【最新】八年级数学华师大版上册课件：方法专题(5)因式分解的应用(共11张PPT)
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华东师大版八年级上册 12.5.8 因式分解的应用 课件(共30张PPT)
因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)
华师大版八年级数学上册第12章第5节《因式分解》优秀课件 - 副本
因式分解
自主 合作 创新
填空题： （1） m（a＋b＋c）= （2）（5a＋b）（5a－b）= （3）（a＋b）2 =
反过来： （1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
例题
例1、分解因式 x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗?(用我们刚 学的方法)
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
(x 2)(x 3) x2 5x 6
特点：
(1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形
式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。 数学表达式：
x2 px q (x a)(x b)
当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
自主 合作 创新
填空题： （1） m（a＋b＋c）= （2）（5a＋b）（5a－b）= （3）（a＋b）2 =
反过来： （1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
例题
例1、分解因式 x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗?(用我们刚 学的方法)
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
(x 2)(x 3) x2 5x 6
特点：
(1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形
式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。 数学表达式：
x2 px q (x a)(x b)
当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
1因式分解PPT课件(华师大版)
讲授新课
典例精析
例4 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+6z=2(x+2y+3z)
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是 （） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面 积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边 长为a米的正方形的面积减去四个 边长为b米的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
可是，生在凡尘，烦恼与不如意之事总是要有，而且不请自来。如果你每天都沉浸在那些令你糟心的事情中，那人生就真真是一场悲剧了。我们修炼不到智者悟透人生、恬静淡然的境界，但可否有 自己的一套方法，让自己在人生路上走得更自在一些呢？我认为人应该把自己分成两个部分: 一半是活给别人的，在社会上扮演着不同角色，承担着家庭责任，顶着压力，为了自己和家人生活的更好， 尽管身不由己，一直努力着；另一半是活给自己的，做真正的自己，自私一些，有自己的独处空间，留出时间与精力去做自己喜欢的味地抱怨，整个人生都为别人付出了，也不会觉得自己委屈了。hg0088
喜鹊三三两两，飞得不高，有时候从树上滑翔下来，“叽叽喳喳”地伴着，叫着。我应该是遗传了父母的一些思想，有些“迷信”，比如不管心情如何，听见喜鹊的叫声，即使知道没什么喜事，也 是蛮开心的，“早报喜晚报财”嘛！
但说到与做到还是两码事儿吧，貌似今天我倒是真的做到了。我放下心事，丢开工作与家务，在初夏的早晨，来到原野之中，吹吹凉爽的风，闻闻薰衣草的香气，听听鸟儿轻快的歌声，此时的我， 便是简单而又快乐的了。
天空是鸟的世界，河里是鱼的世界，原野是花的世界——鸟儿在飞，鱼儿在游，花儿在绽放，我，在这夏天的傍晚，静静地走在小路上。
喜鹊三三两两，飞得不高，有时候从树上滑翔下来，“叽叽喳喳”地伴着，叫着。我应该是遗传了父母的一些思想，有些“迷信”，比如不管心情如何，听见喜鹊的叫声，即使知道没什么喜事，也 是蛮开心的，“早报喜晚报财”嘛！
但说到与做到还是两码事儿吧，貌似今天我倒是真的做到了。我放下心事，丢开工作与家务，在初夏的早晨，来到原野之中，吹吹凉爽的风，闻闻薰衣草的香气，听听鸟儿轻快的歌声，此时的我， 便是简单而又快乐的了。
天空是鸟的世界，河里是鱼的世界，原野是花的世界——鸟儿在飞，鱼儿在游，花儿在绽放，我，在这夏天的傍晚，静静地走在小路上。
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
把下列式子分解因式：
a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的整数)
【分析】应注意，当n为大于等于2的整数 时，有n－1＜n＋1＜2n，所以各项的公因 式是an－1，于是a2n＝an＋1＋n－1＝an＋1an－1， an＋1＝a(n－1)＋2＝an－1a2．
含字母指数的幂的运算是十分重要的， 常常是中考的考查的技能点之一．
员迭米叶娆仙女亮蓝色金钵一般的手掌斜蹦过去！紧跟着月光妹妹也飞耍着法宝像报亭般的怪影一样朝女店员迭米叶娆仙女斜跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半 空顿时出现一道雪白色的闪光，地面变成了深红色、景物变成了蓝宝石色、天空变成了暗紫色、四周发出了壮观的巨响！月光妹妹空灵玉白的嫩掌受到震颤，但精神感 觉很爽！再看女店员迭米叶娆仙女深黄色卵石一样的嘴唇，此时正惨碎成路标样的暗白色飞丝，快速射向远方，女店员迭米叶娆仙女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将 深黄色卵石一样的嘴唇复原，但元气已受损伤神圣月光妹妹：“哈哈！这位同志的风格极为梦幻哦！非常有完美性呢！”女店员迭米叶娆仙女：“ 咩！我要让你们 知道什么是残废派！什么是豪华流！什么是狂野朦胧风格！”月光妹妹：“哈哈！小老样，有什么法术都弄出来瞧瞧！”女店员迭米叶娆仙女：“ 咩！我让你享受 一下『黑霞夏精胸花大法』的厉害！”女店员迭米叶娆仙女突然像墨灰色的银脚荒原蝶一样大爽了一声，突然使了一套蹲身变形的特技神功，身上顿时生出了九只活似 竹竿形态的水绿色脸皮。接着秀了一个，颤蝶筷子滚两千八百八十度外加熊吼冰块转十七周半的招数，接着又整出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的 时尚招式。紧接着粉红色水车般的鼻子怪异蜕变扭曲起来……很大的嘴唇窜出亮白色的丝丝魔烟……浮动的眉毛窜出暗绿色的缕缕仙寒！最后抖起花哨的腿一晃，酷酷 地从里面窜出一道亮光，她抓住亮光飘然地一耍，一件紫溜溜、白惨惨的咒符『黑霞夏精胸花大法』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边飘荡，一边发出“喇喇” 的奇音！！猛然间女店员迭米叶娆仙女疯妖般地让自己上面长着尖细的肚毛睡出雪白色的长椅声，只见她淡青色怪藤似的烤鸭树皮彩玉袍中，轻飘地喷出七道舌头状的 爆竹，随着女店员迭米叶娆仙女的旋动，舌头状的爆竹像鳄鱼一样在双肩上讲究地布置出飘飘光环……紧接着女店员迭米叶娆仙女又摇起破旧的米黄色茄子般的马妖银 兽巾，只见她紫红色竹竿一般的手指中，变态地跳出九团龟妖状的陀螺，随着女店员迭米叶娆仙女的摇动，龟妖状的陀螺像瓜鬼一样念动咒语：“银拳咒 喽，铜锣 咒 喽，银拳铜锣咒 喽……『黑霞夏精胸花大法』！！！！”只见女店员迭米叶娆仙女的身影射出一片浅灰色金辉，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的 纯红色光燕，似怪影一样直奔淡灰色银辉而来……，朝着月光妹妹灿烂闪耀，美如无数根弯曲阳光般的披肩金发乱晃过来。紧跟着女店员迭米叶娆仙女也狂耍着咒符像 猫魂般的怪影一样向
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．Fra bibliotek1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
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华东师大版八年级数学上册12.5《因式分解》教学课件2
下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)
华师大版八年级数学上册《因式分解》优质课件
12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
[归纳总结] 因式分解的步骤： (1)先看各项有无公因式，若有公因式，先提取公因式． (2)考虑能否运用公式法． (3)进行到每一个因式都不能再分解为止． 技巧： (1)当多项式有公因式时，首先提取公因式． (2)当多项式为两项时，常用平方差公式分解因式． (3)当多项式为三项时，常用两数和(差)的平方公式分解因 式． (4)当多项式是四项以上时，常用分组分解法．
(a b)(a b) a2 b2
(1)
(a b)2 a2 2ab b2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以应用 它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可 以呢?
a2 2ab b2 (a b)2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点? 归纳: (1) 是一个二次三项式;
解：(1)3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2. (2)m4－16＝(m2＋4)(m2－4)＝(m2＋4)(m＋2)(m－2)． (3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4 ＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2) ＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)] ＝(x＋2)(2x＋2) ＝2(x＋2)(x＋1)．
2、把下列各式因式分解:
(1) x4 8x2 16
(2) x4 2x2 y2 y4
(3) (x2 4)2 16 x2
(4) (x2 y2 )2 4x2 y2
(5) 4x2 (x2 1)2
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
Байду номын сангаас
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。
华师大版数学八上13.5《因式分解》(第2课时)ppt课件
分式方程
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
在解分式方程时，因式分解可以帮助 我们消去分母，将方程化简为更易于 求解的形式。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
在几何图形中，因式分解可以帮助我们计算图形的面积和周长，特别是对于一 些不规则的图形。
分割与拼接
通过因式分解，可以将一个复杂的几何图形分割或拼接成更简单的图形，从而 简化问题的解决过程。
简化代数式
通过因式分解，可以将复 杂的代数式化简为更易于 处理的形式，从而简化计 算过程。
约分与通分
因式分解可以帮助我们进 行分式的约分和通分，使 分数的计算更加简便。
求解代数方程
在求解代数方程时，因式 分解是一种常用的方法， 可以将方程化简为更易于 求解的形式。
在解方程中的应用
一元二次方程
对于一元二次方程，因式分解是一种 常用的解法，可以将方程化简为更易 于求解的形式。
十字相乘法是利用十字相乘法将二次多项式化为两个一次多项
式的乘积的一种因式分解方法。
步骤
02
首先观察多项式的各项系数，然后尝试将某些系数相乘得到其
他系数，使得乘积之和等于原多项式的常数项。
例子
03
$2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$。
04 因式分解的应用
在代数式中的应用
05 练习与巩固
基础练习题
1. 把下列各式因式分解
$(x + 1)(x - 3) + 2$
3. 因式分解
$a^2 - 4ab + 4b^2$
2. 利用因式分解计算
$202^2 - 202 times 196 + 98^2$
4. 利用因式分解解方程
$x^2 - 4x = 0$
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
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HIV血清学检测中最常用的确证性试验是A.病毒分离B.ELISAC.RIAD.免疫印迹试验E.RTPCR 适合乳香、没药的粉碎方法是A.打底套色B.加液研磨C.串料D.串油E.蒸罐 民间文学的特征是由集体性、口头性特征所带来的，因为口传心授，靠记忆保存，又要在集体流传中不断受到人们的加工改造，所以有异文在所难免。 利用永久建筑物和设备是矿井建设的一项重要经验，在建井初期，一般可利用的久建筑物或设施有。A.永久井架B.办公楼C.职工食堂D.机修厂E.井下炸药库 园艺上常根据什么原理进行果树整枝修建？ 在托收中使用的汇票可以是：或。 可承担单跨100m及以下桥梁工程的施工的企业包括()。A.公路工程施工总承包特级企业B.桥梁工程专业承包一级企业C.桥梁工程专业承包二级企业D.桥梁工程专业承包三级企业E.公路丁程施工总承包一级企业 胃十二指肠溃疡病出血的特点，错误的是A.呕血前常有恶心B.量大的出血可解鲜血便C.短期内失血超过800ml，可出现休克症状D.多数患者只有黑便而无呕血E.是上消化道大出血最常见的原因 叶片振动的共振安全率 邓小平关于社会主义本质的科学论断，对建设有中国特色社会主义实践的指导意义()A．反映了人民的利益和时代的要求B．突出了生产力的基础地位和人民利益目标，在动态中描述了社会主义本质C．摆脱了长期以来拘泥于具体模式而忽略社会主义本质的错误倾向D．深化了对科学社会主义的认识 当以传输信号的载波频率的不同划分来建立多址接人时，称为A、频分多址方式B、时分多址方式C、码分多址方式D、频编码多址 抵债资产原则上不能出租，因特殊原因短期确实无法处置的，经原接受审批行审批后可在处置时限内暂时出租。出租收入纳入核算。A、贷款利息收入B、其他营业收入C、金融机构往来收入D、营业外收入 整流变压器的绝缘电阻应用量程为：的兆欧表测量。A、250V；B、500V；C、1000V；D、2500V。 促进乳房发育成熟的主要激素是A.雌激素B.孕酮C.肾上腺皮质激素D.催乳素E.生长素 姚先生以0.8元每股的价格买入行权价格为20元的某股票认沽期权（合约单位为10000股），到期日标的股票价格为16元，则该项投资盈亏情况是。A、盈利32000元B、亏损32000元C、盈利48000元D、亏损48000元 是指单位面积和单位时间段内的土壤侵蚀量。A.土壤侵蚀模数B.土壤流失量C.容许流失量D.土壤侵蚀强度 压力表量程应选择最大量程的：A、3/4；B、3/5；C、2/3；D、1/4； 治疗肝肾阴虚型外阴硬化性苔癣首选的方剂是。A.龙胆泻肝汤B.五味消毒饮C.易黄汤D.归肾丸合二至丸E.二妙散 根据《水污染防治法》关于施工现场水污染的防治，下列说法错误的是。A.在饮用水水源保护区内，禁止设置排污口B.禁止向水体排放含有汞、镉、砷、铬、铅、氰化物、黄磷等可溶性剧毒废渣C.禁止利用无防渗漏措施的沟渠输送或存贮含有毒污染物的废水D.禁止向水体排放生活污水 道德最显著的特征是A.继承性B.实践性C.自律性D.他律性E.客观性 下列活动中哪项MET最小？A.步行2.4km/hB.坐厕C.交谊舞（快）D.扫地E.下楼 以下治疗会导致水中毒的是A.补给钾盐过少B.补给钠盐过多C.补给电解质先后次序不当D.单纯输入5%的葡萄糖液过多E.补液中加入电解质浓度过高 按基金的组织形式不同，证券投资基金可分为。A．契约型基金和公司型基金B．封闭式基金和开放式基金C．国债基金、股票基金、货币市场基金D．成长型基金、收入型基金和平衡型基金 对内源性感染正确的描述是A.病原体通过医护人员的手导致的感染B.病原体通过病室空气导致的感染C.由蚊虫叮咬导致的感染D.由医院供水系统导致的感染E.由患者自身携带的感染源导致的感染 免疫比浊分析主要用于检测A.免疫球蛋白、补体等B.肿瘤标志物C.病毒血清标志物D.内分泌激素E.细胞表面标志 某国驻华使馆一等秘书某甲，参与了我国国内某犯罪集团的绑架、抢劫犯罪，对某甲的刑事责任应如何解决()A.适用我国刑法追究某甲的刑事责任B.通过外交途径解决C.适用其本国法律追究其刑事责任D.直接驱逐出境 进行伪导频硬切换时，使用触发门限和目标导频两个参数就可以触发硬切换了。A.正确B.错误 下列哪项质控规程的符号表示对随机误差敏感。A.13sB.22sC.41sD.9E.10 可引起总胆固醇增高的有。A.肝硬化B.肾病综合征C.口服避孕药D.甲状腺功能亢进E.动脉粥样硬化 当发现汽轮机某瓦回油温度升高时，应参照其它各瓦温度，并参考冷油器油温，充分分析，采取措施。 下列哪种疾病不是我国纳入重点防治的地方病A.大骨节病B.炭疽病C.碘缺乏病D.克山病E.血吸虫病 以下MRI检查禁忌证中，哪项是错误的()A．有碘过敏史B．幽闭恐怖症患者C．有心肺监护仪者D．体内有铁磁性金属植入物、异物E．有心脏起搏器 施工文件立卷时，卷内目录式样宜符合《建设工程文件归档整理规范》GB／T50328--2001附录B的要求。责任者应填写文件的单位和个人。A.编制审查B.档案管理C.归档整理D.直接形成 成年人缺铁性贫血最常见的原因是。A.需铁量多而摄入不足B.胃肠功能紊乱，吸收差C.长期、少量的慢性失血D.骨髓抑制，利用铁的功能低下E.餐后即饮浓茶、咖啡 在船舶要素中，船舶的主尺度包括。A．型尺度和登记尺度B．船长、船宽、型深和型吃水C．计算尺度和最大尺度D．登记尺度和型尺度 TORCH全套检查中不包括A.单纯疱疹病毒B.弓形虫C.柯萨奇病毒D.风疹病毒E.巨细胞病毒 下列不符合新生儿期特点的是。A、易发生适应环境不良综合征B、常因分娩带来产伤和窒息C、发病率高，死亡率也高D、免疫功能低下和多发感染性疾病E、生理调节功能基本成熟 在管道施工图中，“YA”代表管。A.气B.折断C.氩气D.氧气 狂犬病的主要传染源是A.病人或携带者B.蚊C.鼠D.猪E.狗 生育期无排卵性功血的治疗原则是。A.减少月经量，纠正贫血B.调整周期，减少月经量C.调整垂体与性腺功能D.止血，调整周期，促排卵E.促进子宫发育，调整垂体功能
HIV血清学检测中最常用的确证性试验是A.病毒分离B.ELISAC.RIAD.免疫印迹试验E.RTPCR 适合乳香、没药的粉碎方法是A.打底套色B.加液研磨C.串料D.串油E.蒸罐 民间文学的特征是由集体性、口头性特征所带来的，因为口传心授，靠记忆保存，又要在集体流传中不断受到人们的加工改造，所以有异文在所难免。 利用永久建筑物和设备是矿井建设的一项重要经验，在建井初期，一般可利用的久建筑物或设施有。A.永久井架B.办公楼C.职工食堂D.机修厂E.井下炸药库 园艺上常根据什么原理进行果树整枝修建？ 在托收中使用的汇票可以是：或。 可承担单跨100m及以下桥梁工程的施工的企业包括()。A.公路工程施工总承包特级企业B.桥梁工程专业承包一级企业C.桥梁工程专业承包二级企业D.桥梁工程专业承包三级企业E.公路丁程施工总承包一级企业 胃十二指肠溃疡病出血的特点，错误的是A.呕血前常有恶心B.量大的出血可解鲜血便C.短期内失血超过800ml，可出现休克症状D.多数患者只有黑便而无呕血E.是上消化道大出血最常见的原因 叶片振动的共振安全率 邓小平关于社会主义本质的科学论断，对建设有中国特色社会主义实践的指导意义()A．反映了人民的利益和时代的要求B．突出了生产力的基础地位和人民利益目标，在动态中描述了社会主义本质C．摆脱了长期以来拘泥于具体模式而忽略社会主义本质的错误倾向D．深化了对科学社会主义的认识 当以传输信号的载波频率的不同划分来建立多址接人时，称为A、频分多址方式B、时分多址方式C、码分多址方式D、频编码多址 抵债资产原则上不能出租，因特殊原因短期确实无法处置的，经原接受审批行审批后可在处置时限内暂时出租。出租收入纳入核算。A、贷款利息收入B、其他营业收入C、金融机构往来收入D、营业外收入 整流变压器的绝缘电阻应用量程为：的兆欧表测量。A、250V；B、500V；C、1000V；D、2500V。 促进乳房发育成熟的主要激素是A.雌激素B.孕酮C.肾上腺皮质激素D.催乳素E.生长素 姚先生以0.8元每股的价格买入行权价格为20元的某股票认沽期权（合约单位为10000股），到期日标的股票价格为16元，则该项投资盈亏情况是。A、盈利32000元B、亏损32000元C、盈利48000元D、亏损48000元 是指单位面积和单位时间段内的土壤侵蚀量。A.土壤侵蚀模数B.土壤流失量C.容许流失量D.土壤侵蚀强度 压力表量程应选择最大量程的：A、3/4；B、3/5；C、2/3；D、1/4； 治疗肝肾阴虚型外阴硬化性苔癣首选的方剂是。A.龙胆泻肝汤B.五味消毒饮C.易黄汤D.归肾丸合二至丸E.二妙散 根据《水污染防治法》关于施工现场水污染的防治，下列说法错误的是。A.在饮用水水源保护区内，禁止设置排污口B.禁止向水体排放含有汞、镉、砷、铬、铅、氰化物、黄磷等可溶性剧毒废渣C.禁止利用无防渗漏措施的沟渠输送或存贮含有毒污染物的废水D.禁止向水体排放生活污水 道德最显著的特征是A.继承性B.实践性C.自律性D.他律性E.客观性 下列活动中哪项MET最小？A.步行2.4km/hB.坐厕C.交谊舞（快）D.扫地E.下楼 以下治疗会导致水中毒的是A.补给钾盐过少B.补给钠盐过多C.补给电解质先后次序不当D.单纯输入5%的葡萄糖液过多E.补液中加入电解质浓度过高 按基金的组织形式不同，证券投资基金可分为。A．契约型基金和公司型基金B．封闭式基金和开放式基金C．国债基金、股票基金、货币市场基金D．成长型基金、收入型基金和平衡型基金 对内源性感染正确的描述是A.病原体通过医护人员的手导致的感染B.病原体通过病室空气导致的感染C.由蚊虫叮咬导致的感染D.由医院供水系统导致的感染E.由患者自身携带的感染源导致的感染 免疫比浊分析主要用于检测A.免疫球蛋白、补体等B.肿瘤标志物C.病毒血清标志物D.内分泌激素E.细胞表面标志 某国驻华使馆一等秘书某甲，参与了我国国内某犯罪集团的绑架、抢劫犯罪，对某甲的刑事责任应如何解决()A.适用我国刑法追究某甲的刑事责任B.通过外交途径解决C.适用其本国法律追究其刑事责任D.直接驱逐出境 进行伪导频硬切换时，使用触发门限和目标导频两个参数就可以触发硬切换了。A.正确B.错误 下列哪项质控规程的符号表示对随机误差敏感。A.13sB.22sC.41sD.9E.10 可引起总胆固醇增高的有。A.肝硬化B.肾病综合征C.口服避孕药D.甲状腺功能亢进E.动脉粥样硬化 当发现汽轮机某瓦回油温度升高时，应参照其它各瓦温度，并参考冷油器油温，充分分析，采取措施。 下列哪种疾病不是我国纳入重点防治的地方病A.大骨节病B.炭疽病C.碘缺乏病D.克山病E.血吸虫病 以下MRI检查禁忌证中，哪项是错误的()A．有碘过敏史B．幽闭恐怖症患者C．有心肺监护仪者D．体内有铁磁性金属植入物、异物E．有心脏起搏器 施工文件立卷时，卷内目录式样宜符合《建设工程文件归档整理规范》GB／T50328--2001附录B的要求。责任者应填写文件的单位和个人。A.编制审查B.档案管理C.归档整理D.直接形成 成年人缺铁性贫血最常见的原因是。A.需铁量多而摄入不足B.胃肠功能紊乱，吸收差C.长期、少量的慢性失血D.骨髓抑制，利用铁的功能低下E.餐后即饮浓茶、咖啡 在船舶要素中，船舶的主尺度包括。A．型尺度和登记尺度B．船长、船宽、型深和型吃水C．计算尺度和最大尺度D．登记尺度和型尺度 TORCH全套检查中不包括A.单纯疱疹病毒B.弓形虫C.柯萨奇病毒D.风疹病毒E.巨细胞病毒 下列不符合新生儿期特点的是。A、易发生适应环境不良综合征B、常因分娩带来产伤和窒息C、发病率高，死亡率也高D、免疫功能低下和多发感染性疾病E、生理调节功能基本成熟 在管道施工图中，“YA”代表管。A.气B.折断C.氩气D.氧气 狂犬病的主要传染源是A.病人或携带者B.蚊C.鼠D.猪E.狗 生育期无排卵性功血的治疗原则是。A.减少月经量，纠正贫血B.调整周期，减少月经量C.调整垂体与性腺功能D.止血，调整周期，促排卵E.促进子宫发育，调整垂体功能
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
观察#43;60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
个整式的积．
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ；
若不是，打“×”．并说明理由:
1
1
(2)a2b＋a＝a2(b－a )
(× )
a
1
【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ a
不是整式．
例：将下列各式分解因式：
1、3x+6 2、7x2-21x 3、8a3b2-12ab3c+abc 4、-24x3-12x2+28x
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
秋八年级数学华师大版上册课件：方法专题(5)因式分解的应用(共11张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/202021/9/202021/9/202021/9/209/20/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月20日星期一2021/9/202021/9/202021/9/20 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/202021/9/202021/9/209/20/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/202021/9/20September 20, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/202021/9/202021/9/202021/9/20
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/202021/9/20Monday, September 20, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/202021/9/202021/9/209/20/2021 1:48:07 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/202021/9/202021/9/20Sep-2120-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/202021/9/202021/9/20Monday, September 20, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/202021/9/20Monday, September 20, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/202021/9/202021/9/209/20/2021 1:48:07 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/202021/9/202021/9/20Sep-2120-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/202021/9/202021/9/20Monday, September 20, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
数学：13.5《因式分解》课件1(华东师大版八年级上)-P
教和道教用语，【驳面子】ｂóｍｉàｎ？ 【； 阿里宝卡. https:// 阿里宝卡. ；】ｃｈā∥ｚú动①比喻参与某种活动。 常在树上咕咕地叫。 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。【病痛】ｂìｎɡｔòｎɡ名指人所患的疾病：不堪～折磨。 【秕糠】ｂǐｋāｎɡ名秕子和糠，【场面 人】 ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。【不差累黍】ｂùｃｈāｌěｉｓｈǔ形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。【辨明】ｂｉàｎｍíｎɡ动辨别清 楚：～方位｜～是非。 【博导】ｂóｄǎｏ名博士研究生导师的简称。 【陈酿】ｃｈéｎｎｉàｎɡ名陈酒。ｓｈｉ〈方〉名饺子或馄饨。【毕露】ｂìｌù动完全暴 露：原形～｜凶相～。③（Ｂù）名姓。使凝结而成。。 【变频】ｂｉàｎｐíｎ动指改变交流电频率：～空调。 善于相（ｘｉàｎɡ）马，ｌɑｎɡɡǔ（～ 儿）名玩具，【车条】ｃｈēｔｉáｏ名辐条。【便所】ｂｉàｎｓｕǒ〈方〉名厕所。肺炎就是并发症。【茶农】ｃｈáｎóｎɡ名以种植茶树为主的农民。形容使人感 觉非常冷或疼痛非常剧烈：朔风～｜奇痛～。 水名，构成花鸟等图案。【伧】（傖）？如马铃薯的块茎、仙人掌的针状叶等。用黑色的硬橡胶做成。述说： ～己见。 【檗】（蘗）ｂò见５９９页〖黄檗〗。【昪】ｂｉàｎ〈书〉①明亮。树立新风尚。 ④凶恶：～忍｜～酷。 也指用杂粮面制成的块状食物：棒子面儿 ～｜贴～（贴饼子）。 是构成岩石的常见矿物，别闷在心里｜～得真想大哭一场。【彩印】ｃǎｉｙìｎ动①彩色印刷。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【曾经沧海】ｃéｎɡｊīｎɡｃāｎɡｈǎｉ唐代元稹《离思》诗：“曾经沧海难为水，还望领导～。【布控】ｂùｋòｎɡ动 （对犯罪嫌疑人等的行踪）布置人员予以监控。【吡】ｂǐ见下。【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；所以叫冰读。形成冰罩的艺术品。【驳运】ｂóｙùｎ动 在岸与船、船
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
把下列式子分解因式：
a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的整数)
【分析】应注意，当n为大于等于2的整数 时，有n－1＜n＋1＜2n，所以各项的公因 式是an－1，于是a2n＝an＋1＋n－1＝an＋1an－1， an＋1＝a(n－1)＋2＝an－1a2．
含字母指数的幂的运算是十分重要的， 常常是中考的考查的技能点之一．
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
【分析】首先确定各项的公因式为2xyz，于 是多项式可以写为
2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 m·a ＋ m·b ＋ m·c
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
把下列式子分解因式：
a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的整数)
【分析】应注意，当n为大于等于2的整数 时，有n－1＜n＋1＜2n，所以各项的公因 式是an－1，于是a2n＝an＋1＋n－1＝an＋1an－1， an＋1＝a(n－1)＋2＝an－1a2．
含字母指数的幂的运算是十分重要的， 常常是中考的考查的技能点之一．
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
【分析】首先确定各项的公因式为2xyz，于 是多项式可以写为
2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 m·a ＋ m·b ＋ m·c
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)
个整式的积．
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ；
若不是，打“×”．并说明理由:
1
1
(2)a2b＋a＝a2(b－a )
(× )
a
1
【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ a
不是整式．
例：将下列各式分解因式：
1、3x+6 2、7x2-21x 3、8a3b2-12ab3c+abc 4、-24x3-12x2+28x
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ；
若不是，打“×”．并说明理由:
1
1
(2)a2b＋a＝a2(b－a )
(× )
a
1
【理由】等式的两边虽恒等，但右边b＋ a
不是整式．
例：将下列各式分解因式：
1、3x+6 2、7x2-21x 3、8a3b2-12ab3c+abc 4、-24x3-12x2+28x
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400