ＞0， 解得m ＜1，又－1≤m ＜1， (1)2122122212)(x x x x x x -+=+101022+-=m m ＝6， 解得2175±=m , 由－1≤m ＜1，所以2175-=m , (2) 22212111x mx x mx -+-[])1)(1()1()1(21122221x x x x x x m ---+-=[]1)()(212121212221++-+-+=x x x x x x x x x x m ＝[]1)42()33()42)(33()10102(222+-++--+-++-m m m m m m m m m )13(2)1()13)(1(222+-=-+--=m m m m m m m m ＝252322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ,因为－1≤m ＜1，所以当1-=m 时，22212111x mx x mx -+-有最大值，最大值为10. 三、11=⋅-x x 的神奇功效1、已知51=+-xx ，则=+-22x x ？2、已知012=--x x ，求441xx +的值. 由012=--x x 得，,112=-xx ∴11=-x x ，两边平方得7144=+x x . 3、若712=+-x x x ，求1242++x x x 的值.解法一（倒数法）：由条件知0≠x ，7112=+-x x x ， 即781=+x x ， 491511111222224=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++x x x x x x x , 1242++x x x ＝1549.解法二：1242++x x x 15494915111122==++=x x .4、已知11=-a a ，求代数式a a+1值. 解：由a a a a a ,1,,011知＞+= 全是正数, 所以541122=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a故 51=+a a.四、巧妙利用数学概念会出现意想不到的效果例1：满足1-=+ab b a 的非负整数对),(b a 的个数有____对.解：∵01≥-=-ab b a ，1≤ab ，而a 、b 都为非负整数，故a 、b 取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0)，（1，1）共3对满足条件.绝对值是最简单的数学概念，一个数的绝对值是非负数，利用这一概念得到1≤ab 是答题的突破口．例2：若q p ,为质数，且2975=+q p ，求22q p +的值.解：若q p ,都为奇质数，则q p 75+是偶数，若q p ,都为偶质数2，则q p 75+≠29，所以q p ,中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若2=p ，则q 不是整数，故只有2=q ，此时3=p ，22q p +＝13.例3：实数y x b a ,,,满足5,2=+=+=+by ax y x b a , 求()()2222yx ab xy b a +++的值解：2=+=+y x b a , 4))((=+++=++bx ay by ax y x b a5=+by ax , 1-=+bx ay ，()()=+++2222y x ab xy b a 5))((-=++by ax bx ay条件2=+=+y x b a 是三个等式，这里巧妙地用其两个等量得出4))((=++y x b a ，从而使题目的条件进一步扩大，例4、已知实数b a ≠, 且满足()()()()221313,1331+-=++-=+b b a a ,则baaa b b+值为( ) (A) 23 (B) -23 (C) -2 (D) –13 解：b a ,是关于x 的方程03)1(3)1(2=-+++x x ，即0152=++x x ，1,5=-=+ab b a ，故b a ,均为负数，b a aa b b +ab b a ab a b --=232)(222-=-+-=+-=ababb a ab abb a ．例5、设实数s 、t 分别满足0199192=++s s , 019992=++t t ，并且1≠st ,求ts st 14++的值. 解：第一个等式可化为 01919912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛s s , 又019992=++t t ，t s ≠1,∴s 1和t 是一元二次方程019992=++x x 的两个不相同的实数根，于是有， 991-=+t s ，191=⋅t s 即s st 991-=+, s t 19=,∴51949914-=+-=++ss s t s st五、消元法是竞赛题常用的方法例1、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？解：设从左到右小盒里的球数为7，2a ，3a ，4a ，… 1993a ∵307432=+++a a a ，305432=+++a a a a ，∴75=a 同理得===17139a a a …＝14+k a ＝…＝1993a ＝7例2：实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a xx x a x x x a x x x a x x x 其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是实常数，且54321a a a a a >>>>，试确定1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序．思路：对于方程组怎样消元，可根据题目条件的特点找出方向．解：在给定的方程组中的方程按顺序两两相减得2141a a x x -=-，5252a a x x -=-，4313a a x x -=-，5424a a x x -=-∵54321a a a a a >>>>， ∴ 41x x >，52x x >，13x x >，24x x >， ∴52413x x x x x >>>>消元法在很多方面有重要的作用2、某次竞赛共有15个题，下表是对于做对n 0(=n ，1， 215）个题的人数的统计:若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人.解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为7＋8＋10＋21＝46人；做对题目总数为7×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91题；做对12个题到15个题的总人数为15＋6＋3＋1＝25人；做对题目总数为15×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315题；设做对0个题到15个题的人数分别为15210,,,,x x x x ，则有6155415541554=++++++x x x x x x ， 41020101010210=+++++++x x x x x x x即 )(6155415541554x x x x x x +++=+++)(410010101010x x x x x x +++=+++ 两式相减得 )32()151211(321151211x x x x x x ++-+++ ＝ )(4)(610101554x x x x x x +++-+++＝)(2)(4)(610543210151211x x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2)(4)(415432101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(415132101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(441513210151211x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2466254415111x x x +++⨯-⨯+ 又913203210=+++x x x x ， 3151514131215141312=+++x x x x ，故 ∑+-+=-+1511111227610049131511i x x x ，111515.3200x x i +=∑（11x ＞0）， 当011=x 时，统计的总人数为最少，最少200人．六、数形结合是解决函数问题的有力武器例1：若abc ≠0，且p bac a c b c b a =+=+=+, 则直线p px y +=一定通过（ ） （A ）第一，二象限 （B ）第二，三象限 （C ）第三，四象限 （D ）第一，四象限 解：由pb a c pa c b pc b a =+=+=+,,, 三式相加得)()(2c b a p c b a ++=++，所以2=p , 或0=++c b a ；当2=p 时，直线22+=x y 通过第一，二，三象限；当0=++c b a 时，1-=p , 直线1--=x y 通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.例2：一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A,B ，并且过点），（251--，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？解：设这个一次函数为b x y +=45, 因为直线过点），（251--，所以495-=b , 可求得A （19，0）B （0，495-），由4)19(5-=x y 知，19-x 能被4整除. 又因为x 是整数，且0≤x ≤19，所以取x ＝3，7，11，15，19时，y 是整数．因此在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有5个.例3：若函数kx y =（k ＞0）与函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ΔABC 的面积为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) k (D) 2k解：设),(y x A ，则1=xy ，ABO ∆的面积为2121=xy ，又CB O ∆与ABO ∆同底等高，故ABC ∆=2ABO ∆=1．例4：一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(4,-11), 且与X 轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则c b a ,,中为正数的( )(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a 和b解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X 轴有两个交点，知a ＞0， 设抛物线与X 轴的两个交点坐标为1x ，2x ，则acx x =⋅21＜0，所以c ＜0，又由对称轴4=x ，得ab2-＞0，知b ＜0，可见只有a ＞0. 七、等底等高的两个三角形面积相等是竞赛题的热点 例1：E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，若BEG ∆的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积是略解：由条件得21==AD EB GA EG，∴31=EA EG ， ∴31=∆∆ABE BEG S S ，∴3=∆A B E S ，∴．平行四边形ABCD 的面积124==∆ABE S S例2：如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，1=FC DF ，2=EBCE，若ADF ∆的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (m n >),则四边形ABCD 面积是略解：连AC ，则m S S ADF AFC ==∆∆， m n S ACE -=∆，)(2121m n S S ACE AEB -==∆∆， 四边形ABCD 面积是m n m n n m 2123)(21+=-++例3：设H 是等腰三角形ABC 的重心，在底边BC 不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小？变大？还是不变？略解：不妨设A ∠是锐角，连结AH 并延长交BC 于点D ，延长BH 、CH ，分别交AC ，AB 于点E 、F ， ∵AHE BHD ∠=∠，∴HAE HBD ∠=∠， ∴BDH Rt ∆ADC Rt ∆，∴HDDCBD AD =， 又BC DC BD 21==，∴241BC DC BD HD AD =⋅=⋅，于是HBC ABC S S ∆∆⋅41612121BC BC HD BC AD =⋅⋅⋅=， ∴当︒≥∠90A 时，上式也成立，故A ∠是不变．例4：（03联赛）设ΔABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） (A) 21 (B) 31(C) 41 (D) 51AD E BCDF CE解：连结BE ，41431=-=∆ADE S ，设x AC CE =，则x S ABE -=∆1，4131=-=∆x S ADE，41=x ，31=EA CE ，选B ． 例5： (99竞赛)在ΔABC 中, D 是边BC 上的一点, 已知5=AC ,6=AD ,10=BD , 5=CD , 求ΔABC 的面积。
初中数学竞赛应对技巧(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学竞赛应对技巧数学竞赛是检验学生数学综合素质的有效手段，对于提高学生的数学思维能力、解决问题能力具有重要的促进作用。
初中数学竞赛更是培养学生数学兴趣、挖掘数学潜能的重要途径。
为了帮助学生在初中数学竞赛中取得优异成绩，本文将从以下几个方面介绍应对初中数学竞赛的技巧。
一、了解竞赛特点，明确考查方向初中数学竞赛主要考查学生的数学基础知识、逻辑思维能力、空间想象能力和创新意识。
在竞赛中，学生需要熟练掌握以下几个方面的内容：1.初中数学基础知识，如代数、几何、概率等；2.数学逻辑思维，如归纳总结、推理证明等；3.空间想象能力，如立体几何、平面几何等；4.数学创新意识，如数学建模、数学探究等。
了解竞赛特点，有助于学生在备考过程中有的放矢，有针对性地进行复习。
二、培养良好的数学思维习惯1.细心阅读题目，理解题目要求，避免因粗心大意导致失分；2.分析题目，找出已知条件和求解目标，理清解题思路；3.运用合适的解题方法，注重数学公式、定理的灵活运用；4.检查答案，确保解题过程完整、逻辑清晰。
三、提高解题速度和准确性1.强化训练，提高解题熟练度；2.做好时间规划，合理分配解题时间，避免因时间不足导致题目无法完成；3.培养题目分析能力，快速找出解题关键点；4.注重基础，提高基本运算速度和准确性。
四、积极参加模拟竞赛，提高应试能力1.参加学校组织的模拟竞赛，熟悉竞赛环境和流程；2.分析模拟竞赛中的错误，总结经验教训，及时调整学习方法；3.参加各类数学竞赛培训班，提高专业指导；4.与同学交流学习心得，相互借鉴，共同进步。
五、注重创新能力培养1.参与数学课题研究，锻炼数学探究能力；2.多做创新性数学题，培养数学建模能力；3.参加数学竞赛研讨会，拓宽视野，激发创新思维；4.注重数学与实际生活的联系，培养解决实际问题的能力。
总之，要想在初中数学竞赛中取得好成绩，学生需要扎实的数学基础、良好的数学思维习惯、较高的解题速度和准确性以及创新能力的培养。
求值问题的若干方法和技巧
＿ｘ— ＿
２
平方整理得
ｘ—２ 一７ ２ ｘ ＝０
用多项式赊法｛ 击则得
３ 一２ 一３ 一 ｘ ２ ８ 一６＝（ ＋ ｘ ） — ３ ４ 一３ （
ｈ 一７ ＋ １ ｘ ７ １ ４ 一２
；０＋１ ｘ ７ ４ 一２
＝２ ８ 一 】 ３
在认真授课 酌情形。
例 ： 如 图 ， 正 方 形 Ｅ
欲 ，弓 导 学 生 通 过 独 立 思 考 ， 不 断 地 追 求 新 知 ，发 程 【
现 、提 出、分析 并创 造性地解决 问题 ，使数学学习成
为再发现 、再刨造的过程 。 Ａ Ｅ 与 Ｅ＇Ｏ，边 长为 ＢＤ ｔ Ｇ 如 在 平 面几 何 教 学 中改 进 定 理 的 引 ＾ 方 法 ，使 之 Ｏ 是 Ａ 与 Ｂ 交 点 ， 求 Ｃ Ｄ 符合学生 的认识 规律 。我根据初 中生已具备 了一定 的 形象思维能 力 。而抽象思维还 比较差 的特点 ，在几何
一
９
ｘ
地
整理得 ： ＋（ 一３ ＝ Ｙ ） ０ 只有 ｚ ， 一３ ＝ＯＹ ＝０ ．ｚ ， ＝３ 从而 ｘ ６一ｙ ‘ ＝ＯＹ ， ＝ ＝
３
一
ｆ ～ ±ｂ
ａ —ｂ
—
Ｊ ｂ！
ａ＋ｂ
一
＝
ｂ ＝１ ２
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、 变形代入法
（‘ 一 ＝ 立 卫 ０ ２， ｘ寺 ｝一 － ＝ ） ｛一 ３３
一
简捷得多 四、 凑巧台法
侧 ４ 已知 ： ＋ ， ｘ ：ｌ求 ＋３ 的值 。 ， ： ｑ＋
、
化筒代入法 ：
当给出 的字母 值较 复杂或要 求值的代数式较 复杂 耐， 我们常采用此法求值。
如何巧解初中数学竞赛题
如何巧解初中数学竞赛题我们知道，数学竞赛题，对于初中生来说，是非常困难的。
由于数学竞赛题的难度大、题型新，知识面比较广，解法巧妙，所以，广大初中学生在看见试题时，心里一下就慌忙起来，不知如何下手，对竞赛题，视之为猛兽。
下面我根据竞赛题的特点，探讨一些做竞赛题的方法，供大家参考。
首先，要精心审题，弄清题意，抓住其基本环节。
细心审题是能否解题的关键之一。
我们在审题时，做到以下几点：一要通读全题，充分理解题意，不要片面。
二要抓住题目中的关键字词，仔细、认真地研究，不要粗心大意。
三要弄清已知条件和结论之间的关系，不要将已知和结论孤立起来。
四是努力联系所学知识，把握准关键。
这里所说的“基本”，指的是我们要从基本题做起，研究并掌握其基本方法和技巧，记住一点基本要领。
例1证明：任意五个连续自然数的平方和一定不是一个完全平方数。
分析：设五个连续自然数分别为n－2，n－1，n，n＋1，n＋2，平方和S ＝（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2＝5（n2＋2），S中有5个这个因数。
如果S为完全平方数，则n ＋2一定是5的倍数，即n2的未位数只能是3或8，但自然数的平方的末位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个，不能是3和8，发生了矛盾，故S 不能是完全平方数。
证明：略。
点评：分析时，必须抓住完全平方数和自然数的平方的末位数字之间的本质特征，此本质物征是完成此题的关键。
例2、设 abcd ＝1。
求证：11111=+++++++++++++++d da dab d c cd cda c b bc bcd b a ab abc a 分析：由于四个分式的分母是异分母，因此，必须化它们为同分母，才能相加。
结合已知条件，不妨将后三个分式的分子、分母分别乘以a 、a b 、a b c 后，可得同分母，即： 原式11111111=++++++=+++++++++++++++=++⋅+⋅++++++++++++=a ab abc a ab abc a ab abc abcd a ab abc abc a ab abc ab a ab abc a abcabcd abcd a abcd ab abcd ababc bcda aabcd abc a ab abc abcd ab a ab abc a 证明：略。
初中线段求值解题技巧
初中线段求值解题技巧
线段求值是初中数学中必须掌握的技巧之一，而更深入的线段题目也需要掌握这一技巧。
以下是一些线段求值解题技巧：
1. 定义线段
首先，你需要明确线段的定义。
线段是在两个点之间的一条直线，这两个点被称为线段的端点。
在解决线段求值问题时，你需要知道每个线段的两个端点。
2. 使用线段公式
线段公式是计算线段长度的公式，通常用于解决线段求值问题。
公式是：
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
其中，AB表示线段的长度，(x1, y1)和(x2, y2)分别是线段的两个端点的坐标。
3. 注意点的坐标
在使用线段公式时，正确地标记出点的坐标非常重要。
如果你使用了错误的坐标，将导致错误的答案。
4. 解决实际问题
最后，你需要了解如何将线段求值技巧应用到实际问题中。
例如，你可能需要计算两个建筑物之间的距离，或者需要确定两个点之间的最短路径。
在这些情况下，线段求值技巧将非常有用。
总结
线段求值是数学中的基本技能之一，需要注意正确的坐标和使用
线段公式。
当你掌握了这些技巧后，你将能够解决各种实际问题。
初中数学知识归纳数学奥赛题型与解题技巧
初中数学知识归纳数学奥赛题型与解题技巧初中数学知识归纳：数学奥赛题型与解题技巧数学奥赛一直以来都是对学生数学能力的一种综合考察，其复杂性和难度远远高于平时的课堂练习。
在参加数学奥赛之前，了解常见的奥赛题型以及解题技巧是非常必要的。
本文将从知识归纳的角度，为大家介绍初中数学奥赛题型的特点和相应解题技巧。
一、选择题选择题在数学奥赛中的比重较大，其主要目的是考察学生对知识点的理解和掌握程度。
选择题一般有以下几种常见形式：1. 单项选择题单项选择题通常在给出一道问题之后，以四个选项形式出现。
选手需要根据所学的知识和题目的要求，选择正确的答案。
解题技巧包括：审题准确、注意选项差异、通过排除法等。
2. 多项选择题多项选择题与单项选择题类似，但选项数量较多。
解题技巧包括：结合题目要求，对每个选项进行分析与比较，选择准确的答案。
3. 判断题判断题在奥赛中也较为常见，要求选手根据给出的条件，判断其真假。
解题技巧包括：仔细阅读且理解题意、抓住关键信息、运用所学知识判断。
二、填空题填空题要求考生根据题目给出的条件，填写相应的数值或表达式。
填空题可分为以下几种情况：1. 数值填空题数值填空题要求填写具体的数值，解题技巧包括：审题准确、善用所学知识和公式、注意单位转换等。
2. 表达式填空题表达式填空题要求填写相应的数学表达式，解题技巧包括：理解题意、推理与运算、注意符号运用等。
三、证明题证明题是数学奥赛中较为困难的一类题目，要求选手运用所学的数学知识，通过逻辑推理和数学推导来证明某个问题或定理。
解题技巧包括：理解题意、分析证明过程、细致推理等。
四、解答题解答题是数学奥赛中的开放性题目，要求选手根据题目要求和所学知识，给出详细的解题过程和思路。
解答题主要包括以下几种类型：1. 填图题填图题要求选手在给出的平面图上标出相应的线段、角度或其他几何性质。
解题技巧包括：认真观察图形、注意准确标注、应用几何知识等。
2. 简答题简答题通常是一般性的问题，要求选手给出准确而简明的答案。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(2021年整理)
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)的全部内容。
代数式的化简求值问题初中数学中,全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值.注:一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.【答案】—4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
数学竞赛解题规律及方法
数学竞赛集训材料姓名一、速算与巧算：项数=（末项-首项）÷公差+11、等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2末项=首项+（项数-1）×公差首项=末项-（项数-1）×公差2、速算：（1）、13+23+33+……+n3=（1+2+3…+ n）2（2）、1+3+5+7+9+…+ n=项数的平方（n为奇数）二、数的整除（1）能被4整除的数：末两位数要能被4整除。
（2）能被25整除的数：末两位要能被25整除。
（3）能被8或125整除的数：末三位数要能被8（或125）整除。
（4）能被9整除的数：各位数字之和要能被9整除。
（5）能被11整除的数：奇位数字之和与偶数位上数字之和的差要能被11整除。
（6）能被7、13整除的数：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差要能被7或13整除。
例：（1）用0-9这十个不同的数字可以组成许许多多不同的十位数。
在这众多的十位数中能被11整除的最大的十位数是（）。
（2）请你只修改“970405”中的某一位数字，使这个六位数能被225整除。
（3）一个四位数能被45整除，它的千位数字与个位数字的积等于20，百位数字与十位数字组成的二位数是9的四倍。
这个是四位数是（）。
三、数的奇偶性：奇+奇 =偶偶+偶=偶偶+奇=奇奇+奇+…… +奇=奇奇+奇+ …… +奇=偶奇数个偶数个奇-奇=偶偶-偶=偶奇-偶=奇偶-奇=奇奇×奇=奇偶×偶=偶奇×偶=偶四、同余和剩余问题：1、如果两整数被N除时，余数相同，则它们的差必能被N整除。
2、被除数加上除数的倍数，再除以除数、余数不变。
3、如果整数A1和B1，除以同一个自然数M，所得的余数相同；A2和B2除以同一个自然数M，余数也相同，那么A1+A2，B1+B2除以M所得的余数也相同。
4、如果整数A和B除以自然数M所得的余数相同，那么A N和B N除以M所得的余数也相同。
初中数学求值新题
初中数学求值新题
本文主要介绍初中数学中的求值新题。
求值题是数学中常见的题型之一，要求学生根据给定的条件计算出所求的答案。
在初中数学中，求值题目种类繁多，有些题目需要运用一些特殊的技巧才能得出正确的答案。
其中，一些常见的求值题目包括：带有分数的四则运算、带有根号的四则运算、带有负数的四则运算、带有幂的运算、带有绝对值的运算等。
不同类型的求值题目需要学生掌握不同的方法和技巧。
在解决求值题目时，学生需要注意以下几点：首先，要认真阅读题目，理解题意；其次，要根据题目所给的条件确定解题的方法和步骤；最后，要检查答案是否正确，避免出现计算错误。
在学习初中数学求值题目的过程中，学生还需要多做练习，积累经验，加深对各种题目类型的理解，提高求解能力。
只有不断练习，才能在考试中取得好成绩。
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七年级数学竞赛题思考方式
七年级数学竞赛题思考方式
1.
充分理解题目：仔细阅读题目，弄清楚题目的要求，把握题目的关键点，明确解题的思路。
2.
分析问题：根据题目的要求，分析问题，把握问题的解决思路，把问题分解成若干个小问题，从而更好地解决问题。
3.
找出解题方法：根据问题的特点，找出解题的方法，如果是数学竞赛题，可以使用数学方法，如果是逻辑思维题，可以使用逻辑思维方法，如果是综合题，可以综合运用数学和逻辑思维方法。
4.
运用知识：根据解题方法，运用所学知识，如果是数学竞赛题，可以运用数学公式，如果是逻辑思维题，可以运用逻辑思维技巧，如果是综合题，可以综合运用数学和逻辑思维技巧。
5.
检查结果：检查解题结果，确保解题结果正确，如果有错误，及时发现并纠正。