关于偶完全数的证明
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4
– 所以
q ≤ p1
(10)
f (q) p1 + 1
– 又因为
p1 < 2p+1 − 1
(11)
– 所以
p1 p1 + 1
<
2p+1 − 1 2p+1
(12)
– 所以
q
2p+1 − 1
< f (q)
2p+1
(13)
与式6相矛盾，这类情况不成立
2. 2p+1 − 1 是一个质数
wenku.baidu.com
– 如果 k = 1，则定理成立
– 否则有
q = (2p+1 − 1)α · w
(14)
* 如果 w = 1，则 α > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α
2p+1 − 1
f (q)
=
∑α
i=0
(2p+1
− 1)i
<
2p+1
与式6矛盾
(15)
* 如果 w > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α w
2p+1 − 1 w
2p+1 − 1
f (q) = f ((2p+1 − 1)α) · f (w) ≤
(4)
由于 n 是一个完全数，所以有：
2p+1 · q = (2p+1 − 1) · f (q)
(5)
所有有：
q
2p+1 − 1
= f (q)
2p+1
(6)
不妨设 q = k · (2p+1 − 1)，下面分两种情况讨论：
1. 2p+1 − 1 是一个合数
– 则 q 最小的质因子 p1 < 2p+1 − 1
关于偶完全数的证明
Carbon.Chen February 4, 2013
Contents
1 说在前面
1
2 一些定义，记号什么的
1
3 本文要证明的定理
2
4 写在最后
4
5 参考文献
4
1
1 说在前面
写这篇文档的原因，应该说比较奇怪吧。省冬令营的时候，下午一般没什 么事情。然后某天下午，李爷爷突然抓住我们几个扯关于完全数的问题，让我 们验证有关完全数的一个猜想。基于下午一般都是Waste Time的事实，我无 聊地想要证明一下，然后得到了一些关于偶完全数的证明。第二天去逛了一下
(1)
proof.
• 设整数 n 可以表示为这样的形式：
∏n
n = piαi
(2)
i=1
则有：
∏n ∑ αi
f (n) = ( pij)
(3)
i=1 j=0
这一点是显然的，同时，由这一点可知：f 函数是积性的2
• 由于 n 是一个偶数，所以，n 可以表示为：
n = 2p · q , q ≡ 1(mod2), 2p > 0
Wikipedia，发现不过是做了一些重复造轮子的事（不过这一点在做这么一件
蛋疼的事之前显然就是注定的）。然后，既然想都想了，干脆写篇文档，顺便打 发一些时间吧。
2 一些定义，记号什么的
• 完全数的定义：一个数被成为完全数，当且仅当它的所有因子（不包括自 身）的和等于自身
• 一个猜想：所有的完全数具这样的形式：2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗，其中 2p+1 − 1 为素数1。
• 为了后文叙述方便，定义：f : N → N ，f (x) 为 x 所有因子的和。 显然：一个数 n 为完全数 ⇐⇒ 2 · n = f (n)
1实际上，就是梅森素数
1
3 本文要证明的定理
Theorem 1 (偶完全数形式). 对于一个偶数 n，如果 n 是一个完全数，则有：
n = 2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗
– 所以
q = pα1 1 · w
(7)
– 所以
q f (q)
=
∑αi=1p0α1p11
·
i
w · f (w)
≤
(pα1 1
pα1 1 · w + pα1 1−1)
·
f (w)
=
(p1
p1 · w + 1) · f (w)
(8)
2关于积性函数的定义，请参见维基百科
2
– 因为
w ≤1
(9)
f (w)
2p+1
·
<
f (w)
2p+1
(16)
与式6相矛盾，这类情况不成立
综上所述，得证。
3
4 写在最后
以上所有的内容就是我蛋疼了一天的结果。（其实主要是写文档太慢了） 之前已经说过这不过是重复造轮子的事罢了（Euler，于 18 世纪）。 最后，纯蛋疼之作，写着玩的，极不规范，不喜勿喷。
5 参考文献
积性函数 from Wikipedia 梅森素数 from Wikipedia 完全数 from Wikipedia Mersenne_prime from Wikipedia
– 所以
q ≤ p1
(10)
f (q) p1 + 1
– 又因为
p1 < 2p+1 − 1
(11)
– 所以
p1 p1 + 1
<
2p+1 − 1 2p+1
(12)
– 所以
q
2p+1 − 1
< f (q)
2p+1
(13)
与式6相矛盾，这类情况不成立
2. 2p+1 − 1 是一个质数
wenku.baidu.com
– 如果 k = 1，则定理成立
– 否则有
q = (2p+1 − 1)α · w
(14)
* 如果 w = 1，则 α > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α
2p+1 − 1
f (q)
=
∑α
i=0
(2p+1
− 1)i
<
2p+1
与式6矛盾
(15)
* 如果 w > 1，则：
q
(2p+1 − 1)α w
2p+1 − 1 w
2p+1 − 1
f (q) = f ((2p+1 − 1)α) · f (w) ≤
(4)
由于 n 是一个完全数，所以有：
2p+1 · q = (2p+1 − 1) · f (q)
(5)
所有有：
q
2p+1 − 1
= f (q)
2p+1
(6)
不妨设 q = k · (2p+1 − 1)，下面分两种情况讨论：
1. 2p+1 − 1 是一个合数
– 则 q 最小的质因子 p1 < 2p+1 − 1
关于偶完全数的证明
Carbon.Chen February 4, 2013
Contents
1 说在前面
1
2 一些定义，记号什么的
1
3 本文要证明的定理
2
4 写在最后
4
5 参考文献
4
1
1 说在前面
写这篇文档的原因，应该说比较奇怪吧。省冬令营的时候，下午一般没什 么事情。然后某天下午，李爷爷突然抓住我们几个扯关于完全数的问题，让我 们验证有关完全数的一个猜想。基于下午一般都是Waste Time的事实，我无 聊地想要证明一下，然后得到了一些关于偶完全数的证明。第二天去逛了一下
(1)
proof.
• 设整数 n 可以表示为这样的形式：
∏n
n = piαi
(2)
i=1
则有：
∏n ∑ αi
f (n) = ( pij)
(3)
i=1 j=0
这一点是显然的，同时，由这一点可知：f 函数是积性的2
• 由于 n 是一个偶数，所以，n 可以表示为：
n = 2p · q , q ≡ 1(mod2), 2p > 0
Wikipedia，发现不过是做了一些重复造轮子的事（不过这一点在做这么一件
蛋疼的事之前显然就是注定的）。然后，既然想都想了，干脆写篇文档，顺便打 发一些时间吧。
2 一些定义，记号什么的
• 完全数的定义：一个数被成为完全数，当且仅当它的所有因子（不包括自 身）的和等于自身
• 一个猜想：所有的完全数具这样的形式：2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗，其中 2p+1 − 1 为素数1。
• 为了后文叙述方便，定义：f : N → N ，f (x) 为 x 所有因子的和。 显然：一个数 n 为完全数 ⇐⇒ 2 · n = f (n)
1实际上，就是梅森素数
1
3 本文要证明的定理
Theorem 1 (偶完全数形式). 对于一个偶数 n，如果 n 是一个完全数，则有：
n = 2p · (2p+1 − 1) , p ∈ N ∗
– 所以
q = pα1 1 · w
(7)
– 所以
q f (q)
=
∑αi=1p0α1p11
·
i
w · f (w)
≤
(pα1 1
pα1 1 · w + pα1 1−1)
·
f (w)
=
(p1
p1 · w + 1) · f (w)
(8)
2关于积性函数的定义，请参见维基百科
2
– 因为
w ≤1
(9)
f (w)
2p+1
·
<
f (w)
2p+1
(16)
与式6相矛盾，这类情况不成立
综上所述，得证。
3
4 写在最后
以上所有的内容就是我蛋疼了一天的结果。（其实主要是写文档太慢了） 之前已经说过这不过是重复造轮子的事罢了（Euler，于 18 世纪）。 最后，纯蛋疼之作，写着玩的，极不规范，不喜勿喷。
5 参考文献
积性函数 from Wikipedia 梅森素数 from Wikipedia 完全数 from Wikipedia Mersenne_prime from Wikipedia