杭州市初中数学青年教师教学基本功评比解题能力竞赛题

杭州市初中数学青年教师教学基本功评比

解题能力竞赛题

1.（满分15分）

(1)请你用几种不同的分割方法，将正三角形分别分割成四个等腰三角形（要求，徒手画出正三角形、画出分割线，并标出必要的角的度数）．

(2)如图，是某学生按题（1）要求画出的一种分割图，请简述你将如何讲解？

第1题

2. （满分15分）已知ABCD是矩形，以C为圆心，CA为半径画一个圆弧分别交AB，AD延长

线于点E，点F，连接EB，FD，若把直角∠BCD绕点C旋转角度θ(0 < θ < 90°)，使得该角的两边分别交线段AE，AF于点P，点Q，则CQ2+CP2等于（）

A．2QF⋅PE B．QF2 + PE2C．(QF+ PE)2D．QF2 + PE2 +QF⋅PE

（1）请用你认为最简单的方法求解（注意：是选择题）；

（2）请用几何方法证明你的选择是正确的；

（3）建立一个直角坐标系，用代数方法证明你的选择是正确的．

(第2题)

3. （满分15分）如图，已知圆柱底面半径为r，SA是它的一条母线，长为l. 设从点A出

发绕圆柱n圈到点S的最短距离为m (n为正整数）.

(1) 用r与l表示m可得m = （注意：是填空题）.

(2) 写出你得出题（1）结论的详细过程.

（第3题）

4. （满分15分）如图，七个边长均为1的等边三角形分别用①至⑦表示．给出命题：如果移出其中1个三角形，再把某些三角形整体作一次位置变换，那么一定可以与位置未变的三角形拼成一个正六边形．

(1) 设位置变换为平移变换，试通过具体操作说明命题是正确的（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作平移，及平移的方向和平移的距离）；

(2) 设位置变换为旋转变换，请列举出能使命题成立的所有情况（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作旋转，旋转的方向、角度，并在图中标上字母表示旋转中心；

(3) 将移出的三角形作相似变换，使之放置在某个位置时，能盖住正六边形，问：相似比能否等于3.14? 请说明理由．

（第4题）

5. （满分20分）图形既关于点O中心对称，又关于AC，BD轴对称. 已知AC = 10，BD = 6，点E，M是线段AB上的动点. 称互相对称的一对三角形组成的图形为“蝶形”，称以点O 为圆心，且过蝶形其它顶点的圆为蝶形的外接圆．

设点O到EF和MN的距离分别为h1和h2，且h1+ h2 = k（0< k <10）．

记△OEF与△OGH组成的蝶形O–EFGH的面积为SⅠ，△OMN与△OPQ组成的蝶形O–MNPQ的面积为SⅡ．

(1) 不妨设h1 < h2, 试比较SⅠ与SⅡ的大小；

(2) 当蝶形O–EFGH和蝶形O–MNPQ的外接圆相同，且图形不重合时，这对蝶形构成“最美蝶形”，试证明最美蝶形的面积S= SⅠ+ SⅡ不存在最值．

(第5题)

6. （满分15分）如图所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求证：这八个数相等．

7．（满分20分）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90︒，AC = 1，过点C 作直线l ∥AB .

(1)以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，圆与直线l 相交于点F 1，F 2，分别作F 1M ，F 2N 垂直于直线BC ，点M ，N 是为垂足，连结，F 1M ，F 2N , 并作AH 垂直于l 于H .

① 求线段F 1M 和F 2N 的长度；

② 图中哪三个三角形的面积相等？试写出，并给予证明；

(2) F 是l 上的一个动点（不与C 重合），点F 到直线BC 的距离为t ．设 AF ＝x （2

2

x ≥），试求出t 关于x 的函数关系式，并求出当 2x = 时的t 的值．

第6题

(第7题)

8.(满分5分)