八凸集与凸函数
凸集与凸函数ppt课件
设H为一超平面,子空间L平行于H,则L的正交补
空间L是一维的.不妨设p 0是L的一个基,则
L={x n|xTp=0},a M,有
M L a {x a n | xTp 0} {y n | pTy pTa}
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3
(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空 间L和向量a∈Rn,使得
M L a {x a | x L}
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2
2. 凸集与凸函数
•若非空仿射集M=L+a,则a∈M,于是唯一子空间
L可表为 L M M {x y | x, y M}
Df2.2. 非空仿射集M的维数是指平行于仿射 集M的子空间的维数.
若riS S,则S称为一个相对开集.集合clS \ riS称为S 的相对边界,记为rbS.
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2. 凸集与凸函数
•2.2 凸集与锥
Df 2.7 设S为n维欧氏空间 n中的一个集合。若对 任意两点x(1),x(2) S及每个实数 [0,1],有
x(1)+(1-)x(2) S 则称S为凸集。x(1)+(1-)x(2)称为x(1)和x(2)的凸组合。
2. 凸集与凸函数
Th2.2 给定向量p(≠0)∈Rn,∈R,则
H {x n | pT x } (2.1)
是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表 成上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下, (p,)是唯一的. Th2.3 给定矩阵A mn ,向量b n ,则
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
x M , x 1(x1 x0 ) ... m (xm x0 ) x0
最优化方法(凸集与凸函数)
{ {
} }
{
}
+ D1 ⊂ H 0 = x ∈ R n | a T x > β
− D2 ⊂ H 0
{ = {x ∈ R
n
| aT
} x < β}
+ − 则称超平面 H 严格分离 D1 和 D2 ，其中 H 0 和 H 0 分别表示
H + 和 H − 的内部
7
点到凸集的投影
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
4
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
( x − x )T ( x − y ) ≥ 0 ， ∀x ∈ D
证明： （1） 证明： ） （ 令 S = x ∈ R n | x ≤ 1 则取充分大的 µ > 0 使得
Ds = D ∩ ( y + µS ) ≠ φ
因此连续函数 f ( x ) = x − y 在 D s 上必定可以取到极小点 存在性证明完毕
凸集与凸函数
凸集与凸函数在数学中，凸集和凸函数是两个非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍凸集和凸函数的定义、性质和应用。
凸集凸集是指在一个向量空间中，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在该集合内，那么这个集合就是凸集。
简单来说，凸集就是一个“凸起来”的集合，它的内部没有凹陷的部分。
凸集有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸集的交集仍然是凸集。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集。
凸函数凸函数是指在一个实数域上，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在函数图像的上方，那么这个函数就是凸函数。
简单来说，凸函数就是一个“凸起来”的函数，它的图像没有凹陷的部分。
凸函数也有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸函数的下凸壳是一个凸函数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们求解一些最优化问题的解。
应用凸集和凸函数在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
其中最常见的应用是在最优化问题中。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
凸集和凸函数还可以用于解决一些几何问题。
例如，我们可以使用凸包算法来求解一个点集的凸包，从而得到一个凸集。
同样地，我们也可以使用凸函数来求解一些几何问题，例如最小二乘法。
在经济学中，凸集和凸函数也有广泛的应用。
例如，在市场经济中，供求关系可以被视为一个凸函数，从而帮助我们预测市场价格的变化。
总结凸集和凸函数是数学中非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
同时，它们也可以用于解决一些几何问题和经济学问题。
凸集与凸函数的性质与应用
凸集与凸函数的性质与应用凸集与凸函数是数学中两个非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将围绕凸集与凸函数的性质展开讨论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、凸集的定义及性质1. 凸集的定义在数学中，一个集合称为凸集，如果对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也在该集合内部。
2. 凸集的性质（1）凸集的交集仍然是凸集。
即若集合A和集合B都是凸集，则它们的交集A∩B也是凸集。
（2）凸集的闭包仍然是凸集。
即若集合A是凸集，则它的闭包A 也是凸集。
（3）凸集的仿射变换仍然是凸集。
即若集合A是凸集，线性变换T将A的元素变换到B，B上的任意两点通过T来自A的元素，B也是凸集。
二、凸函数的定义及性质1. 凸函数的定义在实数域上，如果一个函数的定义域是凸集，并且满足对于任意一对定义域内的点x₁和x₂以及任意的x∈ [0,1]，都有凸函数性质：x(xx₁+(1−x)x₂) ≤ xx(x₁)+(1−x)x(x₂)则该函数被称为凸函数。
2. 凸函数的性质（1）凸函数上的割线位于函数图像的下方或与之切线重合。
（2）凸函数的上、下半级集都是凸集。
即对于凸函数x(x)，有以下性质：- x∈ℝ且x∈ℝ，x(x) ≤ x≤ x(x) 成立，则对于该函数来说，有x(x) ≤ x，其中x∈ [x, x]。
- 若x(x) ≤ x，则x(x) ≤ x，其中x∈ℝ。
三、凸集与凸函数的应用1. 最优化问题凸集与凸函数在最优化问题中有着广泛的应用。
凸函数的性质保证了在一定条件下的最优解存在且唯一。
在优化问题中，我们可以将目标函数设为凸函数，将约束条件设为凸集，从而利用凸函数的性质来求解最优解，简化了问题的求解过程。
2. 经济学凸集与凸函数在经济学中也有重要的应用。
例如，生产函数、效用函数等都是凸函数，它们描述了在一定约束下的最优决策。
同时，凸集与凸函数也被应用在市场均衡理论、优化分配问题等经济学中的重要概念和工具中。
3. 机器学习凸集与凸函数在机器学习中也占据重要地位。
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
凸集和凸函数
凸集和凸函数凸集和凸函数是数学中一些重要的概念。
它们的应用范围广泛，涉及到诸如优化、几何学、经济学、物理学等领域。
本文将分步骤阐述凸集和凸函数的定义、性质及应用。
一、凸集的定义和性质凸集是指在欧几里得空间中，对于其中的任意两点，它们之间的连线都落在该集合内。
换句话说，凸集中的任何一条线段都是完全落在凸集内的。
要说明集合是凸的，需要证明其满足如下两个条件：①对于其中的任意两点x和y，它们之间的任意一个点z，都应该满足z=λx+(1-λ)y（其中0≤λ≤1）；②该集合是一个凸组合的闭包。
凸集有以下性质：1. 任意两个凸集的交集也是凸集；2. 凸集的闭包是凸集；3. 凸集的凸壳是凸集；4. 凸集的极小凸包是凸集；5. 凸集是连通的。
二、凸函数的定义和性质凸函数是指在函数图像下方的区域是凸集。
凸函数有以下几个特征：1. 任意两个点的线段都落在函数图像下方；2. 函数的一阶导数递增或数值非负；3. 函数的二阶导数数值非负。
凸函数具有以下性质：1. 任意两个凸函数的和是一个凸函数；2. 凸函数的下凸包是凸函数；3. 凸函数的上凸包是凸函数；4. 若函数f在定义域D内是凸的，那么其上任意一点的全体支撑线构成的集合是非空凸集。
在实际应用中，凸函数可用于优化问题、光学物理等方面。
因为凸函数有唯一的最小值和全局最小值，这种性质对于优化问题非常重要。
光学物理中，利用凸函数可对某些照明系统进行设计。
三、凸集和凸函数的应用凸集和凸函数的应用非常广泛。
它们在很多领域都得到了充分的应用，下面将简单介绍一些常见应用：1. 最优化问题。
凸函数有唯一的最小值和全局最小值，因此可以用于优化问题中，如线性规划、非线性规划等。
2. 几何形状分析。
凸集的定义是指一个区域内的两点连线都在该区域内，因此凸集可以用于分析几何形状。
3. 光学物理。
利用凸函数可以对光学系统进行设计，尤其是在非均匀照明下平均照度问题的解决中可以应用到凸函数。
4. 机器学习。
凸集与凸函数
凸集与凸函数凸集与凸函数是数学中具有较高应用价值的两个概念，它们在优化、经济学、工程学、数学物理等领域都有着广泛的应用。
一、凸集的定义凸集是指在欧几里得空间中，对于任意两个点$x_1$和$x_2$ ，如果这两个点都处于凸集内，那么它们之间的所有点也都应该在该凸集内，即：$$x_1,x_2\in C\Rightarrow\lambda{x_1}+(1-\lambda)x_2\in C\0\leq\lambda\leq1$$其中的$\lambda$是权重系数，使得对于$x_1$和$x_2$的线性组合能够在凸集内。
凸集不仅包括均匀分布的整个区域，而且还包括所有边界上的点。
凸函数是指在定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$之间，其函数值的线性组合仍然处于函数的值域内，即：凸函数是凸集上的实值函数，其定义域是一个凸集。
凸函数的定义与凸集的定义类似，可以形式化证明凸函数在其定义域上是凸集。
具体来说，对于凸函数$f(x)$，当且仅当它的定义域是凸集时，它才是凸函数。
同时，凸函数也存在一些性质，例如其导数是递增的、局部最小值是全局最小值等。
除此之外，凸集与凸函数还有许多更深入的联系。
例如，可分离凸函数、第一性原理的凸优化算法、鞍点理论等，都是凸集与凸函数相关的研究领域。
四、应用举例凸集与凸函数的应用非常广泛，例如：1. 在优化中，凸集与凸函数是常用的工具。
例如，线性规划、半定规划、凸优化等问题都涉及到凸集和凸函数。
2. 在经济学中，凸集与凸函数可以用来描述市场需求、供给等重要问题，例如企业的利润最大化、消费者选择最大化等问题。
3. 在计算机科学中，凸集与凸函数被广泛应用于机器学习、人工智能等领域。
例如，梯度下降法、反向传播算法等都是基于凸函数的优化算法。
总之，凸集与凸函数是数学中非常重要的概念，不仅应用广泛，而且具有一些深刻的理论性质。
在未来的科学研究中，凸集与凸函数的研究将会得到更加广泛的关注和应用。
凸集和凸函数和凸规划-课件
凸集---定义
01
线性组合 (linear Combination)
单击此处添加小标题
02
仿射组合 (Affine Combination)
单击此处添加小标题
03
凸组合 (Convex Combination)
单击此处添加小标题
04
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
单击此处添加小标题
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸集 (Convex Set) 凸函数 (Convex Function) 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
则有：
即点
属于超球,
所以超球为凸集．
凸集----举例
(1)
任意多个凸集的交集为凸集．
(2)
设
是凸集，
是一实数，
则下面的
集合是凸集：
凸集-----性质
(3)
推论：
设
是凸集，
则
也是凸集，
其中
是实数．
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
凸集-----性质
注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.
凸函数
定理4-----
01
几何
02
解释
03
一个可微函数
04
是凸函数当且
05
仅当函数图形
06
上任一点处的
07
切平面位于曲
08
面的下方.
凸集与凸函数.ppt
f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2 处的函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
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3
凸集的性质
（１） 有限个（可以改成无限）凸集的交集
为凸集． （２） 设 D 是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集：D y y x , x D
（３）设 D1 , D2 是凸集，则 D1 , D2 的和集
D1 D2 y y x z, x D1, z D2 是凸集;
§1.2 凸集与凸函数
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1
一、凸集
定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1, 都有：
x 1 y D
则称集合 D 为凸集．
注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn
超平面：H x Rn a1x1 a2x2 an xn b
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
(3)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数, 是实数,则水平集
S f , x x D, f x 是凸集.
(1) f x 是凸集 D 上的凸函数的充要条件是对x, y D ,一
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
凸集和凸函数的性质和应用
凸集和凸函数的性质和应用凸集和凸函数是数学领域中的两个重要概念，分别在几何、优化、概率等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将会详细讨论凸集和凸函数的性质以及它们的应用。
一、凸集凸集是指满足任意两个点之间的线段都在集合内的集合。
换句话说，如果有一个集合S，那么S是凸集当且仅当对于S中的任意两个点x和y，x和y之间的线段上的所有点都在S内。
对于凸集，我们可以根据其性质进行分类。
首先，全空间和空集都是凸集，这两个极端情况被称为平凸集和空凸集。
而对于非平凸集来说，则可以有以下几种情况。
1.开凸集：对于某个凸集，如果它不包含任何边界点，则被称为开凸集。
2.闭凸集：对于某个凸集，如果它包含所有边界点，则被称为闭凸集。
3.紧凸集：对于某个凸集，如果它是有限的并且紧致的，则被称为紧凸集。
4.凸包：对于一组点，包含这些点的最小凸集，被称为凸包。
凸集不仅仅在数学中有着广泛的应用，还在计算机科学、优化问题等领域中得到广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用凸集来进行边界的处理和剪裁等；在优化问题中，我们可以使用凸集来化简复杂问题，以便更好地对其求解。
二、凸函数凸函数是指函数图像上任意两点的连线不在函数图像下方的函数。
更具体地说，如果一个函数f(x)满足以下不等式：f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)，其中0≤λ≤1则f(x)是凸函数。
这个不等式的意义是，对于函数图像上的任意两点x和y，它们之间线段上的所有点都在函数图像上方，即满足上述不等式。
凸函数的常见形式包括线性函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
此外，两个凸函数的和、积和复合函数也都是凸函数。
凸函数的定义和凸集的定义类似，都是指在某一区间（或者全空间）内，满足一定的条件（凸性）。
凸函数的性质包括以下几个方面。
1.凸函数的上确界在左连续下降。
2.凸函数的导函数单调不减，且导函数的左导数和右导数存在并相等。
3.凸函数的一阶导数是凸函数。
凸函数和凸集
凸函数和凸集凸函数和凸集是数学中的重要概念，它们在优化、经济学、几何等领域中得到广泛应用。
本文将分别介绍凸函数和凸集的定义、性质和应用。
1. 凸函数在欧氏空间中，凸函数是指函数定义域上的任意两点连线的函数值都不超过这条连线在端点处的函数值之和。
换句话说，对于函数$f(x)$而言，若对于定义域内的任意两个点$x_1$和$x_2$以及$0≤λ≤1$，都有$$f(λx_1+(1−λ)x_2)≤λf(x_1)+(1−λ)f(x_2)$$则函数$f(x)$为凸函数。
凸函数有下凸函数和上凸函数两种类型。
下凸函数在定义域内是一个向上弯曲的U形曲线；上凸函数则是一个向下弯曲的U形曲线。
凸函数具有许多重要的性质，例如：1）凸函数的导数是单调不减的。
2）凸函数的任意局部极小值也是全局最小值。
3）连续凸函数的零点是唯一的。
4）任意两个凸函数的和仍然是凸函数。
除了这些性质之外，凸函数还具有广泛的应用，例如：1）优化问题中的约束条件可以用凸函数来描述。
2）在经济学中可以用凸函数来描述效用函数。
3）机器学习算法中的损失函数往往是凸函数。
2. 凸集$$λx_1+(1−λ)x_2∈C$$则$C$是一个凸集。
常见的凸集包括单位球、正半轴、正半空间、多面体等。
凸集也具有许多重要的性质，例如：2）对于凸集的任意两个不交子集$C_1$和$C_2$，它们的距离$d(C_1,C_2)$是唯一确定的。
3）凸包是凸集的一个重要概念，指由集合内所有点组成的最小凸集，也就是包含该集合的所有凸集的交集。
2）在计算几何学中，几何对象通常是凸集。
3）医疗图像处理中，凸包可以用来分割不规则的肿瘤区域。
线性规划凸集凸函数课件
同理可证线性函数 f ( x) = cT x 也是 Rn上的凹函数。
凸函数的性质
性质1 设f 1, f 2为定义在凸集D上的凸函数，l 为非负实数， l 则f1, f1+ f2也是D上凸函数。
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
= a (1-a )(x12 + x22 - 2x1 x2 )
= a (1-a ) (x1-x2)2 ≥0
∴ a f (x1) +(1- a ) f (x2)≥ f [ax1 + (1 - a )x2 ]
所以，f (x) = x 2 是R上凸函数。
例：证明线性函数
f ( x) = cT x = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn
仅〝<〞成立,则称为 f (xD)上严格凸函数。
凹函数，严格凹函数
对凸的一元函数 f (x)的几
何意义为：在曲线上任取
两点P1(x1, f (x1)), P2(x2, f (x2))弦 P1P2 位于
弧 P1P2 之上（见图）。
p2 p1 (x, y)
f (x)
x1 x
x2
例如，对 f (x)= x 2，因 "x1,x2∈R ，"a ∈(0,1)
多边形的顶点是 凸集的极点（顶点）。
圆周上的点都是 凸集的极点（顶点）。
定义4 设D为R n中非空凸集，若对" x(1)，x(2) ∈D ，
"a ∈(0,1)恒有
f [ax(1) +(1-a )x(2) ]≤ a f (x(1) )+ (1- a)f (x(2) ) (*)
凸函数的几个等价定义讲解
本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。
关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。
(大学数学)凸集和凸函数讲义
二阶条件
定理3: 设在开凸集 D Rn 内 f x 二阶可微，则
(1) f x 是 D内的凸函数的充要条件为，在 D 内任一点 x 处，f x 的海色矩阵Gx半正定,
其中：
2 f x12
2 f
Gx
2
f
x
x2 x1
2 f
xn
x1
2 f
x1 x2 2 f x22
若对任意的 x, y D , 及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为凸集 D上的凸函数．
定义5 严格凸函数
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
例1：设 f x x 12 , 试证明 f x 在 ,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, y R, 且 x y , 0,1 都有： f x 1 y f x 1 f y
极点
定义1 设 D为凸集，x D, 若 D 中不存在
两个相异的点y , z 及某一实数 0,1 使得 x y 1 z , 则称 x 为 D 的极点．
例：D x Rn x a a 0, 则 x a
上的点均为极点．
• 图中0，Q1,2,3,4都是顶点。
凸函数
定义4 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上，
§ 1.2 凸集和凸函数
一 、凸集
定义1 设S为n维欧氏空间Rn 中一个集合.若对S
中任意两点,联结它们的线段仍属于S.即 对S中任意两点 x（1），x（2）及每个实数 [0，1]，都有
x（1）（1 ）x（2） S
则称S为凸集.
x（1）（1 ）x（2）称为x（1）和x（2）的凸组合 .
• 实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸 集，(c)不是凸集。
八凸集与凸函数
十一. 终止条件
1. x k1 x k 1
2. f (xk1) f (xk ) 2
x k 1 x k
3.
xk
3 ( xk )
4.
f xk1 f xk
f xk
4 ( f xk )
5.最可靠法则：
x k1 x k
xk
1
f (x k1 ) f (x k ) f (xk )
3. 凸函数的性质
定理. 凸函数的局部极小点就是全局极小点。
4. 凸函数的判断条件 定理1. f ( x) 是凸集X上的凸函数的充要条件是 x1, x2 X ，有
f ( x2 ) f ( x1) f ( x1)T ( x2 x1 ) .
定理2.设 f ( x) 在凸集X上有二阶连续偏导数，则 f ( x) 是凸 函数的充要条件是 x X ，有 2 f (x) 半正定。
下降迭代算法。
x
1
.
.
.
x2
x0
九. 极小点的判定条件
（1）必要条件： f (x ) min f (x) f (x ) 0
（2）充分条件： f ( x ) 0
2 f (x) 0
f (x ) min f (x)
2.下降迭代算法步骤
（1）给出初始点 x0 ，令 k 0 ；
（2）按照某种规则确定下降搜索方向 d k ； （3）按照某种规则确定搜索步长 k ，使得 1f (xk ) 2
xk 2
x k1 x k 1
f (x k1 )
f (xk )
1
十二. 收敛速度
设算法A所得的点列为 {xk } ，如果
|| xk1 x* || || xk x* || , , 0.
则称 {xk }的收敛阶为 。
线性规划 凸集凸函数
例：证明线性函数
f ( x ) = c T x = c 1 x 1 + c 2 x 2 + L + c n x n
是 R n 上的凸函数。
同理可证线性函数 f(x)=cTx也是 R n上的凹函数。
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凸函数的性质
性质1 设f 1, f 2为定义在凸集D上的凸函数，l 为非负实数，则 l f1, f1+ f2也是D上凸函数。
xn
x1
xnx2
为 f (x) 在点x处的Hesse矩阵精品。课件
…
2 f
x1xn
…
2 f
x2
xn
L
…
2 f
xn2
多元函数Taylor展开：
fx0+p=fx0+fx0Tp+o(|p|||) fx0+p=fx0+fx0Tp+1 2pT2fx0p+o(|p||2|)
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定理2(一阶条件）：
是 R n 上的凸函数。
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定义6:凸规划
R设n D
f (为x )凸集,
凸函数，mi则n f称(x规) 划问题 xD
是定义在D上的
为凸规划。
若规划
min f (x)
s.t.
gi
(x)
0,
hj (x) = 0,
i = 1,2, …, m j = 1,2, …,l
中, f (x) 和- gi (x) 为凸函数, hi (x) 是线性函数,则上述问题为 求凸规划。
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多边形的顶点是 凸集的极点（顶点）。
圆周上的点都是 凸集的极点（顶点）。
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定义4 设D为R n中非空凸集，若对" x(1)， x(2) ∈D ，
Banach空间几何理论中的凸结构
Banach空间几何理论中的凸结构在Banach空间几何理论中，凸结构是一个重要的概念。
凸性是所有Banach空间的基本性质之一，它在几何和函数分析中都有广泛的应用。
本文将介绍凸结构在Banach空间几何理论中的应用和重要性。
一、凸集和凸函数凸结构的核心概念是凸集和凸函数。
凸集是指对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点都属于该集合。
凸函数是指对于函数上的任意两个点，函数曲线上的所有点位于这两个点之间的区域。
在Banach空间中，凸集和凸函数的性质和定义与实数空间中的类似。
实数空间中的凸结构理论可以推广到Banach空间中，为分析和几何学提供了强大的工具。
二、凸锥和凸包在Banach空间中，还有两个与凸结构相关的概念：凸锥和凸包。
凸锥是指对于集合中的任意元素和任意非负实数，乘积仍然属于该集合。
凸包是指包含集合中所有点的最小凸集。
凸锥和凸包的概念在Banach空间几何理论中有广泛的应用。
它们可以用来描述Banach空间的凸性质和结构，为几何学和拓扑学提供了基础。
三、凸结构的应用凸结构在Banach空间几何理论中的应用十分广泛。
下面将介绍几个典型的应用领域。
1. 凸分析凸分析是一种研究凸函数、凸集和凸优化问题的数学工具。
在Banach空间中，凸分析可以应用于最优化问题、约束优化问题以及变分问题等。
凸结构为解决这些问题提供了理论基础和实用方法。
2. 凸拓扑学凸结构在Banach空间的拓扑学中起到了重要的作用。
凸函数和凸集的性质可以用来定义Banach空间的拓扑结构，并研究其性质和连续性。
凸结构为拓扑学提供了一种新的视角和方法。
3. 凸几何学凸结构在几何学中也有广泛的应用。
通过研究凸集合的几何性质，可以得到关于Banach空间的几何结构的重要结果。
凸结构为几何学的研究提供了新的思路和技巧。
四、结论在Banach空间几何理论中，凸结构是一个重要的概念。
凸集和凸函数是凸结构的核心要素，凸锥和凸包是凸结构的补充概念。
凸分析
凸分析凸分析是数学中的一个分支，主要研究凸集和凸函数的性质及其应用。
它在优化问题、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍凸集、凸函数、凸优化等基本概念，并探讨凸分析在实际问题中的应用。
一、凸集和凸函数首先，我们来了解凸集的概念。
一个集合称为凸集，当且仅当对于该集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然在集合内部。
换言之，如果集合中的任意两点连线上的所有点都属于该集合，那么该集合就是凸集。
凸函数是定义在凸集上的实值函数。
一个函数在定义域上是凸的，如果对于定义域内的任意两个点，函数值在这两点所连线上的所有点的函数值都不大于（或不小于）这两个点所对应的函数值。
换言之，如果函数的值沿着它的定义域内的任意一条线段都或者是递增的，或者是递减的，那么该函数就是凸函数。
二、凸分析的基本原理凸分析依赖于凸集和凸函数的重要性质。
其中，凸函数有很多重要的性质，如凸函数的导数是递增的，凸函数的局部最小值也是全局最小值等。
通过这些性质，我们可以利用凸函数来解决不等式约束的优化问题，进而提高问题的最优解。
凸分析还研究了凸函数的次导数和次微分，并且使用它们来证明了很多关于凸函数的重要定理。
这些定理为凸分析提供了强大的工具和方法，使得我们能够更好地理解和解决实际问题。
三、凸优化与应用凸优化是凸分析的一个重要应用领域。
它研究的是在凸函数下的优化问题，考虑了约束条件下的最优解。
凸优化问题具有较好的求解性质，有许多高效的算法和工具可用于解决各种实际问题。
凸优化在经济学、金融学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要在有限资源下最大化效益或者最小化成本，凸优化问题对于这类问题的求解非常有效。
在金融学中，我们可以使用凸优化来构建投资组合，以实现风险最小化或者收益最大化。
在工程学中，凸优化可用于电力系统、通信网络等领域的优化设计。
此外，凸分析还具有在信号处理、机器学习等领域的应用。
例如，在信号处理中，我们可以利用凸分析的方法来降低噪声、提取信号特征等。
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hj ( x ) 是线性函数。 其中 f ( x ) , gi ( x ) 是凸函数，
D { x | f ( x ) , x X , f 是凸函数}。 水平集：
性质：水平集一定是凸集。 3. 凸函数的性质 定理. 凸函数的局部极小点就是全局极小点。 4. 凸函数的判断条件 定理1. f ( x ) 是凸集X上的凸函数的充要条件是 x1 , x 2 X ，有 f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x1 )T ( x 2 x1 ) .
k
k : k 1 ； （4）令 x k 1 x k k d k ，
k （5）判断 x 是否满足停止条件。是则停止，否则转第2步。
搜索步长确定方法：
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
称 k 为最优步长，且有 f ( x k k d k )T d k 0 。
2 f ( x ) x 例子：
5. 凸规划 （1） min
s .t . f ( x) x D
其中 f ( x ) 是凸函数， D 是凸集。
（2） min
f ( x)
s .t .
g1 ( x ) 0 gl ( x ) 0 h1 ( x ) 0 hk ( x ) 0
八. 凸集与凸函数
1.凸集 （1）凸组合：已知 X R n ，任取k个点 x i X ， 如果存在常数 k k ai 0 (i 1 , 2 ,, k ) ， ai 1 ，使得 ai x i x ，则称 x 为 x i i 1 i 1
(i 1 , 2 ,, k ) 的凸组合。
定理2.设 f ( x ) 在凸集X上有二阶连续偏导数，则 f ( x ) 是凸
函数的充要条件是 x X ，有 2 f ( x ) 半正定。 例：正定二次函数 是正定矩阵。
f ( x) 1 T x Ax bT x c，其中 A 2
十.
1.一般迭代算法
算法及相关概念
集合S上的迭代算法A： （1）初始点 x 0 ； （2）按照某种规则A产生下一个迭代点 x k 1 A( x k ) 。
x k 1 x k 1 xk k 1 k f ( x ) f ( x ) 1 k f (x )
k f ( x ) 2 k x 2
x k 1 x k 1 k 1 k f ( x ) f ( x ) 1
f ( x )0 （2）充分条件： f ( x ) min f ( x) 2 f (x ) 0
2.下降迭代算法步骤
（1）给出初始点 x 0 ，令 k 0 ； （2）按照某种规则确定下降搜索方向 d ； （3）按照某种规则确定搜索步长 k ，使得
f ( x k k d k ) f ( x k ) ；
k （i）如果点列 { x } 收敛于最优解 x* ，则称算法A收敛。
0 1 k （ii）如果 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ，则称算法A为
下降迭代算法。
x1
.
x0
.
.
x2
九.
（1）必要条件：
极小点的判定条件
f ( x ) min f ( x) f ( x ) 0
十一. 终止条件
1.
x k 1 x k 1
x k 1 x k x
k
2.
f ( x k 1 ) f ( x k ) 2
f x k 1 f x k
k
3.
3 ( x
k
)
4.
f x
4
( f集：设集合 X R n ，如果 X 中任意两点的凸组合
仍然属于 X ，则称 X 为凸集。 2.凸函数 2 1 2 n ai 1 ， 设 f : X R R ，任取 x , x X ，如果a1 , a2 0 , i 1 有 f (a1 x1 a2 x 2 )() a1 f ( x1 ) a2 f ( x 2 ) ，则称 f 为X上的（严格） 凸函数。
十二. 收敛速度
k 设算法A所得的点列为 { x } ，如果
|| x
k 1
x || || x x || ,
* k *
, 0 .
k 则称 { x } 的收敛阶为 。